二項(xiàng)式定理典型例題解析

1、二項(xiàng)式定理 概念篇【例1】求二項(xiàng)式（a 2b）4的展開(kāi)式.分析：直接利用二項(xiàng)式定理展開(kāi).解：根據(jù)二項(xiàng)式定理得(a 2b)4=c 4 a4+C4 a3( 2b)+C 2 a2( 2b)2+C 4 a( 2b)3+C 4 (2b）4=a4 8a3b+24a2b2 32ab3+i6b4說(shuō)明：運(yùn)用二項(xiàng)式定理時(shí)要注意對(duì)號(hào)入座，本題易誤把 2b中的符號(hào)“”忽略【例2】展開(kāi)（2x金）5.2x5）2+C3（2硝一分析一：直接用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式.解法一：(2x-2>C5(2x)5+c5(2x)4(-9)+C2(2x)3( 一C43, 一 5(2x)(-)4+C5(- 2x2=32x5- 120x2+180

2、135 405243+ 8x710 .32x分析二:解法二:對(duì)較繁雜的式子，先化簡(jiǎn)再用二項(xiàng)式定理展開(kāi) _3_ 53 5_ （4x3）（ 斤）一132x10C 5 (4x3)5+C 5 (4x3)4( 3)+C 2 (4x3)3( 3)2+C 5 (4x3)2( 3)3+C 5 (4x3)( 3)4 +C5( 3)51(1024x15 3840x12+5760x94320x6+1620x3 243) 32x10=32x5- 120x2+螫 x135 405x4 + 8x724332x10 .說(shuō)明：記準(zhǔn)、記熟二項(xiàng)式（a+b）n的展開(kāi)式是解答好與二項(xiàng)式定理有關(guān)問(wèn)題的前提條件對(duì)較復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化

3、簡(jiǎn)再展開(kāi)會(huì)更簡(jiǎn)便【例3】在（x、:3）10的展開(kāi)式中，x6的系數(shù)是.解法一：根據(jù)二項(xiàng)式定理可知x6的系數(shù)是C40.解法二：（x-8）10的展開(kāi)式的通項(xiàng)是 Tr+1=C；0x10-r（ V3 ）r.令10-r=6,即r=4,由通項(xiàng)公式可知含 x6項(xiàng)為第5項(xiàng)，即T4+1=c40x6（仆）4=9C40x6.x6的系數(shù)為9c40.上面的解法一與解法二顯然不同，那么哪一個(gè)是正確的呢？問(wèn)題要求的是求含 x6這一項(xiàng)系數(shù)，而不是求含 x6的二項(xiàng)式系數(shù)，所以應(yīng)是解法二正確如果問(wèn)題改為求含 x6的二項(xiàng)式系數(shù)，解法一就正確了，也即是 C40.說(shuō)明：要注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與指定某一項(xiàng)的系數(shù)的差異二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是兩

4、個(gè)不同的概念，前者僅與二項(xiàng)式的指數(shù)及項(xiàng)數(shù)有關(guān)，與二項(xiàng)式無(wú)關(guān)，后者與二項(xiàng)式、二項(xiàng)式的指數(shù)及項(xiàng)數(shù)均有關(guān) 【例4】已知二項(xiàng)式(3& -2)10,3x(1)求其展開(kāi)式第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；(2)求其展開(kāi)式第四項(xiàng)的系數(shù)；(3)求其第四項(xiàng).分析：直接用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式.解：(3JX Z)10 的展開(kāi)式的通項(xiàng)是 Tr+i=C；o(3VX)10 r(-)r(r=0, 1, , 10).3x3x(1)展開(kāi)式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為 C3o=12O.2 一(2)展開(kāi)式的第4項(xiàng)的系數(shù)為C3o37(- -)3=-77 7 60.1(3)展開(kāi)式的第4項(xiàng)為一77760(、：x )7/，即一77760 Vx . x說(shuō)明

5、：注意把(3 4 _2)10寫(xiě)成3反+(_2)10,從而湊成二項(xiàng)式定理的形式 .3x3x【例5】求二項(xiàng)式(x，=)10的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).2.x分析：展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)為C；0(x2)10 r()r,要使得它是常數(shù)項(xiàng)，必須使“x”的指2, x數(shù)為零，依據(jù)是x0=1, xw0.解：設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則51 20 -r 15Tr+1=C；0(x2)10(一)二C；0x2 (-)r(r=0, 1,，10),令 20 r=0,得 r=8.2 .x22 T9=C10( 1 )8= -452256第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，其值為色.256說(shuō)明：二項(xiàng)式的展開(kāi)式的某一項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，就是這項(xiàng)不含“變?cè)?，一般采用令通?xiàng)

6、Tr+1中的變?cè)闹笖?shù)為零的方法求得常數(shù)項(xiàng).【例6】(1)求(1+2x)7展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)；(2)求(1 2x)7展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng).列出相鄰兩項(xiàng)系數(shù)之間關(guān)系的不等分析：利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，可得系數(shù)的表達(dá)式,式，進(jìn)而求出其最大值.解：(1)設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則有C72c72r 7r 712127!2r即 r!(7 r)!2 r !(7 r)!7!2r 1(r 1) !(7 r 1)!7!2r 1(r 1)!(7 r 1)!化簡(jiǎn)彳導(dǎo)r17r解得2.r 1163 又.0<r<7,r=5.13.3，系數(shù)最大項(xiàng)為T(mén)6=C 5 25x5=672x5.（2）解：展開(kāi)式中共有 8項(xiàng)，系數(shù)

7、最大項(xiàng)必為正項(xiàng)，即在第一、三、五、得.又因（1 2x）7括號(hào)內(nèi)的兩項(xiàng)中后兩項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值大于前項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值,七這四項(xiàng)中取故系數(shù)最大值必在中間或偏右，故只需比較T5和T7兩項(xiàng)系數(shù)的大小即可44C4( 2)4c7.C6( 2)6 而>1,所以系數(shù)最大項(xiàng)為第五項(xiàng)，即 T5=560x4.說(shuō)明：本例中（1）的解法是求系數(shù)最大項(xiàng)的一般解法，（2）的解法是通過(guò)對(duì)展開(kāi)式多項(xiàng)分析，使解題過(guò)程得到簡(jiǎn)化，比較簡(jiǎn)潔.【例7】（1+2x）n的展開(kāi)式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大 的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng).分析：根據(jù)已知條件可求出n,再根據(jù)n的奇偶性確定二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).解：T6=C5(2x)5

8、, T7=C6 (2x)6,依題意有 Cn 25=C6 26,解得 n=8. (1+2 x)8 的展開(kāi)式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)5=C 4 （2x）4=1120x4.r «rr 1 ,r 1設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則有77,C72r C7 12r1.5< r< 6. 1. r=5 或 r=6.二系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)6=1792x5, T7=1792x6說(shuō)明：（1）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.（2）求展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列

9、不等式，再解不等式的方法求得應(yīng)用篇【例 8】若 nCN*, ( V2+1)n=72an+bn(an、bnCZ),則 bn 的值()B.一定是偶數(shù)D.與a有相同的奇偶性A.C.與bn的奇偶性相反分析一：形如二項(xiàng)式定理可以展開(kāi)后考查解法一：由(相+1)n=V2an+bn,知 J2an + bn=(1+ J2)n =Cn+C1n +C2H2 )2+C3 ()3+ +Cn(2)n.-bn=1+C2( V2)2+C4(v'2)4+ , , bn為奇數(shù).答案：A分析二：選擇題的答案是唯一的，因此可以用特殊值法解法二：nCN*,取 n=1 時(shí)，（寸2+1）1=（ 72+1）,有 b1=1 為奇數(shù).取

10、n=2時(shí)，(夜+1)2=2血+5,有b2=5為奇數(shù).答案：A【例9】若將(x+y+z)10展開(kāi)為多項(xiàng)式，經(jīng)過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)為()A.11B.33C.55D.66分析：(x+y+z)10看作二項(xiàng)式(x y) z10展開(kāi).解：我們把x+y+z看成(x+y)+z,按二項(xiàng)式將其展開(kāi)，共有 11 “項(xiàng)”，即(x+y+z)10=10廠(chǎng)/ 110* / . 10一k k(x y) z =C10 (x+y) z.k 0這時(shí)，由于“和”中各項(xiàng) z的指數(shù)各不相同，因此再將各個(gè)二項(xiàng)式(x+y)10-k展開(kāi)，不同的乘積C：0(x+y)10-kzk(k=0, 1,，10)展開(kāi)后，都不會(huì)出現(xiàn)同類(lèi)項(xiàng).下面，再分別考慮

11、每一個(gè)乘積Ck0(x+y)10 kzk(k=0, 1,，10).其中每一個(gè)乘積展開(kāi)后的項(xiàng)數(shù)由(x+y)10k決定，而且各項(xiàng)中x和y的指數(shù)都不相同，也不會(huì)出現(xiàn)同類(lèi)項(xiàng).故原式展開(kāi)后的總項(xiàng)數(shù)為11+10+9+1=66.答案：D說(shuō)明：化三項(xiàng)式為二項(xiàng)式是解決三項(xiàng)式問(wèn)題的常用方法【例10】求(I x | +一2)3展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).|x|分析：把原式變形為二項(xiàng)式定理標(biāo)準(zhǔn)形狀.解：(I x1 +52)3=(而J)6,|X|.|x|展開(kāi)式的通項(xiàng)是Tr+1=C 6 （ V| x | ）6,（一1 |x|）=（ 1）rc6h：面）6 2r若Tr+1為常數(shù)項(xiàng)，則6 2r=0, r=3.展開(kāi)式的第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，即 丁

12、4= C3 = 20.說(shuō)明：對(duì)某些不是二項(xiàng)式，但又可化為二項(xiàng)式的題目，可先化為二項(xiàng)式，再求解 【例11】求(jx 劉x)9展開(kāi)式中的有理項(xiàng).分析：展開(kāi)式中的有理項(xiàng)，就是通項(xiàng)公式中x的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng).1127 r解：. Tr+1=c9(x2)9 r(x3)=(1)c9xk.令 27_ e Z,即 4+3- e Z,且 r=0, 1, 2,，9.66r=3 或 r=9.當(dāng) r=3 時(shí)，27_=4, T4=(1)3C3x4= 84x4.6當(dāng) r=9 時(shí)，27=3, T10=(-1)9C9x3=-x3.，(我一VX)9的展開(kāi)式中的有理項(xiàng)是第4項(xiàng)84x4,第10項(xiàng)一x3.說(shuō)明：利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+

13、1可求展開(kāi)式中某些特定項(xiàng).【例 12若(3x1)7=a7X7+a6X6+ +aX+a0,求(1)a + a2 +a7；(2)a1 + a3+a5+a7；(3)a0+a2+a4+a6.分析：所求結(jié)果與各項(xiàng)系數(shù)有關(guān)可以考慮用“特殊值”法，整體解決解：(1)令 x=0,貝U a0= 1,令 x=1 ,貝U a7+a6+ +a+a0=27=128. 0a1+a2+- - +a7=129.(2)令 x= 1,貝U a7+a6+a5+a4+a3+a2+a1+ao=( 4)7.由 得:a1+a3+a5+a7=- ：128-(-4)7 =8256. 22(3)由 得 ao+a2+a4+a6=1128+( 4)

14、7 =-8128.22說(shuō)明：(1)本解法根據(jù)問(wèn)題恒等式特點(diǎn)來(lái)用“特殊值”法，這是一種重要的方法，它用 于恒等式.(2) 一般地，對(duì)于多項(xiàng)式 g(X)=(pX+q)n=a0+a1X+a2X2+a3X3+a4X4+a5X5+a6X6+a7X7, g(X)各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1), g(X)的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為 1 g(1)+g(1), g(X)的偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1 g(1)22g(一1)1 .+2ncn =3n；n2n ；【例13】證明下列各式(2)(Cn)2+(C；)2+ +(C n )2=C(1)1+2C；+4C：+ +2n_ 1_ 2_ 3_ n(3)C n +2C n +3C n + +nCn

15、 =n2分析：(1)(2)與二項(xiàng)式定理的形式有相同之處可以用二項(xiàng)式定理，形如數(shù)列求和，因此 可以研究它的通項(xiàng)尋求規(guī)律.證明：(1)在二項(xiàng)展開(kāi)式(a+b)n=C0an+C； 令 a=1, b=2,得(1+2)n=1+2C 1n+4C2+ -1b+C： an 2b2+ +Cn1ab1+cnbn 中,+2n1cn 1+2ncn，即1+2C；+4Cn+ +2n 1cn(2)(1 + X)n(1+X)n=(1 + X)2n, 12cr. . (1+C n X+C n X+ +C n1+2nCn=3n.rn.12 2r rX + +X )(1+C n X+C n X + +C n X +X)=(1 +X)

16、2n.而C 2n是(1 + X)2n的展開(kāi)式中Xn的系數(shù)，由多項(xiàng)式的恒等定理，得 cncn+c；cn 1+ +C；cn 1+cncn=c 2n.C：=cn m, 0Wm” /c 0、21 、2n、2 n. (C n ) +(C n ) + +(C n ) =C 2n .(3)證法一:令 S=C；+2C2+3C3+ +nCn.令 S=C；+2C】+ +(n-1)Cn 1+nCn=nCn+(n-1)Cn 1+ +2C：+C；=ncn+(n1)c；+ +2cn 2+c n 1.由 + 得 2S=nCn+nC2+nC3 + +nC，=n(C n+C：+C 2+C 3 + +C，)0123n、 小= n

17、(C n +C n +C n +C n + +C n )=n2 .S=n2n 1,即 Cn+2C2+3Cn+ +nCn=n2n l.證法二：觀(guān)察通項(xiàng)：kCn=kn n一一 nCn 1. k!(n k)! (k 1)!(n k)!0123n 10123.原式=nC n 1 +nC n1 + nC n1 +nC n1 + +nC n 1=n(C n1 +C n1 +C n1 +C n1 + +Cn 1)=n2n 1,即 C n +2c n +3C n + +nC n =n2n 說(shuō)明：解法二中kC n =nCn 1可作為性質(zhì)記住.【例14】求1.9975精確到0.001的近似值.分析：準(zhǔn)確使用二項(xiàng)式

18、定理應(yīng)把1.997拆成二項(xiàng)之和形式如 1.997=2 0.003.解：1.9975=(2 0.003)5=25 C； 240.003+C 5 230.0032 C 5220.0033+=32 0.24+0.00072 =31.761.說(shuō)明：利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計(jì)算，關(guān)鍵是確定展開(kāi)式中的保留項(xiàng)，使其滿(mǎn)足近似計(jì)算的精確度.【例15】求證：5151-1能被7整除.分析：為了在展開(kāi)式中出現(xiàn)7的倍數(shù)，應(yīng)把51拆成7的倍數(shù)與其他數(shù)的和(或差)的形A.證明：5151-1=(49+2) 51 - 1=C 014951+C 5149502+ +C 51 49 - 250+C 51 251-1 , 易知除C51

19、2511以外各項(xiàng)都能被7整除.又 251 - 1=(23)171=(7+1)17 1=C 07 717+C 17 716+C 16 7+C 17 1=7(C 07716+C17 715+C17).顯然能被7整除，所以5151-1能被7整除.說(shuō)明：利用二項(xiàng)式定量證明有關(guān)多項(xiàng)式(數(shù)彳1)的整除問(wèn)題，關(guān)鍵是將所給多項(xiàng)式通過(guò)恒等變形變?yōu)槎?xiàng)式形式，使其展開(kāi)后的各項(xiàng)均含有除式.創(chuàng)新篇22,中間一項(xiàng)為 20000.求x.不難求解！【例16】已知(x1gx+1)n的展開(kāi)式的最后三項(xiàng)系數(shù)之和為 分析：本題看似較繁，但只要按二項(xiàng)式定理準(zhǔn)確表達(dá)出來(lái),n N*, 1- n=6.x1gx=10.解：由已知 Cn+C

20、n 1+Cn 2=22,即 n2+n 42=0.又 T4 為中間一項(xiàng)，T4=C3 (x1gx)3=20000 ,即(x1gx)3=1000.兩邊取常用對(duì)數(shù)，有 1g2x=1 , lgx=± 1,x=10或x=-.10常利用二項(xiàng)式通項(xiàng)公說(shuō)明：當(dāng)題目中已知二項(xiàng)展開(kāi)式的某些項(xiàng)或某幾項(xiàng)之間的關(guān)系時(shí), 式，根據(jù)已知條件列出等式或不等式進(jìn)行求解【例17】設(shè)f(x)=(1 + x)m+(1 + x)n(m, nCN*),若其展開(kāi)式中關(guān)于 x的一次項(xiàng)的系數(shù)和為11,問(wèn)m, n為何值時(shí)，含x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值？并求這個(gè)最小值 分析：根據(jù)已知條件得到x2的系數(shù)是關(guān)于x的二次表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)探

21、討最小值問(wèn)題.22解：C1m+C n =n+m=11. Cmm +C 2 = - (m2-m+n2- n)=-,22. nC N*,n=6或5, m=5或6時(shí)，x2項(xiàng)系數(shù)最小，最小值為 25.說(shuō)明：本題是一道關(guān)于二次函數(shù)與組合的綜合題【例18若（x+12尸的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為一 20,求n. x分析：題中xwo,當(dāng)x>0時(shí)，把三項(xiàng)式（x+二2）n轉(zhuǎn)化為（JxJ）2n；當(dāng)x<0時(shí), x. x同理(x+12)n=(1)n( Jx 4)2n.然后寫(xiě)出通項(xiàng)，令含x的哥指數(shù)為零，進(jìn)而解出n.x一 x解：當(dāng) x>0 時(shí)，(x+1 2)n=( “僅 1)2n, x. x其通項(xiàng)為+1=c 2n

22、( Jx )2n r(二)=( 1)rc 2n (Ji )2n 2r.、, x令2n- 2r=0,得n=r, 展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（1）Cnn；當(dāng) xv0 時(shí)，(x+1 -2)n=(- 1)n( Vx x無(wú)論哪一種情況，常數(shù)項(xiàng)均為令（1）rC2n=20.以 n=1, 2：(T)rC17）2n.同理可得，展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（一1）rC 2n.n 2n .3,，逐個(gè)代入，得 n=3.說(shuō)明：本題易忽略 xv 0的情況.【例19】利用二項(xiàng)式定理證明（2）31V.一 2一', 一一 ，一分析： 不易從二項(xiàng)展開(kāi)式中得到,n 1可以考慮其倒數(shù)證明：欲證（2）n 1<_2_成立，只需證3 n 1(-)

23、n 1< n 22成立.而(|)n1=(1+*1=C01+C1n-+C=1 +n 1 2 Io +C n 1 ( ) + +C n221 .221(2)n11(2)2Cn1("說(shuō)明：本題目的證明過(guò)程中將（3）1轉(zhuǎn)化為（1+1）廣然后利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式是解22決本問(wèn)題的關(guān)鍵.【例 20】求證：2W （1+1）n3（nC N*）. n分析：（1+1）n與二項(xiàng)式定理結(jié)構(gòu)相似，用二項(xiàng)式定理展開(kāi)后分析 n證明：當(dāng) n=1 時(shí)，(1+1 )n=2. n當(dāng) n>2 時(shí)，(1+-)n=1+cn 1+c2 nn又 Cn(n)k=n(n 1) (n k 1)1+ + n1& 1,k

24、!一 1C 1 +cn(-)n=1+1+c2-2+ nnc 1 一+")».所以(1+1 )n< 2+ 1 n 2!+ + + <2+3! n!1+(n 1) n111=2+(1-)+(-)+ - +(=3- 1 <3.n綜上有 2W(1+I)nv3. n說(shuō)明：在此不等式的證明中, 知識(shí)，將不等式證明到底.利用二項(xiàng)式定理將二項(xiàng)式展開(kāi)，再采用放縮法和其他有關(guān)【例21】求證：對(duì)于nC N分析：結(jié)構(gòu)都是二項(xiàng)式的形式,(1+1)n<(1+L)n+1.n n 1因此研究二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是常用方法證明：(1+1)n展開(kāi)式的通項(xiàng)nTr+1=C：1 n(n 1)(n

25、 2) (n r 1) -r!nr二 ；(1- 1)(1-弓)。-).r! n nn(1+')n+1展開(kāi)式的通項(xiàng) r+1=cn n 1An 11r -r(n 1)r r !(n 1)r1 n(n 1)(n 2) (n r 1)r!nr二 ；(1工)(1二)(1 r! n 1 n 1由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)可明顯地看出Tr+1VT' r+1所以(1+1 )n< (1+ J )n+1 n n 1說(shuō)明：本題的兩個(gè)二項(xiàng)式中的兩項(xiàng)均為正項(xiàng)，且有一項(xiàng)相同 采用比較通項(xiàng)大小的方法完成本題證明.證明時(shí)，根據(jù)題設(shè)特點(diǎn),【例22】設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，且a、b、c成等差數(shù)列，nCN*,求

26、證：an+cna、b、c成等差數(shù)列創(chuàng)造條件使用>2bn .分析：題中雖未出現(xiàn)二項(xiàng)式定理的形式，但可以根據(jù)二項(xiàng)式定理.證明：設(shè)公差為d,則a=b d, c=b+d.an+cn-2bn=(b-d)n+(b+d)n-2bn=bn-Cnbn 1d+c2bn 2d2+ +(-1)ndn1 + bn+Cnbn 1d+c2bn 2d2+ +dn1=2(C2bn 2d2+c4bn 4d4)>0.說(shuō)明：由a、b、c成等差，公差為d,可得a=b-d, c=b+d,這就給利用二項(xiàng)式定理證 明此問(wèn)題創(chuàng)造了可能性.問(wèn)題即變?yōu)?b-d)n+(b+d)n>2bn,然后用作差法改證 (b d)n+(b+d)

27、n-2bn>0.【例23】求(1+2x 3x2)6的展開(kāi)式中x5項(xiàng)的系數(shù).分析：先將1+2x3x2分解因式，把三項(xiàng)式化為兩個(gè)二項(xiàng)式的積， 即(1+2x 3x2)6=(l+3x)6 (1-x)6.然后分別寫(xiě)出兩個(gè)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，研究乘積項(xiàng)x5的系數(shù)，問(wèn)題可得到解決.解：原式二(1+3x)6(i -x)6,其中(1+3x)6展開(kāi)式之通項(xiàng)為 Tk+i=ck3kxk, (1 -x)6展開(kāi)式之通項(xiàng)為 Tr+1=C6(-x)r.原式=(1+3x)6(l x)6 展開(kāi)式的通項(xiàng)為 Ck C 6 ( 1)r3kxk+r.現(xiàn)要使 k+r=5,又. kC 0,1, 2, 3, 4, 5,6, r C 0, 1,2,3,4,5, 6,k 0 k1- k2- k 3- k 4- k5,必須 或 或 或 或 或r 5 r4 r3 r 2 r1 r0.故 x5 項(xiàng)系數(shù)為 C°30c6(-1)5+C631c6 (-1)4+C 6 32C 6( 1)3+C 633c 2 ( 1)4+C 6 34C6 (-1)+C 535C0(-1)0=-168.說(shuō)明：根據(jù)不同的結(jié)構(gòu)特征靈活運(yùn)用二項(xiàng)式定理是本題的關(guān)