北京工業(yè)大學(xué)線性代數(shù)第四章第三節(jié)向量組的秩ppt課件

1、第三節(jié)第三節(jié) 向量組的秩向量組的秩一極大線性無關(guān)組一極大線性無關(guān)組二二. 向量組的等價向量組的等價三向量組的秩三向量組的秩四向量組的秩的計算方法四向量組的秩的計算方法引例：引例： 123,共面且兩兩不共面且兩兩不共線，那么共線，那么 123,線性相關(guān)線性相關(guān),它的部分它的部分 1和和 設(shè)幾何空間中設(shè)幾何空間中組組 12,都線性無關(guān)。都線性無關(guān)。 但對于部分組但對于部分組 1來說來說, 添上添上 3后得到的部分后得到的部分 組組 13,仍線性無關(guān)，而部分仍線性無關(guān)，而部分 組組 12, 添上添上 3后得到的后得到的 123,卻線性相關(guān)卻線性相關(guān),由此遭到啟發(fā)，我們引入下述概念。由此遭到啟發(fā)，我們

2、引入下述概念。m12, 線性相關(guān)時線性相關(guān)時, 如何判別如何判別12,m 能能否否由由線性表出？線性表出？問題：問題： 極大線性無關(guān)組極大線性無關(guān)組在向量組在向量組12,s ， , , 中中假設(shè)存在部分組假設(shè)存在部分組12riii， , ,線性無關(guān)線性無關(guān), 而從向量組的其他向而從向量組的其他向量中量中(假設(shè)還有的話假設(shè)還有的話)任取一個添進去任取一個添進去, 得到的新得到的新的的12riii， , ,是向量組是向量組12s ， , ,的一個極大線性無關(guān)組的一個極大線性無關(guān)組定義：定義：一極大線性無關(guān)組一極大線性無關(guān)組向量組都線性相關(guān)向量組都線性相關(guān), 那么稱部分那么稱部分組組 全由零向量組成

3、的向量組沒有極大線性全由零向量組成的向量組沒有極大線性 恣意含有非零向量的向量組，必有極大恣意含有非零向量的向量組，必有極大線性無關(guān)組線性無關(guān)組闡明：闡明：無關(guān)組無關(guān)組 線性無關(guān)的向量組的極大線性無關(guān)組是線性無關(guān)的向量組的極大線性無關(guān)組是其本身其本身 向量組的極大線性無關(guān)組不一定獨一。向量組的極大線性無關(guān)組不一定獨一。引例中，引例中， 12 , ,是向量組是向量組123, , ,的一個極大線性無關(guān)組的一個極大線性無關(guān)組.1323 , ,和和, ,也是向量組也是向量組123, , ,的極大線性無關(guān)組的極大線性無關(guān)組.這些極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)都相等這些極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)都相等!問題：

4、問題： 向量組的恣意兩個極大線性無關(guān)組所向量組的恣意兩個極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)能否一定相等？含向量個數(shù)能否一定相等？二二. .向量組間的等價關(guān)系向量組間的等價關(guān)系設(shè)有兩個設(shè)有兩個 n 維向量組維向量組1212:;:;stAB， , ,， , ,假設(shè)假設(shè) A 中每個向量都可由向量組中每個向量都可由向量組 B 線性表出線性表出,那么稱向量組那么稱向量組 A 可由向量組可由向量組B 線性表出；線性表出；定義：定義：假設(shè)向量組假設(shè)向量組 A 與向量組與向量組B 可以相互線性表出，可以相互線性表出，那么稱這兩個向量組等價，記作那么稱這兩個向量組等價，記作.AB 向量組的等價是向量組之間的一種關(guān)系，向

5、量組的等價是向量組之間的一種關(guān)系，易知，這種關(guān)系具有如下三條性質(zhì)：易知，這種關(guān)系具有如下三條性質(zhì)： 反身性反身性AA 對稱性對稱性,ABBA 若若那么那么 傳送性傳送性,.AB BCAC 若若那么那么( (由于線性表出具有傳送性由于線性表出具有傳送性) )定理定理1：向量組與它的恣意一個極大線性向量組與它的恣意一個極大線性證：證：12riii， , ,是向量組是向量組12s ， , ,設(shè)設(shè)的一個極大線性無關(guān)組的一個極大線性無關(guān)組 易知易知12riii， , ,12s ， , ,可由可由線性表出。線性表出。無關(guān)組等無關(guān)組等價價 往證往證12riii， , ,12s ， , ,可由可由線性表出線性

6、表出. 即證向量組中恣意向量都可以由即證向量組中恣意向量都可以由它的極大線性無關(guān)組線性表出它的極大線性無關(guān)組線性表出.12js ， , ,設(shè)設(shè)12rjiii ， , ,12riii ， , ,線性表出線性表出;j 可以由可以由12,rjiii ， , ,12,riiij ， , ,線性相關(guān)線性相關(guān)是極大線性無關(guān)組是極大線性無關(guān)組j 可以由可以由12riii， , ,線性線性 12riii ， , , 12s ， , ,12riii， , ,12s ， , ,可以由可以由線性表出線性表出.12riii ， , ,由由表出。所以表出。所以推論：推論： 向量組的恣意兩個極大線性無關(guān)組向量組的恣意兩個

7、極大線性無關(guān)組等價。等價。(由等價的對稱性和傳送性由等價的對稱性和傳送性)小結(jié)小結(jié):12riii， , ,是向量組是向量組12s ， , ,設(shè)設(shè)的一個極大線性無關(guān)組，的一個極大線性無關(guān)組， 能能否否由由12,m 線性表出線性表出 能能否否由由iiir12, 線性表出線性表出12,iiir 能否線性相關(guān)能否線性相關(guān) 如今我們知道，向量組的恣意兩個極大如今我們知道，向量組的恣意兩個極大線性無關(guān)組可以相互線性表出，為了研討它線性無關(guān)組可以相互線性表出，為了研討它們所含向量的個數(shù)能否相等，就需求先研討們所含向量的個數(shù)能否相等，就需求先研討假設(shè)一個向量組可以由另一個向量組線性表假設(shè)一個向量組可以由另一個

8、向量組線性表出，它們所含向量的個數(shù)有什么關(guān)系。出，它們所含向量的個數(shù)有什么關(guān)系。12,向量組向量組調(diào)查：幾何空間中，向量組調(diào)查：幾何空間中，向量組123, , ,可可以以由由123, 線性表出，那么我們有如下結(jié)論：線性表出，那么我們有如下結(jié)論：情形情形112,若若不共線不共線, 那么那么一定共面。一定共面。123, 情形情形212,若若共線共線, 那么那么一定共線，一定共線，123, 當(dāng)然也共面。當(dāng)然也共面。線性相關(guān)線性相關(guān)由此，我們猜測有下述結(jié)論：由此，我們猜測有下述結(jié)論：12,123, , ,可可以以由由線性表出，線性表出，結(jié)論：結(jié)論： 定理定理1：st1212 ， , , 可可由由 ，

9、, ,設(shè)向量組設(shè)向量組線性表出線性表出, 假設(shè)假設(shè) s t , 那么那么12s ， , ,線性相關(guān)線性相關(guān) 向量組向量組12,s ， , , 中中部分組部分組12riii， , ,線性無關(guān)線性無關(guān), 恣意恣意 r+1個向量都個向量都極大線性無關(guān)組的等價定義：極大線性無關(guān)組的等價定義：推論推論1：1212st 如如果果， , , 可可由由， , ,線性表示線性表示,12s且且， , ,線性無關(guān)，線性無關(guān)， 那么那么.st 線性相關(guān)線性相關(guān)12riii， , ,是極大線性無關(guān)組是極大線性無關(guān)組推論推論2： 兩個線性無關(guān)的等價的向量組，必含兩個線性無關(guān)的等價的向量組，必含有一樣個數(shù)的向量有一樣個數(shù)的

10、向量推論推論3： 向量組的恣意兩個極大線性無關(guān)組所向量組的恣意兩個極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)相等含向量的個數(shù)相等注：注： 極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)是相當(dāng)重要的。極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)是相當(dāng)重要的。為此我們引出下述概念。為此我們引出下述概念。三向量組的秩定義定義: :所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩，記作所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩，記作12s ， , ,向量組向量組的極大線性無關(guān)組的極大線性無關(guān)組 ss1212 秩秩， , ,或或r ra an nk k ， , , 。闡明：闡明：規(guī)定全由零向量組成的向量組的秩為零。規(guī)定全由零向量組成的向量組的秩為零。 12sr 秩秩， , ,向量組向

11、量組12s ， , ,中線性無關(guān)的向量的個數(shù)至多是中線性無關(guān)的向量的個數(shù)至多是r，恣意，恣意r+1個個向量都線性相關(guān)。向量都線性相關(guān)。設(shè)有兩個設(shè)有兩個 n 維向量組維向量組1212:;:;stAB， , ,， , ,假設(shè)假設(shè) A 可由可由B 線性表出線性表出, 那么那么 1212.st 秩秩， , ,秩秩， ， , ,定理定理3： 12.ss秩秩， , , 向量組向量組12s ， , ,線性無關(guān)線性無關(guān) 向量組向量組12s ， , ,線性相關(guān)線性相關(guān) 12.ss秩秩， , ,推論：推論：等價的向量組有等價的向量組有闡明：闡明：一樣的秩。一樣的秩。上述定理和推論給出了比較兩個向量組上述定理和推論

12、給出了比較兩個向量組的秩的方法，利用這個方法有時可從知的向的秩的方法，利用這個方法有時可從知的向量組的秩，求出另一個向量組的秩。量組的秩，求出另一個向量組的秩。 證：證：12,.,iiir 設(shè)設(shè)為向量組為向量組A的極大線性無關(guān)組，的極大線性無關(guān)組，12s,.,iii 為向量組為向量組B的極大線性無關(guān)組，的極大線性無關(guān)組，那么那么12,.,iiir 可可由由12s,.,iii 線性表出，線性表出， 1212.st 秩秩， , ,秩秩， ， , , rs,且且即即四向量組的秩的計算方法四向量組的秩的計算方法設(shè)設(shè)A=(aij)mA=(aij)mn , n , 那么那么A A 的行向量組的秩稱的行向量

13、組的秩稱為為A的行秩的行秩, A的列向量組的秩稱為的列向量組的秩稱為A的列秩的列秩定義定義: :命題：命題： 階梯形矩陣階梯形矩陣J的秩等于它的行秩也等于它的秩等于它的行秩也等于它的列秩；且的列秩；且J的主元所在的列構(gòu)成的主元所在的列構(gòu)成J的列向量組的列向量組的一個極大線性無關(guān)組的一個極大線性無關(guān)組1.1.矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系設(shè)設(shè)abcdebcdeJcde 111112222123453330(,)0000000, ,a b c123,0 其其中中abcbca b cc1112212330000TTTabbccc112123(,0,0) ,(,0) ,(,)線性

14、無關(guān)。線性無關(guān)。從而它的延伸組從而它的延伸組 也線性無關(guān)也線性無關(guān)123, 1234(,)34R 線性相關(guān)。線性相關(guān)。1234, 也線性相關(guān)。也線性相關(guān)。1235, 同同理理是是J的列向量組的一個極大線的列向量組的一個極大線 123, 性無關(guān)組，從而性無關(guān)組，從而J的列秩的列秩=3=R(J)。 易知易知, J的行秩的行秩=3=R(J)。推論：推論：恣意矩陣的秩等于它的行秩，也等于恣意矩陣的秩等于它的行秩，也等于它的列秩它的列秩命題：命題： 矩陣的初等行變換不改動矩陣的行秩；矩陣的初等行變換不改動矩陣的行秩；也不改動矩陣列向量組的線性相關(guān)性，從而也不改動矩陣列向量組的線性相關(guān)性，從而不改動矩陣的

15、列秩不改動矩陣的列秩推論：推論：設(shè)矩陣設(shè)矩陣A經(jīng)過初等行變換變成階梯形矩經(jīng)過初等行變換變成階梯形矩第第 列構(gòu)成列構(gòu)成A的一個極大線性無關(guān)組的一個極大線性無關(guān)組rjjj12,陣陣J, 且且J的主元所在是第的主元所在是第 列列, 那么那么A的的rjjj12,問題：問題： 普通的矩陣，其行秩普通的矩陣，其行秩=列秩列秩？ 求向量組的秩的方法求向量組的秩的方法將向量組的向量作為列構(gòu)成一個矩陣將向量組的向量作為列構(gòu)成一個矩陣A A，例例2 求向量組的秩與一個極大線性無關(guān)組求向量組的秩與一個極大線性無關(guān)組1234(1,0,2,3),(1,4, 9, 16),(7,1,0, 1) = =( (6 6, ,

16、4 4, , 1 1, , - -1 1) ), ,解：對矩陣解：對矩陣1234(,)TTTTA , ,A A初等行變換初等行變換階梯形矩陣階梯形矩陣B(得得R(A)初等行變換初等行變換簡化梯形矩陣簡化梯形矩陣C(求線性表出的系數(shù)求線性表出的系數(shù))作初等行變換，作初等行變換，變成階梯形求向量組的秩和極大線性無關(guān)組；變成階梯形求向量組的秩和極大線性無關(guān)組；A61174041129013161 1290015000010000 1234,3 秩秩, ,A1000100010015000 且且124, , ,為向量組的一個極大線性無關(guān)組，為向量組的一個極大線性無關(guān)組，那么那么312450 例例1 證明矩陣的性質(zhì)：證明矩陣的性質(zhì)：(),()ijm sijs nABb 設(shè)設(shè) ABAB (1)()min( ),秩秩秩秩秩秩( )( )ABAB (2)()( ),秩秩秩秩秩秩( ( ) )其中其中 陣陣 ,A B是是同同型型矩矩證明證明(1)：,(.),(.)snnssssnAAbbbbbbABbbb1211121212221212對對 按按列列分分塊塊 設(shè)設(shè)則則 11112121212122221122ssssnnnsnsbbbbbbb