走進數(shù)學建模世界

1、走進數(shù)學建模世界華南師范大學數(shù)學科學學院06級本科生 (510631) 黃澤君編者按：由中國教育部國際交流司與師范司，以及東芝公司共同舉辦的第二屆“東芝杯·中國師范大學師范專業(yè)理科大學生教學技能創(chuàng)新實踐大賽”2009年11月15日在上海落下帷幕。經過緊張的數(shù)學模擬授課、教案評比、即席演講三項總決賽，最終華南師范大學的黃澤君奪得冠軍，南京師范大學的向坤獲亞軍，陜西師范大學的金濤獲季軍。三名獲獎選手每人除了獲獎勵高級筆記本電腦一臺之外，并獲得免費赴日進行短期訪學。本刊刊登獲得第一名的教案,以饗讀者?！窘滩摹咳私贪鏀?shù)學必修 3.2函數(shù)模型及其應用【課時安排】第4課時【教學對象】高一學生 【

2、授課教師】華南師范大學數(shù)學科學學院 黃澤君【教材分析】數(shù)學建模是高中數(shù)學新課程的新增內容，但標準中沒有對數(shù)學建模的課時和內容作具體安排，只是建議將數(shù)學建模穿插在相關模塊的教學中。而“3.2函數(shù)模型及其應用”一節(jié)只是通過六個例子介紹一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)在解決實際問題中的作用，為以后的數(shù)學建摸實踐打基礎，還未能使學生真正理解數(shù)學建模的真實全過程。本節(jié)課通過一個較為真實的數(shù)學建模案例，以彌補教材的這一不足?！緦W情分析】高一學生在進入本節(jié)課的學習之前，需要熟悉前面已學過的二次函數(shù)與三角函數(shù)的相關性質。【教學目標】² 知識與技能（1）初步理解數(shù)學模型、數(shù)學建模兩個概念

3、；（2）掌握框圖2數(shù)學建模的過程。² 過程與方法（1）經歷解決實際問題的全過程，初步掌握函數(shù)模型的思想與方法；（2）提高學生通過建立函數(shù)模型解決實際問題的能力。² 情感態(tài)度價值觀（1）體驗將實際問題轉化為數(shù)學問題的數(shù)學化過程；（2）感受數(shù)學的實用價值，增強應用意識；（3）體會數(shù)學以不變應萬變的魅力?！窘虒W重點】框圖2數(shù)學建模的過程?！窘虒W難點、關鍵】 方案二中答案的探究；關鍵是運用合情推理。【教學方法】引導探究、討論交流?！窘虒W手段】計算機、PPT、幾何畫板?！窘虒W過程設計】一、教學流程設計設計意圖：與大學數(shù)學建模相比，過去的中學數(shù)學建模缺少理想化（模型假設）這一重要的環(huán)節(jié)

4、。本環(huán)節(jié)意在恢復數(shù)學建模的真實面目。實際問題化為理想化問題設計意圖：展示將理想化問題轉化為數(shù)學問題的數(shù)學化過程。理想化問題化為數(shù)學問題設計意圖：展示“解模”過程。求解數(shù)學模型解釋數(shù)學結果數(shù)學建模過程的概括設計意圖：結合這一實際問題的解決過程，概括出數(shù)學建模的基本過程，以實現(xiàn)由具體到抽象的升華。牛刀小試畫龍點睛設計意圖：1.讓學生經歷數(shù)學建模中的優(yōu)化過程；2.培養(yǎng)學生的探究意識。最優(yōu)解的探究設計意圖：1.使學生獲得科學的數(shù)學建模理論：數(shù)學建模與數(shù)學模型的概念、數(shù)學建模的具體過程；2.體會數(shù)學以不變應萬變的魅力。什么是數(shù)學建模設計意圖：1.根據(jù)桑代克的練習律與斯金納的強化原理設計該練習，以強化剛剛

5、獲得的數(shù)學建模理論；2.培養(yǎng)學生的問題解決能力。牛刀小試設計意圖:1.小結意在強化數(shù)學建模理論，形成知識組塊；2.設計四個問題，目的是培養(yǎng)學生的數(shù)學探究能力、動手實踐能力和數(shù)學創(chuàng)新意識。小結與思考二、教學過程設計教學環(huán)節(jié)教 學 內 容教師活動學生活動設 計 意 圖（一）實際問題化為理想化問題預計 時間2分鐘現(xiàn)有寬為的長方形板材，請將它設計制成一直的開口的長條形水槽，使水槽能通過的流水量最大。 1. 初步理想化在單位時間內，該水槽能通過的流水量取決于水流速度和它的橫截面積。我們將問題理想化，假定水流速度是一定的。那么，要在單位時間內獲得最大的流水量，就應該將水槽設計成橫截面積最大。于是，問題化歸

6、為：現(xiàn)有寬為的長方形板材，請將它設計制成一開口的長條形水槽，使水槽的橫截面積最大。”2.進一步理想化如果將水槽的橫截面設計成矩形，那么這一實際問題可以轉化為理想化問題：如下圖所示，要建造一個橫截面為矩形ABCD 的水槽,并且AB ,BC ,CD 的長度之和等于.問應當怎樣設計水槽的深度和寬度,使水槽的橫截面積最大? 教師引導學生閱讀理解問題，并將其理想化學生聽講思考與大學數(shù)學建模相比，過去的中學數(shù)學建模缺少理想化這一重要的環(huán)節(jié)。本環(huán)節(jié)意在恢復數(shù)學建模的真實面目。（二）將理想化問題轉化為數(shù)學問題預計時間3分鐘.1.尋找變量以及變量之間的關系在此問題中，水槽的深度是一個變量，寬度是另一個變量，橫截

7、面積也是一個變量。設，.矩形的面積為.那么，這三個變量之間的關系是. 變量由兩個變量和確定.如果我們能使面積表達式只由一個變量確定，那么我們研究的問題就可以簡化，這就需要尋找兩個變量和之間的關系。顯然,.2.建立數(shù)學模型將實際問題轉化為一個純數(shù)學問題：當取何值時，函數(shù)（）有最大值？教師引導講解學生聽講思考展示將理想化問題轉化為數(shù)學問題的數(shù)學化過程。（三）求解數(shù)學模型解釋數(shù)學結果預計時間2分鐘（四）數(shù)學建模過程預計時間2分鐘.因為，所以，當時，有最大值.此時，. 當水槽的橫截面設計成矩形時，只要將深度、寬度分別設計為和時，可得到最大的橫截面積，從而可獲得最大的流水量。 可將上述數(shù)學建模的過程概括

8、為下面的框圖1：實際問題理想化問題求解數(shù)學模型解釋數(shù)學結果純數(shù)學問題尋找變量關系建立數(shù)學模型教師引導分析講解教師引導講解學生聽講思考求解模型學生聽講思考展示解模過程結合這一實際問題的解決過程，概括出數(shù)學建模的基本過程，以實現(xiàn)由具體到抽象的升華。（五）最優(yōu)解的探究預計時間7分鐘我們前面的設計是將橫截面設計成矩形，將深度、寬度分別設計為和時，可得到最大的橫截面積，如果將水槽的橫截面分別按照下圖中的五種方案進行設計，結果又如何呢？ 教師將學生分成五個小組，并巡視指導學生解決問題.由于缺少導數(shù)工具，教師應引導學生運用觀察、試算、估算、來探究方案二的答案.學生動手探究各自的設計方案1.讓學生經歷數(shù)學建模

9、中的優(yōu)化過程；2.培養(yǎng)學生的探究意識。最優(yōu)解的探究總結預計時間7分鐘下面，我們將全班分成5個小組，分別探究五個方案的設計。最后派代表報告本小組的探究結果.方案一：當，且時，方案二：（ 演示數(shù)學實驗）時， 方案三（四個底角為67.5的等腰三角形）：方案四（五個底角為的等腰三角形）：方案五：通過比較以上五種方案和橫截面設計為矩形時的情況可以得出，方案五是這個實際問題的最優(yōu)解，即：將水槽的橫截面設計為半徑為的半圓形時，從而可獲得最大的流水量。教師總結點評最后教師演示數(shù)學實驗發(fā)現(xiàn)答案,并指出運用導數(shù)工具可以證明我們的答案是正確的.學生代表講解各自方案的答案通過觀察、試算、估算與數(shù)學實驗，培養(yǎng)學生的合情

10、推理能力和數(shù)學發(fā)現(xiàn)能力.（六）什么是數(shù)學建模預計時間6分鐘以上我們進行了六種設計方案的探究后，才找到了該問題的最優(yōu)解。這就表明，數(shù)學建模需要對所得到的結果進行檢驗評價，以確認結果是否合理，是否是較好的結果。如果結果不滿意，就需要重新回到“理想化問題”這一環(huán)節(jié)。于是，我們就可以概括出一個較為完善的數(shù)學建模過程的框圖。框圖2：實際問題理想化問題求解數(shù)學模型問題獲得解決結果是否合理是重新理想化結果不理想純數(shù)學問題建立數(shù)學模型尋找變量及關系教師講解概括學生聽講思考1.使學生獲得科學的數(shù)學建模理論：數(shù)學建模與數(shù)學模型的概念、數(shù)學建模的具體過程；2.體會數(shù)學以不變應萬變的魅力；3.彌補標準中數(shù)學的建模理論

11、的不足。根據(jù)這個框圖，我們就可以來回答什么是數(shù)學建模？數(shù)學建模(Mathematical Modelling)：就是運用數(shù)學化的手段從實際問題中提煉、抽象出一個數(shù)學模型，求出模型的解，檢驗模型的合理性，從而使這一實際問題得以解決的過程。數(shù)學模型就是用數(shù)學語言符號來描述客觀事物的特征及其內在聯(lián)系的數(shù)學結構表達式。例如，各種函數(shù)、方程、不等式、不等式組等等都是比較常見的數(shù)學模型。世界上最簡單的數(shù)學模型是表示數(shù)的字母.數(shù)學模型“”有兩方面的含義：1.作為結果，她表示的是一個確定的數(shù)值，可以參與運算；2.作為過程，她表示的是一個變量：可大可??；可正可負；可以是有理數(shù)也可以使無理數(shù)。由于數(shù)學模型具有高度

12、的抽象性、概括性和結構的確定性，所以數(shù)學模型能以不變應萬變。不管是中文還是英文，一個字所能表達的意義十分有限，但我們的數(shù)學模型“”卻可以表示無窮無盡的對象流動的世界。又比如說勾股定理，這一模型可以用來處理數(shù)以億計的實際問題。從小到斜邊長為一微米的直角三角形到大至斜邊長為十萬八千里的直角三角形，只要是直角三角形，它們居然都滿足同樣的結構模型：斜邊的平方等于兩條直角邊的平方之和.我不知道，這個世界上還有什么學科象數(shù)學這樣如此簡潔，如此概括，如此統(tǒng)一。 我只知道：“數(shù)學的魅力在于，她能以穩(wěn)定的模式駕馭流動的世界！”（七）牛刀小試預計時間14分鐘如下圖，某房地產公司擁有一塊“缺角矩形”荒地ABCDE，

13、邊長和方向如圖所示，欲在這塊地上建一座地基為長方形東西走向的公寓，請劃出這塊地基，并求地基的最大面積. 數(shù)學實驗教師解釋說明問題.最后演示數(shù)學實驗.學生動手解決問題1.根據(jù)練習律和強化原理，強化剛剛獲得的數(shù)學建模理論；2.培養(yǎng)學生的問題解決能力。（八）小結與課后思考預計時間2分鐘1.小結這節(jié)課，我們通過解決一個實際問題，帶大家走進了數(shù)學建模世界。數(shù)學建模就是；數(shù)學模型就是；數(shù)學建模的具體過程.我們還感受到了“數(shù)學的魅力在于，她能以穩(wěn)定的模式駕馭流動的世界！”2.課后思考（1）將各方案中的圖形沿虛線向上翻折，并觀察思考：周長為2的凸多邊形，什么時候面積最大？（2）家庭物理小實驗先將一條長度固定的

14、柔軟絲線的兩頭連接起來，再將此封閉的曲線輕輕放在一個蒙有肥皂膜的正方形（邊長約5cm）鐵絲框上的肥皂膜上（注意，別弄破肥皂膜！），最后用小釘將曲線內的肥皂膜刺破。你觀察到什么現(xiàn)象，說明了什么問題？（3）請你幫助吉東皇后解決問題吉東是泰雅皇帝的女兒，歷經周折，逃到非洲，且成為迦太基的創(chuàng)始人和第一位神奇的皇后。剛到非洲時，吉東要在靠海岸線的地方購買“一張獸皮”的土地：她把獸皮剪成細條，結成長繩，剩下的問題是：怎么圍，才會得到最多的土地呢？（4）用數(shù)學家的眼光看世界音樂家關注聲響，文學家關注人性，而數(shù)學家則本能關注對象的數(shù)量關系、空間形式和結構。用數(shù)學家的眼光看世界，就是從數(shù)學的角度觀察，感受，認識

15、，描述客觀對象，進而提出創(chuàng)造性的問題。兒童玩耍時吹出的肥皂泡，總是一個個在空中起舞的彩球；水銀落在桌面上，總是呈球形滾動；清晨荷萍樹葉上的露水，總是聚成一個個晶瑩剔透的水珠；冬日里為避寒而盤成一團的看家狗。面對這些現(xiàn)象，物理學家想到了表面張力的作用。以數(shù)學家的眼光，你看到了什么？你有什么大膽的猜想？教師講解點化教師呈現(xiàn)問題問題1:是讓學生探究發(fā)現(xiàn)周長一定的凸多邊形中，正多邊形的面積最大.學生內化數(shù)學建模理論學生思考準備解決問題問題2:讓學生通過動手實踐發(fā)現(xiàn)周長一定的圖形中，圓的面積最大.1.小結意在強化數(shù)學建模理論，形成知識組塊；2.設計四個課后思考問題，目的是培養(yǎng)學生的數(shù)學探究能力、動手實踐能力和數(shù)學創(chuàng)新意識。問題3：是等周問題在解決實際問題中的應用.問題4：是將平面內的等周問題拓展到了空間.【板書設計】（此略）附： 本教學設計的創(chuàng)新之處1. 數(shù)學建模是高中數(shù)學新課程的新增內容，但卻沒有教材，沒有具體內容。標準中建議由教師靈活掌握，但教師們感到不好把握。本節(jié)課通過一個較為真實的數(shù)學建模案例，彌補了教材與標準的這一不足，并充實完善了標準中的數(shù)學建模理論。2. 與大學數(shù)學建模相比，過去的中學數(shù)學建模缺少理想化（模型假設）這一重要的環(huán)節(jié)。本設計恰好解決了這一問題，恢復了數(shù)學建模的真實面目。3. 本節(jié)課將數(shù)學