高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.2.1兩角差的余弦函數(shù)3.2.2兩角和與差的正弦余弦函數(shù)課件2北師大版必修

1、3.23.2兩角和與差的三角函數(shù)兩角和與差的三角函數(shù)3.2.13.2.1兩角差的余弦函數(shù)兩角差的余弦函數(shù)3.2.23.2.2兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)【知識(shí)提煉知識(shí)提煉】兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)名稱名稱 公式公式 簡(jiǎn)記簡(jiǎn)記 差的正弦差的正弦 sin(sin(- -)=)=_s s- - 差的余弦差的余弦 cos(cos(- -)=)=_c c- - sin sin coscos -cos-cos sinsin coscos coscos +sin+sin sinsin 名稱名稱 公式公式 簡(jiǎn)記簡(jiǎn)記 和的正弦和的正弦 sin(sin(+ +)

2、=)=_s s+ + 和的余弦和的余弦 cos(cos(+ +)=)=_c c+sin sin coscos +cos+cos sinsin coscos coscos -sin -sin sinsin 【即時(shí)小測(cè)即時(shí)小測(cè)】1.1.思考下列問題思考下列問題: :(1)cos 60(1)cos 60-cos 30-cos 30=cos(60=cos(60-30-30) )成立嗎成立嗎? ?提示提示: :不成立不成立. .(2)cos-cos=(2)cos-cos=cos(-cos(-) )成立嗎成立嗎? ?提示提示: :不一定不一定. .(3)(3)兩角和與差的正弦、余弦公式與誘導(dǎo)公式有什么關(guān)系

3、兩角和與差的正弦、余弦公式與誘導(dǎo)公式有什么關(guān)系? ?提示提示: :和差角公式是誘導(dǎo)公式的推廣和差角公式是誘導(dǎo)公式的推廣, ,誘導(dǎo)公式是和差角公式的特例誘導(dǎo)公式是和差角公式的特例. .如如sin(2sin(2- -)=sin2)=sin2coscos-cos2-cos2sinsin=0=0coscos-1-1sinsin= =- -sinsin. .當(dāng)當(dāng)或或中有一個(gè)角是中有一個(gè)角是 的整數(shù)倍時(shí)的整數(shù)倍時(shí), ,通常使用誘導(dǎo)公式較通常使用誘導(dǎo)公式較為方便為方便. .22.cos(-152.cos(-15) )的值是的值是( () ) 【解析解析】選選c.cos(-15c.cos(-15)=cos(3

4、0)=cos(30-45-45)=)=coscos 30 30cos 45cos 45+ +sin 30sin 30sin 45sin 45= = 62262623a. b. c. d.4444321262.222243.3.化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)cos(45cos(45-)cos(+15-)cos(+15)-sin(45)-sin(45-)sin(+15-)sin(+15) )的結(jié)的結(jié)果為果為( () ) 【解析解析】選選a.a.原式原式= =coscos （4545-）+ +（+15+15） =cos 60=cos 60= .= .1133a. b. c. d.2222124.sin 144.sin 1

5、4cos 16cos 16+sin 76+sin 76cos 74cos 74=_.=_.【解析解析】原式原式=sin 14=sin 14cos 16cos 16+cos 14+cos 14sin 16sin 16 =sin(14=sin(14+16+16)=sin 30)=sin 30= .= .答案答案: :12125.cos 1655.cos 165=_.=_.【解析解析】cos 165cos 165=cos(45=cos(45+120+120)=cos 45)=cos 45cos 120cos 120- -sin 45sin 45sin 120sin 120= = 答案答案: :- -

6、212362.22224 ()624【知識(shí)探究知識(shí)探究】知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn) 兩角和與差的正弦、余弦公式兩角和與差的正弦、余弦公式觀察如圖所示內(nèi)容觀察如圖所示內(nèi)容, ,回答下列問題回答下列問題: :問題問題1:1:兩角和與差的正弦、余弦公式各有什么特點(diǎn)兩角和與差的正弦、余弦公式各有什么特點(diǎn)? ?問題問題2:2:根據(jù)公式根據(jù)公式c c的識(shí)記規(guī)律的識(shí)記規(guī)律, ,你能總結(jié)出公式你能總結(jié)出公式s s的記憶規(guī)律的記憶規(guī)律嗎嗎? ?【總結(jié)提升總結(jié)提升】1.1.公式的記憶公式的記憶(1)(1)對(duì)于兩角和與差的余弦公式對(duì)于兩角和與差的余弦公式c c可以簡(jiǎn)記為可以簡(jiǎn)記為:“:“余余正正余余正正, ,和差相和差相反反”.

7、 .(2)(2)對(duì)于兩角和與差的正弦公式對(duì)于兩角和與差的正弦公式s s可以簡(jiǎn)記為可以簡(jiǎn)記為:“:“正余余正正余余正, ,和差相和差相同同”. .2.2.公式的適用條件公式的適用條件公式中的公式中的,不僅可以是任意具體的角不僅可以是任意具體的角, ,也可以是一個(gè)也可以是一個(gè)“團(tuán)體團(tuán)體”, ,如如coscos 中的中的“ ”“ ”相當(dāng)于公式中的角相當(dāng)于公式中的角“”,“ ”,“ ”相當(dāng)于公式中的角相當(dāng)于公式中的角“”.”.因此對(duì)公式的理解要注意結(jié)構(gòu)形式因此對(duì)公式的理解要注意結(jié)構(gòu)形式, ,而不要而不要局限于具體的角局限于具體的角. .22()223.3.公式的作用公式的作用(1)(1)正用正用: :

8、把把sin(sin(),cos(),cos() )從左向右展開從左向右展開. .(2)(2)逆用逆用: :公式的右邊化簡(jiǎn)成左邊的形式公式的右邊化簡(jiǎn)成左邊的形式. .當(dāng)結(jié)構(gòu)不具備條件時(shí)當(dāng)結(jié)構(gòu)不具備條件時(shí), ,要用相要用相關(guān)公式調(diào)節(jié)后再逆用關(guān)公式調(diào)節(jié)后再逆用. .(3)(3)變形應(yīng)用變形應(yīng)用: :它涉及兩個(gè)方面它涉及兩個(gè)方面, ,一是公式本身的變用一是公式本身的變用; ;二是角的變用二是角的變用, ,也稱為角的拆分變換也稱為角的拆分變換, ,如如=(+)-,2=(=(+)-,2=(+)+(-+)+(-).).【題型探究題型探究】類型一類型一 給角求值問題給角求值問題【典例典例】1.cos 1051

9、.cos 105+sin 195+sin 195的值為的值為_._.2. 2. 的值為的值為_._.2cos 20sin 10cos 10【解題探究解題探究】1.1.典例典例1 1中中105105與與195195的關(guān)系是什么的關(guān)系是什么? ?提示提示: :195195=105=105+90+90. .2.2.典例典例2 2中如何處理中如何處理2020? ?提示提示: :2020=30=30-10-10. .【解析解析】1.cos 1051.cos 105+sin 195+sin 195=cos 105=cos 105+sin(90+sin(90+105+105) )=cos 105=cos 1

10、05+cos 105+cos 105=2cos 105=2cos 105=2cos(135=2cos(135-30-30) )=2(cos 135=2(cos 135cos 30cos 30+sin 135+sin 135sin 30sin 30) ) 答案答案: :2321262.22222()2622.2.原式原式= = 答案答案: :2cos(3010 )sin 10cos 10 2cos 30 cos 102sin 30 sin 10sin 10cos 103cos 10sin 10sin 10cos 103.3【方法技巧方法技巧】解決給角求值問題的策略解決給角求值問題的策略解這類題目

11、的關(guān)鍵是將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角解這類題目的關(guān)鍵是將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角, ,充分地拆角、湊角轉(zhuǎn)充分地拆角、湊角轉(zhuǎn)化為角的正弦、余弦、正切公式化為角的正弦、余弦、正切公式, ,同時(shí)靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦、同時(shí)靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦及正切公式余弦及正切公式. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】(2015(2015全國卷全國卷)sin20)sin20cos10cos10-cos160-cos160sin10sin10=(=() )3311a. b. c. d.2222【解題指南解題指南】由由cos160cos160=-cos20=-cos20, ,利用兩角和的正弦公式求解利用兩角和的正弦公式求解. .

12、【解析解析】選選d.d.原式原式=sin20=sin20cos10cos10+cos20+cos20sin10sin10=sin30=sin30= .= .12【補(bǔ)償訓(xùn)練補(bǔ)償訓(xùn)練】sin 347sin 347cos 148cos 148+sin 77+sin 77cos 58cos 58的值為的值為_._.【解析解析】原式原式=sin(-13=sin(-13+360+360) )cos(180cos(180-32-32)+)+sin 77sin 77cos 58cos 58=sin(-13=sin(-13)(-cos 32)(-cos 32)+sin 77)+sin 77cos 58cos 5

13、8=-sin 13=-sin 13(-cos 32(-cos 32)+sin 77)+sin 77cos(90cos(90-32-32) )=cos 77=cos 77cos 32cos 32+sin 77+sin 77sin 32sin 32=cos(77=cos(77-32-32) )=cos 45=cos 45= .= .答案答案: :2222類型二類型二 給值給值( (式式) )求值求值【典例典例】1.1.已知已知 則則coscos =_. =_.2.2.已知已知 求求sinsin的值的值. .33cos,2 ,52 ()3()3312,sin(),sin,45413 ，()()4()

14、【解題探究解題探究】1.1.典例典例1 1中中sinsin的值是什么的值是什么? ?提示提示: :由由 2.2.典例典例2 2中中+ + 與已知與已知+,+,- - 的關(guān)系是什么的關(guān)系是什么? ?提示提示: :觀察發(fā)現(xiàn)觀察發(fā)現(xiàn) 334cos,2 ,sin.525 () 所以44().44 ()【解析解析】1.1.因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以 答案答案: :334cos,2 ,sin.525 () 所以coscos cossin sin333()314334 3.525210 ()34 3102.2.因?yàn)橐驗(yàn)?故故 所以所以 333,2 ,.42244 () 所以45cos(),cos.5413 ()si

15、nsin44 ()() ()sin() coscos() sin4435412513513154833.656565 ()()() ()【延伸探究延伸探究】1.(1.(改變問法改變問法) )典例典例2 2中條件不變?nèi)绾吻笾袟l件不變?nèi)绾吻?的值的值? ?【解析解析】由典例由典例2 2解析知解析知 又又 cos4()33sin465 ()coscoscossin442244 ()()()()，33cos.465 故()2.(2.(改變問法改變問法) )典例典例2 2中條件不變?nèi)绾吻笾袟l件不變?nèi)绾吻骳os2cos2的值的值? ?【解析解析】由典例解析知由典例解析知 又又 所以所以 由由【延伸探究延伸

16、探究】1 1知知, , 33sin465 ()，35,444 ()所以()，256cos1 sin4465 ()()，33cos465 ()23,42 456sin1 cos4465cos 2cos44coscossinsin4444563333563 696.656565654 225 且()，所以()()故() ()()()()()() () ()【方法技巧方法技巧】給值給值( (式式) )求值的策略求值的策略解決這類問題的關(guān)鍵在于從整體上把握所求的角與已知條件中角的運(yùn)解決這類問題的關(guān)鍵在于從整體上把握所求的角與已知條件中角的運(yùn)算關(guān)系算關(guān)系, ,具體有以下幾種情況具體有以下幾種情況: :(

17、1)(1)當(dāng)當(dāng)“已知角已知角”有兩個(gè)時(shí)有兩個(gè)時(shí),“,“所求角所求角”一般表示為兩個(gè)一般表示為兩個(gè)“已知角已知角”的的和或差的形式和或差的形式. .(2)(2)當(dāng)當(dāng)“已知角已知角”有一個(gè)時(shí)有一個(gè)時(shí), ,此時(shí)應(yīng)著眼于此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角所求角”與與“已知角已知角”的的和或差的關(guān)系和或差的關(guān)系, ,然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角所求角”變成變成“已知角已知角”. .【補(bǔ)償訓(xùn)練補(bǔ)償訓(xùn)練】已知向量已知向量a=(=(cos,sin),cos,sin),b=(=(cos,sin),|cos,sin),|a- -b|=|= , ,求求cos(-cos(-).).【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)閍=(=(co

18、scos,sin,sin),),b=(=(coscos,sin,sin),),所以所以a- -b=(=(cos-cos,sin-sincos-cos,sin-sin).).因?yàn)橐驗(yàn)閨 |a- -b|= ,|= ,所以所以 所以所以2-2cos(-)= .2-2cos(-)= .所以所以cos(-cos(-)=)= . .255255222(coscos )(sinsin )5.54535類型三類型三 輔助角公式的應(yīng)用輔助角公式的應(yīng)用【典例典例】1.1.函數(shù)函數(shù)f(xf(x)=(1+ )=(1+ tanx)tanx)cosxcosx的最小正周期為的最小正周期為( () )a.2 b. c. d.

19、a.2 b. c. d.2. 2. 的值是的值是_._.332213cos 15sin 1522【解題探究解題探究】1.1.典例典例1 1中求中求f(xf(x) )的最小正周期的關(guān)鍵是什么的最小正周期的關(guān)鍵是什么? ?提示提示: :關(guān)鍵是利用三角變換公式將關(guān)鍵是利用三角變換公式將f(xf(x) )化成化成asin(asin(x+x+) )的形式的形式. .2.2.典例典例2 2中哪一個(gè)角中哪一個(gè)角的的 提示提示: :=60=60. .13cossin22 且？【解析解析】1.1.選選a.f(xa.f(x)= )= 所以最小正周期所以最小正周期t= =2.t= =2.2.2.原式原式=cos 6

20、0=cos 60cos 15cos 15+sin 60+sin 60sin 15sin 15=cos(60=cos(60-15-15)=cos 45)=cos 45= .= .答案答案: :sin x13tan x cos x13cos xcos x()313sin xcos x2sin xcos x22()2 cossin xsincos x2sin x666()()，212222【延伸探究延伸探究】若典例若典例1 1中函數(shù)中函數(shù)f(x)f(x)變?yōu)樽優(yōu)椤癴(x)= ”,f(x)= ”,則最小正周期如何則最小正周期如何? ?【解析解析】f(x)=f(x)= 所以最小正周期所以最小正周期t=

21、=.t= =.sin 2xcos 2x66()()222sin 2xcos 2x2626()()2cossin 2xsincos 2x4646()()2sin 2x2sin 2x,6412()()22【方法技巧方法技巧】asinx+bcosxasinx+bcosx的化簡(jiǎn)步驟的化簡(jiǎn)步驟(1)(1)提常數(shù)提常數(shù), ,即把即把a(bǔ)sinx+bcosxasinx+bcosx提出提出 得到得到 (2)(2)定角度定角度, ,由由 我們不妨設(shè)我們不妨設(shè) sinsin= ,= ,則得到則得到 ( (cossinx+sincosxcossinx+sincosx).).(3)(3)化簡(jiǎn)化簡(jiǎn), ,逆用兩角和的正弦公

22、式可得逆用兩角和的正弦公式可得asinx+bcosxasinx+bcosx= = sin(x+sin(x+).).22ab222222ababsin xcos x .abab()222222ab1abab()()，22acosab ，22bab22ab22ab【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】(2015(2015四川高考四川高考)sin15)sin15+sin75+sin75的值是的值是_._.【解析解析】sin15sin15+sin75+sin75=sin15=sin15+cos15+cos15= sin(15= sin(15+45+45)= )= 答案答案: :2362.2262【補(bǔ)償訓(xùn)練補(bǔ)償訓(xùn)練】1.

23、1.求求y= y= 的最大值和周期的最大值和周期. .【解題指南解題指南】把函數(shù)的解析式化為把函數(shù)的解析式化為y=asin(y=asin(+ +) )的形式的形式, ,然后求其然后求其最大值和周期最大值和周期. .sin2cos233 ()()【解析解析】y= y= 當(dāng)當(dāng) ( (kzkz) )時(shí)時(shí), , 所以函數(shù)的最大值是所以函數(shù)的最大值是 , ,周期為周期為.sin2cos233 ()()sincos 2cossin 2coscossinsin 233331326(cos 2sin 2 )sin 2,224 ()22k,k428 即max262y,t,22 2622.2.函數(shù)函數(shù)f(xf(x)=)=sinx+cosxsinx+cosx的最小正周期是的最小正周期是_._.【解析解析】f(xf(x)= )= 最小正周期是最小正周期是2 2. .答案答案: :2 22sin x,4()3.3.函數(shù)函數(shù)y=2sinx-cosxy=2sinx-cosx的最大值為的最大值為_._.【解析解析】y=2sinx-cosx= y=2sinx-cosx= = = sin(x-sin(x-)()(其中其中 ). ).當(dāng)當(dāng)sin(x-sin(x-)=1)=1時(shí)時(shí), ,y ymaxmax= .= .答案答案: :215s