分波前干涉法中空間互相關(guān)函數(shù)的傳輸

1、第13巻第6期強(qiáng)激光與粒子束Vol 13.No 62001 年 11 月HIGH POW ER LASER AND PARTICLE BEAM SNov. ,2001:1001 -4322 (2001) 06-0695-06孫今人山，戴亞平門(mén)(L國(guó)家高功率激蕪物理實(shí)臉室.上海201800:2中國(guó)工程物理硏究院上海激光等離千體硏究所，上海201800:3中國(guó)科學(xué)眈上海光學(xué)糟密機(jī)械硏究所.上海201800):在光學(xué)干涉技術(shù)中.被檢信息主要包含在干涉波面的互相關(guān)函數(shù)中并員終體現(xiàn)為干涉 場(chǎng)猴度分布的調(diào)制。由Fresnel彳疔射理論出發(fā)運(yùn)用Collins公式.分析了分波前干涉法中空間互相關(guān)函 數(shù)的傳遞性

2、質(zhì)得到了用光纟戈矩陣元表示的空間互相關(guān)函數(shù)傳輸公式并以此對(duì)邁克耳遜干涉儀和橫向 剪切干涉儀中的干涉圖強(qiáng)度分布進(jìn)行了分析。:互相關(guān)函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)：光傳輸：干涉圖:O242 1:A在相干性理論中，自相關(guān)函數(shù)(A u to "Correia ton Functbn, ACF)和互相關(guān)函數(shù)(Cross"Correlatbn Functbn, CCF)山起著非常重要的作用。運(yùn)用于干涉技術(shù)中,干涉場(chǎng)的強(qiáng)度分布是與干涉波面的ACF 和CCF密切相關(guān)的。對(duì)此J W. Goocbnan通過(guò)分析ACF.CCF以及互強(qiáng)度的傳輸.詳細(xì)討論了窄帶光 場(chǎng)在邁克耳遜干涉儀和楊氏雙縫干涉中形成的干涉場(chǎng)強(qiáng)

3、度分布川。但是Goodman的分析結(jié)果僅僅適用 于干涉波面在自由空間中的傳輸，對(duì)于較復(fù)雜的干涉手段難以很好地解釋。而如果運(yùn)用光線(xiàn)矩陣描述干 涉儀器中的光學(xué)系統(tǒng)，那么由此得到的空間相關(guān)函數(shù)的傳輸公式應(yīng)該是具有普遍意義的。本文基于此思 想，對(duì)分波前干涉法中CCF的傳輸進(jìn)行了分析。并以此分析了兩個(gè)特例。gO /?;«)Fig 1 Schaneof divided-wavefront uHerfeivinetry圖I分波前干涉法示意圖分波前干涉法的原理如圖1所示。任意波面E(x)在zi處被分成兩個(gè)波面其中一個(gè)波面經(jīng)過(guò)用 A ,B i,Ci.Di表示的光學(xué)系統(tǒng)后在處形成場(chǎng)');另一波面

4、經(jīng)過(guò)光學(xué)系統(tǒng)A 2” 2.C2.D 2后在1 處形成場(chǎng)E；(x ');兩個(gè)波面在Z2處疊加后形成新的場(chǎng)E '(X ')。此時(shí)有E9(x) = E(x) + E；(x；), (1)E'(X2)= El(X2)+ E2(X2)那么疊加后波面E ' (x ')的ACF為:2001-04-10;: 2001-06-29:國(guó)家863慣性約東聚變領(lǐng)域資助課題:孫今人(1974)女.助工現(xiàn)從事等離子體物理方面研究工和上海800-229信紹:silpsunmail shcnc ac cn. © 1995-2005 Tsinghua Tongfang O

5、ptical Disc Co.、Ltd. All rights reserved.第6期孫今人等：分波前干波法中空間互相關(guān)函數(shù)的傳輸#r.rLvb = <E9(x)E，a(X2)> = <E；(x；)+ E2(x) E? (xi) + Ei (xb > =<E1(.¥ 1)E1* (r2)> + <EI (r 1)E2* (r2) > + <E2(.ri)Ei*(X2) > + <E2(x )E2*(X2) > =ril(Jl 1,X2)+ 22(X1,X2)+ 12 (.r I, X2)+X2)(2)式中：11

6、(h)和22(X；,X2)分別是Ei(x )和E2(X 9)的A CF；12(X 1, X 2)和2I(X1,X2)則分別是 E；(J)和E2(x9)的CCF。 當(dāng)H時(shí).自相關(guān)函數(shù)F '(x；,x；)就是波面(干涉場(chǎng))的強(qiáng)度分布。 即/(X 9) = r(X 9 = X 1 = X2)='ll(x'= X 1 = X2)+»，»，»-»>(3)L22(Jl = X I = X2)+ r 12(X = X I = X 2)+21(X = Xl = X 2)以上的分析是假定場(chǎng)E(x9)和E；(x')在疊加時(shí)不存在借位的情

7、況。當(dāng)有錯(cuò)位時(shí)r,(x,Itxb = <E9(x)E" (x>2)>= <|E；(x；) + E；(x；+ A/) £； (x；) +Ei*(X2 + $')= <El(X l)El (X2)> 4- <E I(X I ) E 2 (X 2 +$')+<E1(X + A5)E(X2)+ <E2(X| + $'疋2°(X2 + $')=ril(X I, X2)+ ri2(X I, X2 + $') + r：!(X I + A5 , X：) + s,X2+ $')(4

8、)式中$'為錯(cuò)位量。從上面的分析可以看出，分波前干涉的干涉圖強(qiáng)度是與干涉波面的ACF和CCF密 切相關(guān)的。關(guān)干ACF的傳輸我們已經(jīng)作過(guò)具體分析了。事實(shí)上干涉場(chǎng)強(qiáng)度的調(diào)制都是體現(xiàn)在互相關(guān) 西數(shù)上的。所以研究這種情況下互相關(guān)函數(shù)的傳輸是很有必要的。999r 12 (x 1, X 2)=在分波前干涉的情況下(如圖1所示)，運(yùn)用Collins衍射積分公式，互相關(guān)函數(shù)可以表示為(E I(X I)E2 (X 2)=exp k (B B iB 2B2) JJe(xi)E*(X2)> X(16)第6期孫今人等：分波前干波法中空間互相關(guān)函數(shù)的傳輸#(16)第6期孫今人等：分波前干波法中空間互相關(guān)函

9、數(shù)的傳輸697D 2°、B 2) dx id.v:=lx 1X1.b2八D亦；'B 丁 )d.vidx2(5)2y i.YB 1Iexp jk (B 1 B 2) f f (x 1, x 2) 入4 B出2f j/Lf4_L 24-2 1 z 2X1X1 2y p 1A rexp 2- b 2X2'( B 1 Bi “Bi式中r(A ,x2)是E(x)的自相關(guān)函數(shù)。在上式中做如下變量代換A /B x ir；2(xi,X2)= - exp jk (B i - B 2) JTXbX2)xA A 2exp jfca F +A 2D2)Zh Aa ' - A-v 9x

10、、再令© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co. Ltd. All rights reserved.'d?d ( Aa )那么，式(6)可以寫(xiě)成(8)s, yj/!S2= r-!+ /!，/彳 AiDi 4 A 6V A iDi 1 A J)2r；2(X；,X2)=r1expj (fi ! - B 2)-7 A jA 2才 SiS+ +(sf+ Sz - 4) A.V 9xf - *SiS2(山')2 Xxp j2TT(S ix '*S 2Av f)fx df x/(x i, xz)exp (j2TIf i A

11、.v)d (Aa )式就是分波前干涉中互相關(guān)函數(shù)的傳輸公式。對(duì)于更普遍的情況，當(dāng)兩個(gè)獨(dú)立波面分別傳輸時(shí).其互相關(guān)西數(shù)的傳輸公式只要把（9）式中的入射波面的自相關(guān)西數(shù)換成互相關(guān)函數(shù)即可。2 2當(dāng)兩個(gè)波面疊加存在錯(cuò)位的時(shí)候干涉場(chǎng)強(qiáng)度如式（4）。這時(shí)需要分析的是；2（x；,x；+ $'）和 r；i（X； + $'!；）的傳輸。需要注意的是這兩個(gè)互相關(guān)函數(shù)已經(jīng)沒(méi)有共梔的關(guān)系了。對(duì)于ri2（X 1, X2 + Aj），從Co Hill S公式可以得到(16)第6期孫今人等：分波前干波法中空間互相關(guān)函數(shù)的傳輸#(16)第6期孫今人等：分波前干波法中空間互相關(guān)函數(shù)的傳輸#(10)exp (A

12、 2x1 2x1X2 + D 21) + (2D 込心'+ D 2 2xis9) d.t2可見(jiàn)，在積分號(hào)內(nèi)多了一個(gè)附加的位相項(xiàng)。該位相項(xiàng)必然會(huì)對(duì)互相關(guān)函數(shù)的傳輸產(chǎn)生影響，其傳輸公式 仍可以寫(xiě)成如下形式(11)ri2(x I, X： + $') = I exp (jkOh) xp (j2TTx)df x f (x i.X2)exp (j27J xA. )d (A.v)y A A 22B1(B=012iss丄2(s丄4!5(A2r(sI X + 2 S MA.v 幺IDj(12)2)+ (24 202 2B1士2小，-J Ay'(13)A 2IAj2 J A 2«

13、2A對(duì)于"（x；+ $；），同樣可以得到如式（11）形式的傳輸公式但是0G = （B2 - B J + 扌SSQ+ 十（Sf + Si- 4） +(14)-S iSz(Av 9)2 + p A5>(Si7, +-2 J心 22(Six9 +A血2iAv *) +S ix'號(hào)）（立(15)十 S ：Zkv，+ r: A.V A出2© 1995-2005 Tsiiightui Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.(16)第6期孫今人等：分波前干波法中空間互相關(guān)函數(shù)的傳輸700+ 十SiAa，+ -

14、(17)2而且此時(shí)式（6）的變量代換應(yīng)改為 彳 A 1 + 4 a 17 1X 2 x= 2 '， J D 2巾 2.Y 1 +D 1/ i.Y 2 X =2A.V = 7 A i/fe 1X2 A i/B 2X1(18)以上就是存在錯(cuò)位時(shí)的互相關(guān)函數(shù)傳輸公龍顯然上面兩個(gè)式子是非常復(fù)雜的但是在一些特殊情 況下我們可以將其簡(jiǎn)化并進(jìn)行分析對(duì)此將在后面進(jìn)行討論。同時(shí)也說(shuō)明在通常的剪切干涉儀中干 涉場(chǎng)并不是簡(jiǎn)單地將波面錯(cuò)位后再與原來(lái)的波面疊加此時(shí)必須要考慮兩個(gè)波面的傳輸。2 3當(dāng)存在有限孔徑時(shí)與自相關(guān)函數(shù)的傳輸類(lèi)似心，式（9）應(yīng)改寫(xiě)成12（X1J2）= r CXpjk（B 1 - 2） 專(zhuān) S

15、 S 2X -J A A 2十(sf S1 - 4)Aa'F'+ 如 S2(山')2) finis ix'9 -：Aa 9)f x df (xi,X2)r (x i,x>)exp (J271f »Av)d (A.v)A f 1 - kv/1( |Zlv/| C 1 and |a i |, |.v2 | < /2)/ I 0( |A.v/1 C lor x i I，|a 21 > /2)式中：Av=小心。對(duì)于存在錯(cuò)位時(shí)的情況.可以做如上一樣的處理只是光瞳函數(shù)中的山 要作相應(yīng) 變換。(19)(20)3在上一節(jié)的結(jié)果中無(wú)論是對(duì)于無(wú)錯(cuò)位的情況

16、還是有錯(cuò)位的情況最終的結(jié)果都十分復(fù)雜。為了便 于分析，我們僅僅考慮最簡(jiǎn)單的情況，即1/+ A/-0 1 -事實(shí)上上式巳經(jīng)描述大多數(shù)的分波前干涉的情況（運(yùn)用平光干涉等）。此時(shí)51= 0,52= 2（22）下面我們就針對(duì)無(wú)錯(cuò)位（邁克爾遜干涉等）和有錯(cuò)位（橫向剪切干涉等）的兩種情況進(jìn)行簡(jiǎn)單的討論。3 1當(dāng)沒(méi)有錯(cuò)位存在的時(shí)候.由式（9）可以得到互相關(guān)函數(shù)為r；2（x；,x：）=&燦/叫'心/（1,心）嚴(yán)竝（山）Lei D J Lo d(21)(23)假定E&）是廣義平穩(wěn)的（對(duì)于大多數(shù)情況這一限制都是可以滿(mǎn)足的），那么rcvi.xz）只與心小有 關(guān)。g “'= 7F-嗎

17、f+ 應(yīng)'+ 屑借=(J /+ / CT)r+ (丿 /+ /+ 廠(chǎng)7)號(hào)當(dāng)/時(shí)© 1995-2005 Tsinghiui Tongfang Optical Disc Co. Ltd. All rights reserved.(25)那么(26)r；2(x；,j2)« e-燉f gXd/JcTTAa)嚴(yán)化(2)八 e- >A/r(fT山')同理可得"（x；,x；）q 嚴(yán)f 嘰"/（山Z"T）嚴(yán)id（山）(27)=少山（廠(chǎng)7山'）這樣由式（3）就可以得到波面E '（X '）強(qiáng)度分布為(28)/'

18、;（x'）Q /1 （x *） + h（x9） 28s2TT 半 + arc8sRc（ Aa'）/（ Aa'） |此時(shí)A.vB J)】xB iBi廠(chǎng)/+ A/ ,X U/(/+ /)(29)(36)第6期孫今人等：分波前干波法中空間互相關(guān)函數(shù)的傳輸#代入式（28）后(30)廠(chǎng)（x'）Q I （x 9） + / 2 （.v *） 2cos27T 半 + arcoosRe r （- x f） /r （-從（30）式可以看出，當(dāng)A/是常數(shù)時(shí)干涉場(chǎng)上不會(huì)出現(xiàn)任何周期性條紋。只有在A/變化的情況下，干涉 場(chǎng)的總體強(qiáng)度才會(huì)呈余弦變化的形式這一點(diǎn)與文獻(xiàn)I I中的分析結(jié)果完全一

19、致。此外雖然干涉場(chǎng)中沒(méi) 有條紋，但是干涉場(chǎng)的強(qiáng)度仍然存在調(diào)制，只是由于IM使得該調(diào)制是一個(gè)緩變的過(guò)程難以從“背 底”強(qiáng)度中分離出來(lái)。此時(shí)如果/是隨x'變化的（例如兩個(gè)波面存在一定角度的情況下），干涉場(chǎng)中將 出現(xiàn)周期性條紋。那么上式中自相關(guān)函數(shù)的作用就是使條紋出現(xiàn)變形。而這個(gè)變形量是比強(qiáng)度起伏更 易分辨和測(cè)量的量這樣我們就能從干涉場(chǎng)強(qiáng)度分布中得到更多的入射場(chǎng)空間分布信息。3 2當(dāng)存在錯(cuò)位時(shí)我們?nèi)匀挥懻撊缡剑?0）所示的情況，此時(shí)，式（24）中各個(gè)參數(shù)等于(31)（Xi =/, ?=山'廠(chǎng)1A/那么，式（11）可以寫(xiě)成山）/叭錦（山）(32)r；2（x；,x2 + &

20、9;）=嘰宀nh?"嘰d/同樣假定E（x）是廣義平穩(wěn)的由式（25）,上式可以寫(xiě)成12 (n + d')= e "T (廠(chǎng) / A.v ' +Ai，)/+ /(33)(36)第6期孫今人等：分波前干波法中空間互相關(guān)函數(shù)的傳輸#(36)第6期孫今人等：分波前干波法中空間互相關(guān)函數(shù)的傳輸#(34)(35)對(duì)于21（小+由式（17）可得其各個(gè)參數(shù)為01 = /, F= A.V ' + =Asf考慮到如式（的變量代換關(guān)系.由式（25）同樣可得12(H + $') = e "T ° (7山'+11(X 9 ) +12(X 9

21、+ Aj')M，丄/5 2廠(chǎng)A? /O 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.2oo彳 2TT半 + arccos Re F鈴，+世& 2/21 Cl J可見(jiàn)在這種情況下.珀（X；十$'#）與；2（x；,x；+ &'）仍然是共輒的。這樣由式可得干涉場(chǎng) 強(qiáng)度分布為(36)702強(qiáng)激光與粒子束第13卷上式與式(30)基本相似唯一的區(qū)別在于自相關(guān)函數(shù)中出現(xiàn)了與錯(cuò)位量有關(guān)的項(xiàng)。顯然當(dāng)錯(cuò)位量趨近于 無(wú)窮大時(shí).自相關(guān)函數(shù)趨近于零.干涉場(chǎng)的強(qiáng)度分布已經(jīng)不能體現(xiàn)入射光

22、場(chǎng)的空間侑息了。此外.由于自 相關(guān)函數(shù)與功率譜密度函數(shù)互為傅立葉變換對(duì)-7),所以正是由于這個(gè)與錯(cuò)位量有關(guān)的項(xiàng)的存在使得 測(cè)量得到的波面功率譜密度分布中出現(xiàn)附加的二次位相項(xiàng)。也就是說(shuō)測(cè)童得到的功率譜密度與實(shí)際分 布存在偏差。為此需要特殊的算法來(lái)分析存在錯(cuò)位量時(shí)的干涉場(chǎng)這一點(diǎn)在文獻(xiàn)【門(mén)中有詳細(xì)的介紹和 討論。以上我們僅僅是簡(jiǎn)單分析了分波前干涉法中干涉場(chǎng)上的強(qiáng)度分布，對(duì)于較為復(fù)雜的情況.同樣可以 運(yùn)用上面的方法進(jìn)行理論分析戒數(shù)值模擬。從上面的分析也可以看出干涉場(chǎng)的強(qiáng)度分布是與入射光場(chǎng) 的自相關(guān)函數(shù)密切相關(guān)的。在理想情況下通過(guò)測(cè)量干涉場(chǎng)的強(qiáng)度分布就可以得到入射波面的自相關(guān) 函數(shù)進(jìn)而得到功率譜密度函數(shù)

23、。但是在實(shí)際測(cè)量中有限禮徑的作用將會(huì)影響測(cè)量的靈敏度(互相關(guān)兩 數(shù)需要乘以一個(gè)三角函數(shù))使測(cè)量結(jié)果中丟失波面的一些高頻信息。此外.由于條紋具有一定的寬度, 這也將使一些細(xì)微的強(qiáng)度起伏難以分辨.這主要與“條紋可見(jiàn)度”有關(guān)。111 Goodin an J W. Statistic OpticsM Beijing: Science Press 19922 戴亞平.謝虛李銀柱等用矩陣尤表示的空間自相關(guān)函數(shù)的傳輸特隹J1中國(guó)漱光.2001.(已錄用).(Dai Y P. XieH. LiYZetc The transfer formula of spatial self*a)rrelatbn funct

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