初一奧數(shù)專題講義完全平方公式與平方差公式

1、完 全 平 方 公 式 與 平 方 差公式一.知識(shí)要點(diǎn)1 .乘法公式就是把一些特殊的多項(xiàng)式相乘的結(jié)果加以總結(jié)，直接應(yīng)用。公式中的每一個(gè)字母，一般可以表示數(shù)字、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式，有的還可以推廣到分式、根式。公式的應(yīng)用不僅可從左到右的順用（乘法展開(kāi)），還可以由右到左逆用（因式分解），還要記住一些重要的變形及其逆運(yùn)算一一除法等。2 .基本公式完全平方公式：（a ± b） 2=a2 ± 2ab+b2平方差公式：（a+b） （a b）=a2 b2立方和（差）公式：（a ± b）（a 2Nab+b2）=a 3± b33 .公式的推廣（1）多項(xiàng)式平方公式：（a+b+c）

2、 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc即：多項(xiàng)式平方等于各項(xiàng)平方和加上每?jī)身?xiàng)積的2倍。（2）二項(xiàng)式定理：（a ± b） 3=a3 ± 3a2b+3ab2 ± b3（a ± b） 4=a4 ± 4a3b+6a2b2 ± 4ab3+b4（a± b）5=a5± 5a4b+10a3b2 ± 10a2b3+ 5ab4± b5注意觀察右邊展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號(hào)的規(guī)律4 .公式的變形及其逆運(yùn)算由（a+b） 2=a2+2ab+b2得 a 2+b2=（a+b）2 2ab由(a+b) 3=a3+3a

3、2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得 a 3+b3=(a+b) 3 3ab(a+b)5 .由平方差、立方和(差)公式引伸的公式(a+b) (a 3 a2b+ab2 b3)=a4 b4(a+b)(a 4 a3b+a2b2 ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a 5 a4b+a3b2 a2b3+ab4 b5)=a6 b6注意觀察左邊第二個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號(hào)的規(guī)律在正整數(shù)指數(shù)的條件下，可歸納如下：設(shè) n為正整數(shù)(a+b)(a 2n 1 a2n 2b+a2n 3b2 十 ab2n 2-b2n 1)=a2n-b2n(a+b)(a 2n a2n 1b+a2n 2b2 ab2n

4、1+b2n)=a2n+1+b2n+1類似地：(a b) (an 1+an 2b+an 3b2+ abn 2+bn 1)=an bn由公式的推廣可知：當(dāng) n為正整數(shù)時(shí)an- bn能被a b整除，a 2n+1+b2n+1 能被 a+b 整除,a2n- b2n能被a+b及a b整除。二.例題精選例1.已知x、y滿足x2+y2+- =2x+y,求代數(shù)式xy-的值。 4x y例2.整數(shù)x,y滿足不等式x2+y2+1< 2x+2y,求x+y的值。例3.同一價(jià)格的一種商品在三個(gè)商場(chǎng)都進(jìn)行了兩次價(jià)格調(diào)整甲商場(chǎng)：？第一次提價(jià)的百分率為 a,第二次提價(jià)的百分率為b;乙商場(chǎng)：兩次提價(jià)的百分率都是ab (a&g

5、t;0,?b>0);丙商場(chǎng)：第一次提價(jià)的百分率為 b,第二次提價(jià)的百分率為a,?則哪個(gè)商場(chǎng)提價(jià)最多？說(shuō)明理由.例4 .計(jì)算：(1)6(7+1)(7 2+1)(7 4+1)(7 8+1)+1 ;2 2) XX 例 5.已知 a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,則 多項(xiàng)式 a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值為().1 C例6.已知P =1m _1,Q =m2 一Cm(m為任意實(shí)數(shù))，則P、Q的大小關(guān)系為()1515A. P >Q B. P=Q C. P <Q D.不能確定例7 .若x2-13x+1=0,則x4+4的個(gè)位數(shù)字是() x

6、.3 C例8.有10位乒乓球選手進(jìn)行單循環(huán)賽（每?jī)扇碎g均賽一場(chǎng)）,用xi,yi?順次表示 第一號(hào)選手勝與負(fù)的場(chǎng)數(shù)；用x2,y 2順次表示第二號(hào)選手勝與負(fù)的場(chǎng)數(shù) ，；用x10,y10?順次表示十號(hào)選手勝與負(fù)的場(chǎng)數(shù).求證:x i2+X22+Xio2=y；+y22+十，。2。三.同步練習(xí)1111乘機(jī)(1-22)(1- 32)(1-礪)(1-菽)等于()D 20014000則x、y的大小關(guān)系是（）A 1999 B2001C 1999.2000.2000.40002.已知 a、b 滿足等式 x=a2+b2+20,y=4(2b-a),< y >y <y >y3 .已知a-b=1,則

7、a2b22b的值為()A. 4B . 3 C . 1D. 04 .已知 x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0 ,貝U x+y+z=5 .計(jì)算：(1)+ X =；2(2)+ +19992=04246 .已知 a+l=5,則=?一|一1=。 aa7 .已知兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差為？2000,?則這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)可以是8 .已知 a2+b2+4a-2b+5=0，貝|邙=. a - b9 .若代數(shù)式x26x+b可化為(x-a)2 -1,則b-a的值是.10 .已知a、b、c均為正整數(shù)，且滿足a2+b2=c2,又a為質(zhì)數(shù).證明：(1)b與c兩數(shù)必為一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方數(shù).參考答

8、案：一.例題精選例1.提示：由已知得(x-1) 2+(y- 1)2=0,得x=1,y= 1,原式=1例2.原不等式可化為(x-1) 2+(y-1) 201,且x、y為整數(shù)，(x-1) 20,(y-1) 2 0,?x -1 = 0x-1 = 1x-1 = 0所以可能有的結(jié)果是? 1 0或廣1 一1或，1 0 ,y-1=0y -1-0y-1 = _11x=11x=21x=11x=1解得，或x 2或x 1或、1 ,x+y=1或2或3y = 1 y = 1 y = 2 y = 0例3.甲、乙、丙三個(gè)商場(chǎng)兩次提價(jià)后，價(jià)格分別為(1+a)(1+b)=1+a+b+ab;i a ba ba b、2(1+?1+

9、 丁尸1+(a+b)+(-);(1+b)(1+a)=1+a+b+ab;因(貸)2-ab>0，所以(嚶2>ab,故乙商場(chǎng)兩次提價(jià)后，價(jià)格最高.例 4.原式=(7-1)(7+1)(7 2+1)(7 4+1)(7 8+1)+1=716(2)設(shè)=x,則原式=x(x-1) 2x-x 3-x(x-1) 2=-x=例5.例6.【分析】可用特殊值法或差值法.特殊值法：取m=15,分別代入得P=6,2 一Q=217,故 Pv Q 差值法：P-Q= ' m -1 l1-1 m2 - m l'=-m2 +m-1 =m- I - <15,15240,故Pv Q【答案】C例7.例 8.

10、提示：由題意知：x i+yi=9(i=1,2,，10)且 x+x2+x10=y+y2+y1。因(x i2+X22+x102)-(y 12+y22 - +y102)=(x ；-y 12)+(x 22-y 22)+ +(x 102-y 102)=(x1+y1)(x 1-y i)+(x 2+y2)(x 2-y 2)+ +(x 1。+丫1。)優(yōu) 10-y 10)=9(x1+X2+X10)-(y 1+y+y10)=0二.同步練習(xí)9 . (x-a)2-1=x2-2ax+a2-1,這個(gè)代數(shù)式于x2-6x + b相等，因此對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等，即一2a= - 6,解得 a=3, a2-1=b,將 a=3 代入得 b= 8,因止匕 b a = 5.10 .解:(1)因(c+