勾股定理的逆定理(第課時(shí))

1、八年級(jí)八年級(jí) 下冊(cè)下冊(cè)17.2勾股定理的逆定理（勾股定理的逆定理（1） 本課在學(xué)習(xí)勾股定理的基礎(chǔ)上，研究當(dāng)三角形中兩本課在學(xué)習(xí)勾股定理的基礎(chǔ)上，研究當(dāng)三角形中兩 邊的平方和等于第三邊的平方時(shí)，這個(gè)三角形是否邊的平方和等于第三邊的平方時(shí)，這個(gè)三角形是否 為直角三角形在研究過(guò)程中，介紹了逆命題、逆為直角三角形在研究過(guò)程中，介紹了逆命題、逆 定理的概念定理的概念課件說(shuō)課件說(shuō)明明 學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)習(xí)目標(biāo)：1理解勾股定理的逆定理，經(jīng)歷理解勾股定理的逆定理，經(jīng)歷“觀察測(cè)量觀察測(cè)量 猜想論證猜想論證”的定理探究的過(guò)程，體會(huì)的定理探究的過(guò)程，體會(huì)“構(gòu)造構(gòu)造 法法”證明數(shù)學(xué)命題的基本思想；證明數(shù)學(xué)命題的基本思想；2

2、了解逆命題的概念，知道原命題為真命題，它了解逆命題的概念，知道原命題為真命題，它 的逆命題不一定為真命題的逆命題不一定為真命題 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：學(xué)習(xí)重點(diǎn)： 探索并證明勾股定理的逆定理探索并證明勾股定理的逆定理. . 課件說(shuō)課件說(shuō)明明勾股定理勾股定理如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為，斜邊長(zhǎng)為c，那么，那么a2+ +b2= =c2題設(shè)（題設(shè)（條件條件）：）：直角三角形直角三角形的的兩直角邊長(zhǎng)為兩直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為，斜邊長(zhǎng)為c 結(jié)論：結(jié)論：a2+ +b2= =c2 問(wèn)題問(wèn)題1 1回憶勾股定理的內(nèi)容回憶勾股定理的內(nèi)容 形形數(shù)數(shù)回憶舊知再次梳理回憶舊

3、知再次梳理 abcCBA勾股定理：勾股定理： 如果直角三角形的兩直角邊為如果直角三角形的兩直角邊為a，b，斜邊長(zhǎng)為斜邊長(zhǎng)為c ，那么，那么a2+b2=c2. 反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)三角形的三邊長(zhǎng)a a、b b、c c滿足滿足a a2 2+ +b b2 2= =c c2 2 . .那么這個(gè)那么這個(gè)三角形的形狀怎樣？三角形的形狀怎樣？逆向思考提出問(wèn)題逆向思考提出問(wèn)題 思考思考 如果三角形的三邊長(zhǎng)如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c 滿足滿足a2+ +b2= =c2，那么這個(gè)三角形是否是直角三角形？那么這個(gè)三角形是否是直角三角形？逆向思考提出問(wèn)題逆向思考提出問(wèn)題 據(jù)說(shuō)據(jù)說(shuō)，古埃及人曾

4、用下面的方法畫(huà)直角：把一根長(zhǎng)古埃及人曾用下面的方法畫(huà)直角：把一根長(zhǎng)繩打上等距離的繩打上等距離的13 個(gè)結(jié)，然后以個(gè)結(jié)，然后以3 個(gè)結(jié)間距，個(gè)結(jié)間距，4 個(gè)結(jié)間個(gè)結(jié)間距、距、5 個(gè)結(jié)間距的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，用木樁釘成一個(gè)三角形，個(gè)結(jié)間距的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角你認(rèn)為結(jié)論正確嗎？其中一個(gè)角便是直角你認(rèn)為結(jié)論正確嗎？（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （13） （12） （11） （10） （9） 如果三角形的三邊分別如果三角形的三邊分別為為3，4，5，這些數(shù)滿足，這些數(shù)滿足關(guān)系：關(guān)系：32+ +42= =52，圍成的，圍成的三角形是直角三角形三角

5、形是直角三角形 實(shí)驗(yàn)操作：實(shí)驗(yàn)操作： （1）畫(huà)一畫(huà)：畫(huà)一畫(huà)：下列各組數(shù)中的兩數(shù)平方和等于第三數(shù)的下列各組數(shù)中的兩數(shù)平方和等于第三數(shù)的 平方，分別以這些數(shù)為邊長(zhǎng)畫(huà)出三角形（單位：平方，分別以這些數(shù)為邊長(zhǎng)畫(huà)出三角形（單位：cm），）， 它們是直角三角形嗎？它們是直角三角形嗎？ 2. .5，6，6. .5； 6，8，10 （2）量一量：量一量：用量角器分別測(cè)量上述各三角形的最大角用量角器分別測(cè)量上述各三角形的最大角 的度數(shù)的度數(shù)（3）想一想：想一想：請(qǐng)判斷這些三角形的形狀，并提出猜想請(qǐng)判斷這些三角形的形狀，并提出猜想 精確驗(yàn)證提出猜想精確驗(yàn)證提出猜想A1B1C1 已知：如圖，已知：如圖，ABC的三邊

6、長(zhǎng)的三邊長(zhǎng)a，b，c，滿足，滿足a2+ +b2= =c2 求證：求證：ABC是直角三角形是直角三角形？三角形全三角形全等等 邏輯推理邏輯推理 證明結(jié)論證明結(jié)論 C是直是直角角ABC是直角三角是直角三角形形ABCa b c ba C=900 AB2= a2+b2 a2+b2=c2 AB 2=c2 AB =c 邊長(zhǎng)取正值邊長(zhǎng)取正值 ABC ABC（SSS） C= C(全等全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）三角形對(duì)應(yīng)角相等） C= 900BC=a=BCCA=b=CAAB=c=ABcabBCAabBCA已知已知:在在ABC中，中，AB=c BC=a CA=b 且且a2+b2=c2求證求證: ABC是直角三角形是直

7、角三角形證明證明:畫(huà)一個(gè)畫(huà)一個(gè)ABC,使使 C=900,BC=a, CA=b在在 ABC和和 ABC中中 ABC是直角三角形是直角三角形（直角三角形的定義）（直角三角形的定義）勾股定理的逆命題證明勾股定理的逆命題證明作用：作用：判定一個(gè)三角形三邊滿足什么條件時(shí)為直判定一個(gè)三角形三邊滿足什么條件時(shí)為直角三角角三角形形 演繹推理形成定理演繹推理形成定理 定理：定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c 滿足滿足a2+ +b2= =c2， 那么這個(gè)三角形是直角三角形那么這個(gè)三角形是直角三角形41例例1判斷由線段判斷由線段a，b，c 組成的三角形是不是直組成的三角形是不是直 角三角形：角三角

8、形： （1） a= =15，b= =17，c= =8； （2） a= =13，b= =15，c= =14； （3） a= = ，b= =4，c= =5直接運(yùn)用鞏固知識(shí)直接運(yùn)用鞏固知識(shí)分析：分析：根據(jù)勾股定理及其逆定理判斷一個(gè)三角形是根據(jù)勾股定理及其逆定理判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長(zhǎng)的平方和是否等不是直角三角形，只要看兩條較小邊長(zhǎng)的平方和是否等于最大邊長(zhǎng)的平方于最大邊長(zhǎng)的平方 解：解：（1） 152+ +82 = =225+ +64= =289， 172 = =289，152+ +82 = =172. .以以15，8，17為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形形

9、 41例例1判斷由線段判斷由線段a，b，c 組成的三角形是不是直組成的三角形是不是直角三角形：角三角形： （1） a= =15，b= =17，c= =8； （2） a= =13，b= =15，c= =14； （3） a= = ，b= =4，c= =5直接運(yùn)用鞏固知識(shí)直接運(yùn)用鞏固知識(shí)像像15，17，8 這樣，能夠成為直角三角形三這樣，能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)勾股數(shù)分析：分析：根據(jù)勾股定理及根據(jù)勾股定理及其逆定理判斷一個(gè)三角形是其逆定理判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，只要看兩不是直角三角形，只要看兩條較小邊長(zhǎng)的平方和是否等條較小邊長(zhǎng)的平方和是否等于

10、最大邊長(zhǎng)的平方于最大邊長(zhǎng)的平方勾股定理的勾股定理的逆定理逆定理：定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c 滿足滿足a2+ +b2= =c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形那么這個(gè)三角形是直角三角形 兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，像這樣的兩個(gè)命兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，像這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題如果把其中一個(gè)命題叫做題叫做互逆命題如果把其中一個(gè)命題叫做原命題原命題，那，那么另一個(gè)命題叫做它的么另一個(gè)命題叫做它的逆命題逆命題階段小結(jié)適時(shí)梳理階段小結(jié)適時(shí)梳理勾股定理的逆命勾股定理的逆命題：題：勾股定理：勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊

11、為斜邊為c，那么，那么a2+ +b2= =c2直接運(yùn)用鞏固知識(shí)直接運(yùn)用鞏固知識(shí)說(shuō)出下列命題的逆命題這些命題的逆命題是真命說(shuō)出下列命題的逆命題這些命題的逆命題是真命題嗎？題嗎？ （1）兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；）兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等； 逆命題：逆命題：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行真命題內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行真命題（2）對(duì)頂角相等；）對(duì)頂角相等； 逆命題：逆命題：相等的角是對(duì)頂角假命題相等的角是對(duì)頂角假命題（3）線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等）線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等 逆命題：逆命題：到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上真命題

12、垂直平分線上真命題任何一個(gè)命題都有逆任何一個(gè)命題都有逆命題；原命題是真命題，其命題；原命題是真命題，其逆命題不一定是真命題逆命題不一定是真命題 隨堂練習(xí)：隨堂練習(xí)：1、將下列長(zhǎng)度的三木棒首尾順次連接，能組、將下列長(zhǎng)度的三木棒首尾順次連接，能組成直角三角形的是（成直角三角形的是（ ）(A)1, 2, 3 (B)4, 6, 8 (C)5, 5, 4 (D)15,12, 9 2 2、如果線段、如果線段a a、b b、c c能組成直角三角形能組成直角三角形, , 則則它們的比可能是（它們的比可能是（ ） （A A）3:4:7; 3:4:7; （B B）5:12:13; 5:12:13; （C C）1:

13、2:4; 1:2:4; （D D）1:3:5.1:3:5.D B3.3.三角形的三邊分別是三角形的三邊分別是a a、b b、c, c, 且滿足且滿足(a+b)(a+b)2 2-c-c2 2=2ab, =2ab, 則此三角形是則此三角形是:( ):( )A. A. 直角三角形直角三角形; B. ; B. 是銳角三角形是銳角三角形; ;C.C.是鈍角三角形是鈍角三角形; D. ; D. 是等腰直角三角形是等腰直角三角形.A4、一個(gè)零件的形狀如下圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件、一個(gè)零件的形狀如下圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中中A和和DBC都應(yīng)為直角工人師傅量出了這個(gè)都應(yīng)為直角工人師傅量出了這個(gè)零件各邊尺寸，那么這

14、個(gè)零件符合要求嗎零件各邊尺寸，那么這個(gè)零件符合要求嗎? 此時(shí)四邊形此時(shí)四邊形ABCD的面積是多少的面積是多少?5、 已知已知a、b、c為為ABC的三邊的三邊,且且 滿足滿足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 試判斷試判斷ABC的形狀的形狀.思維訓(xùn)練思維訓(xùn)練6、ABC三邊三邊a,b,c為邊向外作為邊向外作正方形，正三角形，以三邊為正方形，正三角形，以三邊為直徑作半圓，若直徑作半圓，若S1+S2=S3成立，成立，則則是直角三角形嗎？是直角三角形嗎？ACabcS1S2S3BABCabcS1S2S3思維訓(xùn)練思維訓(xùn)練活動(dòng)活動(dòng)2 2：范例講解：范例講解例例7：判斷由線段：判斷由線段a、b

15、、c組成的三角形是不是直角三角形：組成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=m2-n2，b=m2+n2，c=2mn（mn，m、n是正整數(shù)）是正整數(shù)）解；（解；（1)a2 = 225，b2 = 64， c2 = 289又又 225 + 64 = 289 a2 + b2 = c2即即: 三角形是直角三角形三角形是直角三角形(2)a2 = (m2 - n2 )2 = m4 - 2m2n2 + n4, b2 = (m2 + n2 )2 = m4 + 2m2n2 + n4, c2 = (2mn )2 = 4m2n2又又m4 - 2m2n2 + n4 + 4m2n2 = m

16、4 + 2m2n2 + n4 a2 + c2 = b2即即: 三角形是直角三角形三角形是直角三角形知識(shí)運(yùn)用知識(shí)運(yùn)用: :AFECBD8如圖如圖:在正方形在正方形ABCD中中,E是是BC的中點(diǎn)的中點(diǎn),F是是CD上一點(diǎn)上一點(diǎn),且且CF= CD.猜想猜想AEF的形狀的形狀,并證明你的結(jié)論并證明你的結(jié)論.14解解: AEF是直角三角形；是直角三角形；理由：設(shè)正方形理由：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)是的邊長(zhǎng)是a,則則:22222222222222222113,24415242 51 61521 6B EC EaC FaD FaR TA B EA EA BB EaaR TA D FA FA DD FaaR TC

17、 E FE FC EC FaA FA EE FA E F2222在中，由勾股定理得：（a ）同理：在中，3（a ）；4在中，1（a ）（a ）4是直角三角形。9.臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十千米的范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力。如圖所示，千米的范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力。如圖所示，據(jù)氣象部門(mén)報(bào)道：距沿海城市據(jù)氣象部門(mén)報(bào)道：距沿海城市A的正南方向的正南方向220千米千米B處有一處有一個(gè)臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力個(gè)臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力12級(jí)，距離臺(tái)風(fēng)中心級(jí)，距離臺(tái)風(fēng)中心20千米，千米，風(fēng)力會(huì)減弱一級(jí)。該臺(tái)風(fēng)正以風(fēng)

18、力會(huì)減弱一級(jí)。該臺(tái)風(fēng)正以15km/h的速度沿北偏東的速度沿北偏東30方向往方向往C處移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)處移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過(guò)四級(jí)，則稱受到臺(tái)風(fēng)影響。到或超過(guò)四級(jí)，則稱受到臺(tái)風(fēng)影響。（1）該城市是否會(huì)受到此次臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由。）該城市是否會(huì)受到此次臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由。 （2）若受到影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間為多長(zhǎng)？）若受到影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間為多長(zhǎng)？（3）該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？）該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？思考題：思考題：BAC10.已知已知a.b.c為為ABC的三邊的三邊,且滿足且滿足 a2c2 b2c2=a4 b4,試判斷試判斷ABC的形狀的形狀.解解