圖像變換常用處理

1、 圖像變換1 傅里葉變換2 離散余弦變換3 小波變換及其應(yīng)用信號處理方法：時域分析法頻域分析法特點：算術(shù)運算次數(shù)大大減少，可采用二維數(shù)字濾波技術(shù) 進行所需的各種圖像處理 圖像變換 圖像變換T頻率通常是指某個一維物理量隨時間變化快慢程度的度量。T例如交流電頻率為5060Hz（交流電壓）中波某電臺1026kHz（無線電波） 圖像變換T 圖像是二維信號，其坐標軸是二維空間坐標軸， 圖像本身所在的域稱為空間域（Space Domain）。T 圖像灰度值隨空間坐標變化的快慢也用頻率來度量，稱為空間頻率（Spatial Frequency）。 圖像變換T 每一種變換都有自己的正交函數(shù)集，引入不同的變換 傅

2、里葉變換 余弦變換 正弦變換 圖像變換 哈達瑪變換 沃爾什變換 K-L變換 小波變換3.1 傅里葉變換3.1.1 一維傅里葉變換3.1.2 二維離散傅里葉變換3.1.3 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)3.1.4 快速傅里葉變換3.1.5 傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用3.1 傅里葉變換T傅里葉變換利用傅里葉變換的特性，將時間信號正變換到頻率域后進行處理（例如低通、高通或帶通），然后再反變換成時間信號，即可完成對信號的濾波。低通濾波：在頻率域中抑制高頻信號高通濾波：在頻率域中抑制低頻信號3.1.1 一維傅里葉變換T一維（連續(xù)）傅里葉變換傅里葉變換是一種數(shù)學(xué)變換（正交變換），可以把一維信號（或函數(shù)）分解成

3、不同幅度的具有不同頻率的正弦和余弦信號（或函數(shù)）。輸入信號 = 傅里葉（正）變換 = 頻率域信號函數(shù) 函數(shù)頻率域信號 = 傅里葉反變換 = 輸出信號函數(shù) 函數(shù)( )F f( )f t( )F f( )f t3.1.1 一維傅里葉變換T一維（連續(xù)）傅里葉變換 1( )( ) d,( )( )( )exp j2d( )( )( )expj2dj1,f xf xxF uFf xF uf xuxxFF uf xF uuxuu 條件：如果實變量函數(shù)是連續(xù)可積的，即且是可積的，則傅里葉變換對一定存在。一維傅里葉變換對表示為：頻率變量3.1.1 一維傅里葉變換T一維（連續(xù)）傅里葉變換j ( )122222(

4、 )( )( )( )j ( )( )( ) e( )( )( )( )( )arctan( )( )( )uf xF uF uR uI uF uF uF uR uIuI uuR uR uIu滿足只有有限個間斷點、有限個極值和絕對可積的條件，并且也是可積的復(fù)數(shù)形式指數(shù)形式幅值函數(shù)（傅里葉譜）相角能量譜或能量譜：-j2 j2 0j2j20jjjjjj()(0)()0()()()ededee1j2 j2eeej21sin()esin(ee)2sinuxXuxXuxuXuXuXuXuXxxfxAxXfxxXF ufxxAxAAuuAuAuXxuj 門葉 變 換：數(shù)：該葉 譜例 1是 一函求 它 的

5、傅 里解 ：尤 拉 公 式傅 里是 一()c u數(shù)函3.1.1 一維傅里葉變換T一維（連續(xù)）傅里葉變換AX( )f x03.1.1 一維傅里葉變換T一維（連續(xù)）傅里葉變換3.1.1 一維傅里葉變換T一維離散傅里葉變換21j021j0( )1( )( )e0,1,1( )( )e0,1,1mnNNnmnNNmx nX mx nmNNx nX mnN則如果為一數(shù)字序列，其離散傅里葉正反變換：其中其中( , )f x y221/2222( , )( , )exp j2()d d( , )( , )expj2()d d( , )arctan ( , )/( , )( , )( , )( , )( ,

6、)( , )( , )( , )F u vf x yuxvyx yf x yF u vuxvyu vu vI u vR u vF u vIu vR u vE u vF u vIu vR u v 傅里葉變換的相角、傅里葉譜或功率譜可由下式給出：3.1.2 二維離散傅里葉變換T二維連續(xù)函數(shù) 的傅里葉變換000000000000-j-j000000,0, 02( ,)0,( ,)( ,) exp-j2()d dexpj2()d dexpj2dexpj2dsin()sin()ee( ,)xyxyuxvyAxxyyfx yF u vfx yuxvyx yAuxvyx yAuxxvyyuxvyAx yux

7、vyF u v 例 ：其 它傅 里 葉 譜 ：000000sin()sin()uxvyAx yuxvy3.1.2 二維離散傅里葉變換T二維連續(xù)函數(shù) f(x,y) 的傅里葉變換11-j2(/)0011j2(/)001( , )( , )e( , )( , )eMNux Mvy NxyMNux Mvy NuvF u vf x yMNf x yF u v變換在一個周期內(nèi)進行。M，N表示圖像f(x,y)在x，y方向上具有大小不同的陣列。離散信號頻譜、相譜、幅譜分別表示為：j ( , )221/2( , )( , ) e( , )j ( , )( , )( , )arctan( , )( , )( ,

8、)( , )u vF u vF u vR u vI u vI u vu vR u vF u vRu vIu v3.1.2 二維離散傅里葉變換1.可分離性 11-j2/-j2/2001( , )e( , )eNNux Nvy NxyF u vf x yN11-j2/j2/00( , )e( , )eNNux Nvy Nuvf x yF u v3.1.3 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)T基本性質(zhì)：1-j2/01-j2/01( , )( , )e1( , )( , )eNux NxNvx NyF u vF x vNF x vNf x yN其中：1111( , ) ( , ) ( , )( , ) ( ,

9、) ( , )xyyxuvvuF u vF Ff x yF Ff x yf x yFFF u vFFF u v3.1.3 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)00j2()/00( , )e(,)u x v yNf x yF uu vv圖像中心化 00/2( , )( 1)(,)22x yNNuvNf x yF uv 3.1.3 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)2平移性 ：時( , )(,)( , )(,)F u vF uaN vbNf x yf xaN ybN3.1.3 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)3周期性*( ,)( ,)( , )(,)( ,)(,)fx yf x yFu vFuvfx yFuv若 存在或 N/2

10、-N/2 一個周期3.1.3 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)4共軛對稱性則00( ,)( ,)f rF cossincossin( , )( , ),( , )( , )xryruwvwf x yf rF u vF w 例：3.1.3 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)5旋轉(zhuǎn)不變性12121212( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )1(,)(,)Ffx yfx yF fx yF fx yFfx y fx yF fx yF fx yaf x yaF u vu vf ax byFaba b傅立葉變換和反變換對于加法可以分配，而對乘法不行比例性：在空間

11、比例尺寸的展寬，相應(yīng)于頻域比例尺度的壓縮，1其幅值也減少為原來的ab3.1.3 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)6分配性和比例性11200112001( , )( , )01(0 0)( , )( , )(0 0)NNxyNNxyf x yf x yNuvFf x yf x yFN二維離散函數(shù)的平均值：將代入離散傅立葉公式：，3.1.3 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)7平均值為防止卷積后發(fā)生交疊誤差，需對離散的二維函數(shù)的定義域加以擴展( , )* ( , )( , )( , )( , )( , )( , )*( , )f x yg x yF u vG u vf x yg x yF u vG u v3.1.3

12、 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)8離散卷積定理 11( , )( , )0( , )0101( , )011( , )0101( , )01eeMA CNBDf x yg x yf x yx Ay Bf x yA x MB y Ng x yx Cy Dg x yC x MD 為此將和用整補 的方法擴充為以下的二維周期序列 1y N 3.1.3 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)8離散卷積定理當卷積周期才避免交疊誤差1100( , )*( , )( , )(,)0,1,2,10,1,2,1;*( , )*( , )( , )( , )( , )( , )( , )*( , )MNeeeemneeeeeeeefx

13、 ygx yf m n gxm ynxMyNMNfx ygx yF u vG u vfx ygx yF u vG u v其二維離散卷積：式中： 周期：3.1.3 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)8離散卷積定理1100( , )( , )( , )( , )() (,)( , )( , )( , ) (,)MNmnf x yg x yf x yg x yfg xyd dA BCDf x yg x yf m n g xm yn 連續(xù)二維函數(shù)和的相關(guān)定義大小為，的兩個離散函數(shù)序列的互相關(guān)定義3.1.3 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)9離散相關(guān)定理9離散相關(guān)定理*( , )( , )( , )( , )( , )(

14、 , )( , )( , )( , ),( , )eef x yg x yF u vG u vf x ygx yF u vG u vfx y gx y離散的相關(guān)定理：離散變量的函數(shù)是擴充函數(shù)，表示3.1.3 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)3.1.3 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)T傅里葉變換的問題 1）復(fù)數(shù)計算而非實數(shù)，費時。如采用其它合適的完備正交函數(shù)來代替傅里葉變換所用的正、余弦函數(shù)構(gòu)成完備的正交函數(shù)系，可避免這種復(fù)數(shù)運算。 2）收斂慢，在圖像編碼應(yīng)用中尤為突出。3.1.4 快速傅里葉變換T在研究離散傅里葉計算的基礎(chǔ)上，節(jié)省它的計算量，達到快速計算的目的3.1.5 傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用T 傅里

15、葉變換在圖像處理中是一個最基本的數(shù)學(xué)工具。利用這個工具，可以對圖像的頻譜進行各種各樣的處理，如濾波、降噪、增強等 a) 有柵格影響的原始圖像 b)傅里葉變換頻譜圖像3.1.5 傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用用傅里葉變換去除正弦波噪聲示例3.1.5 傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用 a) lena圖 b) lena圖的頻譜3.1.5 傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用 c) 增強縱軸上某一譜段的強度 d) 傅里葉反變換的結(jié)果3.2 離散余弦變換3.2.1 離散余弦變換原理3.2.2 離散余弦變換在圖像處理中的應(yīng)用 3.2.1 離散余弦變換原理10101( ,0)(0,1,1;1,2,1)2(21) ( ,

16、)cos21(0)( )2(21) ( )( )cos(1,2,1)2NxNxg xNxNuNxug x uNNCf xNxuC uf xuNNN一維離散余弦變換（DCT）的正變換核為： 對應(yīng)的離散余弦變換：1012(21)( )(0)( )cos(0,1,2,1)2Nxxuf xCC uxNNNN 離散余弦反變換（反變換核與正變換核形式相同）3.2.1 離散余弦變換原理21100112001( , ,0,0)( ,0,1,1; ,1,2,1)1( , , , )cos(21) cos(21) 2 ()1(0,0)( , )1( , )( , )cos(21) 2 ()MNxyMNxyg x

17、yNx yNu vNg x y u vxuyvMNCf x yMNC u vf x yxuMN 二維離散余弦變換（DCT）的正變換核為：對應(yīng)的離散余弦變換：cos(21) (1,2,1;1,2,1)yvuNvN 3.2.1 離散余弦變換原理3.2.1 離散余弦變換原理1121111( , )(0,0)( , )cos(21) cos(21) 2 ()(0,1,2,1;0,1,2,1)MNuvf x yCC u vxuyvMNMNxMyN離散余弦反變換：可看出，二維離散余弦變換的變換核是可分離的，因而可通過兩次一維變換實現(xiàn)二維變換。3.2.1 離散余弦變換原理T性質(zhì)：1余弦變換是實數(shù)、正交。2離

18、散余弦變換可由傅里葉變換的實部求得3對高度相關(guān)數(shù)據(jù)，DCT有非常好的能量緊湊性4對于具有一階馬爾可夫過程的隨機信號，DCT是K-L變換 的最好近似3.2.2 離散余弦變換在圖像處理中的應(yīng)用T 在圖像的變換編碼中有著非常成功的應(yīng)用T 離散余弦變換是傅里葉變換的實數(shù)部分，比傅里葉變換有更強的信息集中能力。對于大多數(shù)自然圖像，離散余弦變換能將大多數(shù)的信息放到較少的系數(shù)上去，提高編碼的效率3.3 小波變換及其應(yīng)用3.3.1 多分辨率分析的背景知識3.3.2 多分辨率展開3.3.3 一維小波變換3.3.4 快速小波變換算法3.3.5 二維離散小波變換3.3.6 小波分析在圖像處理中的應(yīng)用3.3.1 多分

19、辨率分析的背景知識T圖像金字塔 金字塔算法 一幅圖像的金字塔是一系列以金字塔形狀排列的分辨率逐步降 低的圖像集合 一個金字塔圖像結(jié)構(gòu) 金字塔的底部是待處理圖像的高分辨率表示，而頂部是低分辨率近似。當向金字塔的上層移動時，尺寸和分辨率就降低。3.3.1 多分辨率分析的背景知識T圖像金字塔高斯和拉普拉斯金字塔編碼 首先對圖像用高斯脈沖響應(yīng)作低通濾波，濾波后的結(jié)果從原圖像中減去，圖像中的高頻細節(jié)則保留在差值圖像里；然后，對低通濾波后的圖像進行間隔采樣，細節(jié)并不會因此而丟失 3.3.1 多分辨率分析的背景知識T圖像金字塔高斯和拉普拉斯金字塔編碼 拉普拉斯金字塔編碼策略 3.3.1 多分辨率分析的背景知

20、識T子帶編碼和解碼 雙通道子帶編碼和重建 0h1h22( )x n0( )y n1( )yn220h1h( )x n3.3.1 多分辨率分析的背景知識T子帶編碼和解碼子帶圖像編碼的二維4頻段濾波器組 3.3.1 多分辨率分析的背景知識T 哈爾變換 哈爾基函數(shù)是眾所周知的最古老也是最簡單的正交小波。哈爾變換本身是可分離的，也是對稱的，可以用下述矩陣形式表達： T=HFH其中，F(xiàn)是一個NN圖像矩陣，H是NN變換矩陣，T是NN變換的結(jié)果 3.3.1 多分辨率分析的背景知識T哈爾變換哈爾基函數(shù)對圖像的多分辨率分解 3.3.2 多分辨率展開T 函數(shù)的伸縮和平移 給定一個基本函數(shù) ,則 的伸縮和平移公式可

21、記為：( ) x,( )()a bxaxb( ) x3.3.2 多分辨率展開T函數(shù)的伸縮和平移2,sin( )02( )0( )xxxx例：給定函數(shù)其它則的波形如下圖所示函數(shù)的伸縮和平移 3.3.2 多分辨率展開T 序列展開 信號或函數(shù)常?？梢员缓芎玫胤纸鉃橐幌盗姓归_函數(shù)的線性組合。( )( )kkkf xax其中，k是有限或無限和的整數(shù)下標，ak是具有實數(shù)值的展開系數(shù)， 是具有實數(shù)值的展開函數(shù) ( )kx3.3.2 多分辨率展開T尺度函數(shù)2/2,/2,( )( )()( )2(2),( )( )( )( )2( )( )jjj kj kj kj kjj kxxLxxkjz kzxxkxxjx

22、xxjxR 設(shè)是平方可積函數(shù)，即，實數(shù)二值尺度伸縮和整數(shù)平移函數(shù)定義為：則集合是的展開函數(shù)集。從上式可以看出，決定了在 軸的位置， 決定了的寬度，即沿 軸的寬或窄的程度，而控制其高度或幅度。由于的形狀隨 發(fā)生變化，被稱為尺度函數(shù)。3.3.2 多分辨率展開T 小波函數(shù) 給定尺度函數(shù)，則小波函數(shù) 所在的空間跨越了相鄰兩尺度子空間Vj和Vj+1的差異。令相鄰兩尺度子空間Vj和Vj+1的差異子空間為Wj，則下圖表明了Wj與Vj和Vj+1間的關(guān)系。尺度及小波函數(shù)空間的關(guān)系 ( ) x3.3.3 一維小波變換T 一維離散小波變換（DWT）000010,01,00211 210,001(, )( )( )1

23、( , )( )( )11( )(, )( )( , )( )0jjMjknMj knJjkj kkjjkWjkf nnMWj kf nnMjjf nWjknWj knMMj 正變換：反變換：對于，有通常的小波變換是指的情況3.3.3 一維小波變換T一維離散小波變換（DWT）2020/2() /2( )2ittteee Morlet小波：Morlet 小波3.3.3 一維小波變換T 一維離散小波變換（DWT）222/242/22( )(1)32 23tttee Mexihat小波：Mexihat小波 3.3.4 快速小波變換算法離散小波變換算法 3.3.4 快速小波變換算法離散小波逆變換 3.

24、3.5 二維離散小波變換T對于MN的離散函數(shù)f(x,y)的離散小波變換對為：000110,0011,000,3,101(,)(,)(,)1(,)(,)(,)1, 2, 31(,)(,)(,)1(,)(,)MNjmnxyMNllj mnxyjmnmnllj mnljjmnWjmnfxyxyM NWj mnfxyxylM NfxyWjmnxyM NWj mnxyM Njj 正 變 換 ：反 變 換 ：是 任 意 開 始 尺 度 ， 通 常 取002,0,1,10,1, 21JjMNjJmn， 且 選 擇和3.3.5 二維離散小波變換二維離散小波變換的一次分解 3.3.5 二維離散小波變換圖像的二維離散小波變換3.3.6 小波分析在圖像處理中的應(yīng)用T 小波變換 傅里葉變換用在頻譜分析和濾波方法的分析上。但傅里葉反映的是信號或函數(shù)的整體特征，而實際問題關(guān)心的是信號的局部范圍中的特征。如，在音樂和語言信號中人們關(guān)心的是什么時刻奏什么音符，發(fā)出什么樣的音節(jié)；對地震記錄，關(guān)心什么位置出現(xiàn)反射波；在邊緣檢測中，關(guān)心的是信號突變部分的位置。引進的