高等數(shù)學(xué)(下冊)D112數(shù)項級數(shù)及審斂法

1、二、交錯級數(shù)及其審斂法二、交錯級數(shù)及其審斂法 三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂 第二節(jié)第二節(jié)一、正項級數(shù)及其審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十一章 一、正項級數(shù)及其審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法若,0nu1nnu定理定理 1. 正項級數(shù)1nnu收斂部分和序列nS),2, 1(n有界 .若1nnu收斂 , ,收斂則nS,0nu部分和數(shù)列nSnS有界, 故nS1nnu從而又已知故有界.則稱為正項級數(shù) .單調(diào)遞增, 收斂 , 也收斂.證證: “ ”“ ”機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,Zn,nnvku 都有定理定

2、理2 (比較審斂法比較審斂法)設(shè),1nnu1nnv且存在,ZN對一切,Nn 有(1) 若強級數(shù)1nnv則弱級數(shù)1nnu(2) 若弱級數(shù)1nnu則強級數(shù)1nnv證證:設(shè)對一切和令nSn則有收斂 ,也收斂 ;發(fā)散 ,也發(fā)散 .分別表示弱級數(shù)和強級數(shù)的部分和, 則有nnvku 是兩個正項級數(shù), (常數(shù) k 0 ),因在級數(shù)前加、減有限項不改變其斂散性, 故不妨機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 若強級數(shù)1nnv則有nn lim因此對一切,Zn有nS由定理 1 可知,1nnu則有(2) 若弱級數(shù)1nnu,limnnS因此,limnn這說明強級數(shù)1nnv也發(fā)散 .knSnk也收斂 .發(fā)散,收斂,

3、弱級數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 討論 p 級數(shù)pppn131211(常數(shù) p 0)的斂散性. 解解: 1) 若, 1p因為對一切,Zn而調(diào)和級數(shù)11nn由比較審斂法可知 p 級數(shù)11npnn1發(fā)散 .發(fā)散 ,pn1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , 1p因為當(dāng)nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考慮強級數(shù)1121) 1(1ppnnn的部分和n111) 1(11ppnkkkn故強級數(shù)收斂 , 由比較審斂法知 p 級數(shù)收斂 .時,1) 1(11pn11111) 1(113121211pppppnn12) 若機動 目錄

4、上頁 下頁 返回 結(jié)束 調(diào)和級數(shù)與 p 級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).若存在,ZN對一切,Nn ,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收斂則nnu;1發(fā)散則nnu機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明級數(shù)1) 1(1nnn發(fā)散 .證證: 因為2) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而級數(shù)111nn21kk發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知, 所給級數(shù)發(fā)散 .例例2.2.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3. (比較審斂法的極限形式),1nnu1nnv,limlvunnn則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;(2) 當(dāng) l = 0 ,1收斂時且nnv;1也收斂nnu(3) 當(dāng) l =

5、 ,1發(fā)散時且nnv.1也發(fā)散nnu證證: 據(jù)極限定義, 0對,ZN存在lnnvu)(l設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1) 當(dāng) 0 l 時,時當(dāng)Nn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nnnvluvl)()(, l取由定理 2 可知與1nnu1nnv同時收斂或同時發(fā)散 ;)(Nn ),()(Nnvlunn利用(3) 當(dāng)l = 時,ZN存在,時當(dāng)Nn ,1nnvu即nnvu 由定理2可知, 若1nnv發(fā)散 , ;1也收斂則nnu(1) 當(dāng)0 l 時,(2) 當(dāng)l = 0時,由定理2 知1nnv收斂 , 若.1也發(fā)散則nnu機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,nunv,limlvunnn是兩個正項級數(shù)正項

6、級數(shù), (1) 當(dāng) 時, l0兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;特別取,1pnnv 可得如下結(jié)論 :對正項級數(shù),nu,1p l0lnnnlimpn,1p l0發(fā)散nu(2) 當(dāng) 且 收斂時,0lnv(3) 當(dāng) 且 發(fā)散時, lnv也收斂 ;nu也發(fā)散 .nu收斂nu機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的斂散性. nnn1lim例例3. 判別級數(shù)11sinnn的斂散性 .解解: nlim sin1nn11根據(jù)比較審斂法的極限形式知.1sin1發(fā)散nn例例4. 判別級數(shù)1211lnnn解解:nlim221limnnn1根據(jù)比較審斂法的極限形式知.11ln12收斂nnnn1sin)1ln(21n21n2n2

7、11lnn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nnnuu1lim由定理定理4 . 比值審斂法 ( Dalembert 判別法)設(shè) nu為正項級數(shù), 且,lim1nnnuu則(1) 當(dāng)1(2) 當(dāng)1證證: (1),1時當(dāng)11nnuunnuu)(112)(nu1)(NNnu, 1使取收斂 ,.收斂nu時, 級數(shù)收斂 ;或時, 級數(shù)發(fā)散 .,ZN知存在,時當(dāng)Nn k)(由比較審斂法可知機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,1時或, 0,NuZN必存在, 11nnuu,0limNnnuu因此所以級數(shù)發(fā)散.Nn 當(dāng)時(2) 當(dāng)nnuu11nuNu1lim1nnnuu說明說明: 當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)

8、散.例如例如, , p 級數(shù):11npnnnnuu1limppnnn1) 1(1lim1但, 1p級數(shù)收斂 ;, 1p級數(shù)發(fā)散 .從而機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 limn例例5. 討論級數(shù))0(11xxnnn的斂散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根據(jù)定理4可知:,10時當(dāng) x級數(shù)收斂 ;,1時當(dāng) x級數(shù)發(fā)散 ;.1發(fā)散級數(shù)nn,1時當(dāng) x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對任意給定的正數(shù) ,limnnnu定理定理5. 根值審斂法 ( Cauchy判別法) 設(shè) 1nnu為正項級,limnnnu則;,1) 1(級數(shù)收斂時當(dāng) .,1)2(級數(shù)發(fā)散時當(dāng) 證明提示證明

9、提示: ,ZN存在nnu有時當(dāng),Nn 即nnnu)()(分別利用上述不等式的左,右部分, 可推出結(jié)論正確., )1(1111數(shù), 且機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 時 , 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .1例如 , p 級數(shù) :11pnnpnnnnu1)(1n說明說明 :,1pnnu 但, 1p級數(shù)收斂 ;, 1p級數(shù)發(fā)散 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 證明級數(shù)11nnn收斂于S ,似代替和 S 時所產(chǎn)生的誤差 . 解解: : nnnnnu1n1)(0n由定理5可知該級數(shù)收斂 .令,nnSSr則所求誤差為21)2(1) 1(10nnnnnr21) 1(1) 1(1nnnn1)

10、1(1nnnnn) 1(11111n并估計以部分和 Sn 近 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二二 、交錯級數(shù)及其審斂法、交錯級數(shù)及其審斂法 則各項符號正負相間的級數(shù)nnuuuu1321) 1(稱為交錯級數(shù)交錯級數(shù) .定理定理6 . ( Leibnitz 判別法 ) 若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù); ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收斂 , 且其和 ,1uS 其余項滿足.1nnur,2, 1,0nun設(shè)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證: )()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是單

11、調(diào)遞增有界數(shù)列,nS212limuSSnn又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故級數(shù)收斂于S, 且,1uS :的余項nS0nu2nnSSr)(21nnuu21nnnuur1nu故S機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 收斂收斂nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nn用Leibnitz 判別法判別法判別下列級數(shù)的斂散性:nnn10) 1(104103102101)31432收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn發(fā)散收斂收斂 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1n

12、nnn10 nn1101 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂 定義定義: 對任意項級數(shù),1nnu若若原級數(shù)收斂, 但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散, 則稱原級111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收斂 ,1nnu數(shù)1nnu為條件收斂 .均為絕對收斂.例如例如 ：絕對收斂 ；則稱原級數(shù)條件收斂 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理7. 絕對收斂的級數(shù)一定收斂 .證證: 設(shè)1nnunv),2,1(n根據(jù)比較審斂法顯然,0nv1nnv收斂,收斂12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收斂)(21nn

13、uu 且nv,nu收斂 , 令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 證明下列級數(shù)絕對收斂 :.) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnennn證證: (1),1sin44nnn而141nn收斂 ,14sinnnn收斂因此14sinnnn絕對收斂 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收斂,絕對收斂.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其和分別為 絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)具有完全不同的性質(zhì).*定理定理8. 絕對收斂級數(shù)不因改變

14、項的位置而改變其和. ( P203 定理9 )說明說明: 證明參考 P203P206, 這里從略.*定理定理9. ( 絕對收斂級數(shù)的乘法 ).S則對所有乘積 jivu1nnw按任意順序排列得到的級數(shù)也絕對收斂,設(shè)級數(shù)1nnv1nnu與都絕對收斂,S其和為但需注意條件收斂級數(shù)不具有這兩條性質(zhì). (P205 定理10) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2. 利用正項級數(shù)審斂法必要條件0limnnu不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法 limn1nunu根值審斂法nnnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限1機動 目

15、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)1nnu設(shè)Leibniz判別法:01nnuu0limnnu則交錯級數(shù)nnnu1) 1(收斂概念:,1收斂若nnu1nnu稱絕對收斂,1發(fā)散若nnu條件收斂1nnu稱機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)設(shè)正項級數(shù)1nnu收斂, 能否推出12nnu收斂 ?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比較判斂法可知12nnu收斂 .注意注意: 反之不成立. 例如,121nn收斂 ,11nn發(fā)散 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P206 1 (1), (3), (5) ; 2 (2), (3), (4) ; 3 (1), (2) ; 4 (1), (3), (5), (6) ; 5 (2), (3), (5)第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題;) 1ln(1) 1 (1nn1. 判別級數(shù)的斂散性:.1)2(1nnnn解解: (1),) 1ln(nnnn1) 1ln(111nn發(fā)散 , 故原級數(shù)發(fā)散 .11npnp:級數(shù)不是 p級數(shù)(2)nlimnnn1lim11