圓錐曲線綜合題型歸納總結(jié)

1、圓錐曲線綜合題型歸納總結(jié)知識(shí)點(diǎn)精講一、定值問(wèn)題解析幾何中定值問(wèn)題的證明可運(yùn)用函數(shù)的思想方法來(lái)解決證明過(guò)程可總結(jié)為“變量一函數(shù)一定值”，具體操作程序如下：（1）變量-選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚?） 函數(shù)-把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)（3） 定值-化簡(jiǎn)得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值.求定值問(wèn)題常見的方法有兩種：（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理過(guò)程中消去變量，從而得到定值.二、求最值問(wèn)題常用的兩種方法（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來(lái)解決，這是幾何法（2） 代數(shù)法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則

2、可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求該函數(shù)的最值. 求函數(shù)的最值常見的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法和三角換元法等，這就是代數(shù)法三、求定值、最值等圓錐曲線綜合問(wèn)題的“三重視”（1） 重視定義在解題中的作用 （把定義作為解題的著眼點(diǎn)）.（2）重視曲線的幾何特征特別是平面幾何性質(zhì)與方程的代數(shù)特征在解題中的作用（3） 重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用（涉及弦長(zhǎng)、中點(diǎn)要用根與系數(shù)的關(guān)系）.四、求參數(shù)的取值范圍據(jù)已知條件及題目要求等量或不等量關(guān)系，再求參數(shù)的范圍題型歸納及思路提示題型1平面向量在解析幾何中的應(yīng)用思路提示解決平面向量在解析幾何中的應(yīng)用要把幾何特征轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，并把向量用坐標(biāo)表示常見的應(yīng)用有如下兩

3、個(gè)方面r rr rr r（1）用向量的數(shù)量積解決有關(guān)角的問(wèn)題直角ago 0,鈍角adp 0（且a,b不反向）,銳角ago0（且a,b不同向）.（2）利用向量的坐標(biāo)表示解決共線問(wèn)題一、利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)夾角（銳角、直角、鈍角）的問(wèn)題 其步驟是：先寫出向量坐標(biāo)式，再用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式cos a, b為 X2% y22例10.44過(guò)拋物線x 2py（p 0）的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于 A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)求證： ABO勺是鈍角三角形分析 證明 ABO的是鈍角三角形常用的方法是利用余弦定理，但用余弦定理來(lái)解決需計(jì)算出 uuu uuuOB , OA , AB的長(zhǎng)，顯然較復(fù)雜因?yàn)镼A, B不共

4、線，故可利用OAgDB 0來(lái)證明/ AOB> 90 °，從而得證2p解析 設(shè)A(xi,yj , B(X2,y2),拋物線x 2py(p 0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)F (0,).2根據(jù)題意知，直線 AB的斜率存在(若不存在，則A, B在原點(diǎn)，矛盾)，設(shè)直線AB的方程為ykx p，由2y kx £2，得 x2 2pkx p20,x2 2py則 x1 x22 pk , X1X22p 因?yàn)锳,B兩點(diǎn)在拋物線上,所以22 py1, x；2py2,兩式相乘得，汨2X； X；4p22p4 uuuuuu uuu2p2 :3p20,4QA (%, yj,QB(X2, y2), QAgQB X1X2

5、 yy又因?yàn)镼AB三點(diǎn)不共線，所以/ AOB>90°,A ABO的是鈍角三角形 評(píng)注 直線I與拋物線x2 2py(p 0)交于A, B兩點(diǎn)，則(1) 直線I在y軸上的截距等于 2p時(shí)，/ AQB= 90°(2) 直線I在y軸上的截距大于 2p時(shí)，/ AQB:90°(3) 直線I在y軸上的截距大于 0且小于2p時(shí)，/ AQ>90° .變式1 (2012重慶理20)如圖10-34所示，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn) Q長(zhǎng)軸在X軸上，上頂點(diǎn)為 A,左右 焦點(diǎn)分別為F,F2，線段QF, QF的中點(diǎn)分別為且厶ABR是面積為4的直角三角形.(1) 求該橢圓的離心率和

6、標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 過(guò)B作直線|交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，使PB丄QB,求直線I的方程.圖 10-3413、-._宀x2 y2變式2設(shè)A, B分別為橢圓1的左右頂點(diǎn)，P為直線x 4上不同于(4,0)的任意一點(diǎn)，若直線43APBP分別與橢圓交于異于 A B的點(diǎn)MN,證明：點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)變式3已知m 1，直線I : x my2x0,橢圓C :二y21, F1, F2分別為橢圓C的左右焦點(diǎn)(1) 當(dāng)直線I過(guò)右焦點(diǎn)F2時(shí)，求直線|的方程；(2) 設(shè)直線I與橢圓C交于AB兩點(diǎn)， AFF2和厶BFF2和的重心分別是 GH若原點(diǎn)0在以線段GH為 直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.例10.45在直角坐標(biāo)系x

7、Oy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)(0, ,3) , (0, ,3)的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C,直(1)解析kx 1與C交于寫出C的方程;A, B兩點(diǎn).uur uuu(2)若OA丄OB ,求k的值.(1 )設(shè)P(x, y)，由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以(0, 3), (0, 、3)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓.其短半軸b 1，故曲線C的方程為(2)設(shè)A(X1, %)，B(X2,y2),由x22L 14，kx 1即(k24)x2 2kx 3由韋達(dá)定理知，x-ix22kk24uuiu,x1x2uuu若OA丄OB ,即x x2y2y1 y2k2x1 x2k(x1 X2)1，所以x,x2y”2(k21)(4)

8、k(宀)210，即 4k 10,解得評(píng)注本題的結(jié)論可由【例10.44變式3】的評(píng)注中的重要結(jié)論順利得到:由題意,uur uuuOA丄OB ,故有/AOB= 90°,設(shè)原點(diǎn)O到直線的距離為 OH則有OH5，故可得OHd ：25，,2又y kx 1，所以d，解得kVk2 1 V51.利用此結(jié)論求解，可以對(duì)利用常規(guī)方法求解出的2結(jié)果加以驗(yàn)證，從而提高解題的準(zhǔn)確率，做到胸有成竹變式 1如圖 10-351(a b 0)的頂點(diǎn)為 A,A,B,B2，焦點(diǎn)為F1,F2,A B1J7 , SYB1a1B2A22SYB1F1B2F2 .(1)求橢圓C的方程;uur線，OPl是與n垂直相交于P點(diǎn)，與橢圓相

9、交于 A B兩點(diǎn)的直(2)設(shè)n為過(guò)原點(diǎn)的直線，uuu uuu1,是否存在上述直線I使OAgDB 0成立？若存在求出直線I的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理圖 10-35變式2如圖10-36所示，橢圓2每 1（a b 0）的一個(gè)焦點(diǎn)是F（1,0） , O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn) Fb22 2 2的直線I交橢圓于AB兩點(diǎn).若直線I繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng)，恒有|OA |OB AB ,求a的取值范圍二、利用向量的坐標(biāo)表示解決共線問(wèn)題向量a,b共線的條件是ab或xiy2 x2y2例10.46在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0.2）且斜率為k的直線I與橢圓 y2 1有兩個(gè)不同的2交點(diǎn)P,Q（1）求k的取值范圍；uuu uu

10、u uuu（2） 設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為 A B,是否存在常數(shù)k，使得向量OP + OQ與AB 共線？若存在，求 k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由分析將向量共線轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系求解解析（1）設(shè)直線I方程為y kx , 2 ,2代入橢圓得2(kx 、2»21 即(2k21)x24.2kx2 0，則（4、2k）224(2k21) 216k80，解得 k,或k22unu uuuQ(X2,y2)，則 OP + OQ = (xiX2, yiy2),由方程得x1 x24 2k2，1 2ky1y2 k(*X2)2,2，又 A( . 2,0), B(0,1), /uuu-AB ( .2

11、,1)(2)設(shè) P(xi,yj ,uuu uuu uuuL所以向量OP + OQ與AB共線等價(jià)于X, x2. 2(y1 y2),將代入上式，解得由（1 ）知k子，故沒有符合題意的常數(shù)k.2變式1設(shè)橢圓冷a2y_b71(a b0）的左右焦點(diǎn)分別為Fi, F2，離心率eJ，直線l:x22ar E，如圖cuujir uuju10-37所示，MN是I上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1M g=2N0.uuur(1 )若 F1MuuurF2N25，求a,b的值;例10.47設(shè)A B是橢圓22HILT uuuuuUlTF1MF2N 與 F1F2 共線.uuu1上的兩點(diǎn)，并且點(diǎn) N （ 2,0）滿足NAuuuNB ,當(dāng)-,1

12、時(shí)，求直5 3線AB斜率的取值范圍.uuu uuu分析 已知 的取值范圍，求直線斜率范圍關(guān)鍵在于如何用表示k，突破口在于將 NA NB轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系.uuu解析 因?yàn)镹AuuuNB，所以A B, N三點(diǎn)共線，又點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2,0），設(shè)直線 AB的方程為y k(x 2)，則 k2X 210,由T y ，消去x得(2 k21)y2 4ky 2k20,由條件可知,y k(x 2)(4k)24(2k2 1) 2k2k 00解得0 k 舟.設(shè) A(xi, yi) , B(X2, y2),則 yiy24k牙，yiy22 k2i 2k2，uuu 由NAuuuNB，得(x2, yi)(X22y).所以有2(

13、X22)yiy2(1)y24ki 2k2yiy2yi y22y22k2i 2k2)28i 2k2令h()(i)2i ii i5弓，則h()在區(qū)間【5弓上為減函數(shù)，從而6 w3uuiruuur uuurFQ ,若2,3，求 F2Pg=2Q 的符合0 k 弓，因此直線AB評(píng)注本題在消兀上有個(gè)技巧,當(dāng)XX2時(shí)消去y得關(guān)于x的一兀二次方程.XiX2(i )X2-，X x2X2c，消去X2就會(huì)得與a,b,c之間的關(guān)系；當(dāng)yiy2時(shí)消aa去x.22變式i已知Fi, F2分別為橢圓Xyi的左右焦點(diǎn)，直線li過(guò)點(diǎn)Fi且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線|2垂32斜率的取值范圍為66日u 壬.6 6 2直于直線li，垂足

14、為D,線段DF2的垂直平分線交12于點(diǎn)M (i)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程;UJIT(2)過(guò)點(diǎn)Fi作直線交曲線C于兩個(gè)不同的點(diǎn) P和Q設(shè)FiP取值范圍變式2過(guò)點(diǎn)F(i,0)的直線交拋物線y24x于A, B兩點(diǎn)，交直線l:xi于點(diǎn)M,已知muruur uur uuuMAiAF , MB2BF ,求 i 2 的值.題型2定點(diǎn)問(wèn)題思路提示(i)直線過(guò)定點(diǎn)，由對(duì)稱性知定點(diǎn)一般在坐標(biāo)軸上, 如直線y kx b，若b為常量，則直線恒過(guò)(0,b)點(diǎn)；若b為常量，則直線恒過(guò)（b,0）.kk（2）一般曲線過(guò)定點(diǎn)，把曲線方程變?yōu)閒'x, y）f2（x, y） 0 （為參數(shù)），解方程組fi(x,y)0 即f2

15、(x, y)0得定點(diǎn).模型一：三大圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）中的頂點(diǎn)直角三角形的斜邊所在的直線過(guò)定點(diǎn)x2例10.48已知橢圓42y1,直線l : y3kx m與橢圓交于 A B兩點(diǎn)（A B不是原點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn).求證：直線I過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)分析要求直線過(guò)定點(diǎn),必須知道直線I : ykx m中k與m的關(guān)系.解析設(shè) A(xi, yi)，2壬1B(X2, y2),由 43 '消去 y 得y kx m(4 k23)x28kmx4m212 0，由條件可知，(8km)24(4 k23)(4 m212)0，即 m2 4k23，8km4 m212則x1X22，x1

16、x22（*）4k 34k3因?yàn)橐?AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)（2,0），所以（為 2,y1）g（X2x-|x22(X1X2)4y”20 ,即：x,x22( x1 x2)4 (kx1m)(kx2 m) 0，整理得，（k21)x-i x2(km2)(X1X2)2m 40，將（*）代入，化簡(jiǎn)得7m216km4k20 ,即m 2k 或 m2k7（1）當(dāng)1 m2k時(shí)，l:ykx 2k過(guò)右頂點(diǎn)（2,0），與題意不符，故舍去；（2）當(dāng)勺m2k亠時(shí)，l: ykx 2k2 2過(guò)定點(diǎn)（一,0），且滿足m24k 3，符合.777所以I: y2,y2）0，即2kx m過(guò)定點(diǎn)（一 ,0）.2 2評(píng)注已知橢圓 務(wù) 與

17、1（a b 0），直線l : y kx m與橢圓交于a bAB兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn) Ai,求證：如圖10-38所示，設(shè)A（x1, y1），B（x2, y2）,由2 2x工1、，/a2b2，消去y得y kx m(a2k2 b2 )x2 2a2kmxa2m2a2b20，由條件可知,(2a2km)24(a2k2b2)(a2m2a2b2)a2' 2的二次項(xiàng)系數(shù)，請(qǐng)記?。。﹦tXi2 a2 kmOV_b2X x22 2 2a (m b )2? .2a k b，（*）因?yàn)锳B為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)A(a,O),所以u(píng)uurAAB 0,又 AA (Xi a, yi)， ABuuur

18、uuruuurk2 b2.（注：截距的平方小于二次方程所以（x1a, yi)g(X2a, y2)0，即 X1X2即 X-|X2a(Xi X2)2a(kXim)(kx2區(qū) a, y2)a(Xi X2)m)2(ki)XiX(km a)( XiX2)2a 0，將(mak)( a2b2)mai(i)當(dāng)mak 時(shí)，I:y（2）當(dāng)當(dāng)m2 2a(a b2 . 2)k整理得,kx時(shí)，丨：a符合題意.(a2 b2)k0.所以，丨:kX m過(guò)定點(diǎn)a同理可證,過(guò)上頂點(diǎn)過(guò)下頂點(diǎn)yi y20，（*）代入，化簡(jiǎn)得ak過(guò)右頂點(diǎn)（a,0），與題意不符，故舍去;2 2 2 2y kX a（a2 b2）k過(guò)定點(diǎn)（習(xí) 刖，

19、6;），且滿足a ba b2 2AB為直徑的圓過(guò)左頂點(diǎn)（a,0）,則I過(guò)定點(diǎn)（ 一,0）；a b2 2（0,b）時(shí)，丨過(guò)定點(diǎn)（0,羋型）；a b（0, b）時(shí)，丨過(guò)定點(diǎn)m2a2k2 b2 ，2X類比橢圓，對(duì)于雙曲線2a2yi（a 0,b 0），上異于右頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)A.B,b2（2 b2）(a,0),則 Iab 過(guò)若AB為直徑的圓過(guò)右頂點(diǎn)（a,0）,則|ab過(guò)定點(diǎn)（琴,0）；同理，若該圓過(guò)左頂點(diǎn)a b2 2定點(diǎn)（bh）；a b2變式1已知橢圓 y21的左頂點(diǎn)為 A不過(guò)點(diǎn)A的直線l : y kx b與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P, Q4uuu uuur當(dāng)APgAQ 0，求k與b的關(guān)系，并證明直線l過(guò)定點(diǎn).

20、變式2已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過(guò)點(diǎn)（0,1），且離心率為，Q為橢圓C的左頂點(diǎn).2（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；八6（2） 已知過(guò)點(diǎn)（,0）的直線|與橢圓C交與A B兩點(diǎn)5（I）若直線|垂直于x軸，求/ AQB勺大??；（H）若直線l與x軸不垂直，是否存在直線l使得 QAE為等腰三角形？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由例10.49已知拋物線y2 2px（p 0）上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn) A,B滿足以AB為直徑的圓過(guò)頂點(diǎn).求證：AB所在的直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)分析 要證明lAB過(guò)定點(diǎn)，必須先求得其方程解析由題意知l ab的斜率不為0（否則只有一個(gè)交點(diǎn)），故可設(shè)Iab : x ty m

21、，設(shè)A（X1, yj , B（X2, y?）,2由yx2px，消去 x 得 y2 2pty 2 pm 0 ,從而 ty m2 2 20 ,得 m 0或 m 2p .(2pt) 4( 2 pm) 4p t 8pm 0 ,即pt2y1y22 pt小2m 0 ,且，(*)yy2pm因?yàn)橐評(píng)uu uuuy2 y2AB為直徑的圓過(guò)頂點(diǎn) 0(0,0)，所以O(shè)A OB 0,即x1x2 y1y2 0 ,也即必 2 y1 y2 0 ,2p 2p把式（*）代入化簡(jiǎn)得m（m 2 p）(1)當(dāng)m 0時(shí)，x ty , Iab過(guò)頂點(diǎn)0(0,0)，與題意不符，故舍去;(2)當(dāng) m 2p 時(shí)，x ty 2p，令 y得x 2p

22、，所以Iab過(guò)定點(diǎn)(2 p,0)，此時(shí)m 2p滿足pt22m 0.綜上,Iab 過(guò)定點(diǎn)(2 p,0).評(píng)注:(1)將斜率存在的直線的方程設(shè)為kx b，將斜率不為0的直線的方程設(shè)為 x ty m :拋物線y22 px中，x-ix22 2 y1 y 力 y2- 24pyiy2 ；對(duì)于過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，必須引入?yún)?shù)，最后令參數(shù)的系數(shù)為0.如本題，先引入?yún)?shù)t, m之后，就剩下參數(shù)t，直線x ty 2 p中令參數(shù)t的系數(shù)y為0,則直線過(guò)定點(diǎn)(2 p,0).拋物線x2 2py (puuu0)上兩異于原點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)A,B滿足OAOB，則AB所在的直線過(guò)定點(diǎn)(0,2p)；2uuu拋物線y 2px (p 0)上兩異于

23、原點(diǎn) O的動(dòng)點(diǎn)A,B滿足OAuuuOB，則AB所在的直線過(guò)定點(diǎn)(2p,0).變式1如圖10-39所示，已知定點(diǎn) P(x0, y0)在拋物線y2 2px兩直線li,l 2分別交拋物線于 A,B,且以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn) P,證明：直線 AB過(guò)定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).(p 0)上，過(guò)點(diǎn)P作x變式2已知拋物線y24x，過(guò)點(diǎn)M(1,2)作兩直線l1,l2分別與拋物線交于 A, B兩點(diǎn)，且l1,l2圖10-39的斜率k1, k2滿足k1k22 .求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)模型二：三大圓錐曲線(橢圓，雙曲線,uuu uuu一定點(diǎn)N，使得NA NB拋物線)中，若過(guò)焦點(diǎn)的弦為AB，則焦點(diǎn)所在坐標(biāo)

24、軸上存在唯為定值.2x例10.50已知橢圓Ca2七1(abb 0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，且點(diǎn)(Q)在橢圓C上.2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;uuu(2)已知?jiǎng)又本€l過(guò)點(diǎn)F，且與橢圓C交于A, B兩點(diǎn)，試問(wèn)x軸上是否存在定點(diǎn) Q，使得QAuuuQB7恒成立？若存在，求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解析(1)由題意知：c 1.根據(jù)橢圓的定義得： 2a ； ( 1 1)2 (j)2 呂 2 2，即16142X2以b22 i i.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y i.2uuu uju7 假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q(m,0)，使得QA QB 恒成立.i6ii當(dāng)直線 I 的斜率為 0 時(shí)，AC. 2,0), B(

25、 .2,0).則(.2m,0) ( ,2m,0)7,解得mi6(i)當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)，A(1,725,B(i,云).由于(i ；f)(i(ii)下面證明muuu uuuQA QB顯然直線I的斜率為0時(shí),uur uiuQA QB恒成立.i67i6 .當(dāng)直線|的斜率不為0時(shí),設(shè)直線I的方程為x ty1，人(捲，yj, B(X2, y2).2x 2由7 yx tyi 可得：(t22)y2 2ty ii0.(2t)24(t22)0.yiy22t t22,i因?yàn)閄)tyi1, X2ty2 i，所以y2UUJ uuuQA QB(Xi4，yi)(X25, 丫2)4(tyii4)(ty2(t2 i)yi

26、Y22t2 2 t22(t2 2)4丄i6Y2)丄i6(t22t it2 2 i67i6uuu5綜上所述，在 x軸上存在點(diǎn) Q(,0)，使得QA4UJUQB恒成立.i6變式i已知雙曲線X2 y22的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,F2，過(guò)點(diǎn)F2的動(dòng)直線與雙曲線相交于A, B兩點(diǎn).在x軸上是否存在定點(diǎn) C，uuu uuu使得CA CB為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn) C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由題型3定直線問(wèn)題22模型：已知橢圓篤a爲(wèi) i(a b o)外一點(diǎn)bP(xo,y。)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)uurrA, B時(shí)，在線段 AB上取一點(diǎn)Q,滿足|uAP|PB|uur|AQ|i uu r i|Q

27、B|求證：點(diǎn)Q總在某定直線上，并求出該直線的方程證明：如圖10-40所示，設(shè) A(xyj, Bg, y2),Q(x,y)，由題意知urn|PA|uur|AQ|uuur |PB| Uuu , |QB|uuu設(shè)A在P, Q之間，PAuuirAQ(0)，又Q在P, B之間，故muPBuuuruuuBQ,因?yàn)?| PB |uur|BQ| ,所以u(píng)rn i.由 PAuuirAQXi得(x1xo, yiyo)(xxi, yyi)，解得Xoi同理,uum由PBuuuBQ 得(X2 Xo,y2yo)因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓(Xo匕所以-b2yi(xy)2yoyix>X2,y y2)，解得y2即(Xo 2X)2a2

28、(y。 y)2b2(i )2同理，點(diǎn)B在橢圓上，得(Xox)2a22(y。y)b2(i)2.由一得2xo (2 x)2yo (2 y)2 a所以點(diǎn)Q在定直線 ；ab2，即x°x2ayoyb2i.yoyb2類比橢圓，對(duì)于雙曲線有點(diǎn)再有P, Q的對(duì)等性知，當(dāng)y°yb2p在橢圓內(nèi)，仍有上述結(jié)論，雙曲線亦同Q在定直線x°xTa已知拋物線 y2 2px (po)，定點(diǎn)P(Xo,y°)不在拋物線上，過(guò)點(diǎn)uuuunr在直線AB上取點(diǎn)Q ,滿足 卑刖 | uuin |.|PB| |QB|xXoXiy。yiP的動(dòng)直線交拋物線于 A,B兩點(diǎn),I2求證：點(diǎn)Q在某定直線上，并求

29、其方程ILWurn證明：設(shè) A(xi, yi), B(x2, y2), Q(x, y)，由題意知'uur1tuB-1|AQ| |QB|i3uuu設(shè)A在P, Q之間，PAuuirAQ(0)，又Q在P, B之間，故uuPBuuuruuuBQ,因?yàn)?|PB |uur|BQ| ,所以 i,uuuuurPA AQxo, yiyo)(xXi, yyi)，解得故點(diǎn)A坐標(biāo)為Xox yo(iy).XiyiXoXiyoyuuu同理，由PBuuuBQ 知(x2X2故點(diǎn)B坐標(biāo)為(Xo(iX yoXo,y2 yo)(xX2, yy2)，解得y2Xo Xiyoyii因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以(匹iy).y)2XoX

30、-)，2即 (yoy) 2p(i)(xox)2同理(y。y) 2p(i)(XoX).由一得2yo (2 y)4p (xXo),即 yoy p(x Xo).所以點(diǎn)Q在定直線yoyp(x Xo)上.注:三大圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)中,當(dāng)定點(diǎn)P(Xo,yo)在曲線上時(shí),相應(yīng)的定直線XoXy°yi2 . 21，a bXoXyoya2b2i, yoyp(Xo x)均為在定點(diǎn)P(Xo,y°)處的切線2 X例io.5i設(shè)橢圓a占i(a b o)過(guò)點(diǎn)M( 2,i),且左焦點(diǎn)為Fi( b2,o).(i)求橢圓C的方程;(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)P (4,i)的動(dòng)直線I與橢圓C相交于兩不同點(diǎn)代B時(shí)，

31、在線段AB上取點(diǎn)Q ,滿足uuu uuu uuur uuu|AP|QB| |AQ|PB|.證明：點(diǎn)Q總在某定直線上分析用待定系數(shù)法求解橢圓的方程，巧妙地利用定比分點(diǎn)解答點(diǎn)Q的軌跡問(wèn)題.解析(2)(1 )由題意知 2如圖10-41uun由題意知 'luur1|AQ|不妨設(shè)uuuPB得(Xi同理,2 a2c所示，設(shè)A在P, Q之間,11，解得a 4,b2，所求橢圓方程為b22 .2a bA(xi, yj, B(X2, y2),Q(x, y)，uuuruuurPA AQ(0)，又Q在P，B之間，故uuuruuuBQ,因?yàn)閨PB | |BQ |，所以4,y1uuu由PBuurXi1)(X X1

32、, yyi)，解得y1uuu 由PA4 x11 y1uurAQuuuBQ 得(x2X2因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上，所以即(4x)2 U y)242(1同理，點(diǎn)B在橢圓上,(44, y2X)21)(xy)2X2, yy2)，解得y2)28 2 X由一得4x)24(1 y)22(1)2.，因?yàn)?0所以1.所以點(diǎn)Q在定直線2x y 2評(píng)注由模型的結(jié)論不難知?jiǎng)狱c(diǎn)Q(x, y)總在定直線0_a皺 y 1，即 2x y 242題型4定值問(wèn)題2y-1.24 x11 y12 2a 4,b2,X0 4, y°1，得0.22思路提示求定值問(wèn)題常見的方法有兩種：(1) 從特殊入手，求出其值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)，

33、這符合一般與特殊的思維辯證關(guān)系簡(jiǎn)稱為： 特殊探路，一般論證.(2) 直接推理，計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.模型：三大圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)中，曲線上的一定點(diǎn)P與曲線上的兩動(dòng)點(diǎn) A, B滿足直線PA與直線PB的斜率互為相反數(shù)，則直線 AB的斜率為定值.X2例10.52已知橢圓C :42y31， A為橢圓C上的點(diǎn)，其坐標(biāo)為3A(1-)，E,F為橢圓C上的兩動(dòng)點(diǎn),2如果直線 AE的斜率與 AF的斜率互為相反數(shù)，證明：直線 分析要求直線EF的斜率，必須知道EF的斜率為定值，并求出該定值解析設(shè)直線AE的方程為y k(x(4k2E，1)3)x2(12k 8k2)x 4(32

34、F的坐標(biāo).X2訓(xùn)0)，聯(lián)立k)212k(x1)，消y得3223則xE又直線AE的斜率與 AF的斜率互為相反數(shù),故以上k用k代替xF4k212k 34k2 3所以kyFyEF3k(xF 1)? k(xE1) |XfXeXfXek(xFXf XeXe) 2k把，兩式代入上式,為定值評(píng)注本題中可以用換元法簡(jiǎn)化計(jì)算，可以設(shè)1 t,yS，得Xt 1,y3，將x, y代入橢2圓方程中得23(t 1)4(s3)212，且kt(k為直線AE的斜率)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程得324(2 k) 12 4k212k 32 2(4 k3)Xa(4 k2 3)xa4k2 3s kt3(t 1)24(s 3)2122消s

35、得關(guān)于t12 2(4 k 3)t(12k6)t0，t的一兀二次12k64k2312k26k4k23，同理t2S212k 64k2312k24k23亠33由 E(ti 1,3) , F(t2 1,S2)，得2 26k 12k212k2 6kks2 g4k2 34k2 312kEFt2 t112k 6 12k 624k4k2 3 4k2 31為定值.2變式1已知A, B, C是長(zhǎng)軸為4,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn),BC過(guò)橢圓的uuur uuu uuu uuur中心 O 且 AC BC 0,| BC | 2 | AC |.(1)求橢圓的方程；(2)如果橢圓上的兩點(diǎn) P,Q,使得

36、 PCQ的平分線垂直于 OA，問(wèn)是否總存在實(shí)數(shù)UULTUUU使得PQ AB ?說(shuō)明理由 變式2如圖10-42 所示，過(guò)拋物線 寸 2px(p 0)上一P(xo, yo) (yo 0)，作兩條直線分別交拋物線于A(x1,y1), B(x2,y2).(1)求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離；2 當(dāng)PA與 PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求迪一眨的值，并證明直線 AB的斜率是非零常數(shù)y。題型5最值問(wèn)題思路提示有兩種求解方法：一是幾何方法，所求最值量具有明顯的幾何意義時(shí)可利用幾何性質(zhì)結(jié)合圖形直觀求 解；二是目標(biāo)函數(shù)法，即選取適當(dāng)?shù)淖兞?，建立目?biāo)函數(shù)，然后按照求函數(shù)的最值方法求解，同時(shí)要注意 變量的范

37、圍.2 2x y例10.53設(shè)橢圓1的左、右焦點(diǎn)分別為 F1,F2，點(diǎn)M是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn) A的坐標(biāo)為(2,1)，2516求|MF1 | MA|的最大值和最小值.分析 本題若設(shè)M(x, y)，建立目標(biāo)函數(shù)|MA| |MF1 | f (x, y)，則會(huì)作繭自縛但是注意到F1為橢圓 左焦點(diǎn)，聯(lián)想到橢圓定義及三角形中邊的關(guān)系不等式時(shí)，問(wèn)題就容易獲解y.解析 如圖 10-43 所示,F1( 3,0), F2(3,0)，因?yàn)镸在橢圓上，所以有MFj | MF21 2a 10，令 Z |MF1 | |MA|，得 Z 10 | MA | | MF2 | .當(dāng)M,代F2三點(diǎn)不共線時(shí)，有 IAF2I |MA|

38、 IMF2I IAF2I，當(dāng)M落在F?A的延長(zhǎng)線時(shí)，|MA| IMF2I IF2AI ,當(dāng)M落在AF2的延長(zhǎng)線時(shí)，| MA | | MF21 | F2A|.所以 Zmax 10 |F2A| 10.(2 3)2(1 0)210 互，Zmin 10 廳2人| 102.評(píng)注這里利用橢圓定義、三角形兩邊之差小于或等于(注意等號(hào)成立的條件)第三邊，使與曲線有關(guān)的最值轉(zhuǎn)化為直線段間的最值 .應(yīng)明確這里不能用|FM | | AM | |F1A| ,26，求得IRM | |AM |的最小值.26，原因是取不到等號(hào)，如果要取到等號(hào)，那么M必須在線段是不可能的.變式1如圖10-44所示，已知點(diǎn)P是拋物線 y 4x

39、上的點(diǎn)，的距離為d2，求d1 d2的最小值.設(shè)點(diǎn)P到此拋物線的準(zhǔn)線的距離為 d1，到直線l : x 2y 120變式2 已知點(diǎn)P為雙曲線2x4y2 1 上的動(dòng)點(diǎn)，M (bi,45), F (爲(wèi),0),求 | MP |55| FP |的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).例10. 54已知橢圓x22 y_41，點(diǎn)M為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若 C,D的坐標(biāo)分別是(0,.3),(0. 3)，求|MC | |MD |的最大值.分析 求積的最大值，由"和為定值積有最大值”知，必須找出和為定值.解析 由題設(shè)知D,C是橢圓的上、下焦點(diǎn)，故由橢圓的定義知|MC| | MD | 2、4 4.所以 | MC | | MD

40、| (|MC | |MD |2)24 2(2)4 .當(dāng)且僅當(dāng)| MC | MD |時(shí)取等號(hào)，即M為左、右頂25圖 10-45點(diǎn)時(shí)取等號(hào)所以，當(dāng)M為左、右頂點(diǎn)時(shí)，|MC | |MD |取得最大值4.評(píng)注 本題運(yùn)用基本不等式求最值，但要注意使用基本不等式的條件：一正，二定，三相等，四同時(shí)，積為定值時(shí)，和最小 a b 2. ab(a,b 0)；和為定值時(shí)，積最大 ab (a b)2(a,b 0)，取等號(hào)的條2件均為a b.2變式1已知橢圓X2 仏 1在第一象限部分為曲線 C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在P點(diǎn)處的切線與x,y軸的4uuuu交點(diǎn)分別為 A, B ,且向量OMuuu uuu uuunOA OB，求|

41、 OM |的最小值例10.55如圖10-45所示，已知拋物線2E : y x與圓2 2 2M:(x 4)2 y2 r2(r 0)相交于 A, B,C,D 四點(diǎn).(1) 求r的取值范圍；(2) 當(dāng)四邊形 ABCD的面積最大時(shí)，求對(duì)角線AC, BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo)解析(1 )將 y2 x 代入(x 4)2 y22 2 2r 并化簡(jiǎn)得x 7x 16 r 030因?yàn)镋與M有四個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程有兩個(gè)不等的正根x1, x2，由此得(7)2 4(16 r2)015x1 x2 7 0，解得 一r2 16.2 4x1x216 r 00 ,所以r的取值范圍是(2,4).(2)不妨設(shè)E與M的四個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A

42、*,為)月(為,xj, C(X2,X2),D(X2, x2)，則直線AC, BD的方程分別為y “1(x xj，y %.X2、X1(X X1).X2為X2X1解得點(diǎn)p的坐標(biāo)為(._XX2,o).設(shè) t . X|X2，由 t .16 r2 及(1)知 0t -.2由于四邊形 ABCD為等腰梯形，因而其面積S - (2 X12/2)化洛|S2，即 S2(為x22x1x2)(x1x2)24x1x2.將x!x27,xjX2t 代入上式，并令 f (t)得 f(t) (7 2t)2 (7 2t)(0 t 7).2求導(dǎo)數(shù)得 f'(t)2(2t7)(6t7)，令 f'(t)0,解得 t -,

43、t -(舍去).6 2顯然當(dāng)0 t -時(shí)，f'(t)0 ;當(dāng)-t -時(shí)，f'(t)0.故當(dāng)且僅當(dāng)t -時(shí)，6 6 2 6f (t)有最大值，即四邊形 ABCD的面積最大.故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(7,0).62 1 2 1 28 3另解，f(t) (7 2t) (72t)(7 2t) (14 4t)()，當(dāng)且僅當(dāng) 7 2t 14 4t 時(shí)，即223t -時(shí)取等號(hào)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(7,0).6 6評(píng)注 本題主要有兩個(gè)考查點(diǎn)：一個(gè)是考查將曲線與曲線的交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次方程的根的問(wèn)題，是較基本的問(wèn)題；另一個(gè)是考查四邊形ABCD的面積最大值問(wèn)題，是本題的核心點(diǎn)要注意本題中表面上求點(diǎn)的坐標(biāo)，實(shí)質(zhì)上是求四邊形ABCD的面積最大值，而且在求目標(biāo)函數(shù)最值的過(guò)程中，利用了導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性的方