實(shí)變函數(shù)中反例

1、 實(shí)變函數(shù)中反例的總結(jié)與構(gòu)造技巧1 集與點(diǎn)集1.1 設(shè)不相交且都為閉集，且至少有一個(gè)有界，則其中。 若A,B都是無界集，結(jié)論就不成立。例如;直線,軸都是閉集，且都無界，它們之間距離不能表示成兩點(diǎn)的距離，它們的距離為0，而兩點(diǎn)間的距離為。1.2 對(duì)等的概念 設(shè) 為兩個(gè)集，如果有一一映射的存在，使 ,則稱 與 成一一對(duì)應(yīng)或相互對(duì)等，記成. 在這個(gè)概念中，必須明確“一一映射”，即抓住“單射”和“滿射”，這兩點(diǎn)缺一不可。例： ，：, 這個(gè)例子中只是：“單射”而不是“滿射”，對(duì) 因?yàn)?是 上的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，故 : 是“單射”，又因?yàn)?，即是 的真子集，故 不是滿射。1.3 開集性質(zhì) (1)任意個(gè)開集的

2、并是開集；（2）有限個(gè)開集的交是開集。若將“有限”變?yōu)椤盁o限”性質(zhì)（2）就不成立，即為無限個(gè)開集的交不一定是開集，例如：令 ,則 ，不是開集。1.4 開集與閉集 開集概念中要注意兩點(diǎn)：（1）開集是點(diǎn)集；（2）點(diǎn)集的每一個(gè)點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)。例如：開區(qū)間 ,圓盤 = 等，而閉區(qū)間 ，半閉區(qū)間 ,還有孤立點(diǎn)的點(diǎn)集 為非開集。 閉集概念中要注意兩點(diǎn)：（1）閉集是點(diǎn)集；（2）點(diǎn)集的每一個(gè)聚點(diǎn)都屬于該點(diǎn)集。 例如：閉區(qū)間 ,圓盤 = ，以及有限集合 等，而開區(qū)間 , 半開區(qū)間 為非閉集。1.5 實(shí)數(shù)空間是完備的，而有理數(shù)空間是不完備的。例如：,即有理數(shù)列的極限是無理數(shù)。2 勒貝格測度2.1 定理3.6 (1)

3、設(shè) 是基本集中的 漸張可測集，即,則 是可測的，且 (2) 設(shè) 是 基本集 中的 減縮可測集列，即 則 是可測的，且 但是對(duì)于無限集情形，（2）不一定成立。例如，取 ,則關(guān)系式 成為 ，顯然不成立。2.2 外測度定義：設(shè) 為有界集， 的外測度定義為一切包含 的開集的側(cè)度的下確界，并記成 . 如果把外測度定義改為“有界集 的外測度是包含 的閉集的測度的下確界”，這是不合理的。例如設(shè) 中有理點(diǎn)集為，無理點(diǎn)集為 ，則 ，顯然，任何包含 的閉集 ，必有 ，因此如果采用上述方法定義外測度，就有 ，但 ，這就使 成不可測集。即使采用其他定義外測度，使 與均可測，那將出現(xiàn),而，測度的有限可加性就不成立了。2

4、.3 開集的單調(diào)性 設(shè) 是兩個(gè)有界開集，且 ，則 . 若將“有界”刪去，變?yōu)?， 是開集，且 是 的真子集，則不一定有 。例如： ， ，雖然 是 的真子集，但是 . 3 可測函數(shù)3.1 設(shè) 是定義在可測集 上的實(shí)函數(shù)， 如果對(duì)于任何有限實(shí)數(shù) , 都是可測集, 則 稱 為定義在 上的可測函數(shù)。連續(xù)函數(shù)必為可測函數(shù), 但反之不一定成立. 例如 , 對(duì) 令 是可測函數(shù), 但它不是連續(xù)函數(shù). 由于對(duì)任意 , 集 總是下述三個(gè)集合之一 : (當(dāng) ) , 中有理點(diǎn)集 ，當(dāng) ( ），, （）, 它們都是可測集,故 是 上的可測函數(shù), 但它在 是點(diǎn)點(diǎn)不連續(xù)函數(shù)。3.2 若可測，則也可測，但其逆定理不成立。例如

5、：設(shè)E為0，1上的不可測集， 則 在0，1上連續(xù)，所以它在0，1可測；但 在0，1不可測，這是因?yàn)椋?E，則不可測，若 ，則 不可測，所以 在0，1上不可測。3.3 一致收斂 幾乎處處收斂; 反之不成立。函數(shù)列在開區(qū)間0,1上幾乎處處收斂 實(shí)際上是處處收斂 , 但并不一致收斂. Rie sz定理 :設(shè)在 上 依測度收斂于 , 則存在子列 在 上 收斂于 . 由 依測度收斂于,對(duì)0，,從而對(duì)每一自然 , 存在 自然數(shù),使,=1,2,3,.,并且并且可以假定,令 , ，則 ,因此 ,但在 上 有 處處收斂于。其實(shí)， ,表示存在某個(gè)，使,故時(shí)， 即當(dāng) 時(shí)， ，因而在 上，收斂于。 3.3 葉果洛夫

6、定理中條件 是不可少的，例如考慮R上的函數(shù)列 ,每個(gè) 是 上的可測函數(shù)，且 處處收斂于零.但是對(duì)=1/2，有,因此定理中所述的對(duì)于=1不存在。3.4 可列集的測度必為 0 , 但反過來就不成立了. 即如果 ,不一定有 E 為可列集的結(jié)論. 如對(duì)于 Cantor 三分集, 雖然有 , 但 Cantor 三分集卻具有連續(xù)統(tǒng)勢. Cantor 三分集的由來是把閉區(qū)間 0 , 1 三等分, 并把中間的 1/ 3 去掉, 然后把剩余的區(qū)間依次劃分成三等分, 又把每一個(gè)中間的 1/ 3 去掉, 無限重復(fù)這個(gè)過程, 那些留下的點(diǎn)構(gòu)成的集合就是 Cantor 三分集. 在第一步里, 長度為 1/ 3 的一個(gè)區(qū)

7、間去掉了; 在第二步里, 長度為 1/ 3 的兩個(gè)區(qū)間去掉了; 一般地, 在第 n 步后, 長度為 1/ 3n 的2n- 1 個(gè)區(qū)間去掉了, 因此可得 Cantor 三分集的測度為 . 引進(jìn) 中小數(shù)的三進(jìn)表示. 設(shè)區(qū)間 中每個(gè)點(diǎn) 可表示為 其中 , 其中 是 0 , 1 , 2 中任一數(shù)字. 該區(qū)間的端點(diǎn)均有兩種表示, 規(guī)定采用（ 不出現(xiàn)數(shù)字 1 ） : , . 區(qū)間 或區(qū)間中的點(diǎn)可分別表示為 = 或 = , 其中 , 是 0 , 1 , 2 中任一數(shù)字. 而區(qū)間端點(diǎn)則表示為 (不出現(xiàn)數(shù)字 1) : =,= , = ,= 如此等等. 據(jù)歸納法可知, 依上述規(guī)定, , ,中的點(diǎn)的三進(jìn)表示中必有一

8、位數(shù)字為 1 , 且只有這樣的點(diǎn)才屬于, 因而與集合一一對(duì)應(yīng). 而 A 0 , 1 , 故 A 的勢為 Z , 從而 C 的勢為 Z. 3.4.1 有界集的L ebe sgue 測度必是零. 但是反之不成立, 無界集的L ebe sgue 測度甚至可以0. 如直線上的有理數(shù)集是無界的, 但其 L ebe sgue 測度為 0. 4 勒貝格積分 4.1 Riemann 可積與 L ebe sgue 可積的關(guān)系 如果有界函數(shù) 在閉區(qū)間 上 Riemann 可積, 則 在 上L ebe sgue 可積, 但其逆定理不成立. 設(shè) 是定義在閉區(qū)間 上的Dirichlet 函數(shù), 即 則 Riemann

9、不可積, 但 L ebe sgue 可積, 且 這說明了L ebe sgue 積分是比 Riemann 積分范圍更廣的一種積分.4.2 勒維定理中去掉函數(shù)列的非負(fù)性假定，結(jié)論不成立。 例如在 上對(duì)于n=1,2.,定義 則有 但 顯然結(jié)論不成立。4.3 定義在有限區(qū)間上的函數(shù)若為 可積，則必 可積，且積分值相等。 若對(duì)無界集的 積分，這個(gè)定理不成立。例如在 上定義的函數(shù)是依廣義積分意義R可積的，但不是L可積的，這是因?yàn)榉墙^對(duì)可積。 4.4 定理 設(shè),序列測度收斂于,并設(shè)每個(gè)可積，那么，關(guān)系式 成立的充要條件是序列 在 上有等度的連續(xù)積分。 若 時(shí)則定理不成立。例如，考察序列 .4.5 勒貝格控制收斂定理設(shè)可測集上的可測函數(shù)列滿足下述條件：的極限不存在，且有可積函數(shù)使,那么， 可積且有.定理中序列受可積函數(shù)控制這一條件不可少，