曲面的法向量與切線方程ppt課件

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集和區(qū)域和區(qū)域多元函數(shù)多元函數(shù)的極限的極限多元函數(shù)多元函數(shù)延續(xù)的概念延續(xù)的概念極限運(yùn)算極限運(yùn)算多元延續(xù)函多元延續(xù)函數(shù)的性質(zhì)數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念全微分全微分的運(yùn)用的運(yùn)用高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法那么求導(dǎo)法那么復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么求導(dǎo)法那么全微分方式全微分方式的不變性的不變性方導(dǎo)游數(shù)方導(dǎo)游數(shù)全微分全微分概念概念偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)概念概念微分法在微分法在幾何上的運(yùn)用幾何上的運(yùn)用多元函數(shù)多元函數(shù)的極值的極值練練 習(xí)習(xí) 題題1.1.3.3. , , ), ,(22222yxzyzxzyxyfz 求求設(shè)設(shè)4.4.)( . , ), ,(2223二二階階

2、偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)求求設(shè)設(shè)fyxzyzxyxyfxz 2.2. )( ),(222222xzfyxyxfz ，求求具具有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè))(二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)f5.5. , 2yxzezyxz 求求設(shè)設(shè)6.6. , ),( ),(),(2xvxugfyvxugvyvuxfu ，求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)設(shè)設(shè).lim)2( ,)(lim)1( 2200 xyyxyxxxyyxyx 求求極極限限1.1.解解)0(,sin ,cos )1( yx令令. 0 )0 , 0(),( 等等價(jià)價(jià)于于則則yx cos)cos(sin)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 . 0

3、)(lim 2200 yxxxyyx故故.lim)2( ,)(lim)1( 2200 xyyxyxxxyyxyx 求求極極限限xyyxyx lim )2( xyyx11lim. 0 2.2. )( ),(222222xzfyxyxfz ，求求具具有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)解解令令,2222yxyxu ).( ufz 則則z uxyz型型xududfxz ).22(2xxyf fxxyxxz )22(222uxyz型型f xfxxyxxyxf )22()22(22 xudufdxxyyf)22()22(22)22()22()22(222xyxfxxyyf .)1(4)1(2222fyxfy 3.3

4、. , , ), ,(22222yxzyzxzyxyfz 求求設(shè)設(shè))(二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)f解解令令,xyu ; yv ).,( vufz 則則記記,1uff ,12211ufuff ,2vff vfvuff 1212,12222vfvff .2221ufuvff 二階偏二階偏導(dǎo)延續(xù)導(dǎo)延續(xù)xuufxz ,1fy z uvxy型型vfyuufyz ,21ffx xuufxz ,1fy vfyuufyz ,21ffx 1f uvxy型型2f uvxy型型)(122f yxxz xfy 1xuufy 1.112fy )(2122ffxyyz yffxy 21)(yfyfx 21 vfyuuf

5、vfyuufx2211 22211211ffxffxx .22212112ffxfx )(12f yyyxz yfyf 11 vfyuufyf111).(12111ffxyf 4.4.)( . , ), ,(2223二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)求求設(shè)設(shè)fyxzyzxyxyfxz 解解令令,xyu ;xyv ).,( 3vufxz 則則記記,1uff ,12211ufuff ,2vff vfvuff 1212,12222vfvff .2221ufuvff 二階偏二階偏導(dǎo)延續(xù)導(dǎo)延續(xù) yvufxyz 3),( yfx 3)(3yvvfyuufx )1(213xfxfx .2214fxfx fuvxy

6、型型 yfxfxyz 221422 yyfxfx2214 yfxyfx 2214)()(222114yvvfyuufxyvvfyuufx )1()1(2221212114xfxfxxfxfx ,222123115fxfxfx 2112ff yvufxyz 3),( yfx 3)(3yvvfyuufx )1(213xfxfx .2214fxfx xyzyxz 22)(2214fxfxx xyzyxz 22)(2214fxfxx xfxfxxfxfx22221414)()( 411413xvvfxuufxfx 22222xvvfxuufxfx 421211413xyfyfxfx 22222122x

7、yfyfxfx.2422114213 fyfyxfxfx 421211413xyfyfxfx 22222122xyfyfxfx 122114134fyxfyxfx2221222fyfyxfx 411413xvvfxuufxfx 22222xvvfxuufxfx5.5. , 2yxzezyxz 求求設(shè)設(shè)解解設(shè)設(shè),),(zezyxzyxF 那那么么, 1 xF, 1 yF,1zzeF zxFFxz ze 11 112zyxyyxz),(yxzz ,11 zyx2)1()1( zyxyzzyFFyz ze 11,11 zyx3)1( zyxzyx6.6. ,),(), ,(), ,(2xvxugfy

8、vxugvyvuxfu ，求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)設(shè)設(shè)解解令令,uxs ; yvt 記記,1sff ,2tff , xu .2yv 那么方程組那么方程組為為 ). ,(), ,( gvtsfu,1 gg.2 gg方程組兩端對(duì)方程組兩端對(duì) x 求偏導(dǎo)數(shù)：求偏導(dǎo)數(shù)： .,xgxgxvxttfxssfxu 方程組兩端對(duì)方程組兩端對(duì) x 求偏導(dǎo)數(shù)：求偏導(dǎo)數(shù)： .,xgxgxvxttfxssfxu .2)1(,)(2121xvyvgxugxvxvfxuxufxu.2, 1,xvyvxxuxxvxtxuxuxs .)12( , )1(121121gxvgyvxugfuxvfxufx121 2121 gyv

9、gff xD在在1 221)12)(1(gfgyvfx 0 的條件下，方程組有獨(dú)一解。的條件下，方程組有獨(dú)一解。1221211 gyvgffuD,)12(1 221gfgyvfu 111121ggfufxD ).1(111 fufxg,)12)(1()12(12211 221gfgyvfxgfgyvfuxu ,)12)(1()1(1221111gfgyvfxfufxgxv 7. 求曲線求曲線 ,417)1(3,49222222zyxzyx橢球面橢球面球面球面上對(duì)應(yīng)于上對(duì)應(yīng)于 x = 1 處的切線方程和法平面方程。處的切線方程和法平面方程。8. 試證曲面試證曲面)0( aazyx上任何點(diǎn)處上任何

10、點(diǎn)處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和等于的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和等于 a。的的最最短短距距離離之之間間與與平平面面求求旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面2222 zyxyxz9.求極值。求極值。yxyxyxyxfln10ln4),( 22 設(shè)設(shè)10.7. 求曲線求曲線 ,417)1(3,49222222zyxzyx橢球面橢球面球面球面上對(duì)應(yīng)于上對(duì)應(yīng)于 x = 1 處的切線方程和法平面方程。處的切線方程和法平面方程。解解將將 x = 1 代入方程組，代入方程組， ,417)1(3,4912222zyzy解方程組得，解方程組得， , 1, 5 . 0 , 1, 5 . 0zyzyx = 1 處的點(diǎn)為處的點(diǎn)為

11、).1 ,.50 , 1( ),1 ,.50 , 1(21 MM將所給方程的兩端對(duì)將所給方程的兩端對(duì) x 求導(dǎo)，求導(dǎo)，將所給方程的兩端對(duì)將所給方程的兩端對(duì) x 求導(dǎo)，求導(dǎo)， , 02)1(26, 0222dxdzzdxdyyxdxdzzdxdyyx)(xyy )(xzz ,3)1(, xdxdzzdxdyyxdxdzzdxdyyzyzyD1 z 時(shí)時(shí)， 0 ,23xzzxzxdxdy .231zxxyzxyxydxdz 方程組有獨(dú)一解。方程組有獨(dú)一解。, )1 ,0.5 , 1( 1點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì) M切向量切向量, 111MxMxzyT ,2 , 2 , 1 , )1 ,0.5 , 1( 1點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)

12、 M切向量切向量, 111MxMxzyT ,2 , 2 , 1 切線方程切線方程.2125 . 011 zyx法平面方程法平面方程0)1(2)5 . 0(2)1( zyx. 022 zyx, )1 ,0.5 , 1( 2點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì) M切向量切向量, 122MxMxzyT ,2 , 2 , 1 切線方程切線方程.2125 . 011 zyx法平面方程法平面方程0)1(2)5 . 0(2)1( zyx. 0422 zyx8. 試證曲面試證曲面)0( aazyx上任何點(diǎn)處上任何點(diǎn)處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和等于的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和等于 a。證證曲面上任取一點(diǎn)曲面上任取一點(diǎn) M (x0,

13、y0, z0).設(shè)設(shè).),(azyxzyxF ,21xFx ,21yFy .21zFz 曲面在點(diǎn)曲面在點(diǎn) M (x0, y0, z0) 處的法向量處的法向量21 ,21 ,21 000zyxn 切平面方程切平面方程0)(21)(21)(21000000 zzzyyyxxx切平面方程切平面方程0)(21)(21)(21000000 zzzyyyxxx,000000zyxzzyyxx .000azzyyxx 點(diǎn)點(diǎn) M 在曲面上，因此在曲面上，因此.000azyx 切平面方程切平面方程化為截距式化為截距式. 1000 azzayyaxx所以截距之和為所以截距之和為000azayax )(000zyx

14、a .a 9.求極值。求極值。yxyxyxyxfln10ln4),( 22 設(shè)設(shè)解解函數(shù)的定義域：函數(shù)的定義域：00| ),( yxyxDxyxfx42 yyxfy102 令令, 0 , 0 解得解得),35 ,34( ),35 ,34( ),2 , 1( ),2 , 1( 其中只需其中只需D )2 , 1(是駐點(diǎn)。是駐點(diǎn)。,422xfxx , 1 xyf.1022yfyy 點(diǎn)處，點(diǎn)處，在在 )2 , 1( , 06 A, 1 B,29 C, 0262 ACB因此，在因此，在(1, 2)處獲得極小值處獲得極小值. 2ln107)2 , 1( f的的最最短短距距離離之之間間與與平平面面求求旋旋轉(zhuǎn)

15、轉(zhuǎn)拋拋物物面面2222 zyxyxz10.解解,),(22上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)為拋物面為拋物面設(shè)設(shè)yxzzyxP ,022dzyxP的的距距離離為為到到平平面面 那那么么.2261 zyxd設(shè)設(shè).)22(61),(2 zyxzyxu那么問題就是在條件那么問題就是在條件022 yxz下，下，求求2)22(61),( zyxzyxu的最小值。的最小值。構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)),()22(61),(222yxzzyxzyxF )4( , 0)3( , 0)2)(22(31)2( , 02)22(31)1(, 02)22(31 22yxzzyxFyzyxFxzyxFzyx 令令.81 z構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)),()

16、22(61),(222yxzzyxzyxF 由由 (1), (3) 得得,41 x由由 (2), (3) 得得,41 y代入代入 (4) 得得),81 ,41 ,41(即得唯一可能的極值點(diǎn)即得唯一可能的極值點(diǎn).647241414161min d值一定存在，值一定存在，根據(jù)題意，距離的最小根據(jù)題意，距離的最小處處取取得得最最小小值值故故必必在在)81 ,41 ,41(.81 z由由 (1), (3) 得得,41 x由由 (2), (3) 得得,41 y代入代入 (4) 得得),81 ,41 ,41(即得唯一可能的極值點(diǎn)即得唯一可能的極值點(diǎn)例例 知曲面的方程為知曲面的方程為,sinxyxz 證明：曲面上任一證明：曲面上任一點(diǎn)處的切平面經(jīng)過某一定點(diǎn)。點(diǎn)處的切平面經(jīng)過某一定點(diǎn)。解解設(shè)曲面上任一點(diǎn)為設(shè)曲面上任一點(diǎn)為 M ( x0, y0, z0 ) . xyxxzxsin,cossinxyxyxy xyxyzysin,cosxy 曲面在點(diǎn)曲面在點(diǎn) M ( x0, y0, z0 ) 處的法向量處的法向量為為 1 ,cos ,cossin 00000000 xyxyxyxyn切平面方程切平面方程0)()(cos)(cos(sin00000000000 zzyyxyxxxyxyxy曲面在點(diǎn)曲面在點(diǎn) M ( x0, y0, z0 ) 處的法向量處的法向量為為 1 ,cos ,c