現(xiàn)代控制理論_線性控制系統(tǒng)的能控性與能觀性基礎知識

1、現(xiàn)代控制理論框架現(xiàn)代控制理論框架建模建模分析分析設計設計狀態(tài)空間狀態(tài)空間表達式表達式建立建立求解求解轉換轉換能控能控性性能觀能觀性性穩(wěn)定穩(wěn)定性性狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器最優(yōu)控制最優(yōu)控制第三章第三章 線性控制系統(tǒng)線性控制系統(tǒng)的能控性與能觀性的能控性與能觀性2020世紀世紀6060年代初，由年代初，由卡爾曼卡爾曼提出，提出，與狀態(tài)空間描述相對應。與狀態(tài)空間描述相對應。能控性：反映了控制能控性：反映了控制輸入輸入對系統(tǒng)對系統(tǒng)狀態(tài)狀態(tài)的制約能力。的制約能力。 輸入能否控制狀態(tài)輸入能否控制狀態(tài)（控制問題）（控制問題）能觀測性：反映了能觀測性：反映了輸出輸出對系統(tǒng)對系統(tǒng)狀態(tài)狀態(tài)的判斷能力。的判

2、斷能力。 狀態(tài)能否由輸出反映狀態(tài)能否由輸出反映（估計問題）（估計問題）能控性和能觀測性的能控性和能觀測性的基本概念基本概念：卡爾曼 由于系統(tǒng)需用狀態(tài)方程和輸出方程兩個方程來描述輸入由于系統(tǒng)需用狀態(tài)方程和輸出方程兩個方程來描述輸入- -輸出輸出關系，狀態(tài)作為被控量，輸出量僅是狀態(tài)的線性組合，于是有關系，狀態(tài)作為被控量，輸出量僅是狀態(tài)的線性組合，于是有“能否找到使任意初態(tài)轉移到任意終態(tài)的控制量能否找到使任意初態(tài)轉移到任意終態(tài)的控制量”的問題，即能的問題，即能控性問題。并非所有狀態(tài)都受輸入量的控制，或只存在使任意初控性問題。并非所有狀態(tài)都受輸入量的控制，或只存在使任意初態(tài)轉移到確定終態(tài)而不是任意終態(tài)

3、的控制。還有態(tài)轉移到確定終態(tài)而不是任意終態(tài)的控制。還有“能否由測量到能否由測量到的輸出量來確定出各狀態(tài)分量的輸出量來確定出各狀態(tài)分量”的問題，即能觀測性問題。的問題，即能觀測性問題。點擊觀看例例 函數(shù)記錄儀（電橋控制式）函數(shù)記錄儀（電橋控制式）本章本章主要內容主要內容： 線性線性定常定常系統(tǒng)的能控性的系統(tǒng)的能控性的定義定義及及判別判別 線性線性定常定常系統(tǒng)的能觀性的系統(tǒng)的能觀性的定義定義及及判別判別 能控性與能觀性的能控性與能觀性的對偶原理對偶原理 能控標準型和能觀標準型能控標準型和能觀標準型 線性系統(tǒng)的結構分解線性系統(tǒng)的結構分解例：已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程，判斷其能控性，能觀性。例：已知系統(tǒng)的狀態(tài)

4、方程，判斷其能控性，能觀性。uxxxx11500421212160 xxyuxx114uxx225 系統(tǒng)系統(tǒng)完全能控！完全能控！ 可以控制可以控制 u21, xx 26xy 無法反映無法反映 y1x 系統(tǒng)系統(tǒng)不完全能觀不完全能觀！ 系統(tǒng)系統(tǒng)能控、能控、不能觀測不能觀測！4u5y62x 2x1x 1xuxx114uxx22526xy3.1 3.1 能控性定義能控性定義線性線性連續(xù)連續(xù)系統(tǒng)系統(tǒng)Ttttttt uBxAx),()()()()( 如果存在一個分段連續(xù)的如果存在一個分段連續(xù)的輸入輸入 ，能在，能在有限有限的時間區(qū)的時間區(qū) 內，使系統(tǒng)由某一初始狀態(tài)內，使系統(tǒng)由某一初始狀態(tài) ，轉移到一指定的

5、任一終端，轉移到一指定的任一終端狀態(tài)狀態(tài) ，則，則 在在 是能控的是能控的。( )u t,0ftt)(0tx0)(ftx)(tx0t狀態(tài)能控狀態(tài)能控系統(tǒng)能控系統(tǒng)能控若系統(tǒng)的若系統(tǒng)的所有非零狀態(tài)所有非零狀態(tài)狀態(tài)在狀態(tài)在 時刻都是能控的，則稱此系時刻都是能控的，則稱此系統(tǒng)在統(tǒng)在 時刻是時刻是完全能控完全能控的；的；0t0t如果系統(tǒng)在如果系統(tǒng)在所有時刻所有時刻都是能控的都是能控的則稱系統(tǒng)則稱系統(tǒng)一致能控一致能控。0 x)(tu()0ftx在在 時刻時刻能控能控0 x0t系統(tǒng)在系統(tǒng)在 時刻時刻能控能控0t所有所有非零狀態(tài)非零狀態(tài)1x2xt0t00)(xxt1t0)(1tx0 x)(tu()0ftx在在

6、 時刻時刻能控能控0 x0t系統(tǒng)在系統(tǒng)在 時刻時刻完全完全能控能控0t所有所有非零狀態(tài)非零狀態(tài)1x2xt0t)(0tx1t所有所有時刻時刻系統(tǒng)系統(tǒng)一致能控一致能控2t)(1tx0t線性線性定常定常系統(tǒng)的能系統(tǒng)的能控性與控性與無關無關)(2tx0)(0)(10txtx狀態(tài)狀態(tài)能控能控0)(0)(10txtx狀態(tài)狀態(tài)能達能達1x2xt0)(0tx0t1t0)(0tx0)(1tx0)(1tx線性線性定常定常系統(tǒng)：能控性與能達性系統(tǒng)：能控性與能達性等價等價 推論：推論： （1 1）根據(jù)定義，如果系統(tǒng)在（）根據(jù)定義，如果系統(tǒng)在（t0，tf）時間間）時間間隔內完全能控，那么對于隔內完全能控，那么對于t2

7、tf，該系統(tǒng)在（，該系統(tǒng)在（t0，t2）時間間隔內也一定完全能控。時間間隔內也一定完全能控。 （2 2）如果在系統(tǒng)的狀態(tài)方程右邊迭加一項不如果在系統(tǒng)的狀態(tài)方程右邊迭加一項不依賴于控制依賴于控制u(t)的干擾的干擾f(t)，那么，只要，那么，只要f(t)是絕對是絕對可積函數(shù)，就不會影響系統(tǒng)的能控性。可積函數(shù)，就不會影響系統(tǒng)的能控性。3.2 3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別線性定常系統(tǒng)的能控性判別 對角標準型對角標準型判據(jù)判據(jù) 約當標準型約當標準型判據(jù)判據(jù) 秩秩判據(jù)判據(jù)1 1 單輸入系統(tǒng)單輸入系統(tǒng)3.2.1 具有約當標準型系統(tǒng)的能控性具有約當標準型系統(tǒng)的能控性uxxb能控判據(jù)：能控判據(jù)：b b矩陣

8、矩陣沒有沒有全為零全為零的的行行。n00000021（1 1）對角型）對角型ub2210 xxx21ccy111xxubxx22222211xcxcy1x 1x1c2c122by2x 2x與與 無任何聯(lián)系無任何聯(lián)系u1x系統(tǒng)不能控！系統(tǒng)不能控！ub22101xxx21ccy2111xxxubxx22222211xcxcy系統(tǒng)能控！系統(tǒng)能控！ub01121xxx21ccyubxxx12111222xx2211xcxcy系統(tǒng)不能控！系統(tǒng)不能控！例：判別下列例：判別下列對角標準型對角標準型線性定常系統(tǒng)的能控性。線性定常系統(tǒng)的能控性。1、uxxxx0110022121沒有全零行沒有全零行系統(tǒng)系統(tǒng)能控能

9、控！1、2、uxxxxxx200310200010008321321有全零行有全零行系統(tǒng)系統(tǒng)不能控不能控！寫成微分方程組來證明寫成微分方程組來證明b b陣中，對應于每一個陣中，對應于每一個約當塊的最后一行約當塊的最后一行元素元素不全為零不全為零。uJxxb（2 2）約當型）約當型nnlJJJ00J21rnl21BBBBrii2i1iiBBBBiiiiiii111J考察以下系統(tǒng)的能控性：考察以下系統(tǒng)的能控性：狀態(tài)狀態(tài)完全完全能控能控狀態(tài)狀態(tài)完全完全能控能控uxxxxxxxx 010000200101101100401443214321uxxxxxx 340200040014321321 結論：結

10、論： （1 1）系統(tǒng)能控性取決于系統(tǒng)矩陣）系統(tǒng)能控性取決于系統(tǒng)矩陣A A和控制矩陣和控制矩陣b,b,即取即取決于系統(tǒng)的結構、參數(shù)及控制作用施加點。決于系統(tǒng)的結構、參數(shù)及控制作用施加點。 （2 2）A A若為對角型，能控判據(jù)為若為對角型，能控判據(jù)為b b不能有全不能有全0 0行。行。 （3 3）A A為約當型，為約當型，b b中對應約當塊的最行一行不能全中對應約當塊的最行一行不能全0 0 （4 4）若存在于輸入無關的孤立結構，系統(tǒng)不能控。）若存在于輸入無關的孤立結構，系統(tǒng)不能控。2 2、具有、具有一般系統(tǒng)矩陣一般系統(tǒng)矩陣的多輸入系統(tǒng)的多輸入系統(tǒng)系統(tǒng)的線性變換系統(tǒng)的線性變換不改變不改變系統(tǒng)的能控性

11、。系統(tǒng)的能控性。設線性系統(tǒng)設線性系統(tǒng) 具有具有兩兩相異的特征兩兩相異的特征值值 ，則其狀態(tài)，則其狀態(tài)完全能控完全能控的的充分必充分必要條件要條件是系統(tǒng)經(jīng)線性是系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換非奇異變換后的對角線后的對角線標準型：標準型：BuAxxn ,.,21uBxxn0021 中，中， 不包含不包含元素全為元素全為0 0的行。的行。B 首先證明系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后狀態(tài)能控性不變。首先證明系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后狀態(tài)能控性不變。 由前章可知，系統(tǒng)由前章可知，系統(tǒng) (A，B)和和 ( ( ， ) )之間做線性之間做線性非奇異變換時有：非奇異變換時有：AB變換前后秩不變變換前后秩不變 BBAAxx11TTTT

12、， 將對角標準形的每一行寫成如下展開形式將對角標準形的每一行寫成如下展開形式)(2211ririiiiiubububxx 顯然，上述方程組中，沒有變量間的耦合。因此，顯然，上述方程組中，沒有變量間的耦合。因此， ( i = 1，2，n)能控的充要條件是下列元素能控的充要條件是下列元素 不同時為零。不同時為零。ixiriibbb,21 其次證明不包含元素為零的行是系統(tǒng)其次證明不包含元素為零的行是系統(tǒng) ( (A A，B B) )狀態(tài)完全能控的充要條件。狀態(tài)完全能控的充要條件。)(902)(157)(tuttxx (2)(570410)(157)(tttuxx(3)(752)(157)(tuttxx

13、 (1)例：判別下列例：判別下列對角標準型對角標準型線性定常系統(tǒng)的能控性。線性定常系統(tǒng)的能控性。能控能控不能控不能控能控能控 （2 2）若線性連續(xù)系統(tǒng)若線性連續(xù)系統(tǒng) ( (A A，B B) )有相重的特征值時，有相重的特征值時，即即A A為約當型時，則系統(tǒng)能控的充要條件是：為約當型時，則系統(tǒng)能控的充要條件是： 控制矩陣控制矩陣B B中對應于互異的特征值的各行，沒中對應于互異的特征值的各行，沒有一行的元素全為零；有一行的元素全為零； 控制矩陣控制矩陣B B中與每個約當塊最后一行相對應的中與每個約當塊最后一行相對應的各行，沒有一行的元素全為零。各行，沒有一行的元素全為零。 上述結論的證明與具有兩兩

14、相異特征值的證明類同，上述結論的證明與具有兩兩相異特征值的證明類同，故省略。故省略。例例 考察下列各系統(tǒng)的狀態(tài)能控性?？疾煜铝懈飨到y(tǒng)的狀態(tài)能控性。（1）)(340)(200040014)(tuttxx （2）)(030024)(200040014)(tttuxx 最后指出一點，當系統(tǒng)矩陣最后指出一點，當系統(tǒng)矩陣A為對角標準形，但在為對角標準形，但在含有相同的對角元素情況下，或系統(tǒng)矩陣含有相同的對角元素情況下，或系統(tǒng)矩陣A為約當標準為約當標準形，但有兩個或兩個以上的約當塊的特征值相同時，單形，但有兩個或兩個以上的約當塊的特征值相同時，單輸入系統(tǒng)不能控，多輸入系統(tǒng)需考察相同特征值對應約輸入系統(tǒng)不能

15、控，多輸入系統(tǒng)需考察相同特征值對應約當快最后一行矢量的線性無關性。當快最后一行矢量的線性無關性。)(15)(0154)(tuttxx 例：判別下列系統(tǒng)的能控性。例：判別下列系統(tǒng)的能控性。解解: :1) 1) 特征值特征值2 2）特征向量特征向量151p112p3 3）1115T656161611T011bT)(01)(1005tutzz能控還是不能控？能控還是不能控？不能控！不能控！)()()(tbttuAxx3.2.2 直接從直接從A與與B判別系統(tǒng)的能控性判別系統(tǒng)的能控性1. 1.單單輸入系統(tǒng)輸入系統(tǒng)ttdbttttt0)()()()()(00uxx證明：已知上面狀態(tài)方程的解為證明：已知上面

16、狀態(tài)方程的解為即：即：fttdbtt0)()()(00ux需用到一個新定理需用到一個新定理10njjjkkAA依據(jù)標量微分方程解式依據(jù)標量微分方程解式0!)(kkkAtktetA 利用凱萊利用凱萊- -哈密爾頓（哈密爾頓（Cayley-HamiltonCayley-Hamilton）定理）定理A A的任何次冪，可以用的任何次冪，可以用A A的的0 0到到n-1n-1次冪線性表示次冪線性表示故故100!)(njjjkkkAktt10)(njjit A100!)(njjjkkkAktt10)(njjit Afttdbtt0)()()(00ux fttnjjidbAtt0)()()(1000uxft

17、tinjjdtbA0)()(010uinjjbA10injjbAtx100)(標量標量11012100 )(nninjjbbbbbtAAAAx 若系統(tǒng)是能控的，那么對于任意給定的初始狀態(tài)若系統(tǒng)是能控的，那么對于任意給定的初始狀態(tài)x(t0)都應從上述方程中解出都應從上述方程中解出 0， 1， n 1 1來。來。 階階能控性矩陣能控性矩陣nrankrankMbAbAAbb1n2即：nn滿足條件即可，不必寫出所有列滿足條件即可，不必寫出所有列！)()()( 00201112110txtxtxbbbbnnnAAAuxaaax100100010210 例例 判別如下系統(tǒng)的能控性判別如下系統(tǒng)的能控性bAA

18、bbM2 解解 ：故系統(tǒng)的狀態(tài)故系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控！完全能控！nrank 3M22122110100aaaa此形式的狀態(tài)方程為能控標準型此形式的狀態(tài)方程為能控標準型uxxxxxx 102101110221321321 例例 判別如下系統(tǒng)的能控性判別如下系統(tǒng)的能控性bAAbbM2 解解 ：故系統(tǒng)的狀態(tài)故系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控！完全能控！nrank 3M511010042推論：系統(tǒng)能控，則傳遞函數(shù)陣無零極點對消推論：系統(tǒng)能控，則傳遞函數(shù)陣無零極點對消觀察例觀察例3-23-2為不能控極點極點1)()()(tttBuAxxnrankrank)dim(ABABAABBM1n2 階階能控性矩陣能控性矩陣npn

19、2. 2.多多輸入系統(tǒng)輸入系統(tǒng) 21321321111112310020231uuxxxxxx 例例 判別如下線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性判別如下線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性 解解 ：系統(tǒng)系統(tǒng)不能控不能控！BAABBM24422114422114523122Mrank3dimA 例例 1, 5 . 0, 121kmm 分析系統(tǒng)能控性。分析系統(tǒng)能控性。11( ), ( ),s ts t1m2m)(1tf22( ), ( ),s ts t)(2tfk選取：選?。?321)(xxxxtx1122ssss1 11212 2221()()m sfk ssm sfk ss21uuu21ff21ssy31xx223

20、21244311311122111umxmkxmkxxxumxmkxmkxxx 0202100001010010A20000100B 例例 1, 5 . 0, 121kmm 分析系統(tǒng)能控性。分析系統(tǒng)能控性。),(),(11txtx 1m2m)(1tf),(),(22txtx )(2tfk0202100001010010A20000100BBABAABB32rank0020200000010100rank4系統(tǒng)系統(tǒng)能控能控！滿足條件即可，不滿足條件即可，不必寫出所有列必寫出所有列！3.2.3 線性定常系統(tǒng)的輸出能控性 在分析和設計控制系統(tǒng)的許多情況下，系統(tǒng)的被在分析和設計控制系統(tǒng)的許多情況下，系統(tǒng)的被控制量有時不是系統(tǒng)的狀態(tài)，而是系統(tǒng)的輸出，因此控制量有時不是系統(tǒng)的狀態(tài)，而是系統(tǒng)的輸出，因此有必要研究系統(tǒng)的輸出是否能控的問題。有必要研究系統(tǒng)的輸出是否能控的問題。 定義定義 對于系統(tǒng)對于系統(tǒng) ( (A A，B B，C C，D D) )，如果存在一，如果存在一個無約束的控制矢量個