中科院課件--《現(xiàn)代信號處理的理論和方法》Chapter+3

1、第三章第三章 時時 頻頻 分分 析析 v 3.1 引言引言 v 3.2 短時傅里葉變換短時傅里葉變換v 3.3 Gabor變換變換v 3.4 小波變換小波變換v 3.5 Wigner-Ville分布分布v 3.6 Cohen類時頻分布類時頻分布v 3.7 HHT變換技術(shù)變換技術(shù)3.1 引言Fourier變換和反變換對信號或頻譜的全局變換。對時變信號，由傅立葉變換求出的頻率將不能反映出信號頻率隨時間變化的特性。 *22,( ),( ),defjftjftf xg xf x gx dxS fs tes tS fe-101Real partSignal in time0797515951Linear

2、 scaleEnergy spectral density5010015020025030035000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=48, Nf=192, lin. scale, contour, Thld=5%Time sFrequency Hz1121232sin(), 01( )sin(),1sin(),1nnNx nn NnNnNnN ( )( ,)s tS t fs ts ts ts t如何建立起和之間的變換關(guān)系？采用信號的局部變換方法：信號的局部變換取信號的局部，核函數(shù)無窮長或信號的局部變換取信號的全部，核函數(shù)局域化3.2 短時傅里葉變換STFT的定義STFT的時間

3、、頻率分辨率STFT的性質(zhì)STFT反變換離散STFT1 1、連續(xù)短時傅里葉變換的定義、連續(xù)短時傅里葉變換的定義 *-j2*j2j2,STFT ( ,)( )() e(),e, ()e,( )fuzfufut ft fz u g utduz u g utz ug utz ugu tg ut不斷地移動 ，即不斷地移動窗函數(shù)的中心位置，取出信號在分析時間點 附近的傅立葉變換（稱之為“局部頻譜”）。 2j2j2,-j2*j2ee1STFT ( ,)ee2jvf tfuvut fftvtzGvg utduG vf eG vft fZf Gvfdv頻域加窗：2 2、 STFTSTFT的時間、頻率分辨率的時

4、間、頻率分辨率 由定義可知，STFT實際分析的是信號的局部譜，局部譜的特性決定于該局部內(nèi)的信號，也決定于窗函數(shù)的形狀和長度。 ,022222,022222,() |( )|( )|,11() |( )|( )|22t fut ft ft fguututguduug uduGvvffGdGd 基函數(shù)的時間中心為時寬為基函數(shù)的頻率中心為帶寬為時寬和帶寬與時間中心和頻率中心無關(guān)，不管移到何處，時頻平面的分辨率不變。 00000-j2-j200j2-j2j2-j201( )STFT ( ,)()ee( )2( )eSTFT ( ,)e()ee( )fufuzf ufftf ufuzz uuut fuu

5、g utdug utSTFTg uz ut fg utduG ffSTFTg uG f、令，則的時間分辨率由窗函數(shù)的寬度決定。、令，則的頻率分辨率由的頻譜的寬度決定。 1( )1,STFT ( ,)zg uuG fft fZfSTFTFT例 、若,則，則即減為簡單的，不能給出任何時間定位信息。-0.500.5Real partSignal in time084168Linear scaleEnergy spectral density2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=63, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%Tim

6、e sFrequency Hz圖2.1.3 窗函數(shù)無限寬時STFT缺少時域定位功能注：見胡廣書現(xiàn)代信號處理教程圖2.1.3 -j22( )STFT ( ,)( )eSTFT ( ,)( )ftzzg uut fz tSTFTt fz tSTFT例 、令，則可實現(xiàn)時域的準(zhǔn)確定位，即的時間中心就是的時間中心，但無法實現(xiàn)頻域的定位。-0.500.5Real partSignal in time084167Linear scaleEnergy spectral density2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=0, Nf=64, lin. scale, con

7、tour, Thld=5%Time sFrequency Hz圖2.1.4窗函數(shù)無限窄時STFT缺少頻域定位功能 注：見胡廣書現(xiàn)代信號處理教程圖2.1.4-0.500.51Real partSignal in time020454091Linear scaleEnergy spectral density2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=27, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%Time sFrequency Hz-0.500.51Real partSignal in time020454091Linear sca

8、leEnergy spectral density2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=6, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%Time sFrequency Hz圖2.1.5窗函數(shù)寬度對時頻分辨率的影響 注：見胡廣書現(xiàn)代信號處理教程圖2.1.5（a）窗函數(shù)寬度為55 （b）窗函數(shù)寬度為13 v 由于受不定原理的制約，窗函數(shù)的有效時寬和帶寬不可能同時任意小，窗寬應(yīng)該與信號的局域平穩(wěn)長度相適應(yīng)。v 對時間分辨率和頻率分辨率只能取一個折中，一個提高了，另一個就必然要降低，反之亦然。 *z t g tZfG f3 3、 短時

9、傅里葉變換的性質(zhì)短時傅里葉變換的性質(zhì)（1）. 線性性質(zhì) 設(shè) z(n)=cx(n)+dy(n), c,d 為常數(shù), 則 STFT ( ,)STFT ( ,)STFT ( ,)zxyt fct fdt f （2）. 頻移性質(zhì)調(diào)制特性（頻移不變性）設(shè) , 則 0j2( )( )ef tz tz t0STFT ( ,)STFT ( ,)zzt ft ff（3）. 時移特性（時移無不變性）00-j20( )()STFT ( ,)eSTFT (,)t fzzz tz ttt fttf設(shè)證明 0000*-j20-j2()-j2*000-j2*-j20-j20STFT ( ,)z()()ez()()-)ee(

10、 -)eeeSTFT (,)fuzf u tftftfuftzt fu-t g utduu-t gutt -tduz ug ut -tduttf4 4、短時傅里葉反變換、短時傅里葉反變換 j2-j2*( )( ,)edtdeddtdtdtdtdtdtfuzf tup uSTFT t futffz tgttutz tgttuttuz ugututz ugttp uz u 設(shè)重構(gòu)公式為當(dāng)時，稱這樣的重構(gòu)為“完全重構(gòu)”。 *2j2 dt 1,dt 1( ,) edtd f tzSTFTgttttg tg tSTFTz tSTFT tfg ttf 的完全重構(gòu)條件：滿足上述條件的綜合窗函數(shù)可以選擇為則廣

11、義反變換為：5 5、離散短時傅里葉變換、離散短時傅里葉變換 *-j2j2( ,),0,0( , )(,),( , )e( , )e,znFkknFkmnSTFT t fmT nFTFSTFT m nSTFT mT nFSTFTSTFT m nz k gkTmTSTFTz kSTFT m nkTmTkg kSTFT 將在等間隔時頻網(wǎng)格點處采樣，其中分別是時間變量和頻率變量的采樣周期，引入符號可以得到離散化形式：廣義反變換離散化形式為：若選擇則離散反變 j2( , )enFkmnz kSTFT m n g kTmT 換為：譜圖：一般把短時傅里葉變換模的平方稱為譜圖，它是一種能量分布函數(shù)，不服從線性

12、疊加原理，兩個信號之和的譜圖并不等于它們分別的譜圖的和，還存在第三項即交叉項。22*-j2SPEC ( ,) |SPEC ( ,)|( )() efuxxttz u g utdu121212121222222STFT ( ,)STFT ( ,)STFT ( ,)SPEC ( ,)STFT ( ,)STFT ( ,)SPEC ( ,)STFT ( ,)STFT ( ,)2STFT ( ,)STFT ( ,) cos( ,)( ,)xxxxxxxxxxxxxtatbttatbttatbtabtttt ),(STFT(Arg),(),(STFT(Arg),(2211ttttxxxx3.3 Gabor

13、變換早在1946年，Gabor就提出可以用二維的時頻平面上離散柵格處的點來表示一個一維的信號，即 2( )( )()( )( ),( )mnmnmnjnFtmnmnmnmntagtag tmT eTFaGaborg tgtm nGaborg t 時間采樣間隔； -頻率采樣間隔；展開系數(shù)；母函數(shù)；階基函數(shù)，它是由做移位和調(diào)制生成的。222,(),(),.jfmTmjfmTmjmTfnFtmnmnt fA t f G t ft ftmT eG t fg tmT eA t fa e 其中，注：見胡廣書現(xiàn)代信號處理教程圖2.4.2111GaborTFGaborGabor臨界采樣展開欠采樣展開過采樣展開

14、 1981mnmnmnmnGaborGaboraBastiansttaGabor有關(guān)展開的研究主要圍繞在系數(shù)求解方向，直到年提出用建立輔助函數(shù)或?qū)ε己瘮?shù)求解的方法之后，對展開的研究才引起人們的興趣。Gabor展開：用展開系數(shù)表示出原信號的過程；Gabor變換：由信號求展開系數(shù)的過程。Gabor展開的關(guān)鍵是窗函數(shù)g(t)和輔助函數(shù)(t)的選擇。臨界采樣Gabor展開與變換 2*2*2,()1,jfmTmjnFtmnmnjnFtmnt ftmT et fGt fFTt fA t f G t ftGaborattmT edttt dtttmT e引入輔助函數(shù)：使得由得的變換式為其中， Gabor變換

15、： g(t)和(t)的關(guān)系完全重構(gòu)公式： *2( )( )( )( )( )( )mnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnjnFttttgt dttgttdtttgttgttttg ttmT edtmn 如果上式對所有時間 恒成立，就稱信號是完全重構(gòu)的。此時要求和滿足完全重構(gòu)公式或雙正交關(guān)系 g(t)和(t)的關(guān)系對偶關(guān)系： 2*2*( )( )()mnmnmnjnFtmnmnjnFtmnmnmnmntatatmT eat gtmT edtt gt dttg ttgtGabor 是的對偶函數(shù)，是的對偶基函數(shù)。Gabor變換與STFT的區(qū)別與聯(lián)系：STFT的窗函數(shù)必須是窄窗，而Gabor變換

16、的窗函數(shù)無此限制，可以將Gabor變換看成是一種加窗的傅立葉變換，它的適用范圍比STFT適用范圍更廣泛；STFT(t,f)是信號的時頻二維表示，Gabor變換系數(shù)相當(dāng)于信號的時間移位-頻率調(diào)制二維表示。3.4 小波變換引言連續(xù)小波變換離散小波變換1、 引 言 在80年代后期及90年代初期所發(fā)展起來的小波變換理論已形成了信號分析和信號處理的又一強(qiáng)大的工具。 傳統(tǒng)的傅里葉變換相比，小波變換是一個時間和尺度上的局域變換；加窗傅立葉變換是以固定的滑動窗對信號進(jìn)行分析，隨著窗函數(shù)的滑動，可以表征信號的局域頻率特性。 小波分析是利用多種“小波基函數(shù)”對“原始信號”進(jìn)行分解，運用小波基，可以提取信號中的“指

17、定時間”和“指定頻率”的變化 。 因此小波變換被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。 短時傅立葉變換在時頻平面各處的分辨率都相同，可以用時頻平面的相等網(wǎng)格表示。注：見張賢達(dá)現(xiàn)代信號處理圖6.5.1 小波基函數(shù)的包絡(luò)隨尺度參數(shù)的變化而變化，可以實現(xiàn)時頻平面的多分辨率分析。注：見張賢達(dá)現(xiàn)代信號處理圖6.5.22、 連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換小波變換的特點連續(xù)小波變換的性質(zhì)小波反變換及小波容許條件v 連續(xù)小波變換（CWT） 連續(xù)小波變換的定義 設(shè)x(t)是平方可積函數(shù)，記作 ，則x(t)的連續(xù)小波變換可以定義為： )()(2RLtx*1( , )( )d( ),( )0sabtbWT a bs tts ttaaa其中

18、，a0 被稱為尺度因子，b反映小波函數(shù)在變換中的位移，(t)稱為基小波或“母小波函數(shù)”， 是母小波經(jīng)移位和伸縮所產(chǎn)生的一組函數(shù)，稱為小波基函數(shù)，或簡稱小波基。 ( )abt,1( )()a btbtaa 定義式的說明： （1） 基小波函數(shù)可能為復(fù)函數(shù)，例如Morlet小波的表達(dá)式為 tjTtt02ee)(/它是在高斯包絡(luò)下的負(fù)指數(shù)函數(shù)。 （2）時移b的作用是確定對x(t)分析的時間位置，即時間中心； （3） 尺度因子a的作用是將基小波作伸縮變換，在不同的尺度因子下，小波的持續(xù)時間隨a的加大而增寬。 ( ) t()tbb(),2tbaabttt2a4a3aabab 由此，小波變換可以理解為用一組

19、分析寬度不斷變化的基函數(shù)對信號進(jìn)行分析，這一變化正好適應(yīng)了對信號分析時在不同頻率范圍需不同分辨率這一基本要求。 注：見胡廣書現(xiàn)代信號處理教程圖9.1.1（4） 在ab前面所加的因子的作用是保證在不同的尺度因子下的小波函數(shù)的能量保持一致。 設(shè)E=|(t)|2 dt作為基本小波的能量，則對基本小波進(jìn)行移位和伸縮后得到的ab(t)的能量為 a/1 22211dddtbtbEttttEaaaa 連續(xù)小波變換的頻率域表達(dá)式 在定義了連續(xù)小波變換后， 對該表達(dá)式進(jìn)行傅里葉變換, *j,1WT ( , )( ),( )( )()ed22bxa baa bSS a ,1( )()( )()FTj ba ba

20、btbtaaeaa 由Parseval定理 如果()是幅頻特性比較集中的帶通函數(shù)，則小波變換便具有表征待分析信號S()頻域上局部性質(zhì)的能力。 小波變換在對信號分析時有如下特點： 當(dāng)a變小時，對x(t) 的時域觀察范圍變窄，但對X () 在頻率觀察的范圍變寬，且觀察的中心頻率向高頻處移動。 反之，當(dāng)a 變大時，對x(t) 的時域觀察范圍變寬，頻域的觀察范圍變窄，且分析的中心頻率向低頻處移動。注：見胡廣書現(xiàn)代信號處理教程圖9.2.102004006008001000-202 signal noissin02004006008001000-101 a=202004006008001000-20020

21、 a=128n 小波變換的特點小波變換的特點 小波變換的時頻關(guān)系受不確定原理的制約，在時頻平面上的分析窗是可調(diào)的，但分析窗的面積保持不變。 采用不同的尺度a作處理時，各個(a)的中心頻率和帶寬都不一樣，但是它們的品質(zhì)因數(shù)Q卻是相同的，即“中心頻率帶寬”為常數(shù)。00000( ),(),( ),( )()/ ,/( ),/QtttttttataaaaaaataaQ 若的時間中心是時寬是的頻率中心是帶寬是那么的時間中心是時寬變?yōu)榈念l譜的頻率中心變?yōu)閹捵優(yōu)?。的時寬帶寬積仍為與 無關(guān)。不確定原理中心頻率 帶寬。恒 性00/( )/atQaa 對，有 當(dāng)用較小的a對信號作高頻分析時，實際上是用高頻小波對

22、信號作細(xì)致觀察;當(dāng)用較大的a對信號作低頻分析時，實際上是用低頻小波對信號作概貌觀察。 a取不同值時小波變換對信號分析的時頻區(qū)間 020202t(1/2)a(1)a (2)a/22/2tt注：見胡廣書現(xiàn)代信號處理教程圖9.2.2注：見張賢達(dá)現(xiàn)代信號處理圖6.5.3 傅里葉變換的基函數(shù)是復(fù)正弦,這一基函數(shù)在頻域有著最佳的定位功能，但在時域所對應(yīng)的范圍是 ，完全不具備定位功能,這是FT的一個嚴(yán)重的缺點。 短時傅立葉變換中，只有窗函數(shù)的位移而無時間的伸縮，未進(jìn)行分析窗的調(diào)整，不具備隨分辨率變化而自動調(diào)節(jié)分析帶寬的能力。200/2010t注：見胡廣書現(xiàn)代信號處理教程圖9.2.3tjtetgtg0)()(

23、,tjtetgtg02,)()(221( , )( )()xtbWT a bx tdtaa 信號的“尺度圖（scalogram）”定義如下，它也是一種能量分布，但它是隨位移b和尺度a的能量分布，不是簡單的隨的能量分布。由于尺度a間接對應(yīng)頻率，故尺度圖實質(zhì)上也是一種時頻分布。),( tv 連續(xù)小波變換的性質(zhì) 1. 線性： 一個多分量信號的小波變換等于各個分量的小波變換之和。即如果x(t)的連續(xù)小波變換是WTx(a,b)，y(t)的連續(xù)小波變換是WTy(a,b)，則z(t)=k1x(t)+k2y(t) 的連續(xù)小波變換是k1WTx(a,b)+k2WTy(a,b)。 2. 平移不變性 如果x(t)的連

24、續(xù)小波變換是WTx(a,b)，則y=x(t-t0)的連續(xù)小波變換是WTx(a,b-t0)，也就是說，x(t)的時移t0對應(yīng)于小波變換的b移位t0 。 *00*01WT,1WT,yxtba bx ttdtaatbtx tdtaaa btx ct3. 伸縮共變性 如果x(t)的連續(xù)小波變換是WTx(a,b)，則有 的連續(xù)小波變換是 1WT,0 xca cbcc *1WT,1/1111WT,yxtba bx ctdttctaat cbx tdtacatcbx tdtcacacca cbc證明：，令 當(dāng)信號的時間軸按c 作伸縮時，其小波變換在a 和b兩個軸上同時要作相同比例的伸縮，但小波變換的波形不變

25、。 4. 自相似性 對應(yīng)于不同尺度參數(shù)a和不同平移參數(shù)b的連續(xù)小波變換之間是自相似的。 由于小波族 是同一基小波 經(jīng)平移和伸縮獲得的，而連續(xù)小波又具有不變性和伸縮共變性，故在不同(a,b)點的連續(xù)小波變換具有自相似性。,( )a bt( ) t 5. 交叉項的性質(zhì) 由于連續(xù)小波變換是線性變換，滿足疊加性，因此不存在交叉項，但是由它引申出的能量分布函數(shù)|WTx(a,b)|2卻有以下交叉項的表現(xiàn)： 設(shè)x(t)=x1(t)+x2(t)，則有 121212222| WT ( , )| WT ( , )| WT ( , )|2| WT ( , )| WT ( , )|cosxxxxxxxa ba ba

26、ba ba b其中 和 分別是 和的輻角。 1x2x1WT ( , )xa b2WT ( , )xa b 6. 小波變換的內(nèi)積定理 以基小波(t)分別對x1(t)和x2(t)作小波變換。設(shè)x1(t)的連續(xù)小波變換是 11WT ( , )( ),( )xaba bx ttx2(t)的連續(xù)小波變換是 22WT ( , )( ),( )xaba bx tt其中 1( )abtbtaa則有 1212WT ( , ),WT ( , )( ),( )xxa ba bcx tx t式中 20( )dc該定理稱之為小波變換的內(nèi)積定理，也可看成是小波變換的Parseval定理。 上式可以寫為更加明確的形式， 左

27、邊的內(nèi)積是對a和b的雙重積分，有 *121220d( ),( )( ),( )d( )( )dababax ttx ttbcx t x tta如果令 )()()(21txtxtx，可得 小波變換的幅平方在尺度位移平面上的加權(quán)積分等于信號在時域的總能量，因此，小波變換的幅平方可看作是信號能量時頻分布的一種表示形式。 22201( )( , )xx tdtaWT a bdadbc v 小波反變換及小波容許條件 1. 容許條件 tcd| )(|)(20 滿足上式的容許條件，才能夠由函數(shù)的小波變換WTx(a,b)反演出原函數(shù)x(t)。這時有 20201d( )WT ( , )( )d1d1WT ( ,

28、 )dxabxax ta btbcaatba bbcaaa 212, ,11,xx tx txttttbtbWTa bttdtaaaa證明：設(shè)則由小波變換的內(nèi)積定理可知：*121220201d( )( )d( ),( )( ),( )d1d( )WT ( , )( )dababxabax t x ttx ttx ttbcaax ta btbca 從上面的容許性條件我們也可以看到： 并不是時域的任一滿足平方絕對可積的函數(shù)都可以充當(dāng)小波。其可以作為小波的必要條件是其傅里葉變換滿足該容許條件； 能夠用來作為基小波(t)的函數(shù)，最起碼要滿足(=0)=0。這說明()必須具有帶通性質(zhì)； (t)必然是具有正

29、負(fù)幅度交替的振蕩波形，這也是“小波”之名的由來。 (0)( )d0 tt作為小波函數(shù)所應(yīng)具有的大致特征：即 是一帶通函數(shù)，它的時域波形應(yīng)是振蕩的。此外，從時頻定位的角度，希望 是有限支撐的，因此它應(yīng)是快速衰減的。這樣，時域有限長且是振蕩的這一類函數(shù)即是被稱作小波（wavelet）的原因。)(t)(t基小波函數(shù) 應(yīng)滿足一般窗函數(shù)的約束條件：要求基小波 的傅立葉變換滿足以下穩(wěn)定性條件：若 滿足上述穩(wěn)定性條件，則存在一個“對偶小波” ，它的傅立葉變換由下式給出：)(tdtt)()(t2(2)jjAB)(t( ) t *2(2)jj 2. 小波變換的重建核（Reproducing Kernel）與重建

30、核方程 重建核方程是小波變換的另一個重要性質(zhì)，它說明小波變換的冗余性。即a-b在半平面上的各個點的小波變換是相關(guān)的。 設(shè)(a0,b0)是(a,b)平面上的任一點， (a,b)上的二維函數(shù) WTx(a,b)是某一函數(shù)的小波變換的充要條件是它必須滿足如下的重建核方程：000020dWT (,)WT ( , )(, , )dxxaa ba b Ka b a bba在(a0,b0)處的小波變換WTx(a0,b0)可以表示成半平面(aR+, bR)上其它各處WT值的總貢獻(xiàn)。在上面的表達(dá)式中， 0 00 0*00*0001(, , )( )( )d111d1( ),( )aba baba bKa b a

31、btttctbtbtcaaaattc可以看出,K是小波函數(shù)ab(t)與 的內(nèi)積，它反映的是兩者的相關(guān)程度，稱為重建核。 由此，可以采用(a, b)平面上離散柵格上的 來重建信號x(t)，以消除重建過程中的信息冗余。0 0( )a bt( , )xWT a b3、 離散小波變換（DWT）n 存在問題：存在問題： 從連續(xù)小波變換的重建核方程的討論中可以看到， 對一維信號x(t)作小波變換的結(jié)果為二維的WTx(a,b)，其信息是有冗余的。n 解決方法：解決方法：離散化尺度參數(shù)和平移參數(shù)，計算離散的位移和尺度下的小波變換值。 變換尺度的離散化：變換尺度的離散化：對尺度按照冪級數(shù)作離散化。即取a0 ,令

32、尺度因子a只取a0 的整數(shù)冪，例如a 僅取, 此時對應(yīng)的小波函數(shù)為 jaaa01000,j200(),0,1,2,jaatbj220000000()jjjjjaatka baa tkb 位移的離散化：位移的離散化： 當(dāng)j=0時，則 。 對 b 的離散化，最簡單方法是對其進(jìn)行均勻采樣，如 。 當(dāng) 時，將a由 變成 時，即是將a擴(kuò)大了 倍，這時小波 的中心頻率比 的中心頻率下降了 倍，帶寬也下降了 倍。 由此，對 b 的抽樣間隔可以擴(kuò)大 倍，即當(dāng)尺度a取值 時，對b的取樣間隔可以為 。由此可以得到0bkb0j,( )()a bttb10jaja00a)(,tkj)(, 1tkj0a0a0a1200

33、,a a 12000000,ja b a ba b記為 。,( )j kt 由此，可以得到離散化小波變換 def*,= WT,( )( )dj kxj kcj kx tttj=0,1,2,; kZ Z稱cj,k為離散小波變換系數(shù)，簡稱為小波系數(shù)。 在實際的工作中，最常見的情況是取a0=2，b0=1，此時a取值為 20,21,2j。此時，連續(xù)小波變換中的基函數(shù)ab(t)記為jk(t), )2(2)(2kttjjjk相應(yīng)地，離散小波變換可表示為 tttxkjjkxd)()(),(WT*000WT (,),WT,jjxxaka bj k簡記為 二進(jìn)小波對信號的分析具有變焦距的作用小波分析： 2220

34、,2*,( )( )12( )( )( )( )d( )( )jk tkkjk tkkkj kj kjkj kj kj kjkj kj kjf tLRFourierf tc ecf t edtcf tctcx tttctt 對平方可積分的實函數(shù)級數(shù)：其中，展開系數(shù)且小波級數(shù)：其中，展開系數(shù)且小波基函數(shù)的對偶基，定義為：2( )2(2),( )( )jjkttktt是小波的對偶小波v標(biāo)架理論非正交展開：利用單個非正交函數(shù)的平移與調(diào)制等基本運算構(gòu)造非正交基函數(shù)，再用這些基函數(shù)對信號作級數(shù)展開。小波分析中使用非正交展開的優(yōu)點：正交小波是相當(dāng)復(fù)雜的函數(shù)；某些情況下適合相干態(tài)的正交基不存在；非正交展開可

35、以得到高的數(shù)值穩(wěn)定性。設(shè) 是Hilbert空間H中的一組向量，如果存在常數(shù)A0和B，對任一信號 ，若使得 成立，則稱 構(gòu)成空間H中的一個標(biāo)架。式中A，B稱為標(biāo)架界。nHx222|,|xBxxAnnn如果A=B，則B/A=1，稱 構(gòu)成了一個緊標(biāo)架，此時若標(biāo)架界 則 構(gòu)成一正交基。,nnZ22|,|nnxA x1,ABn標(biāo)架算子： 設(shè) 是Hilbert空間H中的一個標(biāo)架，定義標(biāo)架算子S為 即標(biāo)架算子S將信號x映射為g。n,defnnnSxxg111112212,|,|nnnnnnnnnnnnnnnxS gx SxSxSBxxAx 則記=為的對偶函數(shù)族，則也構(gòu)成一個標(biāo)架，標(biāo)架算子的性質(zhì)：S是有界的，

36、即AISBI，其中I是Hilbert空間中的恒等算子，對任一 ，總有Ix=x。xH22422222222,nnnnnnngSxgSx gxgxgB xB ggSxBx證明：定義，則S是自伴隨的，即=對所有函數(shù)x和g成立。,nnnnnnnnnnnnx SgxggxSx gxgxgx SgSx gS是正性算子，即2,nnnnnnnnx Sxxxxxx S是可逆的，記其逆算子為S-1, S-1也是有界的，且 B-1IS-1A-1I。 也構(gòu)成一個標(biāo)架，標(biāo)架界分別為B-1，A-1，且 ，稱其為 的對偶標(biāo)架，記1nS110ABn12212|,|nnBxxAx 冗余比：標(biāo)架邊界A和B之比值，即B/A稱為冗余

37、比。當(dāng)A=B時，有1,nnnZAv Riesz基基： 設(shè)有j|jZ，滿足如下要求： （1） （2） 當(dāng) 0jzjjc時, 便有cj=0，也就是要求j|jZ 是一組線性獨立的基。此時稱j|jZ為一組Riesz基。 222|,|xBxxAnnv 通過標(biāo)架對原函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)通過標(biāo)架對原函數(shù)進(jìn)行重構(gòu) A =B =1情況下，n是一組正交基， 因此重建公式是 ,nnnxx 緊標(biāo)架的情況下，重建表達(dá)式為 1,nnnxxA AB情況下，重建表達(dá)式為 ： ,nnnxxv 小波標(biāo)架 (1) 小波標(biāo)架的定義： 當(dāng)由基小波(t)經(jīng)過伸縮與位移而引出的函數(shù)族，具有滿足下式的要求時，便稱jk(t)|jZ+,kZ構(gòu)成一個標(biāo)架

38、： ZkZjkttjjjk,| )2(2)(2222|,|xBxxAkjkj0AB (2) jk(t)的對偶函數(shù)也構(gòu)成一個標(biāo)架。其標(biāo)架的上、下界為jk(t)標(biāo)架上、下界的倒數(shù)： )2(2)(2kttjjjk21221|,|xAxxBkjkj(3) 對信號進(jìn)行重建。 對于緊標(biāo)架, 有 22|,|jkjkxA x 所以有 11,( )WT ( , )( )jkjkxjkjkjkxxtj ktAA 對于一般的情況，當(dāng)A、B比較接近時，作為一階逼近，可以取： 2( ),( ),( )jkjkjkjkjkjkx txtxtAB 所以 1,nnnZAB (4) 在一般緊標(biāo)架的情況下，標(biāo)架中的各個jk(t)

39、并不正交，甚至還有可能線性相關(guān)， 因此經(jīng)過標(biāo)架處理后所含的信息是有冗余的。)(),(WT1)(tkjAtxjkkxj在(j0,k0)處的WT為 0 00 00 0*00*00WT (,)( )( )d1WT ( , )( )( )d1WT ( , )( )( )d1(,; , )WT ( , )xj kxjkj kjkxjkj kjkxjkj kx tttj ktttAj ktttAKj kj kj kA 式中 )(),(d)()(),;,(0000*00tttttkjkjKkjjkkjjk0 00000( )( ),; ,(,).jkj kttkj kj kjj kk當(dāng)與相互正交時 即離散尺

40、度和位移下的小波變換沒有冗余根據(jù)是否正交，小波可分為正交小波、半正交小波、非正交小波和雙正交小波。,( ), ,() (), , , ( ), ,0, , ,( )( ), ,( ), ,j kj kj kj kj kj kj kj kjRiesztj kZjjkkj k j kZtj kZjjj k j kZttj kZtj kZ 正交小波：若基滿足半正交小波：若滿足，對非正交小波：如果不是半正交小波，則稱為非正交小波。雙正交小波：若和其對偶小波之間滿足,() ()kj kjjkk 3.5 Wigner-Ville分布(WVD)時頻分布的一般理論WVD的定義WVD的性質(zhì)常用信號的WVD1、時

41、頻分布的一般理論引言時頻分布的定義時頻分布的基本性質(zhì)要求二次疊加原理引言線性時頻分析方法（STFT,Gabor變換,WT）使用時間和頻率的聯(lián)合函數(shù)描述信號的頻譜隨時間的變化情況；非線性時頻分析方法（時頻分布）使用時間和頻率的聯(lián)合函數(shù)描述信號的能量密度隨時間變化的情況。時頻分布的定義 22,22,jjRz t ztdtPRedRz tztdtR tutz uzuduP tR ted*相關(guān)函數(shù)：功率譜：對非平穩(wěn)信號，加窗后得局部相關(guān)函數(shù)：時變功率譜（信號能量的時頻分布）：時頻分布的基本性質(zhì)要求時頻分布必須是實的（且希望是非負(fù)的）；時頻分布關(guān)于時間t和頻率w的積分應(yīng)給出信號的總能量E，即邊緣特性，即

42、時頻分布關(guān)于時間t和頻率w的積分分別給出信號在頻率w的譜密度和信號在t時刻的瞬時功率1,()2P tdtdE 信號總能量 22,P tdtZP tdz t1和2時頻分布的一階矩給出信號的瞬時頻率和群延遲，即有限時間支撐和有限頻率支撐分別為 ,igP tdtP tdttP tdP tdt和 00000,00,0z tttP tttZP t二次疊加原理設(shè) 1 122( )( )( )z tc z tc z t則 12122122*121 2,12,( ,) |( ,) |( ,)( ,)( ,)zzzz zzzP tcP tcPtc c Ptc c Pt式中： 和 分別稱為z1(t)和z2(t)的

43、自時頻分布; 和 分別稱為z1(t)對z2(t)和z2(t)對z1(t)的互時頻分布。這種互時譜形成了二次時頻分布的交叉項。 1zP2zP12,z zP21,zzP 對于有p個分量的信號， 二次疊加原理用下式表示： 設(shè) 1( )( )pkkkz tc z t, 則 2*,111( ,)|( ,)( ,)kklpppzkzklzzkklP tcPtc c Ptkl 共有p個自分量， p(p-1)/2個互分量，且交叉項隨p的增加按二次函數(shù)增加。 信號分量越多，交叉項就越嚴(yán)重。2、Wigner-Ville分布的定義 *-j,2222W ( ,)ed22zzututz tR tktut z uzudu

44、z tzttz tzt*取時間沖激函數(shù)作窗函數(shù)，即則的瞬時相關(guān)函數(shù) 將kz(t,)稱為瞬時自相關(guān)函數(shù)，那么WVD就是信號瞬時自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。n z(t)在頻率域的WVD分布定義如下: *j t1W ( , )e222vZvvtZZdvn 對于兩個連續(xù)時間信號x(t)與y(t), 互WVD定義為 *-j,W( ,)e22vx ytx tytdn 同樣, 它們在頻率域的互WVD定義如下: *j,1W( , )e222vtX YvvtXYdv3、WVD的性質(zhì)1. WVD的實數(shù)性和對稱性 (1) WVD 是t和w的實函數(shù)。 證明證明 對定義式的兩邊取共軛, 得到 *jW ( ,)ed22ztz

45、tz t 令=-, 則 *-jW ( ,)ed 22ztztz t 因此 *W ( ,)W ( ,)zztt(2) 如果z(t)是實信號，則WVD是頻率的偶函數(shù)。 即 W ( ,)W ( ,)zztt證明證明 將定義中的w換成-w, 得到 j-jW ( ,)ed22W ( ,)ed22W ( ,)W ( ,)z*z*zztz tz ttz tz ttt 因此 ( ,)W ( ,)zzW tt(3) 對于互WVD, 則具有如下性質(zhì): *,W ( ,)( ,)xyy xtWt2. 邊緣積分特性 (1) 在固定時刻t，WVD沿全頻率軸的積分等于在t時刻信號的瞬時功率Px(t)(也稱時間邊緣特性)，即

46、 21( )W ( ,)d| ( )|2zzP ttz t 時間邊緣特性為信號的瞬時功率證明證明 由定義式, 得到 *-*-2*11W ( ,)ded222222jztz tztdz tztdz t ztz t (2) 在固定頻率w, WVD沿全時間軸的積分等于該頻率的能量密度Pz(w)(也稱頻率邊緣特性)，即 2( )W ( ,)d|( )|zzPttZ 頻率邊緣特性為信號的能譜密度令w1=w2=w, 因此 2W ( , )d|( )|ztttZ證明證明 由定義式，得到 *W ( , )d22jvtztvvZZt et令 12,22vv, 那么 12121,()2v 代入上式， 得到 12j

47、()*1212()W,ed2tztZZtt（3） WVD分布在整個（t，w）平面上, 對t，w的雙重積分等于信號的總能量E，即 1W ( ,)d d2ztEtt可以推出 221| ( )| d|( )| d2tEz ttZ 總能量E將Pz(t)和Pz(w)聯(lián)系起來, WVD是一種能量化的時頻表示3. WVD的運算性質(zhì) (1) 時移與頻移的不變性。 移位：如果x(t)=y(t-)，那么 W ( ,)W (,)xytt 調(diào)制：如果 , 那么 0j( )( )etx ty t0W ( ,)W ( ,)xytt 移位加調(diào)制：如果 , 那么 0j( )()etx ty t0W ( ,)W (,)xytt

48、 (2)信號的濾波：兩信號的時域卷積等于兩信號分別的WVD在時間軸上的卷積，即: 如果y(t)=x(t)*h(t), 則 W ( ,)W ( ,)*W ( ,)W (,)W ( ,)d yxhxhttttttt1W ( ,)W ( ,)*W ( ,)W ( ,)W ( ,)d2yxhxhttttt (3) 如果兩信號相乘，它們的傅里葉變換服從卷積關(guān)系， 則和它們對應(yīng)的WVD在頻率軸上也服從卷積關(guān)系，即: 如果y(t)=x(t)h(t), 則 ,2222,1,21W ( ,)W ( ,)d2jyjxhxhxhWtx th txthtedr tr tedWtWttt = 如果x(t)表示信號，h(

49、t)表示窗函數(shù)，此性質(zhì)表明信號加窗處理時，只影響頻率分辨率， 不影響時間分辨率。 (4) 兩信號相加, 設(shè)z(t)=x(t)+y(t), 則 ,W ( ,),2222,2Re,zxjxyx ytWtx ty txtytedWtWtWt式中第三項稱為交叉(干擾)項。 4. WVD的時限性和帶限性區(qū)域性 信號的維格納分布的時寬與頻寬，與信號本身的時寬與頻寬相同，即:如果 12( )( )0z ttttz t 其它則 12W ( ,)W ( ,)0zzttttt 其它如果 12(j )(j )0ZZ其它則 12W ( ,)W ( ,)0zztt其它利用該性質(zhì)，又可以得到下面結(jié)論： （1） 因果信號z

50、(t)的WVD也是因果的，即: 若 ( )( )0z tz tt0t0則 W ( ,)0W ( ,)00zztttt（2） 解析信號z(t)的傅里葉變換限制在頻率的正半軸， 解析信號z(t)的WVD也限制在w0 的上半平面， 即 W ( ,)0W ( ,)00zztt5. 由WVD重建信號z(t)：由定義得到 *j1W ( ,)ed222zz tztt令 ,2,221tttt則 ,2,2121ttttt 代入上式， 得到 12j()*12121( )( )W,ed22ttzttz t z t令t2=0, 再將t1 用t代替，得到 j*1W,ed22( )(0)tztz tz4、常用信號的WVD

51、舉例例 1 ,|0|1)(TtTttx求其WVD。 解解 *-jW ( ,)ed22xtx txt下面確定對的積分限： TtTt22tTtTtTtT22222222因此 22-j222sin(2 (| |)W ( ,)ed0TttxTtTtt|t|T 上式表明WVD在時間軸上限制在-TT之間，在頻率軸上是sinx/x形式，最大值在（t,0）處，最大值為4T。注：見胡廣書現(xiàn)代信號處理教程圖3.3.1例例 2 2 , 求其WVD。解解 0j( )etx tA2002020W ( ,)| exp jexpjexp()d22|exp -j()d2|()xtAttjAA 該例題的信號是一個復(fù)正弦信號，可

52、以看作平穩(wěn)隨機(jī)信號， 其WVD分布與時間無關(guān)，對任意時間都是一個在w=w0處的函數(shù)。 注：見胡廣書現(xiàn)代信號處理教程圖3.3.2例例 3 3 已知, 求互WVD。 121122( )e,( )ejtjtx tAx tA解解 121 212j(/2)-j(/2)*-j12j()*1212W( ,)eeede22ttx xttAAA A 例例 4 4 已知 , 求其WVD。解解 2021je)(mtttx)(2dee),(WDe220j -)j()j(*00mtttxtxmtxmt x(t)是一個線性調(diào)頻信號，其WVD清楚地表示出功率譜隨時間線性變化的性質(zhì)。注：見胡廣書現(xiàn)代信號處理教程圖3.3.6例

53、例 5 已知高斯信號 , 求其WVD。解解 2-e)(attx2222(/2)(/2)2/22( ,)eeedeea ta tjataxW ta上式表明， 高斯信號的WVD在時間上和頻率上有相同的波形。 注：見胡廣書現(xiàn)代信號處理教程圖3.3.5n WVD中的交叉項222222|22|22222222222222*12*21*222*112*12*21*12*11*2*1*21*txtxatxtxabtxtxbtxtxatxtbxatxtxabtxtxbbtxtxaatxbtxatbxtaxtxtx WVD服從二次疊加原理。-0.500.51Real partSignal in time2040

54、608010012000.10.20.30.4WV, lin. scale, contour, Threshold=5%Time sFrequency Hz二者具有相同的頻率中心注：見胡廣書現(xiàn)代信號處理教程圖3.5.1二者具有相同的時間中心注：見胡廣書現(xiàn)代信號處理教程圖3.5.1-1012Real partSignal in time2040608010012000.10.20.30.4WV, lin. scale, contour, Threshold=5%Time sFrequency Hzn 干擾項的消除：解析信號沒有負(fù)頻率分量，可以先將實信號轉(zhuǎn)變成解析信號，再進(jìn)行WVD分析，可消除這種

55、頻譜正負(fù)部分之間的交叉干擾項。 假設(shè)x(t)是實的連續(xù)時間信號，用z(t)表示對應(yīng)的解析信號。 z(t)定義為 1( )( )( )z tx tjx tt2(j )0(j )(j)000XzXz(t)的傅里葉變換為維格納變換的特點：因為信號的二次型是信號的能量表示，所以這種分布表示了信號的能量分布；WVD可理解為信號在 這一窗口內(nèi)能量的測量，即；兩個信號和的WVD有交叉項存在，使得兩個信號和的分布已不再是兩個信號各自分布的和。 22,221,2tttxttEWtdtd2,22,2tttt及3.6 Cohen類時頻分布模糊函數(shù)Cohen類時頻分布時頻分布的性能評價與改進(jìn)1、 模糊函數(shù)模糊函數(shù) 對

56、瞬時相關(guān)函數(shù)kz(t,)=z(t+/2)z*(t-/2) 關(guān)于時間t作傅里葉反變換，則得到模糊函數(shù)的時域定義為 *jj( , )e d22t,e dvtzvtzAvz tzttkt模糊函數(shù)在頻率域的定義是 *j1( , )ed222zvvA vZZ n 模糊函數(shù)性質(zhì): （1）時移性。令x(t)=y(t-t0), 則 0j2( , )( , )evtxyAvAv(2) 頻移性。令 tftytx0j2e)()(, 則 0j2( , )( , )efxyAvAv(3) 濾波。令 uuthuxthtxtyd)()()()()(則 ( , )( , )(, )d yxhAvAv Av (4) 調(diào)制。令z

57、(t)=x(t)h(t), 則 ( , )( , )( ,)dzxhAvAAv *j*-jj*-j-j*jW ( ,)ed22ed d221eed d2221ee222zv u tvtvutz tztz uzuutuz uzuudvz uzudu -jd1( , )ed d2vtzdvAvv n 模糊函數(shù)和WVD之間的關(guān)系：WVD與模糊函數(shù)的二維Fourier變換等價，只是相差一個常數(shù)因子。xyyxxyyxWtWtAvAv，, 不論x(t)是實信號還是復(fù)信號，其WVD始終是實信號，但其模糊函數(shù)一般為復(fù)函數(shù)。兩個信號x(t)和y(t)的互WVD和互AF分別滿足： WVD和AF分別處在不同的域。

58、時間變量t、時間延遲、 頻率w、頻偏v，共形成了四個域，即： （1） 時頻域(t,w)，對應(yīng)Wz(t,w); （2） 瞬時相關(guān)域（t,），對應(yīng)rz(t,); （3） 瞬時譜相關(guān)域（v,w），對應(yīng)Rz(w,v); （4） 模糊函數(shù)域（,v）， 對應(yīng)Az(,v)。 WVD是能量化的時頻表示，存在時間邊緣特性Pz(t)和頻率邊緣特性Pz(w)，公式重寫如下: 22( )W ( ,)d| ( )|( )W ( ,)d|( )|zzfzztP ttz tPttZ信號的總能量為 22| ( )| d|( )| dtEz ttZ 模糊函數(shù)是相關(guān)化的時頻表示，將模糊函數(shù)的定義重寫如下: *j*j( , )e

59、d221( , )ed222vtzzAvz tzttvvA vZZ 頻偏邊緣特性*( ,0)d22zAz tztt時延邊緣特性*(0, )d22zvvAvZZ最大值始終在 ,v平面的原點，且該最大值即是信號的能量，221max,0 0| ( )| d|( )| d2zzztAvAz ttZE， WVD滿足時頻移不變性質(zhì)， 如果 , 則 tfttytx0j20e )()(00W ( ,)W (,)xyt fttff而模糊函數(shù)滿足相關(guān)化移不變性質(zhì), 用公式表示如下:00j2 ()( , )( , )ftxyAvAv e例1 考慮單個高斯信號 14200exp2 expx tttjtWVD是 220

60、02exp/xW ttt ，模糊函數(shù)是 22001,expexp44xAjt 00001,2,0 0 xxxxWtAWttAt （）、，是實函數(shù)，是復(fù)函數(shù)；（ ）、，的中心在，處，是一高斯型函數(shù)；的中心在， 處，幅值也是一高斯型函數(shù)，且受一復(fù)正弦調(diào)制，是一振蕩波形，其相位與信號的時間移位和頻率調(diào)制有關(guān)。例2 一非平穩(wěn)信號由兩個高斯函數(shù)疊加而成： 12421exp2iiix tttjt222122121212121,12,2,12exp14expcos()() 2iiimmmddmmddmWVDW tttttttttttttWVDttWVDt 為：，其中，2,;，的兩個信號項即自項是分開的，分別