幾何輔助線(圖)作法探討

1、專題7：幾何輔助線（圖）作法探討一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時顯得十分復(fù)雜，若通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，即添加適當(dāng)?shù)妮o助線（圖），將原圖形轉(zhuǎn)換成一個完整的、特殊的、簡單的新圖形，則能使原問題的本質(zhì)得到充分的顯示，通過對新圖形的分析，原問題順利獲解。網(wǎng)絡(luò)上有許多初中幾何常見輔助線作法歌訣，下面這一套是很好的：人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短

2、可試驗。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點(diǎn)。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補(bǔ)成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。圓半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個

3、內(nèi)切圓，內(nèi)角平分線夢圓。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切線。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。 輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實驗。基本作圖很關(guān)鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。在幾何題的證明或求解時，需要構(gòu)成一些基本圖形來求證（解）時往往要通過添加輔助線（圖）來形成，添加輔助線（圖），構(gòu)成的基本圖形是結(jié)果，構(gòu)造的手段是方法。筆者從作輔助線的結(jié)果和方法兩方面將幾何輔助線（圖）作法歸納為結(jié)果（1）構(gòu)

4、造基本圖形；（2）構(gòu)造等腰（邊）三角形：（3）構(gòu)造直角三角形；（4）構(gòu)造全等三角形；（5）構(gòu)造相似三角形；（6）構(gòu)造特殊四邊形；（7）構(gòu)造圓的特殊圖形；方法（8）基本輔助線；（9）截取和延長變換；（10）對稱變換；（11）平移變換；（12）旋轉(zhuǎn)變換。下面通過近年全國各地中考的實例探討其應(yīng)用。一、構(gòu)造基本圖形：每個幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時補(bǔ)完整基本圖形。如平行線，垂直線，直角三角形斜邊上中線，三角形、四邊形的中位線等。等腰（邊）三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四邊形和圓的特殊圖形也都是基本圖形，但我

5、們后面把它們單獨(dú)表述。典型例題：例1. （2012湖北襄陽3分）如圖，直線lm，將含有45°角的三角板ABC的直角頂點(diǎn)C放在直線m上，若1=25°，則2的度數(shù)為【 】A20° B25° C30° D35°【答案】A?！究键c(diǎn)】平行線的性質(zhì)?！痉治觥咳鐖D，過點(diǎn)B作BDl，直線lm，BDlm。1=25°，4=1=25°。ABC=45°，3=ABC4=45°25°=20°。2=3=20°。故選A。例2.（2012四川內(nèi)江3分）如圖，【 】A. B. C. D.【答案】B?！?/p>

6、考點(diǎn)】平行的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)?！痉治觥咳鐖D，反向延長，形成4。 ，3=18004。 又2=14，即4=21。 。故選B。例3.（2012廣東梅州3分）如圖，AOE=BOE=15°，EFOB，ECOB，若EC=1，則EF= 【答案】2?！究键c(diǎn)】角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)?！痉治觥孔鱁GOA于F，EFOB，OEF=COE=15°，AOE=15°，EFG=15°+15°=30°。EG=CE=1，EF=2×1=2。例4.（2012廣東佛山3分）依次連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)，得到一個特

7、殊圖形（可認(rèn)為是一般四邊形的性質(zhì)），則這個圖形一定是【 】 A平行四邊形B矩形C菱形D梯形【答案】 A。【考點(diǎn)】三角形中位線定理，平行四邊形的判定?！痉治觥扛鶕?jù)題意畫出圖形，如右圖所示：連接AC，四邊形ABCD各邊中點(diǎn)是E、F、G、H，HGAC，HG=AC，EFAC，EF=AC。EF=GH，EFGH。四邊形EFGH是平行四邊形。由于四邊形EFGH是平行四邊形，它就不可能是梯形；同時由于是任意四邊形，所以AC=BD或ACBD不一定成立，從而得不到矩形或菱形的判斷。故選A。 例5.（2012江蘇宿遷3分）已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若ACBD，且ACB

8、D，則四邊形EFGH的形狀是 .（填“梯形”“矩形”“菱形” ）【答案】矩形?！究键c(diǎn)】三角形中位線定理，矩形的判定?！痉治觥咳鐖D，連接AC，BD。 E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理，HEABGF，HGACEF。又ACBD，EHG=HGF=GFE=FEH=900。四邊形EFGH是矩形。且ACBD，四邊形EFGH鄰邊不相等。四邊形EFGH不可能是菱形。例6.（2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田3分）如圖，線段AC=n+1（其中n為正整數(shù)），點(diǎn)B在線段AC上，在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，連接AM、ME、EA得到AME當(dāng)AB=1時，AME的

9、面積記為S1；當(dāng)AB=2時，AME的面積記為S2；當(dāng)AB=3時，AME的面積記為S3；當(dāng)AB=n時，AME的面積記為Sn當(dāng)n2時，SnSn1= 【答案】。【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，同底等高的三角形面積，整式的混合運(yùn)算?！痉治觥窟B接BE，在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，BEAM。AME與AMB同底等高。AME的面積=AMB的面積。當(dāng)AB=n時，AME的面積為，當(dāng)AB=n1時，AME的面積為。當(dāng)n2時，。例7.（2012江蘇鎮(zhèn)江6分）如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長交CB的延長線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在BC邊上，且GDF=ADF。（1）求證：A

10、DEBFE；（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系，并說明理由。【答案】解：（1）證明：ADBC，ADE=BFE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。 E是AB的中點(diǎn)，AE=BE。 又AED=BEF，ADEBFE（AAS）。 （2）EG與DF的位置關(guān)系是EGDF。理由如下： ADE=BFE，GDF=ADF，GDF=BFE（等量代換）。GD=GF（等角對等邊）。 又ADEBFE，DE=EF（全等三角形對應(yīng)邊相等）。EGDF（等腰三角形三線合一）?！究键c(diǎn)】平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）由已知，應(yīng)用AAS即可證明ADEBFE。 （2）由ADE=BFE，GDF=AD

11、F可得GDF=BFE，從而根據(jù)等角對等邊得GD=GF；由（1）ADEBFE可得DE=EF。根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EGDF。例8.（2012廣西南寧10分）如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點(diǎn)G，F(xiàn)，AE與FG交于點(diǎn)O（1）如圖1，求證：A，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形；（2）如圖2，當(dāng)AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N時，求證：點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)；（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長【答案】解：（1）由折疊的性質(zhì)可得，GA=GE，AGF=EGF，DCAB，EFG=AGF。EFG=EGF。EF

12、=EG=AG。四邊形AGEF是平行四邊形（EFAG，EF=AG）。又AG=GE，四邊形AGEF是菱形。（2）連接ON，AED是直角三角形，AE是斜邊，點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N，ONBC。點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，ON是梯形ABCE的中位線。點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)。（3）OE、ON均是AED的外接圓的半徑，OE=OA=ON=2。AE=AB=4。在RtADE中，AD=2，AE=4，AED=30°。在RtOEF中，OE=2，AED=30°，。FG=。【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)，菱形的判定，梯形中位線性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治?/p>

13、】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)判斷出AG=GE，AGF=EGF，再由CDAB得出EFG=AGF，從而判斷出EF=AG，得出四邊形AGEF是平行四邊形，從而結(jié)合AG=GE，可得出結(jié)論。（2）連接ON，則ONBC，從而判斷出ON是梯形ABCE的中位線，從而可得出結(jié)論。 （3）根據(jù)（1）可得出AE=AB，從而在RtADE中，可判斷出AED為30°，在RtEFO中求出FO，從而可得出FG的長度。練習(xí)題：1. （2012寧夏區(qū)3分）如圖，C島在A島的北偏東45°方向，在B島的北偏西25°方向，則從C島看A、B兩島的視角ACB 度2.（2012浙江嘉興、舟山5分）在直角ABC中，C=

14、90°，AD平分BAC交BC于點(diǎn)D，若CD=4，則點(diǎn)D到斜邊AB的距離為 3.（2012江蘇南京8分）如圖，梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，ACBD，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)（1）求證：四邊形EFGH為正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四邊形EFGH的面積。4. （2011湖南懷化3分）如圖，已知直線，1=40°，2=60°則3等于 【 】A、100° B、60° C、40° D、20°5. （2011湖北恩施3分）將一個直角三角板和一把直尺如圖放置，如果=43&

15、#176;，則的度數(shù)是【 】 A、43°B、47° C、30°D、60°6. （2011廣東茂名3分）如圖，兩條筆直的公路l1、l2相交于點(diǎn)O，村莊C的村民在公路的旁邊建三個加工廠 A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村莊C到公路l1的距離為4公里，則村莊C到公路l2的距離是【 】A、3公里B、4公里 C、5公里D、6公里7. （2011遼寧遼陽3分）如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，BAD60°，若DEAB，垂足為點(diǎn)E，則DE的長為 8. （2011貴州黔東南4分）順次連接一矩形場地ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)E、F、

16、G、H，得到四邊形EFGH，M為邊EH的中點(diǎn)，點(diǎn)P為小明在對角線EG上走動的位置，若AB=10米，BC=米，當(dāng)PM+PH的和為最小值時，EP的長為 。9. （2011廣西玉林、防城港10分）如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點(diǎn)H（1）求證：EB=GD；（2）判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若AB=2，AG=，求EB的長10. （2011湖南衡陽10分）如圖，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m4），點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接PD，過點(diǎn)P作PQPD，交直線BC于點(diǎn)Q（1）當(dāng)m

17、=10時，是否存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合？若存在，求出此時AP的長；若不存在，說明理由；（2）連接AC，若PQAC，求線段BQ的長（用含m的代數(shù)式表示）；（3）若PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍二、構(gòu)造等腰（邊）三角形：當(dāng)問題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時往往要補(bǔ)完整等腰（邊）三角形；出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰（邊）三角形。通過構(gòu)造等腰（邊）三角形，應(yīng)用等腰（邊）三角形的性質(zhì)得到一些邊角相等關(guān)系，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例1. （2012浙江麗水、金華4分）如圖，在等腰ABC中，ABAC

18、，BAC50°BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，則CEF的度數(shù)是 【答案】50°。【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)。【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分線的性質(zhì)得出OBC40°，以及OBCOCB40°，再利用翻折變換的性質(zhì)得出EOEC，CEFFEO，進(jìn)而求出即可：連接BO，ABAC，AO是BAC的平分線，AO是BC的中垂線。BOCO。BAC50°，BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O，OABOAC25°。等腰ABC中， ABAC，BAC50

19、°，ABCACB65°。OBC65°25°40°。OBCOCB40°。點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，EOEC，CEFFEO。CEFFEO（18002×400）÷250°。例2.（2012甘肅白銀10分）如圖，已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、F分別在線段BC、AB上，EFB=60°，DC=EF（1）求證：四邊形EFCD是平行四邊形；（2）若BF=EF，求證：AE=AD【答案】證明：（1）ABC是等邊三角形，ABC=60°。EFB=60°，ABC=EFB。EFDC（內(nèi)錯角相等，兩直線

20、平行）。DC=EF，四邊形EFCD是平行四邊形。（2）連接BE。BF=EF，EFB=60°，EFB是等邊三角形。EB=EF，EBF=60°。DC=EF，EB=DC。ABC是等邊三角形，ACB=60°，AB=AC。EBF=ACB。AEBADC（SAS）。AE=AD?！究键c(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)，平行的判定，平行四邊形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，。【分析】（1）由ABC是等邊三角形得到B=60°，而EFB=60°，由此可以證明EFDC，而DC=EF，然后即可證明四邊形EFCD是平行四邊形；（2）如圖，連接BE，由BF=EF，EFB=60°

21、可以推出EFB是等邊三角形，然后得到EB=EF，EBF=60°，而DC=EF，由此得到EB=DC，又ABC是等邊三角形，所以得到ACB=60°，AB=AC，由SAS即可證明AEBADC，利用全等三角形的性質(zhì)就證明AE=AD。例3.（2011上海12分）如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，ABDC，過點(diǎn)D作DEBC，垂足為E，并延長DE至F，使EFDE聯(lián)結(jié)BF、CD、AC（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形； （2）如果DE2BE·CE，求證四邊形ABFC是矩形 【答案】解：（1）證明：連接BD。梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，AC=BD，ACB=DBCDE

22、BC，EF=DE，BD=BF，DBC=FBC。AC=BF，ACB=CBF。ACBF。四邊形ABFC是平行四邊形；（2）DE2BE·CE，。DEB=DEC=90°，BDEDEC。CDE=DBE，BFC=BDC=BDECDE=BDEDBE=90°。四邊形ABFC是矩形?！究键c(diǎn)】等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，等量代換?！痉治觥浚?）連接BD，利用等腰梯形的性質(zhì)得到AC=BD，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到DB=FB，從而得到AC=BF，然后證得ACBF，利用一組對邊平行且相等判定平行四邊形。（2）利用題目提供的等積式和兩直角相等

23、可以證得兩直角三角形相似，得到對應(yīng)角相等，從而得到直角來證明有一個角是直角的平行四邊形是矩形。練習(xí)題：1. （2011山東濰坊3分）已知長方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，過對角線BD的中點(diǎn)O做BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，則AE的長為 2. （2011遼寧遼陽3分）如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，BAD60°，若DEAB，垂足為點(diǎn)E，則DE的長為 3. （2011湖北十堰8分）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C為半徑OB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CDAB交半圓O于點(diǎn)D，將ACD沿AD折疊得到AED，AE交半圓于點(diǎn)F，連接DF。（1）求證：DE是半圓的切線；（2）連接

24、OD，當(dāng)OC=BC時，判斷四邊形ODFA的形狀，并證明你的結(jié)論。4. （2011四川巴中10分） 如圖所示，ABC的外接圓圓心O在AB上，點(diǎn)D是BC延長線上一點(diǎn)，DMAB于M，交AC于N，且AC=CDCP是CDN的ND邊的中線 (1)求證：ABCDNC； (2)試判斷CP與O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。5. （2011廣東河源9分） 如圖，等腰梯形ABCD中，ABCD，AD=BC。將ACD沿對角線AC翻折后，點(diǎn)D恰好與邊AB的中點(diǎn)M重合 (1)點(diǎn)C是否在以AB為直徑的圓上?請說明理由; (2)當(dāng)AB=4時，求此梯形的面積三、構(gòu)造直角三角形：通過構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)得到一些邊角關(guān)

25、系（勾股定理，兩銳角互余，銳角三角函數(shù)），達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例2.（2012廣西柳州3分）已知：在ABC中，AC=a，AB與BC所在直線成45°角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為 （即cosC=），則AC邊上的中線長是 【答案】或a?！究键c(diǎn)】解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，三角形中位線定理，勾股定理?！痉治觥糠謨煞N情況：ABC為銳角三角形時，如圖1，BE為AC邊的中線。作ABC的高AD，過點(diǎn)E作EFBC于點(diǎn)F。在RtACD中，AC=a，cosC=，CD=a，AD=a。在RtABD中，ABD=45°，BD=AD=a。BC=BD+CD=a。點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)

26、，EFAD，EF是ACD的中位線。FC=DC=a，EF=AD=a。BF=a。在RtBEF中，由勾股定理，得。ABC為鈍角三角形時，如圖2，BE為AC邊的中線。作ABC的高AD。在RtACD中，AC=a，cosC=，CD=a，AD=a。在RtABD中，ABD=45°，BD=AD=a。BC= BD=a。點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，BE是ACD的中位線。BE=AD=a。綜上所述，AC邊上的中線長是或a。例3. （2012廣西河池3分）如圖，在矩形ABCD中，ADAB，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為MN，連結(jié)CN若CDN的面積與CMN的面積比為14，則 的值為【 】A2B4 CD【答案】

27、D?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形、菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理。【分析】過點(diǎn)N作NGBC于G，由四邊形ABCD是矩形，易得四邊形CDNG是矩形，又由折疊的性質(zhì)，可得四邊形AMCN是菱形，由CDN的面積與CMN的面積比為1：4，根據(jù)等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的比，可得DN：CM=1：4，然后設(shè)DN=x，由勾股定理可求得MN的長，從而求得答案： 過點(diǎn)N作NGBC于G，四邊形ABCD是矩形，四邊形CDNG是矩形，ADBC。CD=NG，CG=DN，ANM=CMN。由折疊的性質(zhì)可得：AM=CM，AMN=CMN，ANM=AMN。AM=AN。AM=CM，四邊形AMCN是平行四邊形。AM=C

28、M，四邊形AMCN是菱形。CDN的面積與CMN的面積比為1：4，DN：CM=1：4。設(shè)DN=x，則AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。BM=x，GM=3x。在RtCGN中，在RtMNG中，。故選D。例4.（2012北京市5分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)E，BAC=900，CED=450，DCE=900，DE=，BE=2求CD的長和四邊形ABCD的面積【答案】解：過點(diǎn)D作DHAC，CED=45°，DHEC，DE=，EH=DH=1。又DCE=30°，DC=2，HC=。AEB=45°，BAC=90°，BE=2，AB=

29、AE=2。AC=2+1+ =3+。 ?！究键c(diǎn)】勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出EH=DH=1，進(jìn)而得出再利用直角三角形中30°所對邊等于斜邊的一半得出CD的長，求出AC，AB的長即可得出四邊形ABCD的面積。例5.（2012山東萊蕪9分）某市規(guī)劃局計劃在一坡角為16º的斜坡AB上安裝一球形雕塑，其橫截面示意圖如圖所示已知支架AC與斜坡AB的夾角為28º，支架BDAB于點(diǎn)B，且AC、BD的延長線均過O的圓心，AB12m，O的半徑為1.5m，求雕塑最頂端到水平地面的垂直距離(結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)

30、據(jù)：cos28º0.9，sin62º0.9，sin44º0.7，cos46º0.7)【答案】解：如圖，過點(diǎn)O作水平地面的垂線，垂足為點(diǎn)E。 在RtAOB中，即， 。BAE=160，OAE=280160=440。在RtAOE中，即，9.3331.5=10.83310.83（m）。答：雕塑最頂端到水平地面的垂直距離為10.83 m?！究键c(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥咳鐖D，過點(diǎn)O作水平地面的垂線，構(gòu)造RtAOE。解RtAOB，求出OA；解RtAOE，求出OE，即可得出雕塑最頂端到水平地面的垂直距離。例6.（2012山東聊城7分）周末，小亮一

31、家在東昌湖游玩，媽媽在湖心島岸邊P處觀看小亮與爸爸在湖中劃船（如圖）小船從P處出發(fā)，沿北偏東60°劃行200米到達(dá)A處，接著向正南方向劃行一段時間到達(dá)B處在B處小亮觀測媽媽所在的P處在北偏西37°方向上，這時小亮與媽媽相距多少米（精確到米）？（參考數(shù)據(jù)：sin37°0.60，cos37°0.80，tan37°0.75，1.41，1.73）【答案】解：作PDAB于點(diǎn)D，由已知得PA=200米，APD=30°，B=37°，在RtPAD中，由cos30°=，得PD=PAcos30°=200×=100（

32、米）。在RtPBD中，由sin37°=，得PB=（米）。答：小亮與媽媽的距離約為288米?！究键c(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用（方向角問題），銳角三角函數(shù)?！痉治觥孔鱌DAB于點(diǎn)D，分別在直角三角形PAD和直角三角形PBD中求得PD和PB即可求得結(jié)論。例7. （2012吉林省8分）如圖，在扇形OAB中，AOB=90°，半徑OA=6將扇形OAB沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在 上點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，求整個陰影部分的周長和面積【答案】解：連接OD。 根據(jù)折疊的性質(zhì)，CD=CO，BD=BO，DBC=OBC，OB=OD=BD。OBD是等邊三角形。DBO=60°。CBO=DBO

33、=30°。AOB=90°，OC=OBtanCBO=6×。，整個陰影部分的周長為：AC+CD+BD+=AC+OC+OB+=6+6+3=12+3。整個陰影部分的面積為：?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，弧長的扇形面積的計算?！痉治觥窟B接OD，由折疊的性質(zhì)，可得CD=CO，BD=BO，DBC=OBC，則可得OBD是等邊三角形，繼而求得OC的長，即可求得OBC與BCD的面積，又由在扇形OAB中，AOB=90°，半徑OA=6，即可求得扇形OAB的面積與 的長，從而求得整個陰影部分的周長和面積。練習(xí)題：1.

34、 （2012四川綿陽3分）已知ABC中，C=90°，tanA=，D是AC上一點(diǎn)，CBD=A，則sinABD=【 】。A B C D2.（2012山東青島8分）如圖，某校教學(xué)樓AB的后面有一建筑物CD，當(dāng)光線與地面的夾角是22º時，教學(xué)樓在建筑物的墻上留下高2m的影子CE；而當(dāng)光線與地面的夾角是45º時，教學(xué)樓頂A在地面上的影子F與墻角C有13m的距離(B、F、C在一條直線上)(1)求教學(xué)樓AB的高度；(2)學(xué)校要在A、E之間掛一些彩旗，請你求出A、E之間的距離(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：sin22º，cos22º，tan22º)3.（

35、2012湖北襄陽3分）在一次數(shù)學(xué)活動中，李明利用一根栓有小錘的細(xì)線和一個半圓形量角器制作了一個測角儀，去測量學(xué)校內(nèi)一座假山的高度CD如圖，已知小明距假山的水平距離BD為12m，他的眼鏡距地面的高度為1.6m，李明的視線經(jīng)過量角器零刻度線OA和假山的最高點(diǎn)C，此時，鉛垂線OE經(jīng)過量角器的60°刻度線，則假山的高度為【 】A（4+1.6）m B（12+1.6）m C（4+1.6）m D4m4.（2012江蘇南京2分）如圖，將的AOB按圖擺放在一把刻度尺上，頂點(diǎn)O與尺下沿的端點(diǎn)重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)為2cm，若按相同的方式將的AOC放置在該尺上，則OC與尺

36、上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)約為 cm（結(jié)果精確到0. 1 cm，參考數(shù)據(jù)：，）5.（2012福建福州4分）如圖，已知ABC，ABAC1，A36°，ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，則AD的長是 ，cosA的值是 (結(jié)果保留根號)6.（2012陜西省8分）如圖，小明想用所學(xué)的知識來測量湖心島上的迎賓槐與岸上的涼亭間的距離，他先在湖岸上的涼亭A處測得湖心島上的迎賓槐C處位于北偏東方向，然后，他從涼亭A處沿湖岸向正東方向走了100米到B處，測得湖心島上的迎賓槐C處位于北偏東方向（點(diǎn)A、B、C在同一水平面上）請你利用小明測得的相關(guān)數(shù)據(jù)，求湖心島上的迎賓槐C處與湖岸上的涼亭A處之間的距離（結(jié)果精確

37、到1米）（參考數(shù)據(jù)：，）7.（2012江蘇連云港10分）已知B港口位于A觀測點(diǎn)北偏東53.2°方向，且其到A觀測點(diǎn)正北方向的距離BD的長為16km，一艘貨輪從B港口以40km/h的速度沿如圖所示的BC方向航行，15min后達(dá)到C處，現(xiàn)測得C處位于A觀測點(diǎn)北偏東79.8°方向，求此時貨輪與A觀測點(diǎn)之間的距離AC的長(精確到0.1km)(參考數(shù)據(jù)：sin53.2°0.80，cos53.2°0.60，sin79.8°0.98，cos79.8°0.18，tan26.6°0.50，1.41，2.24)8.（2012四川樂山10分）如圖

38、，在東西方向的海岸線l上有一長為1千米的碼頭MN，在碼頭西端M的正西方向30 千米處有一觀察站O某時刻測得一艘勻速直線航行的輪船位于O的北偏西30°方向，且與O相距千米的A處；經(jīng)過40分鐘，又測得該輪船位于O的正北方向，且與O相距20千米的B處（1）求該輪船航行的速度；（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸？請說明理由（參考數(shù)據(jù)：，）四、構(gòu)造全等三角形：通過構(gòu)造全等三角形，應(yīng)用全等三角形對應(yīng)邊、角相等的性質(zhì)，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例1. （2012浙江紹興5分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，將ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在A

39、C上的點(diǎn)B處，又將CEF沿EF折疊，使點(diǎn)C落在EB與AD的交點(diǎn)C處則BC：AB的值為 。例2. （2012山東泰安3分）如圖，ABCD，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，若AB=5，CD=3，則EF的長是【 】A4B3C2D1【答案】D。【考點(diǎn)】三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥窟B接DE并延長交AB于H，CDAB，C=A，CDE=AHE。E是AC中點(diǎn)，DE=EH。DCEHAE（AAS）。DE=HE，DC=AH。F是BD中點(diǎn)，EF是DHB的中位線。EF=BH。BH=ABAH=ABDC=2。EF=1。故選D。例3.（2012山東德州12分）如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD

40、，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH（1）求證：APB=BPH；（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動時，PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由【答案】解：（1）如圖1，PE=BE，EBP=EPB又EPH=EBC=90°，EPHEPB=EBCEBP，即PBC=BPH。又ADBC，APB=PBC。APB=BPH。（2）PHD的周長不變?yōu)槎ㄖ?。證明如下：如圖2

41、，過B作BQPH，垂足為Q。由（1）知APB=BPH，又A=BQP=90°，BP=BP，ABPQBP（AAS）。AP=QP，AB=BQ。又AB=BC，BC=BQ。又C=BQH=90°，BH=BH，BCHBQH（HL）。CH=QH。PHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。（3）如圖3，過F作FMAB，垂足為M，則FM=BC=AB。又EF為折痕，EFBP。EFM+MEF=ABP+BEF=90°。EFM=ABP。又A=EMF=90°，AB=ME，EFMBPA（ASA）。EM=AP=x在RtAPE中，（4BE）2+x2=BE2，

42、即。又四邊形PEFG與四邊形BEFC全等，。，當(dāng)x=2時，S有最小值6?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值?！痉治觥浚?）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出PBC=BPH，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出APB=PBC即可得出答案。（2）先由AAS證明ABPQBP，從而由HL得出BCHBQH，即可得CH=QH。因此，PDH的周長=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8為定值。（3）利用已知得出EFMBPA，從而利用在RtAPE中，（4BE）2+x2=BE2，利用二次函數(shù)的最值求出即可。例4. （2011廣西南寧3分）如圖，在A

43、BC中，ACB90º，A15º，AB8，則AC·BC的值為【 】A14 B16 C4 D16【答案】D?！究键c(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)?！痉治觥垦娱LBC到點(diǎn)D，使CDCB，連接AD，過點(diǎn)D作DEAB，垂足為點(diǎn)E。則知ACDACB，從而由已知得CADA15º，ADAB。因此，在RtADE中，AD8，BAD30º，DEAD·sin30º4。從而SADE·AB·DE16，又SADE·BD·AC·2BC·ACAC·BC，即AC·BC16。例

44、5. （2011山東濟(jì)南3分）如圖，在ABC中，ACB90º，ACBC，分別以AB、BC、CA為一邊向ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，連接EF、GM、ND，設(shè)AEF、BND、CGM的面積分別為S1、S2、S3，則下列結(jié)論正確的是【 】AS1S2S3 BS1S2S3CS1S3S2 DS2S3S1【答案】A?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。【分析】過點(diǎn)D作DQMN交CB的延長線于點(diǎn)P，交MN的延長線于點(diǎn)Q； 過點(diǎn)E作ERGF交CA的延長線于點(diǎn)S，交GF的延長線于點(diǎn)R。 易證CGMCAB（SAS），即S2SABC； 易證PBDCAB（AAS），

45、BP=AC，即S3的底為BN=BC，高為BP=AC，S2SABC；易證SEACAB（AAS），AS=BC，即S1的底為FA=CA，高為AS=BC，S2SABC。S1S2S3SABC。故選A。例6. （2011山東德州8分）如圖 AB=AC，CDAB于D，BEAC于E，BE與CD相交于點(diǎn)O（1）求證AD=AE；（2）連接OA，BC，試判斷直線OA，BC的關(guān)系并說明理由【答案】解：（1）證明：在ACD與ABE中，A=A，ADC=AEB=90°，AB=AC，ACDABE（AAS）。AD=AE。 （2）在RtADO與RtAEO中，OA=OA，AD=AE，ADOAEO（HL）。DAO=EAO。

46、即OA是BAC的平分線。又AB=AC，OABC?！究键c(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)全等三角形AAS的判定方法，證明ACDABE，即可得出AD=AE。（2）根據(jù)已知條件得出ADOAEO，得出DAO=EAO，即可判斷出OA是BAC的平分線，即OABC。練習(xí)題：1. （2012湖南岳陽3分）如圖，在RtABC中，B=90°，沿AD折疊，使點(diǎn)B落在斜邊AC上，若AB=3，BC=4，則BD= 2. （2011湖北恩施3分）如圖，AD是ABC的角平分線，DFAB，垂足為F，DE=DG，ADG和AED的面積分別為50和39，則EDF的面積為 【 】A、11B、5.5 C、7D、3.5

47、3. （2011湖北隨州4分）如圖，ABC的外角ACD的平分線CP與內(nèi)角ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若BPC=40°，則CAP= 4.（2011廣西貴港2分）如圖所示，將兩張等寬的長方形紙條交叉疊放，重疊部分是一個四邊形ABCD，若AD6cm，ABC60°，則四邊形ABCD的面積等于_ cm25. （2011江蘇徐州6分）如圖，將矩形紙片ABCD按如下順序進(jìn)行折疊: 對折、展平, 得折痕EF(如圖); 沿GC折疊, 使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)B' 處(如圖); 展平, 得折痕GC(如圖); 沿GH折疊, 使點(diǎn)C落在DH上的點(diǎn)C' 處(如圖); 沿GC' 折疊

48、(如圖); 展平, 得折痕GC' 、GH(如圖)。（1） 求圖中BCB' 的大小;（2） 圖中的GCC' 是正三角形嗎?請說明理由. 五、構(gòu)造相似三角形：通過構(gòu)造相似三角形，應(yīng)用相似三角形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例1. （2012廣東深圳3分）小明想測量一棵樹的高度，他發(fā)現(xiàn)樹的影子恰好落在地面和一斜坡上；如圖，此時測得地面上的影長為8米，坡面上的影長為4米已知斜坡的坡角為300，同一時 刻，一根長為l米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長為2米，則樹的高度為【 】A.米 B.12米 C.米 D10米【答案】A。【考點(diǎn)】解直角三角形

49、的應(yīng)用（坡度坡角問題），銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥垦娱LAC交BF延長線于E點(diǎn)，則CFE=30°。作CEBD于E，在RtCFE中，CFE=30°，CF=4，CE=2，EF=4cos30°=2，在RtCED中，CE=2，同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長為2米，DE=4。BD=BF+EF+ED=12+2。DCEDAB，且CE：DE=1：2，在RtABD中，AB=BD=。故選A。例2.（2012湖北十堰3分）如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分線EF交AD于點(diǎn)E、交BC于點(diǎn)F，則EF

50、= 【答案】?！究键c(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理；【分析】連接EC，AC、EF相交于點(diǎn)O。AC的垂直平分線EF，AE=EC。四邊形ABCD是矩形，D=B=90°，AB=CD=2，AD=BC=4，ADBC。AOECOF。OA=OC，OE=OF，即EF=2OE。在RtCED中，由勾股定理得：CE2=CD2+ED2，即CE2=（4CE）2+22，解得： CE=。在RtABC中，AB=2，BC=4，由勾股定理得：AC=，CO=。在RtCEO中，CO=，CE=，由勾股定理得：EO=。EF=2EO=。例3.（2012天津市10分）已知一個矩形紙片OACB，

51、將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（11，0），點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），經(jīng)過點(diǎn)O、P折疊該紙片，得點(diǎn)B和折痕OP設(shè)BP=t（）如圖，當(dāng)BOP=300時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（）如圖，經(jīng)過點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB上，得點(diǎn)C和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；（）在（）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C恰好落在邊OA上時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）【答案】解：（）根據(jù)題意，OBP=90°，OB=6。在RtOBP中，由BOP=30°，BP=t，得OP=2t。OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=（舍去）

52、點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，6）。（）OBP、QCP分別是由OBP、QCP折疊得到的，OBPOBP，QCPQCP。OPB=OPB，QPC=QPC。OPB+OPB+QPC+QPC=180°，OPB+QPC=90°。BOP+OPB=90°，BOP=CPQ。又OBP=C=90°，OBPPCQ。由題意設(shè)BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11t，CQ=6m。（0t11）。（）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚ǎ└鶕?jù)題意得，OBP=90°，

53、OB=6，在RtOBP中，由BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。 （）由OBP、QCP分別是由OBP、QCP折疊得到的，可知OBPOBP，QCPQCP，易證得OBPPCQ，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案。（）首先過點(diǎn)P作PEOA于E，易證得PCECQA，由勾股定理可求得CQ的長，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例與，即可求得t的值： 過點(diǎn)P作PEOA于E，PEA=QAC=90°。PCE+EPC=90°。PCE+QCA=90°，EPC=QCA。PCECQA。PC=PC=11t，PE=OB=6，AQ=m，CQ=CQ=6m，。，即，即。將代入，并化簡，得。解得：。點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）。例4.（2012湖南岳陽3分）如圖，ABC中，AB=AC，D是AB上的一點(diǎn)，且AD=AB，DFBC，E為BD的中點(diǎn)若EFAC，BC=6，則四邊形DBCF的面積為 【答案】15。【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股