分波前干涉法中空間互相關函數(shù)的傳輸

1、第13巻第6期強激光與粒子束Vol 13.No 62001 年 11 月HIGH POW ER LASER AND PARTICLE BEAM SNov. ,2001:1001 -4322 (2001) 06-0695-06孫今人山，戴亞平門(L國家高功率激蕪物理實臉室.上海201800:2中國工程物理硏究院上海激光等離千體硏究所，上海201800:3中國科學眈上海光學糟密機械硏究所.上海201800):在光學干涉技術中.被檢信息主要包含在干涉波面的互相關函數(shù)中并員終體現(xiàn)為干涉 場猴度分布的調制。由Fresnel彳疔射理論出發(fā)運用Collins公式.分析了分波前干涉法中空間互相關函 數(shù)的傳遞性

2、質得到了用光纟戈矩陣元表示的空間互相關函數(shù)傳輸公式并以此對邁克耳遜干涉儀和橫向 剪切干涉儀中的干涉圖強度分布進行了分析。:互相關函數(shù)：自相關函數(shù)：光傳輸：干涉圖:O242 1:A在相干性理論中，自相關函數(shù)(A u to "Correia ton Functbn, ACF)和互相關函數(shù)(Cross"Correlatbn Functbn, CCF)山起著非常重要的作用。運用于干涉技術中,干涉場的強度分布是與干涉波面的ACF 和CCF密切相關的。對此J W. Goocbnan通過分析ACF.CCF以及互強度的傳輸.詳細討論了窄帶光 場在邁克耳遜干涉儀和楊氏雙縫干涉中形成的干涉場強

3、度分布川。但是Goodman的分析結果僅僅適用 于干涉波面在自由空間中的傳輸，對于較復雜的干涉手段難以很好地解釋。而如果運用光線矩陣描述干 涉儀器中的光學系統(tǒng)，那么由此得到的空間相關函數(shù)的傳輸公式應該是具有普遍意義的。本文基于此思 想，對分波前干涉法中CCF的傳輸進行了分析。并以此分析了兩個特例。gO /?;«)Fig 1 Schaneof divided-wavefront uHerfeivinetry圖I分波前干涉法示意圖分波前干涉法的原理如圖1所示。任意波面E(x)在zi處被分成兩個波面其中一個波面經(jīng)過用 A ,B i,Ci.Di表示的光學系統(tǒng)后在處形成場');另一波面

4、經(jīng)過光學系統(tǒng)A 2” 2.C2.D 2后在1 處形成場E；(x ');兩個波面在Z2處疊加后形成新的場E '(X ')。此時有E9(x) = E(x) + E；(x；), (1)E'(X2)= El(X2)+ E2(X2)那么疊加后波面E ' (x ')的ACF為:2001-04-10;: 2001-06-29:國家863慣性約東聚變領域資助課題:孫今人(1974)女.助工現(xiàn)從事等離子體物理方面研究工和上海800-229信紹:silpsunmail shcnc ac cn. © 1995-2005 Tsinghua Tongfang O

5、ptical Disc Co.、Ltd. All rights reserved.第6期孫今人等：分波前干波法中空間互相關函數(shù)的傳輸#r.rLvb = <E9(x)E，a(X2)> = <E；(x；)+ E2(x) E? (xi) + Ei (xb > =<E1(.¥ 1)E1* (r2)> + <EI (r 1)E2* (r2) > + <E2(.ri)Ei*(X2) > + <E2(x )E2*(X2) > =ril(Jl 1,X2)+ 22(X1,X2)+ 12 (.r I, X2)+X2)(2)式中：11

6、(h)和22(X；,X2)分別是Ei(x )和E2(X 9)的A CF；12(X 1, X 2)和2I(X1,X2)則分別是 E；(J)和E2(x9)的CCF。 當H時.自相關函數(shù)F '(x；,x；)就是波面(干涉場)的強度分布。 即/(X 9) = r(X 9 = X 1 = X2)='ll(x'= X 1 = X2)+»，»，»-»>(3)L22(Jl = X I = X2)+ r 12(X = X I = X 2)+21(X = Xl = X 2)以上的分析是假定場E(x9)和E；(x')在疊加時不存在借位的情

7、況。當有錯位時r,(x,Itxb = <E9(x)E" (x>2)>= <|E；(x；) + E；(x；+ A/) £； (x；) +Ei*(X2 + $')= <El(X l)El (X2)> 4- <E I(X I ) E 2 (X 2 +$')+<E1(X + A5)E(X2)+ <E2(X| + $'疋2°(X2 + $')=ril(X I, X2)+ ri2(X I, X2 + $') + r：!(X I + A5 , X：) + s,X2+ $')(4

8、)式中$'為錯位量。從上面的分析可以看出，分波前干涉的干涉圖強度是與干涉波面的ACF和CCF密 切相關的。關干ACF的傳輸我們已經(jīng)作過具體分析了。事實上干涉場強度的調制都是體現(xiàn)在互相關 西數(shù)上的。所以研究這種情況下互相關函數(shù)的傳輸是很有必要的。999r 12 (x 1, X 2)=在分波前干涉的情況下(如圖1所示)，運用Collins衍射積分公式，互相關函數(shù)可以表示為(E I(X I)E2 (X 2)=exp k (B B iB 2B2) JJe(xi)E*(X2)> X(16)第6期孫今人等：分波前干波法中空間互相關函數(shù)的傳輸#(16)第6期孫今人等：分波前干波法中空間互相關函

9、數(shù)的傳輸697D 2°、B 2) dx id.v:=lx 1X1.b2八D亦；'B 丁 )d.vidx2(5)2y i.YB 1Iexp jk (B 1 B 2) f f (x 1, x 2) 入4 B出2f j/Lf4_L 24-2 1 z 2X1X1 2y p 1A rexp 2- b 2X2'( B 1 Bi “Bi式中r(A ,x2)是E(x)的自相關函數(shù)。在上式中做如下變量代換A /B x ir；2(xi,X2)= - exp jk (B i - B 2) JTXbX2)xA A 2exp jfca F +A 2D2)Zh Aa ' - A-v 9x

10、、再令© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co. Ltd. All rights reserved.'d?d ( Aa )那么，式(6)可以寫成(8)s, yj/!S2= r-!+ /!，/彳 AiDi 4 A 6V A iDi 1 A J)2r；2(X；,X2)=r1expj (fi ! - B 2)-7 A jA 2才 SiS+ +(sf+ Sz - 4) A.V 9xf - *SiS2(山')2 Xxp j2TT(S ix '*S 2Av f)fx df x/(x i, xz)exp (j2TIf i A

11、.v)d (Aa )式就是分波前干涉中互相關函數(shù)的傳輸公式。對于更普遍的情況，當兩個獨立波面分別傳輸時.其互相關西數(shù)的傳輸公式只要把（9）式中的入射波面的自相關西數(shù)換成互相關函數(shù)即可。2 2當兩個波面疊加存在錯位的時候干涉場強度如式（4）。這時需要分析的是；2（x；,x；+ $'）和 r；i（X； + $'!；）的傳輸。需要注意的是這兩個互相關函數(shù)已經(jīng)沒有共梔的關系了。對于ri2（X 1, X2 + Aj），從Co Hill S公式可以得到(16)第6期孫今人等：分波前干波法中空間互相關函數(shù)的傳輸#(16)第6期孫今人等：分波前干波法中空間互相關函數(shù)的傳輸#(10)exp (A

12、 2x1 2x1X2 + D 21) + (2D 込心'+ D 2 2xis9) d.t2可見，在積分號內多了一個附加的位相項。該位相項必然會對互相關函數(shù)的傳輸產(chǎn)生影響，其傳輸公式 仍可以寫成如下形式(11)ri2(x I, X： + $') = I exp (jkOh) xp (j2TTx)df x f (x i.X2)exp (j27J xA. )d (A.v)y A A 22B1(B=012iss丄2(s丄4!5(A2r(sI X + 2 S MA.v 幺IDj(12)2)+ (24 202 2B1士2小，-J Ay'(13)A 2IAj2 J A 2«

13、2A對于"（x；+ $；），同樣可以得到如式（11）形式的傳輸公式但是0G = （B2 - B J + 扌SSQ+ 十（Sf + Si- 4） +(14)-S iSz(Av 9)2 + p A5>(Si7, +-2 J心 22(Six9 +A血2iAv *) +S ix'號）（立(15)十 S ：Zkv，+ r: A.V A出2© 1995-2005 Tsiiightui Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.(16)第6期孫今人等：分波前干波法中空間互相關函數(shù)的傳輸700+ 十SiAa，+ -

14、(17)2而且此時式（6）的變量代換應改為 彳 A 1 + 4 a 17 1X 2 x= 2 '， J D 2巾 2.Y 1 +D 1/ i.Y 2 X =2A.V = 7 A i/fe 1X2 A i/B 2X1(18)以上就是存在錯位時的互相關函數(shù)傳輸公龍顯然上面兩個式子是非常復雜的但是在一些特殊情 況下我們可以將其簡化并進行分析對此將在后面進行討論。同時也說明在通常的剪切干涉儀中干 涉場并不是簡單地將波面錯位后再與原來的波面疊加此時必須要考慮兩個波面的傳輸。2 3當存在有限孔徑時與自相關函數(shù)的傳輸類似心，式（9）應改寫成12（X1J2）= r CXpjk（B 1 - 2） 專 S

15、 S 2X -J A A 2十(sf S1 - 4)Aa'F'+ 如 S2(山')2) finis ix'9 -：Aa 9)f x df (xi,X2)r (x i,x>)exp (J271f »Av)d (A.v)A f 1 - kv/1( |Zlv/| C 1 and |a i |, |.v2 | < /2)/ I 0( |A.v/1 C lor x i I，|a 21 > /2)式中：Av=小心。對于存在錯位時的情況.可以做如上一樣的處理只是光瞳函數(shù)中的山 要作相應 變換。(19)(20)3在上一節(jié)的結果中無論是對于無錯位的情況

16、還是有錯位的情況最終的結果都十分復雜。為了便 于分析，我們僅僅考慮最簡單的情況，即1/+ A/-0 1 -事實上上式巳經(jīng)描述大多數(shù)的分波前干涉的情況（運用平光干涉等）。此時51= 0,52= 2（22）下面我們就針對無錯位（邁克爾遜干涉等）和有錯位（橫向剪切干涉等）的兩種情況進行簡單的討論。3 1當沒有錯位存在的時候.由式（9）可以得到互相關函數(shù)為r；2（x；,x：）=&燦/叫'心/（1,心）嚴竝（山）Lei D J Lo d(21)(23)假定E&）是廣義平穩(wěn)的（對于大多數(shù)情況這一限制都是可以滿足的），那么rcvi.xz）只與心小有 關。g “'= 7F-嗎

17、f+ 應'+ 屑借=(J /+ / CT)r+ (丿 /+ /+ 廠7)號當/時© 1995-2005 Tsinghiui Tongfang Optical Disc Co. Ltd. All rights reserved.(25)那么(26)r；2(x；,j2)« e-燉f gXd/JcTTAa)嚴化(2)八 e- >A/r(fT山')同理可得"（x；,x；）q 嚴f 嘰"/（山Z"T）嚴id（山）(27)=少山（廠7山'）這樣由式（3）就可以得到波面E '（X '）強度分布為(28)/'

18、;（x'）Q /1 （x *） + h（x9） 28s2TT 半 + arc8sRc（ Aa'）/（ Aa'） |此時A.vB J)】xB iBi廠/+ A/ ,X U/(/+ /)(29)(36)第6期孫今人等：分波前干波法中空間互相關函數(shù)的傳輸#代入式（28）后(30)廠（x'）Q I （x 9） + / 2 （.v *） 2cos27T 半 + arcoosRe r （- x f） /r （-從（30）式可以看出，當A/是常數(shù)時干涉場上不會出現(xiàn)任何周期性條紋。只有在A/變化的情況下，干涉 場的總體強度才會呈余弦變化的形式這一點與文獻I I中的分析結果完全一

19、致。此外雖然干涉場中沒 有條紋，但是干涉場的強度仍然存在調制，只是由于IM使得該調制是一個緩變的過程難以從“背 底”強度中分離出來。此時如果/是隨x'變化的（例如兩個波面存在一定角度的情況下），干涉場中將 出現(xiàn)周期性條紋。那么上式中自相關函數(shù)的作用就是使條紋出現(xiàn)變形。而這個變形量是比強度起伏更 易分辨和測量的量這樣我們就能從干涉場強度分布中得到更多的入射場空間分布信息。3 2當存在錯位時我們仍然討論如式（20）所示的情況，此時，式（24）中各個參數(shù)等于(31)（Xi =/, ?=山'廠1A/那么，式（11）可以寫成山）/叭錦（山）(32)r；2（x；,x2 + &

20、9;）=嘰宀nh?"嘰d/同樣假定E（x）是廣義平穩(wěn)的由式（25）,上式可以寫成12 (n + d')= e "T (廠 / A.v ' +Ai，)/+ /(33)(36)第6期孫今人等：分波前干波法中空間互相關函數(shù)的傳輸#(36)第6期孫今人等：分波前干波法中空間互相關函數(shù)的傳輸#(34)(35)對于21（小+由式（17）可得其各個參數(shù)為01 = /, F= A.V ' + =Asf考慮到如式（的變量代換關系.由式（25）同樣可得12(H + $') = e "T ° (7山'+11(X 9 ) +12(X 9

21、+ Aj')M，丄/5 2廠A? /O 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.2oo彳 2TT半 + arccos Re F鈴，+世& 2/21 Cl J可見在這種情況下.珀（X；十$'#）與；2（x；,x；+ &'）仍然是共輒的。這樣由式可得干涉場 強度分布為(36)702強激光與粒子束第13卷上式與式(30)基本相似唯一的區(qū)別在于自相關函數(shù)中出現(xiàn)了與錯位量有關的項。顯然當錯位量趨近于 無窮大時.自相關函數(shù)趨近于零.干涉場的強度分布已經(jīng)不能體現(xiàn)入射光

22、場的空間侑息了。此外.由于自 相關函數(shù)與功率譜密度函數(shù)互為傅立葉變換對-7),所以正是由于這個與錯位量有關的項的存在使得 測量得到的波面功率譜密度分布中出現(xiàn)附加的二次位相項。也就是說測童得到的功率譜密度與實際分 布存在偏差。為此需要特殊的算法來分析存在錯位量時的干涉場這一點在文獻【門中有詳細的介紹和 討論。以上我們僅僅是簡單分析了分波前干涉法中干涉場上的強度分布，對于較為復雜的情況.同樣可以 運用上面的方法進行理論分析戒數(shù)值模擬。從上面的分析也可以看出干涉場的強度分布是與入射光場 的自相關函數(shù)密切相關的。在理想情況下通過測量干涉場的強度分布就可以得到入射波面的自相關 函數(shù)進而得到功率譜密度函數(shù)

23、。但是在實際測量中有限禮徑的作用將會影響測量的靈敏度(互相關兩 數(shù)需要乘以一個三角函數(shù))使測量結果中丟失波面的一些高頻信息。此外.由于條紋具有一定的寬度, 這也將使一些細微的強度起伏難以分辨.這主要與“條紋可見度”有關。111 Goodin an J W. Statistic OpticsM Beijing: Science Press 19922 戴亞平.謝虛李銀柱等用矩陣尤表示的空間自相關函數(shù)的傳輸特隹J1中國漱光.2001.(已錄用).(Dai Y P. XieH. LiYZetc The transfer formula of spatial self*a)rrelatbn funct

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