定積分的概念及性質(zhì)

1、一、定積分的概念一、定積分的概念 二、定積分的性質(zhì)二、定積分的性質(zhì) 第二節(jié)第二節(jié) 定積分定積分三、牛頓三、牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式 四、定積分的換元法和分部積分法四、定積分的換元法和分部積分法一、定積分的概念一、定積分的概念 曲邊梯形曲邊梯形 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, , b上非負(fù)、連續(xù)上非負(fù)、連續(xù). . 由直線由直線x a、x b、y 0及曲線及曲線y f (x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形所圍成的圖形稱為曲邊梯形. . Ox y y=f (x) a bOx y y=f (x) a bOx y y=f (x) a bOx y y=f (x) a bOx y y=f (x) a

2、 bOx y y=f (x) a b怎樣求曲邊梯形的面積？怎樣求曲邊梯形的面積？看下面的動畫演示看下面的動畫演示:Ox y y=f (x) a b 分割越細(xì)分割越細(xì),小矩形面積的和越趨近于曲邊梯形的小矩形面積的和越趨近于曲邊梯形的面積面積.求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積 (1)分割分割: : a x0 x1 x2 xn 1 xn b, , D Dxi xi xi 1; ; 小曲邊梯形的面積近似為小曲邊梯形的面積近似為f(x xi)D Dxi ( (xi 1 x xi xi); ); (2)近似代替近似代替: : (4)取極限取極限: : 設(shè)設(shè) maxD Dx1, , D Dx2, , , ,

3、 D Dxn, , 曲邊梯形的面積為曲邊梯形的面積為 (3)求和求和: : 曲邊梯形的面積近似為曲邊梯形的面積近似為 ;DniiixfA10)(limx niiixfS10)(limDx x y=f(x)x yObaxixi-1x xi求變速直線運(yùn)動的路程求變速直線運(yùn)動的路程 把整段時間分割成若干小時間段，每小段上速度看把整段時間分割成若干小時間段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程的近似值作不變，求出各小段的路程的近似值, ,再相加，便得到再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細(xì)分過程求得路路程的近似值，最后通過對時間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值程的精確值對于勻速運(yùn)動，我們有

4、公式對于勻速運(yùn)動，我們有公式路程路程= =速度速度時間時間解決變速運(yùn)動的路程的基本思路解決變速運(yùn)動的路程的基本思路 設(shè)某物體做變速直線運(yùn)動設(shè)某物體做變速直線運(yùn)動, ,其速度為其速度為 . .求在時求在時間間隔間間隔 內(nèi)所走過的路程內(nèi)所走過的路程, ,其中其中 為區(qū)間為區(qū)間 上的上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)非負(fù)連續(xù)函數(shù). .)(tvv ,21TT)(tv,21TT(1)分割分割:212101TtttttTnn(3)求和求和:11( )nniiiiiSsvtDD(4)取極限取極限:12max,ntttD DD01niiiSvtDlim( )路程的精確值路程的精確值1iiitttD iiitvsDD)(2)近似

5、近似:tOi1T2Tt1ti1 titn1 t0tn上述兩個問題的上述兩個問題的共性共性: : 解決問題的方法步驟相同解決問題的方法步驟相同 : :“分割分割 , , 近似近似 , , 求和求和 , , 取極限取極限 ” ” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: : 特殊乘積和式的極限特殊乘積和式的極限 許多問題的解決都可以化為上述特定和式的極限問許多問題的解決都可以化為上述特定和式的極限問題，將其一般化，就得到定積分的概念題，將其一般化，就得到定積分的概念. . 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 niiixfS10)(limDx x 變速直線運(yùn)動的路程變速直線運(yùn)動的路程 iniitvSD)

6、(lim10iniixfD)(1x 定義定義3-3 設(shè)設(shè) 在區(qū)間在區(qū)間 上有定義上有定義, 用用 個分個分點(diǎn)點(diǎn) , 將區(qū)間將區(qū)間 分成分成 小區(qū)間小區(qū)間,記記 ,任取點(diǎn)任取點(diǎn) ,作和式作和式)(xf,babxxxxan 210,ba1Diiixxx,1iiixxx x1nn), 2 , 1(ni iinibaxfdxxfD)(lim)(10 x 記記 , ,如果無論區(qū)間如果無論區(qū)間 如何分法如何分法, , 點(diǎn)點(diǎn)如如何取法何取法, ,當(dāng)當(dāng) 時時, ,和式的極限存在和式的極限存在, ,則稱此極限為則稱此極限為 在區(qū)間在區(qū)間 上的上的定積分定積分, ,記作記作 , ,即即inixD1maxix x,

7、ba,babadxxf)(0 )(xf badxxf)(iinixfD D )(lim10 x x 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積積分分區(qū)區(qū)間間,ba積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和根據(jù)定積分的定義，曲邊梯形的面積為根據(jù)定積分的定義，曲邊梯形的面積為( ( ) )dxxfSba 變速直線運(yùn)動的路程為變速直線運(yùn)動的路程為( )dttvSTT21 ( (2) 2) 定積分的值只與定積分的值只與被積函數(shù)被積函數(shù)及及積分區(qū)間積分區(qū)間有關(guān)，而有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)，即與積分變量的記法無關(guān)，即( )( )( )bbbaaaf xxttdfdfudu注意注意: :(

8、1) (1) 定義中區(qū)間的分法和定義中區(qū)間的分法和 的取法是的取法是任意任意的的. ix x(3) (3) 時時,規(guī)定規(guī)定ba badxxf0)( 時時,規(guī)定規(guī)定ba ( )( )baabf x dxf x dx 可積的條件可積的條件 如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的定積分存在，則稱上的定積分存在，則稱 在在 上可積。上可積。( )f x( )f x , a b , a b （1 1）若）若 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)，則上連續(xù)，則 在在 上上可積。可積。( )f x( )f x , a b , a b （2 2）若）若 在區(qū)間在區(qū)間 上有界，且只有有限個間上有界，且只有有限個間斷點(diǎn)，則斷點(diǎn)，則

9、 在在 上可積。上可積。( )f x( )f x , a b , a b思考思考: :定積分和不定積分的根本區(qū)別：定積分和不定積分的根本區(qū)別： 不定積分不定積分原函數(shù)的全體原函數(shù)的全體一族函數(shù)一族函數(shù)定定 積積 分分 和式的極限和式的極限 常常 數(shù)數(shù)()( )f x dx( )f x()( )baf x dx0例例3-363-36 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.d102xx 解解 (1)(1)分割分割 將將 等分等分, ,分點(diǎn)為分點(diǎn)為 n 1 , 0), 2 , 1(ni nixi , ,小區(qū)間小區(qū)間 的長度的長度 ,1iixx nxi1 D Do12xy ni1 niisD (2)

10、近似近似 取取iix x xnnixfsiii1)()(2 DDx x(3) (3) 求和求和iinixfD D )(1x xnnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn nn121161 nnn121161lim31 dxx 102iniixfD 10)(limx x 所以所以 n0 (4) 取極限取極限 當(dāng)當(dāng)定積分的幾何意義定積分的幾何意義 當(dāng)當(dāng)f(x) 0時時, f(x)在在a, , b上上的定的定積分表示曲邊梯形面積積分表示曲邊梯形面積的負(fù)值的負(fù)值,即即 ( )baf x dxS0 x y y=f (x) a bSOx y y=f (x) a bS( )baf x

11、dxS 當(dāng)當(dāng)f(x) 0時時, f(x)在在a, b上上的定積分的定積分 表示由曲線表示由曲線y f(x)、直線、直線x a、x b與與x軸所軸所圍成的曲邊梯形的面積圍成的曲邊梯形的面積. . ( ( ) )dxxfba O y x 當(dāng)當(dāng)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上時正時負(fù)上時正時負(fù),則定積分則定積分 表示曲線表示曲線y=f(x)與與x 軸介于軸介于a、b之間的各部分面積的代之間的各部分面積的代數(shù)和數(shù)和.( ( ) )dxxfba ( ( ) )321SSSdxxfba b y = f(x)a1S2S3S二、定積分的性質(zhì)二、定積分的性質(zhì) ( 為常數(shù)為常數(shù)). 性質(zhì)性質(zhì)3-53-5( )( )b

12、baaf x dxfkxkdxk定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)3-53-5、3-63-6與不定積分相同，即：與不定積分相同，即： ( 為常數(shù)為常數(shù)). ( )( )kf x dxkf x dxk性質(zhì)性質(zhì)3-63-6 ( )( )( )( )bbbaaaf xdxf x dg xg x dxx ( )( )( )( )f xg x dxf x dxg x dx注意：注意：不論不論 的相對位置如何的相對位置如何, 上式總成立上式總成立., ,a b c性質(zhì)性質(zhì)3-73-7 定積分對于積分區(qū)間具有可加性定積分對于積分區(qū)間具有可加性( )( )( )ccbbaaf x dxf x dxf x dxab y=

13、f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxbcf (x)dx。 cOx y2121( )( )( )( )ccccbbaaf x dxf x dxf x dxf x dx推廣：推廣：性質(zhì)性質(zhì)3-83-8 如果在區(qū)間如果在區(qū)間 上上, , 則則 ,ba)()(xgxf ( )( )bbaaf x dxg x dx0( )( )f xg x0 x y y=f(x) a b y=g(x)( )( )0f xg x0 x y y=f(x) a b y=g(x) 性質(zhì)性質(zhì)3-9 設(shè)設(shè) 及及 分別是函數(shù)分別是函

14、數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的上的最大值及最小值最大值及最小值, ,則則 M)(xf,ba()( )()bam baf x dxM bam性質(zhì)性質(zhì)3-103-10（定積分中值定理）（定積分中值定理） 如果函數(shù)如果函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù), ,則在則在 上至少上至少存在一個點(diǎn)存在一個點(diǎn) ，使，使 )(xf,ba,bax xdxxfba )()(abf x x. . )(ba x x ( )mf xM( )bbbaaamdxf x dxMdx由性質(zhì)由性質(zhì)3-83-8得得( )bbbaaamdxf x dxMdx()bbaamdxmdxm ba()bbaaMdxMdxM baOx y y=f (x) a b M m積分中值公式的幾何解釋：積分中值公式的幾何解釋： 在區(qū)間上至少存在一個點(diǎn)在區(qū)間上至少存在一個點(diǎn) , ,使得以區(qū)間使得以區(qū)間 為為底邊，以曲線底邊，以曲線 為曲