大地線的定義與性質(zhì)ppt課件

1、2.2.5 大地線大地線1、大地線的定義與性質(zhì)、大地線的定義與性質(zhì)法截弧：由橢球面上法截?。河蓹E球面上A點的法線與點的法線與B點所確定的法截面與點所確定的法截面與橢球面相割得到的曲線稱為橢球面相割得到的曲線稱為A到到B的法截弧。的法截弧。相對法截弧：相對法截?。?A到到B的法截弧與的法截弧與B到到A的法截弧。的法截弧。 由相對法截弧構(gòu)成的橢球面三角形由相對法截弧構(gòu)成的橢球面三角形不是閉合圖形。不是閉合圖形。2.2.5 大地線續(xù)大地線續(xù)1大地線的定義：大地線的主法線與曲面法線處處重合。大地線的定義：大地線的主法線與曲面法線處處重合。大地線的性質(zhì)：大地線的性質(zhì)：1、大地線上任何點的親密平面就是該點

2、、大地線上任何點的親密平面就是該點 的法截面；的法截面； 2、曲面上銜接任何兩點的最短直線必為、曲面上銜接任何兩點的最短直線必為 大地線。大地線。 3、大地線的測地曲率等于、大地線的測地曲率等于0曲線的測地曲率：曲線的曲率在曲面切平面上的投影。曲線的測地曲率：曲線的曲率在曲面切平面上的投影。大地線的曲率：大地線的曲率：大地線的撓率大地線的撓率ANNAMAkg2222cos11sincosAANAAMNgcossincossin1122.2.5 大地線續(xù)大地線續(xù)22、大地坐標系中大地線的微分方程、大地坐標系中大地線的微分方程(1). 大地線的二階微分方程大地線的二階微分方程以以u,v 為參數(shù)的普

3、通曲面的大地線微分方程可表示為：為參數(shù)的普通曲面的大地線微分方程可表示為： 下標為相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)。下標為相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)。 22 22 22 222222222322FEGEFEEFESFEGFFFEGEFEGFEEGRFEGFFFGEGFEGFGGEQFEGGFGGFGPSdudvRdudvQdudvPduvduvuuvuuvvuvuvvuv2.2.5 大地線續(xù)大地線續(xù)3對于橢球面，有：代入前面公式，得：那么旋轉(zhuǎn)橢球面上大地線的微分方程為：BNGFME222cos 0 0 2 0 sincos222StVRQBBVP322222cossin2dBdLBBVdBdLVtdBLd2.2.5 大地線續(xù)大

4、地線續(xù)4(2). 克萊勞定理克萊勞定理直角坐標系中的橢球面方程：01222222bZaYaXF橢球面法向量為：222222bZaYaXZFYFXFN以大地線弧長為參數(shù)的大地線主法線向量為：222222dSZddSYddSXdn兩者指向一致，即：222222222222dSZdbZdSYdaYdSXdaX2.2.5 大地線續(xù)大地線續(xù)5由上式的前兩個方程得：CdSdYXdSdXYdSYdXdSXdY 02222積分得：將三維空間坐標與大地坐標的關(guān)系及其微分關(guān)系：dSdLLrLdSdrdSdYdSdLLrLdSdrdSdXLrLBNYLrLBNXBBBBBBcossin sincossinsinco

5、s coscoscos1代入 式，整理得：1CdSdLrB222.2.5 大地線續(xù)大地線續(xù)6將關(guān)系：即：大地線上各點的平行圈半徑與該點的大地線方位角正弦的乘積是常數(shù)。AdSdLrBsin代入上式，即得克萊勞定理：CArBsinBrdLrBAdSdAAMdBdL2.2.5 大地線續(xù)大地線續(xù)7(3). 大地線的一階微分關(guān)系式大地線的一階微分關(guān)系式BrdLrBAdSdAAMdBdLBNAdSdLAdSBdLNMAdSdBAdSMdBcossin sincoscos cos由克萊勞定理，微分得：BBBBBBdrrAdrArAdAAdArAdrtancossin:0cossin則2.2.5 大地線續(xù)大地

6、線續(xù)8又如下圖：MdBdrBBMdBdrBsin代入上式，得：AdSNBdSMAABNBAMABNBdBAMdAsintancoscoscossinsin coscossinsin三個微分關(guān)系式可整理為：ANBdSdABNAdSdLMAdSdBsintan cossin cos 32.2.5 大地線續(xù)大地線續(xù)93、以弧長和大地方位角為參數(shù)的大地線方程、以弧長和大地方位角為參數(shù)的大地線方程 大地線始點坐標P0(B0,L0)，大地線上任何點的位置向量都可以展開成S,A的級數(shù)方式： 5554443332221201241 6121sdsdsdsdsdsdsdsdsdsdsrrrrrrFrenet標架

7、的坐標軸定義：x指向大地線的切向t， y指向大地線的主法向n，向內(nèi)為正， z指向大地線的副法向b，構(gòu)成左手系。000,LBPASLBP,xyz42.2.5 大地線續(xù)大地線續(xù)10顯然有：dsdrt 根據(jù)曲線論中的Frenet公式：nbbtnntggggdSdkdSdkdSd 由以上兩式可求出各階導(dǎo)數(shù)：23223243242545 32gggggggggggggggggdkddddkkkkdSdSdSdSdSdkd kdkddkkkkdSdSdSdSdSdkdS rtrnntnbrtnbrt2.2.5 大地線續(xù)大地線續(xù)11 將上式代入大地線展開式 ，得Frenet標架下的三維坐標：44342322

8、3254432224161241612112018161SdSdkdSdkSkzSkkdSkdSdSdkSkySkSdSdkkSkSxgggggggggggggggg5ANNAMAkg2222cos11sincosAANAAMNgcossincossin112顧及公式：2.2.5 大地線續(xù)大地線續(xù)12和：ANBdSdAMAdSdBsintan cos 求導(dǎo)得：ANAtdSdAAdSdBBdSdAtNdSdAdSdkAdSdBdSdkBdSkdANAtdSdAAkdSdBBkdSdkggggggggg22222232222222cos31sincos3cos1cos3 2.2.5 大地線續(xù)大地線

9、續(xù)13代入Frenet標架下的三維坐標公式 ，得：542332242223322222544323222sin2412sin121cos231241 cos21cos12112018cos3cos161AStNASNzStANAStNSANySNSNAtSANSx2.2.5 大地線續(xù)大地線續(xù)14 將坐標系饒 y逆時針旋轉(zhuǎn)A，得x、y、z坐標系，那么有：SA000, LBPLBP,xyzzx zyxAAAAzyxcos0sin010sin0cos 以P0點為原點的地平坐標系(站心坐標系) x、y、z，與x、y、z坐標系的關(guān)系為：A000, LBPLBP,xyzzxyyzzyxx 2.2.5 大地

10、線續(xù)大地線續(xù)15 最后得到地平坐標系站心系中的大地線方程，稱為Weingarten級數(shù)。4222332222254432322254423232222cos231241 2coscos121120sin3cossin cos16sinsin120coscos8124 cos16coscosStANSNAtSANzSNASNAAtSANAASySNASANtSANAASx62.2.5 大地線續(xù)大地線續(xù)16 法截弧為平面曲線，其撓率為0，同理可推得地平坐標系中的計算式為：42223322222544323222544323222cos231241 2coscos121120sin8cossin3

11、cos16sinsin120cos8cos3 cos16coscosStANSNAtSANzSNASNAAtSANAASySNASNAtSANAASx2.2.5 大地線續(xù)大地線續(xù)174、基于大地線的橢球面曲線坐標系、基于大地線的橢球面曲線坐標系(1). 大地線極坐標系大地線極坐標系大地圓：到極點具有一樣大地線長大地圓：到極點具有一樣大地線長 度的點所構(gòu)成的軌跡。度的點所構(gòu)成的軌跡。 由大地線長度和大地方位角可描畫由大地線長度和大地方位角可描畫曲面點的位置曲面點的位置 。As,rAdAsdsmdAdS0P如下圖：2222dAmdsdS對照第一根本方式，得：2 0 1mGFE由圖中的微分直角三角形

12、，得大地極坐標系中的微分關(guān)系式：sin1 sin1 cosdSdmmdSdmdSdAdSds2.2.5 大地線續(xù)大地線續(xù)18大地線的歸化長度 m 的計算公式：44233222120cos3161NSAtNSNSSm222AzAyAxGm由 式求出偏導(dǎo)數(shù)代入得：62.2.5 大地線續(xù)大地線續(xù)19(2). 測地坐標系測地坐標系 以過P0點的經(jīng)線及其平行線為v曲線， 過P0點與經(jīng)線正交的一族大地線為u曲線，構(gòu)成的坐標格網(wǎng)稱為測地坐標系測地坐標在v曲線方向用Sx， u曲線方向用Sy,xS00,LBxSd ydSdSyS222222xyxydsndssddsds即：2 0 1nGFE2.2.5 大地線續(xù)

13、大地線續(xù)19n 稱為測地平行線的歸化長度因子。222xxxxxszsysxGdssdn由 式求出對A偏導(dǎo)數(shù)，并顧及A = 90，得：6xxxxxxsAAzszsAAysysAAxsx tNsAzAyNSNssAxyyyy223442226 0 1201612.2.5 大地線續(xù)大地線續(xù)20 根據(jù)球面角超的定義，在球面直角三角形 中，球面角超為：xs00,LBdSysxdsdAxPxPP PPPPPxx 22222sinRsdsRsdsyxyx根據(jù)球面三角形的Legendre定理：322sin32sindAdsdAsxy32dAsdsyx77將 式代入上式，得：22311RssdsdAyyx2.2.5 大地線續(xù)大地線續(xù)21代入測地平行線的歸化長度因子公式，得：4422222