第三章機(jī)械運(yùn)動(dòng)的守恒定律-4

1、 力的時(shí)間累積效應(yīng)力的時(shí)間累積效應(yīng) 沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理. 力矩的時(shí)間累積效應(yīng)力矩的時(shí)間累積效應(yīng)沖量矩（角沖量）、角動(dòng)沖量矩（角沖量）、角動(dòng)量量(動(dòng)量矩）、角動(dòng)量定動(dòng)量矩）、角動(dòng)量定理理.力與力臂的乘積。力與力臂的乘積。F FPdr rr用矢量方法表示力矩：用矢量方法表示力矩：FrM單位：牛頓單位：牛頓 米，米， N mdFMsinrFMFrsinM M方向：方向：從從r沿小于沿小于 角角旋到旋到F F，大拇指指向。大拇指指向。OvvmrprLvrLLrxyzom 質(zhì)量為質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)以速度的質(zhì)點(diǎn)以速度 在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻相對(duì)原點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻相對(duì)原點(diǎn) O 的位矢為的位

2、矢為 ，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于原，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于原點(diǎn)的角動(dòng)量點(diǎn)的角動(dòng)量mrvsinvrmL 大小大小 的方向符合右手法則的方向符合右手法則.LLrpmo 質(zhì)點(diǎn)以角速度質(zhì)點(diǎn)以角速度 作半徑作半徑為為 的圓運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心的的圓運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心的角動(dòng)量角動(dòng)量r2mrL ptrtprprttLdddd)(ddddtLMdd 作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對(duì)作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對(duì)參考點(diǎn)參考點(diǎn) O 的力矩的力矩 ，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn) O 的的角角動(dòng)量動(dòng)量隨時(shí)間的隨時(shí)間的變化率變化率.FrtprtLdddd0,ddptrvv?dd,ddtLFtpprL沖量矩沖量矩tMttd21 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：對(duì)同一：對(duì)同一參考

3、點(diǎn)參考點(diǎn) O ，質(zhì)點(diǎn)所受質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量.12d21LLtMtttLMdd角動(dòng)量與動(dòng)量是兩個(gè)不同的物理量，角動(dòng)量與動(dòng)量是兩個(gè)不同的物理量，角動(dòng)量方向?yàn)榻撬俣鹊姆较?，?dòng)量的方向?yàn)樗俣鹊慕莿?dòng)量方向?yàn)榻撬俣鹊姆较颍瑒?dòng)量的方向?yàn)樗俣鹊姆较?。方向。vp, vmmrprL 質(zhì)點(diǎn)所受對(duì)質(zhì)點(diǎn)所受對(duì)參考點(diǎn)參考點(diǎn) O 的的合力矩為零合力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)該參考點(diǎn) O 的角動(dòng)量為一恒矢量的角動(dòng)量為一恒矢量. tLMdd由角動(dòng)量定理由角動(dòng)量定理LM,0 恒矢量恒矢量 對(duì)于不同的參考點(diǎn)，力矩和角動(dòng)量都可能不同，對(duì)于不同的參考點(diǎn)，力矩和角動(dòng)量都可能不同，因此

4、，因此，角動(dòng)量是否守恒，不僅與質(zhì)點(diǎn)受力情況有關(guān)，角動(dòng)量是否守恒，不僅與質(zhì)點(diǎn)受力情況有關(guān)，而且而且與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)。例例3.13 如圖如圖3-28所示，質(zhì)點(diǎn)所示，質(zhì)點(diǎn)m作圓錐擺動(dòng)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)的速率作圓錐擺動(dòng)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)的速率v、圓半徑圓半徑R及錐角及錐角為已知（容易證明為已知（容易證明v、R和和中只有兩個(gè)是獨(dú)中只有兩個(gè)是獨(dú)立參量，為書(shū)寫(xiě)方便，視為已知量）。（立參量，為書(shū)寫(xiě)方便，視為已知量）。（1）以圓心）以圓心O為參考為參考點(diǎn)，試求張力力矩、重力力矩、合力力矩和質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量；點(diǎn)，試求張力力矩、重力力矩、合力力矩和質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量；（2）以懸掛點(diǎn)）以懸掛點(diǎn)A為參考點(diǎn)，試求張力力矩、重力力矩、合

5、力為參考點(diǎn)，試求張力力矩、重力力矩、合力力矩和質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量；（力矩和質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量；（3）對(duì)圓心）對(duì)圓心O和懸掛點(diǎn)和懸掛點(diǎn)A，質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量是否守恒？是否守恒？由于由于FT = ，則則M1=mgR。cosmg2 M1=RFTsin（ +）=RFTcos。解解 （1）張力張力FT對(duì)圓心對(duì)圓心O的力矩為的力矩為 M1=RFT 重力對(duì)圓心重力對(duì)圓心O的力矩為的力矩為 M2=Rmg其方向與圖中其方向與圖中v的方向相同，的方向相同，大小大小 M2=Rmgsin =mgR對(duì)對(duì)O點(diǎn)的合力矩為點(diǎn)的合力矩為 M0= M1+ M2=02質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) m對(duì)圓心對(duì)圓心O的角動(dòng)量為的角動(dòng)量為 L0=Rmv 方向豎直向上方向

6、豎直向上大小大小: L0=Rmvsin =Rmv2其方向與其方向與v相同，相同， 大小為大小為M4=rmgsin=Rmg。重力對(duì)重力對(duì)A點(diǎn)的力矩為點(diǎn)的力矩為 M4=rmg（2）張力對(duì)懸掛點(diǎn)張力對(duì)懸掛點(diǎn)A的力矩為的力矩為 M3=rFT=0 （FT過(guò)過(guò)A點(diǎn)點(diǎn))對(duì)對(duì)A點(diǎn)的合力矩為點(diǎn)的合力矩為 M= M3+ M4其方向與其方向與v相同，大小為相同，大小為M=Rmg。大?。捍笮。篖A=r m v sin =2sinvRm（3）對(duì)圓心對(duì)圓心O的合力矩的合力矩M0=0，因此質(zhì)點(diǎn)對(duì)因此質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，即其大小、方向都不變。點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，即其大小、方向都不變。 對(duì)懸點(diǎn)對(duì)懸點(diǎn)A的合力矩的合力矩MA0，因

7、此質(zhì)點(diǎn)對(duì)因此質(zhì)點(diǎn)對(duì)A點(diǎn)的角動(dòng)量不守恒點(diǎn)的角動(dòng)量不守恒。計(jì)算結(jié)果表明，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)對(duì)懸掛點(diǎn)。計(jì)算結(jié)果表明，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)對(duì)懸掛點(diǎn)A的角動(dòng)量大小不的角動(dòng)量大小不變，但方向不斷變化。變，但方向不斷變化。質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)m對(duì)懸點(diǎn)對(duì)懸點(diǎn)A的角動(dòng)量為的角動(dòng)量為 L=rmv 其方向如圖其方向如圖例例：光滑圓盤(pán)面上有一質(zhì)量為：光滑圓盤(pán)面上有一質(zhì)量為m m的物體的物體A A，轉(zhuǎn)在一根穿過(guò)圓，轉(zhuǎn)在一根穿過(guò)圓盤(pán)中心盤(pán)中心O O處光滑小孔的細(xì)繩上，如圖所示。開(kāi)始時(shí)，該物體處光滑小孔的細(xì)繩上，如圖所示。開(kāi)始時(shí)，該物體距圓盤(pán)中心的距離為距圓盤(pán)中心的距離為r r0 0，并以角速度，并以角速度0 0繞盤(pán)心做圓周運(yùn)動(dòng)。繞盤(pán)心做圓周運(yùn)

8、動(dòng)。現(xiàn)向下拉繩，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)現(xiàn)向下拉繩，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)A A的徑向距離由的徑向距離由r r0 0減少到減少到r r0 0/2/2時(shí)，向下時(shí)，向下拉的速度為拉的速度為。求下拉過(guò)程中拉力所做的功？。求下拉過(guò)程中拉力所做的功？Ar0解解：由角動(dòng)量守恒由角動(dòng)量守恒rmrm00為為r=r0/2時(shí)小球的時(shí)小球的切切向速度。向速度。(1)拉力做功拉力做功: 2022121mmABB為小球?qū)Φ氐目偹俣葹樾∏驅(qū)Φ氐目偹俣?22B(2)(3)由以上三式得由以上三式得:220202123mmrA 一一 掌握掌握功的概念功的概念, , 能計(jì)算變力的功能計(jì)算變力的功, , 理解保理解保守力作功的特點(diǎn)及勢(shì)能的概念守力作功的特點(diǎn)及勢(shì)能的

9、概念, , 會(huì)計(jì)算萬(wàn)有引力、會(huì)計(jì)算萬(wàn)有引力、重力和彈性力的勢(shì)能重力和彈性力的勢(shì)能 . . 二二 掌握掌握質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理以及機(jī)械能定理以及機(jī)械能守恒定律守恒定律, , 掌握運(yùn)用守恒定律分析問(wèn)題的思想和方掌握運(yùn)用守恒定律分析問(wèn)題的思想和方法法 三三 理解理解動(dòng)量、沖量、質(zhì)心、角動(dòng)量等概念。動(dòng)量、沖量、質(zhì)心、角動(dòng)量等概念。 四四 掌握掌握動(dòng)量定理、角動(dòng)量定理，并能熟練運(yùn)用動(dòng)量定理、角動(dòng)量定理，并能熟練運(yùn)用. .五五 掌握掌握質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理。 六六 掌握掌握動(dòng)量守恒定律，角動(dòng)量守恒定理，動(dòng)量守恒定律，角動(dòng)量守恒定理，正確正確熟練地判斷動(dòng)量、角動(dòng)量守恒的條件

10、，并能熟練地熟練地判斷動(dòng)量、角動(dòng)量守恒的條件，并能熟練地運(yùn)用動(dòng)量、角動(dòng)量守恒定律解決一些力學(xué)問(wèn)題。運(yùn)用動(dòng)量、角動(dòng)量守恒定律解決一些力學(xué)問(wèn)題。時(shí)間累積時(shí)間累積效應(yīng)效應(yīng)dtPdF 1221PPdtFtt 1221LLdtMtt0 F0M1221kkEErdF 122121EErdfrdF 內(nèi)內(nèi)非非外外動(dòng)動(dòng)量量守守恒恒21PP 角角動(dòng)動(dòng)量量守守恒恒21LL 機(jī)機(jī)械械能能守守恒恒21EE 00 內(nèi)內(nèi)非非外外AA空間累積空間累積效應(yīng)效應(yīng)牛二律，瞬時(shí)效應(yīng)牛二律，瞬時(shí)效應(yīng)動(dòng)量定理動(dòng)量定理角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理動(dòng)能定理動(dòng)能定理例：例： 在光滑的水平桌面上，固定著如圖所示的半圓形在光滑的水平桌面上，固定著如圖所示

11、的半圓形屏障質(zhì)量為屏障質(zhì)量為 m 的滑塊以初速的滑塊以初速V1 沿屏障一端的切線方沿屏障一端的切線方向進(jìn)入屏障內(nèi)滑塊與屏障間的摩擦系數(shù)為向進(jìn)入屏障內(nèi)滑塊與屏障間的摩擦系數(shù)為 。求：求：當(dāng)滑塊從屏障另一端滑出時(shí)，摩擦力對(duì)它所作的功當(dāng)滑塊從屏障另一端滑出時(shí)，摩擦力對(duì)它所作的功1vvfN俯視圖俯視圖解：解：研究對(duì)象研究對(duì)象 滑塊滑塊建立坐標(biāo)：自然坐標(biāo)建立坐標(biāo)：自然坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：法向法向切向切向nmaN maf聯(lián)立：聯(lián)立：Rvmf2 Rvdtdv2 即即分析：變力作功，分析：變力作功， 用動(dòng)能用動(dòng)能定理必須先找出末態(tài)的定理必須先找出末態(tài)的V V2 2請(qǐng)思考：能否請(qǐng)思考：能否 在此分離變?cè)诖朔蛛x變量量 ，積分？，積分？受力分析：受力分析：Nf , nRvm2 Ndtdvm vf N設(shè)滑塊進(jìn)入屏障后，速度為設(shè)滑塊進(jìn)入屏障后，速度為 v 時(shí)，已沿屏障轉(zhuǎn)動(dòng)了時(shí)，已沿屏障轉(zhuǎn)動(dòng)了“ “ ” ”角，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為角，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為 t t ，則