開普勒定律的推導(dǎo)及應(yīng)用

1、開普勒定律的推導(dǎo)及應(yīng)用江蘇南京師范大學(xué)物科院王勇江蘇海安曲塘中學(xué)周延懷隨著人類航天技術(shù)的飛速發(fā)展和我國(guó)嫦娥繞月衛(wèi)星的發(fā)射成功，以天體運(yùn)動(dòng)為載體的問(wèn)題將成為今后考查熱點(diǎn)。在現(xiàn)行的高中物理教材中主要引用了開普勒三大定律來(lái)描述了天體的運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，這三條定律的主要內(nèi)容如下： （1）所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)位于橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上。 （2）對(duì)任意一個(gè)行星來(lái)說(shuō)，它與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。 （3）所有行星的軌道半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值。 至于行星繞太陽(yáng)的軌道為何是橢圓以及中的常量C與那些量相關(guān)并無(wú)說(shuō)明。為了更深入的理解

2、天體和人造衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律，本文將以橢圓的性質(zhì)為基礎(chǔ)從理論上推導(dǎo)開普勒定律。 一、開普勒第一定律 1地球運(yùn)行的特點(diǎn) （1）由于地球始終繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，則太陽(yáng)對(duì)地球的萬(wàn)有引力的力矩始終為零，所以地球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中角動(dòng)量守恒。 （2）若把太陽(yáng)與地球當(dāng)作一個(gè)系統(tǒng)，由于萬(wàn)有引力為保守力且無(wú)外力作用在這個(gè)系統(tǒng)上，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒。 2地球運(yùn)行軌跡分析 地球在有心力場(chǎng)中作平面運(yùn)動(dòng)且萬(wàn)有引力的作用線始終通過(guò)太陽(yáng)，所以建立如圖所示的極坐標(biāo)系，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(r，)。  若太陽(yáng)質(zhì)量為M，地球質(zhì)量為m，極徑為r時(shí)地球運(yùn)行的運(yùn)行速度為v。

3、60;當(dāng)?shù)厍虻倪\(yùn)行速度與極徑r垂直時(shí)，則地球運(yùn)行過(guò)程中的角動(dòng)量     （1） 若取無(wú)窮遠(yuǎn)處為引力勢(shì)能的零參考點(diǎn)，則引力勢(shì)能，地球在運(yùn)行過(guò)程中的機(jī)械能                （2） （1）式代入（2）式得：          （3） 由式（3）得： 

4、    （4） 由式（4）可知，當(dāng)?shù)厍虻倪\(yùn)行速度與極徑r垂直時(shí)，地球運(yùn)行的極徑r有兩解，由于初始假設(shè)地球的運(yùn)行速度與極徑垂直，所以r為地球處在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)距太陽(yáng)的距離?？紤]到地球的這兩個(gè)位置在極坐標(biāo)系中分別相當(dāng)于和，可把式（4）中的號(hào)改寫為更普遍的形式極坐標(biāo)方程。 則地球的運(yùn)行軌跡方程為        （5） （5）式與圓錐曲線的極坐標(biāo)方程吻合，其中   （p為決定圓錐曲線的開口），（e為偏心率，決定運(yùn)行軌跡的形狀

5、），所以地球的運(yùn)行軌跡為圓錐曲線。由于地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)E<0，則圓錐曲線的偏心率，所以地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌跡為橢圓。 3人造星體的變軌 由于運(yùn)載火箭發(fā)射能力的局限，人造星體往往不能直接由火箭送入最終運(yùn)行的空間軌道，若要使人造星體到達(dá)預(yù)定的軌道，要在地面跟蹤測(cè)控網(wǎng)的跟蹤測(cè)控下，選擇合適時(shí)機(jī)向衛(wèi)星上的發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)出點(diǎn)火指令使人造星體的速度增加（機(jī)械能增加），進(jìn)而達(dá)到改變衛(wèi)星運(yùn)行軌道的目的。如圖所示最初人造星體直接由火箭送入近地軌道1，此時(shí)，偏心率e=0，人造星體運(yùn)行的軌跡為圓；當(dāng)?shù)竭_(dá)A點(diǎn)時(shí)，人造星體發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，此時(shí)<E<0，偏心率0<e<1，運(yùn)行的軌跡為

6、橢圓軌道2；當(dāng)?shù)竭_(dá)B點(diǎn)時(shí)，人造星體發(fā)動(dòng)機(jī)再次點(diǎn)火，當(dāng)時(shí)，偏心率e=0，人造星體將在圓軌道3上運(yùn)行；當(dāng)?shù)竭_(dá)B點(diǎn)時(shí)人造星發(fā)動(dòng)機(jī)再次點(diǎn)火，人造星體將在開口更大的橢圓軌道4上運(yùn)動(dòng)，人造星體將離地球越來(lái)越遠(yuǎn)，當(dāng)?shù)厍驅(qū)λ囊π∮谄渌求w對(duì)它的引力時(shí)，人造星體將脫離地球的束縛奔向其它星體（如嫦娥一號(hào)衛(wèi)星）。 二、開普勒第二定律 行星繞太陽(yáng)的軌道為橢圓，若在時(shí)刻t行星位于A點(diǎn)，經(jīng)dt時(shí)間后行星位于點(diǎn)B，在此時(shí)間內(nèi)行星的極徑r轉(zhuǎn)過(guò)的角度為d，則AOB所圍的面積      （1） （1）式除以dt有  

7、    （2） 由于角動(dòng)量         （3） （3）式代入（2）式得 由于L是恒量，所以單位時(shí)間內(nèi)極徑所掃過(guò)的面積也是恒量。所以地球在近日點(diǎn)運(yùn)行的快，在遠(yuǎn)地點(diǎn)運(yùn)行的慢。如圖人造星體從軌道1變化到軌道3的過(guò)程中，若點(diǎn)火前后A、B兩點(diǎn)的速度分別為V1V2V3V4，則點(diǎn)火前后速度V1<V2，V3<V4；在橢圓軌道3上A、B兩點(diǎn)分別為近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)，則速度V2>V3；由于人造星體在軌道1。軌道3上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，以V1>V4

8、；故V2>V1>V4>V3。 三、開普勒第三定律 行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)橢圓軌道的面積，根據(jù)橢圓的性質(zhì)則橢圓的面積（a為長(zhǎng)軸，b為短軸）由于單位時(shí)間內(nèi)極徑所掃過(guò)的面積 則周期    （1） 根據(jù)橢圓的性質(zhì)和開普勒第一定律，半長(zhǎng)軸   （2） （2）式得   （2）式代入（1）式得       （3） 根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓的半短軸 ，則  （4） 式（4）代入（3）式得C，由此式可知繞同一中心天體運(yùn)行的人造星體軌道半長(zhǎng)軸的三次方跟它們的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值由中心天體的質(zhì)量所決定。 例 飛船沿半徑為R 的圓周繞地球運(yùn)動(dòng)，其周期為T，如圖所示如果飛船要返回地面，可在軌道上的某點(diǎn)A將速度降低到適當(dāng)?shù)臄?shù)值，從而使飛船沿著地心為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行，橢圓與地球表面在B點(diǎn)相切，求飛船由A 點(diǎn)到B 點(diǎn)所需的時(shí)間。(已知地球半徑為R0)  分析：無(wú)論飛船是沿圓軌道運(yùn)行還是沿橢圓軌道運(yùn)行，飛船都是