平面幾何輔助線添加技法總結(jié)與例題詳解

1、第一講 注意添加平行線證題在同一平面內(nèi) ,不相交的兩條直線叫平行線 . 平行線是初中平面幾何最基本的 , 也是非常重要的圖形 . 在證明 某些平面幾何問題時(shí) ,若能依據(jù)證題的需要 ,添加恰當(dāng)?shù)钠叫芯€ , 則能使證明順暢、 簡潔. 添加平行線證題 ,一般有 如下四種情況 .1 為了改變角的位置大家知道 , 兩條平行直線被第三條直線所截 , 同位角相等 , 內(nèi)錯(cuò)角相等 過添加平行線 ,將某些角的位置改變 , 以滿足求解的需要 . 例 1 設(shè) P、Q 為線段 BC 上兩點(diǎn) ,且 BPCQ, A 為 BC 外一動(dòng)點(diǎn) （如圖 1）. 當(dāng)點(diǎn) A運(yùn)動(dòng)到使 BAP CAQ 時(shí),ABC 是什么三角形？試 證明你

2、的結(jié)論 .答： 當(dāng)點(diǎn) A運(yùn)動(dòng)到使 BAP CAQ 時(shí),ABC 為等腰三角形 . 證明：如圖 1, 分別過點(diǎn) P、B作 AC、AQ 的平行線得交點(diǎn) D.連結(jié) DA.在 DBP AQC 中,顯然 DBPAQC,DPB C. 由 BPCQ, 可知DBP AQC .有 DPAC, BDP QAC. 于是 ,DABP, BAP BDP .則 A、D、B、P 四點(diǎn)共圓 , 且四邊形 ADBP 所以 AB AC.這里, 通過作平行線 ,將 QAC “平推”到 例 2 如圖 2, 四邊形 ABCD 為平行四邊形 , BAF BCE. 求證： EBA ADE . 證明： 如圖 2, 分別過點(diǎn) A、B 作 ED、

3、 EC 的平行線 , 得交點(diǎn) P, 連 PE.由 AB CD, 易知 PBA ECD . 有, 同旁內(nèi)角互補(bǔ) . 利用這些性質(zhì) , ?？赏榈妊菪?. 故 ABDP.BDP 的位置 . 由于 A、 D、B、P 四點(diǎn)共圓 , 使證明很順暢 .PAED, PB EC.顯然, 四邊形 PBCE、PADE 均為平行四邊形BCE BPE, APE ADE . 由 BAF BCE,可知BAFBPE.有 P、 B、A、E 四點(diǎn)共圓 .于是, EBAAPE. 所以, EBA ADE. 這里, 通過添加平行線 ,使已知與未知中的四個(gè)角通過 與 ADE 相等的媒介 , 證法很巧妙 .有圖2P、B、A、E 四點(diǎn)共

4、圓 ,緊密聯(lián)系起來 . APE 成為 EBA2 為了改變線段的位置利用“平行線間距離相等” 、“夾在平行線間的平行線段相等”這兩條, 常可通過添加平行線 , 將某些線段“送”到恰當(dāng)位置 , 以證題 .例 3 在ABC 中, BD 、CE 為角平分線 , P為 ED 上任意一點(diǎn) .過 P 分別作 AC、AB、BC 的垂線 , M、N、Q 為垂足 . 求證：PM PN PQ.證明： 如圖 3, 過點(diǎn) P 作 AB 的平行線交 BDC圖3于 F,過點(diǎn) F作 BC的平行線分別交 PQ、AC 于 K、G, 連 PG.由 BD 平行 ABC, 可知點(diǎn) F 到 AB、 BC 兩邊距離相等 .有 KQPN.顯

5、然, EP EF CG , 可知 PGEC.PD FD GD由 CE 平分 BCA, 知 GP 平分 FGA. 有 PKPM. 于是 , PMPNPKKQPQ.這里,通過添加平行線 ,將 PQ“掐開”成兩段 ,證得 PMPK,就有 PM PNPQ.證法非常簡捷實(shí)現(xiàn)N1、3 為了線段比的轉(zhuǎn)化 由于“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊, 所得對(duì)應(yīng)線段成比例” , 在一些問題中 , 可以通過添加平行線某些線段比的良性轉(zhuǎn)化 . 這在平面幾何證題中是會(huì)經(jīng)常遇到的.例 4 設(shè)M 1、M 2是 ABC的BC邊上的點(diǎn) ,且BM1CM2.任作一直線分別交 AB、AC、AM1、AM2于P、Q、 N2. 試證：AB

6、ACAM1 AM 2 AP AQAN1AN2E圖4證明： 如圖 4, 若 PQBC, 易證結(jié)論成立 . 若 PQ 與 BC 不平行 , 設(shè) PQ 交直線 BC 于 D.過點(diǎn) A作 PQ的平行線交直線 BC于E.由 BM 1 CM 2, 可知 BECEM1E M2E, 易知AB BE , AC CEAP DE AQ DEAM1 M1E, AM 2 M 2E .AN1DE, AN2 DE .ABACBE CE M1E M 2EAM1AM2則APAQDEDEAN1AN2AB AC AM1AM 2 AP AQ AN1AN2這里, 僅僅添加了一條平行線, 將求證式中的四個(gè)線段比“通分” , 使公分母為D

7、E, 于是問題迎刃而解例 5 AD 是 ABC 的高線 ,K 為 AD 上一點(diǎn) ,BK 交 AC 于 E, CK 交 AB 于 F. 求證： FDA EDA.證明： 如圖 5, 過點(diǎn) A 作 BC 的平行線 , 分 別交直線 DE、DF、BE、CF 于 Q、P、N、M.顯然 ,BDANKD DC KA AM有 BD · AMDC ·AN.(1)AP AF AMBD FB BC有 AP BD·AMBCAQ AE ANDC ·AN由 ,有 AQ DC EC BC BC 對(duì)比(1) 、(2) 、(3) 有(3)AP AQ. 顯然 AD 為 PQ 的中垂線 ,

8、故 AD平分 PDQ. 所以, FDA EDA.這里,原題并未涉及線段比 , 添加 BC 的平行線 , 就有大量的比例式產(chǎn)生, 恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這些比例式 , 就使 AP 與AQ 的相等關(guān)系顯現(xiàn)出來4 為了線段相等的傳遞 當(dāng)題目給出或求證某點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí), 應(yīng)注意到平行線等分線段定理 ,用平行線將線段相等的關(guān)系傳遞開去 .例 6 在ABC 中, AD 是 BC 邊上的中線 ,點(diǎn) M 在 AB邊上 ,點(diǎn) N在 AC 邊上, 并且 MDN 90°.如果 BM2CN21 DM2DN2,求證： AD2 ( AB2AC2).4證明： 如圖 6, 過點(diǎn) B 作 AC 的平行線交 ND 延長線于 E.

9、連 ME.由 BDDC, 可知 EDDN. 有 BED CND. 于是 ,BENC. 顯然, MD 為 EN 的中垂線 . 有 EMMN.C由 BM 2 BE2BM 2 NC 2 MD 2DN 2MN 2 EM 2, 可知 BEM 為直角圖6三角形 , MBE 90°.有ABC ACB ABC EBC902 1 1 2 2于是, BAC90°. 所以, AD2 BC （ AB2AC2）.24這里, 添加 AC 的平行線 ,將 BC 的以 D 為中點(diǎn)的性質(zhì)傳遞給 EN, 使解題找到出路 . 例 7 如圖 7, AB 為半圓直徑 ,D 為 AB 上一點(diǎn) , 分別在半圓上取點(diǎn) E

10、、F, 使 EADA,FBDB.過 D 作 AB的垂線 ,交半圓于 C.求證： CD 平 分 EF.證明： 如圖 7, 分別過點(diǎn) E、F 作 AB 的垂線 ,G、H 為垂足 ,連 FA、EB.易知DB2FB2AB·HB,AD2AE2AG·AB. 二式相減 , 得 DB2AD2AB·(HBAG), 或 ( DB AD) · AB AB· ( HB AG). 于是 ,DBADHBAG, 或 DBHBAD AG.就是 DHGD. 顯然,EGCDFH.故 CD 平分 EF. 圖7這里, 為證明 CD 平分 EF, 想到可先證 CD 平分 GH .為此添

11、加 CD 的兩條平行線EG、FH ,從而得到 G、H 兩點(diǎn). 證明很精彩經(jīng)過一點(diǎn)的若干直線稱為一組直線束一組直線束在一條直線上截得的線段相等 , 在該直線的平行直線上截得的線段也相等如圖 8,三直線 AB、AN、AC 構(gòu)成一組直線束 , DE 是與 BC 平行的直線 .于是, 有DM AM ME ,BN AN NC ,DMMEDM BN .即或BNNCME NC .此式表明,DM ME 的充要條件是 BN NC利用平行線的這一性質(zhì) , 解決某些線段相等的問題會(huì)很漂亮例 8 如圖 9, ABCD 為四邊形 , 兩組對(duì)邊延長 后得交點(diǎn) E、F,對(duì)角線 BDEF, AC 的延長 線交 EF 于 G.

12、 求證： EG GF.證明： 如圖 9, 過 C 作 EF 的平行線分別交 AE、AF于M、 N.由BDEF,可知 MN BD.易知SBEFSDEF. 有 SBECSKG *5DFC . 可得 MCCN. 所以, EGGF.圖9例 9 如圖 10, O 是 ABC 的邊 BC 外的旁 切圓,D、E、F分別為 O與 BC、CA、AB 的切點(diǎn).若 OD與EF 相交于 K,求證： AK平 分 BC.證明： 如圖 10, 過點(diǎn) K 作 BC 的行平線分別 交直線 AB、AC于 Q、P兩點(diǎn),連OP、OQ、 OE、OF.由 ODBC, 可知 OKPQ.由 OF AB, 可知 由 OE AC, 可知 顯然,

13、 FKQ 由 OFOE, 可知O、K、F、Q 四點(diǎn)共圓 ,有 FOQ FKQ. O、K、P、E 四點(diǎn)共圓 .有 EOP EKP . EKP, 可知 FOQ EOP.RtOFQ RtOEP. 則 OQOP., 通過圓的有關(guān)性質(zhì)找到解題途徑 . 下, 此時(shí)若能把握問題提供的信息 , 恰當(dāng)補(bǔ)出輔助圓 , 并合理挖掘于是, OK為PQ的中垂線 ,故QKKP. 所以, AK平分 BC.綜上, 我們介紹了平行線在平面幾何問題中的應(yīng)用 .同學(xué)們?cè)趯?shí)踐中應(yīng)注意適時(shí)添加平行線 ,讓平行線在平面 幾何證題中發(fā)揮應(yīng)有的作用 .第二講 巧添輔助圓在某些數(shù)學(xué)問題中 , 巧妙添置輔助圓?？梢詼贤ㄖ本€形和圓的內(nèi)在聯(lián)系 面舉

14、例說明添置輔助圓的若干思路 .1 挖掘隱含的輔助圓解題 有些問題的題設(shè)或圖形本身隱含著“點(diǎn)共圓” 圖形隱含的性質(zhì) , 就會(huì)使題設(shè)和結(jié)論的邏輯關(guān)系明朗化1.1 作出三角形的外接圓 例 1 如圖 1,在ABC中,ABAC,D 是底邊 BC 上一點(diǎn) ,E 是線段 AD 上一點(diǎn)且 BED2 CED A. 求證： BD 2CD . 分析：關(guān)鍵是尋求 BED 2CED 與結(jié)論的聯(lián)系 . 容易想到作 BED 的平分線 , 但因 BEED, 故不能 直接證出 BD2CD.若延長 AD 交ABC 的外接圓 于 F,則可得 EBEF, 從而獲取 .證明：如圖 1,延長AD與 ABC的外接圓相交于點(diǎn) F,連結(jié) CF

15、與BF,則 BFA BCA ABC AFC,即 BFD CFD. 故 BF: CFBD: DC.又 BEF BAC, BFE BCA,從而 FBE ABC ACB BFE . 故 EB EF.作BEF的平分線交 BF于G,則 BGGF.1 因 GEF BEFCEF,GFECFE,故FEGFEC.從而 GFFC.2 于是,BF2CF.故 BD 2CD .1.2 利用四點(diǎn)共圓例 2 凸四邊形 ABCD 中,ABC60°, BAD BCD 90° ,AB2, CD 1,對(duì)角線 AC、BD 交于點(diǎn) O, 如圖 2. 則 sin AOB .分析：由 BAD BCD90°可知

16、 A、B、 C、D P 四點(diǎn)共圓 ,欲求 sin AOB,聯(lián)想到托勒密定理 ,只須求出 BC、AD 即可.P 圖2解：因BADBCD90°,故A、B、C、D四點(diǎn)共圓 .延長 BA、CD 交于 P,則ADPABC60°.設(shè) ADx,有 AP 3x, DP2x. 由割線定理得 （2 3x） 3x2x（12x）. 解得 ADx2 32,BC1 BP4 3 .2由托勒密定理有BD·CA（4 3 ）（2 32）2×110 3 12.26又 SABCDSABDSBCD 3 3 . 故 sin AOB 15 6 3 2圖3例 3 已知：如圖 3,ABBCCAAD, A

17、H CD于H, CPBC, CP交AH 于P.求證： ABC 的面積 S 3 AP · BD.433分析：因 SABC 3 BC2 3 AC· BC, 只44須證 AC·BCAP·BD,轉(zhuǎn)化為證 APC BCD.這由 A、B、C、Q四點(diǎn)共圓易證 （Q為BD與AH交點(diǎn)）. 證明： 記BD與 AH交于點(diǎn) Q,則由 ACAD,AHCD 得 ACQ ADQ .又 ABAD, 故 ADQ ABQ.PCH BCD , CBQ CAQ, AC·BCAP·BD.從而,ABQACQ. 可知 A、 B、C、Q四點(diǎn)共圓 . APC90° APC

18、BCD .于是,S 3AC·BC 3 AP·BD.44, 此時(shí)可大膽聯(lián)想構(gòu)2 構(gòu)造相關(guān)的輔助圓解題 有些問題貌似與圓無關(guān) , 但問題的題設(shè)或結(jié)論或圖形提供了某些與圓的性質(zhì)相似的信息 造出與題目相關(guān)的輔助圓 , 將原問題轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的問題加以解決 .2.1 聯(lián)想圓的定義構(gòu)造輔助圓 例 4 如圖 4, 四邊形 ABCD 中, AB CD, ADDC DBp,BCq.求對(duì)角線 AC 的長.分析：由“ ADDCDBp”可知 A、B、C 在 半徑為 p的D 上.利用圓的性質(zhì)即可找到 AC 與 p、q 的關(guān)系 .E圖4解： 延長 CD 交半徑為 p的D 于 E 點(diǎn),連結(jié) AE. 顯然

19、 A、B、C 在 D 上.ABCD, BCAE. 從而 , BCAE q. 在ACE 中,CAE90°,CE2p,AEq,故AC CE2 AE 2 4p2 q2 .2.2 聯(lián)想直徑的性質(zhì)構(gòu)造輔助圓例 5 已知拋物線 yx22x8與 x軸交于 B、C兩點(diǎn)，點(diǎn) D 平分 BC.若在 x軸上側(cè)的 A點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn) 且 BAC為銳角 ,則 AD 的取值范圍是 .分析：由“BAC為銳角”可知點(diǎn) A在以定線段 BC為直徑的圓外 ,又點(diǎn) A在 x軸上側(cè) ,從而可確定動(dòng)點(diǎn) A的范圍 , 進(jìn)而確定 AD 的取值范圍 .解： 如圖 5, 所給拋物線的頂點(diǎn)為 A0（1,9）, 對(duì)稱軸為 x1,與 x軸

20、交于兩點(diǎn) B（ 2,0） 、 C（4,0）.分別以 BC、DA 為直徑作 D、E, 則 兩圓與拋物線均交于兩點(diǎn) P（12 2,1） 、Q（12 2 ,1）.可知,點(diǎn) A在不含端點(diǎn)的拋物線 PA0Q 內(nèi)時(shí) ,BAC<90°. 且有 3 DP DQ<AD DA0 9,即 AD 的取值范圍是 3<AD9.2.3 聯(lián)想圓冪定理構(gòu)造輔助圓例 6 AD是 RtABC斜邊 BC上的高, B的平行線交 AD 于 M,交 AC于N.求證： AB2AN2BM·BN. 分析：因 AB2AN2（ABAN）（ AB AN） BM· BN, 而由題設(shè)易知 AMAN, 聯(lián)想割

21、線定理 ,構(gòu)造輔助圓即可證 得結(jié)論 .證明： 如圖 6, 2 34 590°, 又 3 4, 1 5, 1 2. 從而 ,AM AN.以 AM 長為半徑作 A,交 AB于 F, 交BA 的延長線于 E. 則 AE AFAN. 由割線定理有BM·BNBF· BE （ AB AE）（ ABAF）（ABAN）（ AB AN ） AB2AN2,即 AB2AN2BM·BN.例 7 如圖 7, ABCD 是 O 的內(nèi)接四邊形 , 延長 AB 和 DC 相交于 E, 延長 AB 和 DC 相交于 E, 延長 AD 和 BC 相交 于 F,EP 和FQ 分別切 O于 P

22、、Q.求證： EP2FQ2EF2.分析：因 EP和 FQ 是O 的切線,由結(jié)論聯(lián)想到切割線定理 ,構(gòu)造輔助圓使 EP、FQ 向 EF轉(zhuǎn)化.證明： 如圖 7,作 BCE的外接圓交 EF 于 G,連 結(jié) CG.因 FDC ABC CGE, 故 F、D、 G 四點(diǎn)共圓 .由切割線定理 , 有EF2（EGGF） ·EFEG· EFGF·EFEC·EDFCEC·EDFC·FBEP2FQ2,C、FB即EP2FQ2EF2.A試證cbBCa(2)ABCDcB'CA'CDBD圖9aba作一個(gè)輔助圓證明1DCCEDO2BCBb'D

23、F分析證明a' 得題BDAD· BCAB·DCAC·BD又 ABDC, 可知 BD AC b, BCADa有 A'BDC2. 已知凸五邊形 ABCDE 中,BAE3a, BCCDDE, DAE.（提示：由已知證明 BCE BDE180°3a, 從而 A、3. 在ABC中ABBC,ABC20°,在 AB邊上取一點(diǎn)ED 分別切兩圓于 C、 D. 求證： AC2AB·AE.c' aA' c' b'2 ac' a2 c·ba'bCB' a' C'ABBDBD(提示：不妨設(shè) ABAC,作 ADC的外接圓交 AB于 E,證 ABC DBE,從而 .)ACDEDC BCD CDE 180° 2a.求證： BAC CADaa bb cc故 aa bb ccC O1練習(xí)AB ABC 中 , 若 AD 平分 A, 則 AB ACB、C、D、E 共圓, 得 BAC CAD DAE.） M,使 BMAC.求 AMC 的度數(shù) .1（提示：以 BC為邊在 ABC 外作