6-4基礎不等式

1、第6模塊第4節(jié)知能演練一、選擇題1 “a= 1 ”是“對任意正數(shù)x,2x+ 1 ”的a()a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分又不必要條件解析：當時，2兀+纟=力+丄$2邁(當且僅當x = ¥時取等號)所以a=l>2x + -xx上jcml(x>0). 為2x + -l(x>0)的充分條件.反過來，對任意正數(shù)x,當a = 2時，2x + -l恒成立，所以2x += 1.故為非必要條件.故選a.x答案：a2. 下列結論正確的是a. 當兀>0且兀h1時，lgx+古$2b.b. 當x22時，x+|的最小值為2jid.當0<xw2

2、時，x£無最大值當且僅當五詩,即x=1時，等號成立.答案：b3. 函數(shù)歹=log2x+log.r(2.r)的值域是()a. (8，1c. -1,3b. 3, +8)d. (一8, -1u3, +8)解析：y = log2x + logi(2x) = 1 + (log2x + logv2),如果 x> 1,則 log?* + logy2 2 2,如果 0v兀<1,貝» log2x + log(2w - 2,函數(shù)的值域為(-8, -1u3, +8),故選d.答案：d4. 設 a=sinl5°+cosl5o, b=sinl7°+cosl7°

3、;,則下列各式正確的是a2+b2a. a<2 <b-,a+b2c. a<b<() a2 + h2b. b<2<a_, a2+ b2c. h<a<解析：a =*/5sin60。=羋>1,=*/2sin620,于是 b>q,淘汰 b、d,故選c.答案：d二、填空題x25. 函數(shù)丿=占肓(xho)的最大值為,此吋x的值為了n解析:尹='+ 9 = = 6,當且僅當，=孑，即x =時取等號.1-6答6. 某公司租地建倉庫，每月土地占川費必與倉庫到車站的距離成反比，而每刀庫存貨物的運費乃與到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉

4、庫，這兩項費用力和 力分別為2萬元和8萬元，那么，要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站千米處.解析：設倉庫建在離車站d千米處， 由已知yi =2 =得k =20, “i=乎，44力=8 =他10,得 k2 =.*.2 =申，5+力弓+ %2謂¥=8, 當且僅當乎二半，即 =5時，費用之和最小.答案：5三、解答題7. 求兩數(shù)尹=x(q2x)(x>0,。為人于2x的常數(shù))的最大值；解：(1) vx>0 a>2x,1一 1 2x + (a _ 2x) 2 / y = x(a - 2x) = /x 2x(a - 2x)w/x y =瓦2 當且僅當x希時取等號，故函數(shù)的最

5、大值為務.(2) vx>- h x+l>0,設 x + 1 = z>0,貝'x = z - 1(z + 4)(z + 1) z2 + 5z + 44v = z + _ + 5丿zzz225 = 9當且僅當z = 2艮卩兀=1時上式取等號.*.x = 1時，函數(shù)y有最小值9,無最大值.8. 歯數(shù).心)對一切實數(shù)x, y均有.心+尹)一心)=(x+2_y+l)x成立，且x1)=o.求夬0)；求.心)；(3) 不等式jxy>ax5當0<x<2吋恒成立，求a的取值范圍.解：(1)令兀=1, y = 0,得夬1 +0) -/0) = (1+2x0+1)1 =2

6、, ./(0) =/(1) - 2 = -2.(2)令廠0,./(兀 + 0) -/0) = (x + 2x0 + l)x = x2+x,= / + x _ 2.(3f(x)>ax - 5 化為 j + 兀-2>ax - 5,ax<x2 + x + 3, vxe(0,2),x2 + x + 33 a<= 1 + x + 一.xx3當 xe(0,2)3寸，l+x +二21+2萌，x當且僅當x =即x = y(3時取等號，x由壓（0,2）,得（1+兀+弓罰=1+2萌,/.(7<1 + 2y3.高考模擬預測1.(2009九江模擬)函數(shù)x)=x2-2x+x12x+1,xe

7、（0?3），則a.心）有最人值7b.心）有最小值一1c.幾丫）有最大值1d. ./u）有最小值1解析：xw（0,3）,-1丘（一 1,2）,.-.（x-1）2e0,4）,./w =（x_i）2+4tp_i d 詁=2-1 = 1.當且僅當（x_ 1）=匕_ ）2,且xw（0,3）,即兀=2時取等號，當"2時,函數(shù)加:）有最小值1.答案：d2. （2009天津高考）設qo, b>0.若書是3“與3的等比中項，貝的最小值為0 1（）a. 8b. 4c. 1d.|解析:由題意有3燈=（羽）2 = 3, .a +方=1.* + + =（* + *）（0 + ）= 2+號+彳$4, 等號

8、當且僅當<7 = /?=*時成立，故選b.答案：b3. （2009重慶高考）已知g>0, b>0,貝i£+*+2倔的最小值是（）a. 2b. 22c. 4d. 5解析：* + * +.等號當且僅當 a = b 且 = 7，即 a = b = 1 時成立.故選c.答案：c4. （2009-江西高考）一個平面封閉區(qū)域內(nèi)任意兩點距離的最大值稱為該區(qū)域的“直徑”， 封閉區(qū)域邊界曲線的長度與區(qū)域直徑之比稱為區(qū)域的“周率”.下圖四個平面區(qū)域（陰影部 分）的周率從左到右依次記為刁，r2, t3, %,貝i下列關系中正確的為a. ti>t4>t3c t4>t2&g

9、t;t3b- wnfd ty>t4>t解析：第1個區(qū)域：先補成一個長方形，設長為寬為b,則周率為第2個區(qū)域：設大圓半徑為2,則=7t.周率為第3個區(qū)域：將原圖補成一個正三角形，設邊長為q,則周率為肓=3.第4個區(qū)域：設此區(qū)域的外接圓半徑為則其中大的正 abc的邊長為萌幾 周率為也券國=2羽，故選c.答案：c5. （2009-廣東六校聯(lián)考）某學校擬建一塊周長為400 m的操場如圖所示，操場的兩頭是 半圓形，屮間區(qū)域是矩形，學生做操一般安排在矩形區(qū)域，為了能讓學生的做操區(qū)域盡可能 大，試問如何設計矩形的長和寬?解：設中間矩形區(qū)域的長，寬分別為xm, pm, 中間的矩形區(qū)域面積為s,則半

10、圓的周長為羅，因為操場周長為400,所以" + 2x號= 400,2x + 7iy = 400(0<x<200,0<pv竽)11 2x + 7uv ? s =心=-(2x)-() 2-(廠)-=200007v2x = 7ry 由l+。x= 100，解得200v=x= 100當且僅當v200時等號成立，y =r 7i即把矩形的長和寬分別設計為100 m和型 m時，矩形區(qū)域面積最大. 7t備選精題6. 已知：x,尹都是正實數(shù)，且x+y3xy+5 = 0f求xy的最小值.求兀+尹的戢小值.ft?： (1)由 x+ y 3xy + 5 = 0 得 x +尹+ 5 = 3xy.2yxy + 5 wx + y + 5 = 3xy.3xy - 2y/xy - 520,+ 1 )(3-7- 5)20,.、用即等號成立的條件是x=y.525此時x=y = y故號的最小值是廠解法一：由 x+y+5 = 3xy3-(£|2)2= l(x+y):扌(x +