《大學(xué)物理2》靜電場習(xí)題課new

1、1大學(xué)物理大學(xué)物理習(xí)題討論課習(xí)題討論課真空中的靜電場真空中的靜電場靜電場中的導(dǎo)體與電介質(zhì)靜電場中的導(dǎo)體與電介質(zhì)大學(xué)物理教研室：蔡孟秋大學(xué)物理教研室：蔡孟秋21. 半徑為半徑為R的帶電細(xì)圓環(huán)，其電荷線密度為的帶電細(xì)圓環(huán)，其電荷線密度為 = 0cos ，式中，式中 0為一常數(shù)，為一常數(shù)， 為半徑為半徑R與與x軸所成的夾角，如圖所示試求環(huán)心軸所成的夾角，如圖所示試求環(huán)心O處的電場強(qiáng)度處的電場強(qiáng)度 解：在任意角解：在任意角 處取微小電量處取微小電量dq = dl，它在，它在O點點產(chǎn)生的場強(qiáng)為：產(chǎn)生的場強(qiáng)為： qddEdyRxORRlRqE0020204dsco4d4dd它沿它沿x、y軸上的二個分量為：

2、軸上的二個分量為： dEx=dEcos , dEy=dEsin 對各分量分別求和對各分量分別求和 20200dsco4RExR0040)d(sinsin42000REy故故O點的場強(qiáng)為：點的場強(qiáng)為： iRiEEx004xEdyEd32.兩條無限長平行直導(dǎo)線相距為兩條無限長平行直導(dǎo)線相距為r0，均勻帶有等量異號電荷，電，均勻帶有等量異號電荷，電荷線密度為荷線密度為 。（。（1）求兩導(dǎo)線構(gòu)成的平面上任一點的電場強(qiáng)度）求兩導(dǎo)線構(gòu)成的平面上任一點的電場強(qiáng)度（設(shè)該點到其中一線的垂直距離為（設(shè)該點到其中一線的垂直距離為x）；（）；（2）求每一根導(dǎo)線上）求每一根導(dǎo)線上單位長度導(dǎo)線受到另一根導(dǎo)線上電荷作用的電

3、場力。單位長度導(dǎo)線受到另一根導(dǎo)線上電荷作用的電場力。 分析：分析：（1）在兩導(dǎo)線構(gòu)成的平面上在兩導(dǎo)線構(gòu)成的平面上任一點的電場強(qiáng)度為兩導(dǎo)線單獨在任一點的電場強(qiáng)度為兩導(dǎo)線單獨在此所激發(fā)的電場的疊加。此所激發(fā)的電場的疊加。（2）由由F = qE，單位長度導(dǎo)線所受單位長度導(dǎo)線所受的電場力等于另一根導(dǎo)線在該導(dǎo)線的電場力等于另一根導(dǎo)線在該導(dǎo)線處的電場強(qiáng)度來乘以單位長度導(dǎo)線處的電場強(qiáng)度來乘以單位長度導(dǎo)線所帶電的量，即：所帶電的量，即：F = E應(yīng)該注意：應(yīng)該注意：式中的電場強(qiáng)度式中的電場強(qiáng)度E是除去自身電荷是除去自身電荷外其它電荷的合電場強(qiáng)度。外其它電荷的合電場強(qiáng)度。ox0rxp4解：解：（1）設(shè)點）設(shè)點P

4、在兩導(dǎo)線構(gòu)成的平面上，在兩導(dǎo)線構(gòu)成的平面上，E+、E-分別表示正、負(fù)分別表示正、負(fù)帶電導(dǎo)線在帶電導(dǎo)線在P點的電場強(qiáng)度，則有點的電場強(qiáng)度，則有ixrxrixrxEEE)(211200000ox0rxpEEox0rxpEEox0rxpEEirxxrirxxEEE)(211200000ixrxrixrxEEE)(2112000005（2 2）設(shè)）設(shè)F+、F-分別表示正、負(fù)帶電分別表示正、負(fù)帶電導(dǎo)線單位長度所受的電場力，則有導(dǎo)線單位長度所受的電場力，則有相互作用力大小相等，方向相反，兩導(dǎo)線相互吸引。相互作用力大小相等，方向相反，兩導(dǎo)線相互吸引。 irEF0022irEF0022ox0rxpEEox0r

5、xpEEox0rxpEEixrxrixrxEEE)(211200000ox0rEE6解：解：參見圖。由題意參見圖。由題意E與與Oxy面面平行，所以對任何與平行，所以對任何與Oxy面平行面平行的立方體表面。電場強(qiáng)度的通量的立方體表面。電場強(qiáng)度的通量為零為零: :0DEFGOABC3.邊長為邊長為a的立方體如圖所示，其表面分別平行于的立方體如圖所示，其表面分別平行于xy、yz和和zx平平面，立方體的一個頂點為坐標(biāo)原點?，F(xiàn)將立方體置于電場強(qiáng)度面，立方體的一個頂點為坐標(biāo)原點?，F(xiàn)將立方體置于電場強(qiáng)度 的非均勻電場中，求電場對立方體各表面的非均勻電場中，求電場對立方體各表面及整個立方體表面的電場強(qiáng)度通量。

6、及整個立方體表面的電場強(qiáng)度通量。 ?ABGF請分析：請分析：jEikxEE21)(ABGFABGFd)(d21ABGFSSjSjEikxESE22d2ABGFdaESESS|7考慮到面考慮到面CDEO與面與面ABGF的外法線方的外法線方向相反，且該兩面的電場分布相同，向相反，且該兩面的電場分布相同，故有故有 22ABGFCDEOaE同理同理 因此，整個立方體表面的電場強(qiáng)度通量因此，整個立方體表面的電場強(qiáng)度通量 3ka2121AOEFAOEFAOEFddaEiSjEiESESSjEikxEE21)(2121BCDG)(d)(dBCDGBCDGakaEiSjEikaESESS84.一無限大均勻帶電

7、薄平板，電荷面密度為一無限大均勻帶電薄平板，電荷面密度為 ，在平板中部有一，在平板中部有一半徑為半徑為r的小圓孔。求圓孔中心軸線上與平板相距為的小圓孔。求圓孔中心軸線上與平板相距為x的一點的一點P的的電場強(qiáng)度。電場強(qiáng)度。 分析：分析：用補償法求解用補償法求解利用高斯定理求解電場強(qiáng)度只適用于利用高斯定理求解電場強(qiáng)度只適用于幾種非常特殊的對稱性電場。本題的幾種非常特殊的對稱性電場。本題的電場分布雖然不具有這樣的對稱性，電場分布雖然不具有這樣的對稱性，但可以利用具有對稱性的無限大帶電但可以利用具有對稱性的無限大帶電平面和帶電圓盤的電場疊加，求出電平面和帶電圓盤的電場疊加，求出電場的分布。場的分布。若

8、把小圓孔看作由等量的正、負(fù)電荷重疊而成、挖去圓孔的帶若把小圓孔看作由等量的正、負(fù)電荷重疊而成、挖去圓孔的帶電平板等效于一個完整的帶電平板和一個帶相反電荷（電荷面電平板等效于一個完整的帶電平板和一個帶相反電荷（電荷面密度密度 = ）的圓盤。這樣中心軸線上的電場強(qiáng)度等效于平板）的圓盤。這樣中心軸線上的電場強(qiáng)度等效于平板和圓盤各自獨立在該處激發(fā)的電場的矢量和。和圓盤各自獨立在該處激發(fā)的電場的矢量和。9解：解：在帶電平面附近在帶電平面附近它們的合電場強(qiáng)度為它們的合電場強(qiáng)度為 在圓孔中心處在圓孔中心處x = 0 = 0，則，則 E E = 0 = 0 在距離圓孔較遠(yuǎn)時在距離圓孔較遠(yuǎn)時xr，則，則 上述結(jié)

9、果表明，在上述結(jié)果表明，在xr時。帶電平板上小圓孔對電場分布時。帶電平板上小圓孔對電場分布的影響可以忽略不計。的影響可以忽略不計。 nE201為沿平面外法線的單位矢量；為沿平面外法線的單位矢量；n nrxxE122202nrxxEEE222021nnxrE21120220圓盤激發(fā)的電場圓盤激發(fā)的電場:105.如圖所示，一厚度為如圖所示，一厚度為b的的“無限大無限大”帶電平板，其電荷體密帶電平板，其電荷體密度分布為度分布為 = kx（0 x b），式中），式中k為一常數(shù)，求：為一常數(shù)，求：（1）平板外兩側(cè)）平板外兩側(cè)任任一點一點P1 和和P2處的電場強(qiáng)度；處的電場強(qiáng)度；（2）平板內(nèi)）平板內(nèi)任任一

10、點一點P處的電場強(qiáng)度；處的電場強(qiáng)度；（3）場強(qiáng)為零的點在何處？）場強(qiáng)為零的點在何處？x0bPP2P1x分析：平板外兩側(cè)電場分布分析：平板外兩側(cè)電場分布在帶電平板中取一在帶電平板中取一平面，平面，電荷面密度電荷面密度 (x)02)(xE 兩側(cè)均勻場兩側(cè)均勻場, ,方向方向與平面垂直與平面垂直可知：平板外兩側(cè)電場仍為均勻電可知：平板外兩側(cè)電場仍為均勻電場，方向與板面垂直！場，方向與板面垂直！11x0bPP2P1x解：解：（1）平板外兩側(cè)平板外兩側(cè)任任一點一點P1 和和P2處處的電場強(qiáng)度的電場強(qiáng)度Es0200002dd12kSbxxSkxSSEbb024kbE （2）平板內(nèi)）平板內(nèi)任任一點一點P處的

11、電場強(qiáng)度處的電場強(qiáng)度E02002d)(kSxxxkSSEEx)2(2220bxkE（3）場強(qiáng)為零的點在何處？）場強(qiáng)為零的點在何處？0222bx)0( ,2bxbx12分析：（分析：（1）根據(jù)靜電感應(yīng)和靜電平衡）根據(jù)靜電感應(yīng)和靜電平衡時導(dǎo)體表面電荷分布的規(guī)律，電荷時導(dǎo)體表面電荷分布的規(guī)律，電荷QA均勻分布在球均勻分布在球A表面，球殼表面，球殼B內(nèi)表面帶內(nèi)表面帶電荷電荷- -QA ,外表面帶電荷外表面帶電荷QA+ QB，電荷在導(dǎo)體表面，電荷在導(dǎo)體表面均勻分布均勻分布（圖圖(a)），由帶電球面電勢的，由帶電球面電勢的疊加可求得球疊加可求得球A和球殼和球殼B的電勢。的電勢。 6.6.在一半徑為在一半徑

12、為R1 =6.0 cm的金屬球的金屬球A外面套有一個同心的金屬球殼外面套有一個同心的金屬球殼B。已知球殼。已知球殼B的內(nèi)、外半徑分別為的內(nèi)、外半徑分別為R2 =8.0 cm，R3 =10.0 cm。設(shè)。設(shè)球球A帶有總電荷帶有總電荷QA= 3.0 10-8C ，球殼，球殼B帶有總電荷帶有總電荷QB= 2.0 10-8C。（l）求球殼）求球殼B內(nèi)、外表面上所帶的電荷以及球內(nèi)、外表面上所帶的電荷以及球A和球殼和球殼B的電勢；的電勢；（2）將球殼將球殼B接地然后斷開，再把金屬球接地然后斷開，再把金屬球A接地接地，求球求球A和球殼和球殼B內(nèi)、外表面上所帶的電荷以及球內(nèi)、外表面上所帶的電荷以及球A和球殼和

13、球殼B的電勢。的電勢。 AQBAQQ 1R3R2R)(aAAQB13（2）將）將球殼球殼B接地然后斷開，再把金屬球接地然后斷開，再把金屬球A接地接地，求球，求球A和球殼和球殼B內(nèi)、內(nèi)、外表面上所帶的電荷以及球外表面上所帶的電荷以及球A和球殼和球殼B的電勢。的電勢。導(dǎo)體接地，表明導(dǎo)體與大地等電勢（大地電勢導(dǎo)體接地，表明導(dǎo)體與大地等電勢（大地電勢通常取為零）。球殼通常取為零）。球殼B接地后，外表面的電荷接地后，外表面的電荷 與從大地流入的負(fù)電荷中和，球殼內(nèi)表面帶電與從大地流入的負(fù)電荷中和，球殼內(nèi)表面帶電- -QA （圖（圖（b）。 再將球再將球A接地，接地，球殼內(nèi)表面帶電球殼內(nèi)表面帶電-QA？AQ

14、1R3R2R)(bAAQB斷開球殼斷開球殼B的接地后，再將球的接地后，再將球A接地，此時球接地，此時球A的的電勢為零。電勢的變化必將引起電荷的重新分布，電勢為零。電勢的變化必將引起電荷的重新分布，以保持導(dǎo)體的靜電平衡、以保持導(dǎo)體的靜電平衡、不失一般性可設(shè)此時球不失一般性可設(shè)此時球A帶電帶電qA，根據(jù)靜電平衡時導(dǎo)體上電荷的分布規(guī)根據(jù)靜電平衡時導(dǎo)體上電荷的分布規(guī)律，可知球殼律，可知球殼B內(nèi)表面感應(yīng)內(nèi)表面感應(yīng) qA，外表面帶電，外表面帶電qA QA（圖（圖（c）。此時球。此時球A的電勢可表示為的電勢可表示為 AAQq Aq1R3R2R)(cAAqB302010444RQqRqRqUAAAAA由由 U

15、A= 0 可解出球可解出球A所帶的電荷所帶的電荷qA，再由帶電球面電勢的疊加，再由帶電球面電勢的疊加，可求出球可求出球A和球殼和球殼B的電勢。的電勢。 14解：解：（1 1）由分析可知，球）由分析可知，球A的外表面帶電的外表面帶電3.0 10-8C，球殼，球殼 B內(nèi)表面帶電內(nèi)表面帶電- -3.0 10-8C，外表面帶電，外表面帶電5.0 10-8C。由電勢的疊。由電勢的疊加，球加，球A和球殼和球殼B的電勢分別為的電勢分別為（2）將球殼）將球殼B接地后斷開，再把球接地后斷開，再把球A接地，設(shè)球接地，設(shè)球A帶電帶電qA，球球A和球殼和球殼B的電勢為的電勢為 解得解得 VRQQRQRQUBAAAA3

16、302010106 . 5444VRQQUBAB330105 . 440444302010RQqRqRqUAAAAA304RQqUAABCRRRRRRQRRqAA8313221211012. 215即球即球A外表面帶電外表面帶電 2.12 10-8C ，由分析可推得球殼，由分析可推得球殼B內(nèi)內(nèi)表面帶電表面帶電- -2.12 10-8C，外表面帶電，外表面帶電- -0.9 10-8C 。另外球。另外球A和球殼和球殼B的電勢分別為的電勢分別為 導(dǎo)體的接地使各導(dǎo)體的電勢分布發(fā)生變化，打破了導(dǎo)體的接地使各導(dǎo)體的電勢分布發(fā)生變化，打破了原有的靜電平衡，導(dǎo)體表面的電荷將重新分布，原有的靜電平衡，導(dǎo)體表面的

17、電荷將重新分布，以建立新的靜電平衡。以建立新的靜電平衡。0AUV1092. 72BU167.7.由兩塊相距由兩塊相距0.50 mm的薄金屬板的薄金屬板A、B構(gòu)成的空氣平板電容器構(gòu)成的空氣平板電容器被屏蔽在一金屬盒被屏蔽在一金屬盒K內(nèi)，金屬盒上、下兩壁與內(nèi)，金屬盒上、下兩壁與A、B分別相距分別相距0.25 mm，金屬板面積為，金屬板面積為30mm 40mm。求：（。求：（1）被屏蔽后電）被屏蔽后電容器的電容變?yōu)樵瓉淼膸妆?；（容器的電容變?yōu)樵瓉淼膸妆?；?）若電容器的一個引腳不慎與）若電容器的一個引腳不慎與金屬屏蔽金屬屏蔽盒盒相碰，問此時的電容又為原來的幾倍。相碰，問此時的電容又為原來的幾倍。 分

18、析：薄金屬板分析：薄金屬板A、B與金屬盒一起與金屬盒一起構(gòu)成三個電容器其等效電路圖如圖構(gòu)成三個電容器其等效電路圖如圖 （b）所示，由于兩導(dǎo)體間距離較）所示，由于兩導(dǎo)體間距離較小。電容器可視為平板電容器，通小。電容器可視為平板電容器，通過分析等效電路圖可求得過分析等效電路圖可求得A、B間的間的電容。電容。 17解：解：（1）由等效電路圖（）由等效電路圖（b）可知）可知 13232123CCCCCCCC由于電容器可視作平板電容器，由于電容器可視作平板電容器，且且d1=2d2=2d31322CCC因此因此A、B間的總電容間的總電容 12CC （2）若電容器的一個引腳與屏蔽）若電容器的一個引腳與屏蔽盒

19、相碰，相當(dāng)于盒相碰，相當(dāng)于C2（或者（或者C3）極板極板短接，其電容為零，則總電容短接，其電容為零，則總電容 13CC 188.8.一平板電容充電后極板上電荷面密度為一平板電容充電后極板上電荷面密度為 0=4.5 10-5C m-2?，F(xiàn)將?，F(xiàn)將兩極板與電源斷開，然后再把相對電容率為兩極板與電源斷開，然后再把相對電容率為 r=2.0的電介質(zhì)插人兩的電介質(zhì)插人兩極板之間。此時電介質(zhì)中的極板之間。此時電介質(zhì)中的D、E和和P各為多少？各為多少？ 解：解：介質(zhì)中的電位移矢量的大小介質(zhì)中的電位移矢量的大小 介質(zhì)中的電場強(qiáng)度和極化強(qiáng)度的大小分別為介質(zhì)中的電場強(qiáng)度和極化強(qiáng)度的大小分別為 D、P、E方向相同，均

20、由正極板指向負(fù)極板（圖中垂直向下）。方向相同，均由正極板指向負(fù)極板（圖中垂直向下）。 160mV105 . 2rDE250mC103 . 2EDPS由有電介質(zhì)的高斯定理由有電介質(zhì)的高斯定理SSD0250mC105 . 4D,0EEDrPED0199.9.某介質(zhì)的相對電容率某介質(zhì)的相對電容率 r=2.8，擊穿電場強(qiáng)度為，擊穿電場強(qiáng)度為18106 Vm-1 ，如果用它來作平板電容器的電介質(zhì)，要制作電容，如果用它來作平板電容器的電介質(zhì)，要制作電容為為0.047 F，而耐壓為，而耐壓為4.0 kV的電容器，它的極板面積至的電容器，它的極板面積至少要多大。少要多大。 解：解：介質(zhì)內(nèi)電場強(qiáng)度介質(zhì)內(nèi)電場強(qiáng)度

21、 16bmV1018 EE電容耐壓電容耐壓Um = 4.0 kV，因而電容器極板間最小距離，因而電容器極板間最小距離 m1022. 24bmEUd要制作電容為要制作電容為0.047 F 的平板電容器，其極板面積的平板電容器，其極板面積 顯然，這么大的面積平鋪開來所占據(jù)的空間太大了，通顯然，這么大的面積平鋪開來所占據(jù)的空間太大了，通常將平板電容器卷疊成筒狀后再封裝。常將平板電容器卷疊成筒狀后再封裝。 20m42. 0rCdS2010.有一個空氣平板電容器，極板面積為有一個空氣平板電容器，極板面積為S，間距為，間距為d?，F(xiàn)將該電容?，F(xiàn)將該電容器接在端電壓為器接在端電壓為U的電源上充電，當(dāng)（的電源上

22、充電，當(dāng)（1）充足電后；（）充足電后；（2）然后平）然后平行插入一面積相同、厚度為行插入一面積相同、厚度為 ( d )，相對電容率為相對電容率為 r的電介質(zhì)板；的電介質(zhì)板；（3）將上述電介質(zhì)換為同樣大小的導(dǎo)體板。分別求電容器的電容）將上述電介質(zhì)換為同樣大小的導(dǎo)體板。分別求電容器的電容C，極板上的電荷，極板上的電荷Q和極板間的電場強(qiáng)度和極板間的電場強(qiáng)度E 。 分析：分析：電源對電容器充電，電容器極電源對電容器充電，電容器極板間的電勢差等于電源端電壓板間的電勢差等于電源端電壓U。插。插入電介質(zhì)后，由于介質(zhì)界面出現(xiàn)極化入電介質(zhì)后，由于介質(zhì)界面出現(xiàn)極化電荷，極化電荷在介質(zhì)中激發(fā)的電場電荷，極化電荷在介

23、質(zhì)中激發(fā)的電場與原電容器極板上自由電荷激發(fā)的電與原電容器極板上自由電荷激發(fā)的電場方向相反，介質(zhì)內(nèi)的場方向相反，介質(zhì)內(nèi)的電場減弱電場減弱。由。由于極板間的距離于極板間的距離d不變，因而與電源不變，因而與電源相接的導(dǎo)體極板將會從電源獲得電荷，相接的導(dǎo)體極板將會從電源獲得電荷，以以維持電勢差維持電勢差不變，并有不變，并有SQdSQUr00)(21r dS設(shè)極板帶電設(shè)極板帶電SQ0兩板電勢差兩板電勢差有電介質(zhì)有電介質(zhì)無電介質(zhì)無電介質(zhì)EdEU)(rdU0000)(SQdSQUr00)()(0ddSUqCrr22相類似的原因，在平板電容器極板之間，若平行地插入一塊相類似的原因，在平板電容器極板之間，若平行

24、地插入一塊導(dǎo)體板，由于極板上的自由電荷和插人導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷導(dǎo)體板，由于極板上的自由電荷和插人導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷在導(dǎo)體板內(nèi)激發(fā)的電場相互抵消，在導(dǎo)體板內(nèi)激發(fā)的電場相互抵消，與電源相接的導(dǎo)體極板將與電源相接的導(dǎo)體極板將會從電源獲得電荷，使間隙中的電場會從電源獲得電荷，使間隙中的電場E增強(qiáng)，以維持兩極板間增強(qiáng)，以維持兩極板間的電勢差不變的電勢差不變，并有，并有)(0dSQU綜上所述，綜上所述，接上電源接上電源的平板電容器，插人介質(zhì)或?qū)w后，極的平板電容器，插人介質(zhì)或?qū)w后，極板上的自由電荷均會增加，而電勢差保持不變板上的自由電荷均會增加，而電勢差保持不變。導(dǎo)體 dS設(shè)極板帶電設(shè)極板帶電SQ0兩板

25、電勢差兩板電勢差)(dEU0 0)()(000dSQdU23解：解：（l）空氣平板電容器的電容空氣平板電容器的電容dSC00充電后，極板上的電荷和極板間的電場充電后，極板上的電荷和極板間的電場強(qiáng)度為強(qiáng)度為dUEUdSUCQ0000,10.有一個空氣平板電容器，極板面積為有一個空氣平板電容器，極板面積為S，間距為，間距為d?，F(xiàn)將該電?，F(xiàn)將該電容器接在端電壓為容器接在端電壓為U的電源上充電，的電源上充電，當(dāng)（當(dāng)（1）充足電后；（）充足電后；（2）然）然后平行插入一面積相同、厚度為后平行插入一面積相同、厚度為 ( d )，相對電容率為相對電容率為 r的電的電介質(zhì)板；（介質(zhì)板；（3）將上述電介質(zhì)換為同樣大小的導(dǎo)體板。）將上述電介質(zhì)換為同樣大小的導(dǎo)體板。分別求電分別求電容器的電容容器的電容C，極板上的電荷，極板上的電荷Q和極板間的電場強(qiáng)度和極板間的電場強(qiáng)度E 。 24（2）插入電介質(zhì)后，電