-角動量定理角動量守恒定律

1、太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系2-5 角動量定理角動量定理 角動量守恒定律角動量守恒定律 自然界中常見物體繞某中心旋轉(zhuǎn)的情況，如自然界中常見物體繞某中心旋轉(zhuǎn)的情況，如: :地球繞太陽的公轉(zhuǎn)，原子中電子的運(yùn)動等。僅地球繞太陽的公轉(zhuǎn)，原子中電子的運(yùn)動等。僅用動量描述物體的運(yùn)動是不夠的，需要引入描用動量描述物體的運(yùn)動是不夠的，需要引入描寫物體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的物理量寫物體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的物理量角動量角動量. . 學(xué)習(xí)本節(jié)注意：將角動量與動量，角動量學(xué)習(xí)本節(jié)注意：將角動量與動量，角動量定理與動量定理，角動量守恒定律與動量守恒定理與動量定理，角動量守恒定律與動量守恒定律間進(jìn)行類比定律間進(jìn)行類比. . 角動量定理

2、角動量定理和和角動量守恒定律角動量守恒定律是物理學(xué)中是物理學(xué)中的基本概念和規(guī)律。的基本概念和規(guī)律。太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系一、質(zhì)點對定點的角動量一、質(zhì)點對定點的角動量質(zhì)點質(zhì)點m在某時刻的動量為在某時刻的動量為該時刻對某定點該時刻對某定點o o的矢徑為的矢徑為 rPrL方向：垂直方向：垂直 組成的平面組成的平面Pr，sinPrL大?。捍笮。簞t此時刻質(zhì)點則此時刻質(zhì)點m對固定點對固定點 o的角動量為的角動量為vrLLvmrxyzovmP 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系2 2） 同一質(zhì)點相對于不同的點，角動量不同。同一質(zhì)點相對于不同的點，角動量不同。4 4）質(zhì)點以角速度）質(zhì)點以角速度

3、 作半徑為作半徑為r的的圓運(yùn)動，相對圓心的角動量圓運(yùn)動，相對圓心的角動量 討論討論: :Lrpmo2mrrmLv1 1）在物理學(xué)中，位矢與一個矢量的叉積稱為這）在物理學(xué)中，位矢與一個矢量的叉積稱為這個矢量的矩，角動量個矢量的矩，角動量也稱也稱動量矩動量矩。3 3） 在說明質(zhì)點的角動量時，必須指明是對在說明質(zhì)點的角動量時，必須指明是對哪個點而言的。哪個點而言的。太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系FrM t 時刻力的大小方向和作用位置如圖所示時刻力的大小方向和作用位置如圖所示dFM力對定點力對定點o 的力矩的力矩二、力對定點的力矩二、力對定點的力矩sinFrM大?。捍笮。毫氐扔诹Τ肆Ρ哿氐扔?/p>

4、力乘力臂方向：垂直方向：垂直 組成的平面組成的平面Fr,MOrdFm討論討論1）角動量角動量和和力矩力矩均與選擇的均與選擇的點有關(guān)點有關(guān).太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系2）對軸的角動量）對軸的角動量()()xyzLxiyjzkP iP jP kkzj yi xrPrL對定點對定點o的角動量的角動量kpjpippzyx在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中xyzijkxyzppp L太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系kypxpjxpzpizpypLxyzxyz)()()(xyzLLiL jLkyzxzpypL可以得出角動量在可以得出角動量在x軸方向的分量軸方向的分量角動量在角動量在y軸方向的分量軸

5、方向的分量zxyxpzpLxyzypxpL角動量在角動量在z軸方向的分量軸方向的分量太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系角動量在某一方向的分量稱為對該角動量在某一方向的分量稱為對該軸的角動量軸的角動量。zomrvoxy平面平面 當(dāng)質(zhì)點在當(dāng)質(zhì)點在oxy平面內(nèi)運(yùn)動平面內(nèi)運(yùn)動時，選平時，選平面內(nèi)的參考點面內(nèi)的參考點o作為坐標(biāo)原點，質(zhì)點作為坐標(biāo)原點，質(zhì)點對對o點的角動量只在點的角動量只在z軸上有分量，此軸上有分量，此時質(zhì)點對時質(zhì)點對o點的角動量也稱質(zhì)點對點的角動量也稱質(zhì)點對z軸軸的角動量。的角動量。0 xL0yLLLz太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系3）對軸的力矩）對軸的力矩MrF力對定點力對定點

6、o的力矩的力矩kzj yi xrkFjFiFFzyx在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中() ()xyzMxiyjzkF iF jF kxyzijkxyzFFF M 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系xyzMM iM jM kkyFxFjxFzFizFyFMxyzxyz)()()(yzxzFyFM可以得出力矩在可以得出力矩在x軸方向的分量軸方向的分量力矩在力矩在y軸方向的分量軸方向的分量zxyxFzFMxyzyFxFM力矩在力矩在z軸方向的分量軸方向的分量太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系力矩在某一方向的分量稱為力對該力矩在某一方向的分量稱為力對該軸的力矩軸的力矩。zomrFoxy平面平面 當(dāng)質(zhì)點

7、在當(dāng)質(zhì)點在oxy平面內(nèi)運(yùn)動平面內(nèi)運(yùn)動時，質(zhì)點時，質(zhì)點所受的力也在該平面時，角動量和力所受的力也在該平面時，角動量和力矩只有在矩只有在z軸有分量。軸有分量。0 xL0yLLLz0 xM0yMMMz太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系三、質(zhì)點的角動量定理三、質(zhì)點的角動量定理tPFdd由牛頓第二定律由牛頓第二定律tPrFrdd兩邊用位矢叉乘兩邊用位矢叉乘ptrprttprdd)(dddd)(ddddprttprvtrdd0 pv由速度定義由速度定義dtLd太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系角動量定理的微分形式角動量定理的微分形式或?qū)懗苫驅(qū)懗蒐tMdd 質(zhì)點對某定點的質(zhì)點對某定點的角動量角動量對對時

8、間時間的的變化率變化率等于等于質(zhì)點所受合外力對該點的質(zhì)點所受合外力對該點的力矩力矩。 質(zhì)點受力矩作用，質(zhì)點的角動量將改變。質(zhì)點受力矩作用，質(zhì)點的角動量將改變。tLMdd若力矩在若力矩在t1-t2的時間段對質(zhì)點作用的時間段對質(zhì)點作用LtMdd 對對 兩邊積分得角動量定理積分形式兩邊積分得角動量定理積分形式太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系稱為稱為沖量矩沖量矩反映力矩在一段時間過程內(nèi)的積累作用效果。反映力矩在一段時間過程內(nèi)的積累作用效果。221121ttttMdtdLLL 質(zhì)點的角動量定理：質(zhì)點的角動量定理：在一段時間過程中，在一段時間過程中，質(zhì)點所受的質(zhì)點所受的沖量矩沖量矩，等于質(zhì)點，等于質(zhì)點

9、角動量的增量。角動量的增量。tMttd2112LL質(zhì)點角動量的增量質(zhì)點角動量的增量太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系四、四、 質(zhì)點的角動量守恒定律質(zhì)點的角動量守恒定律 由角動量定理，由角動量定理， 如果如果 則則 0M 0dLdt1）角動量守恒定律的條件角動量守恒定律的條件0M 討論討論有有 =恒矢量恒矢量L2） 力的作用線始終通過某定點的力稱為力的作用線始終通過某定點的力稱為有心有心力力。該定點為。該定點為力心力心。有心力對力心的力矩恒為零。有心力對力心的力矩恒為零。在有心力作用下，質(zhì)點的角動量守恒。在有心力作用下，質(zhì)點的角動量守恒。 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系3）動量守恒與角動

10、量守恒是相互動量守恒與角動量守恒是相互獨立獨立的定律。的定律。如行星運(yùn)動如行星運(yùn)動動量不守恒動量不守恒角動量守恒角動量守恒如行星繞太陽運(yùn)動，對太陽角動量守恒。如行星繞太陽運(yùn)動，對太陽角動量守恒。 o1vF2v4）角動量守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一。角動量守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一。不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀系統(tǒng)。不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀系統(tǒng)。 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系例例1 一小球在光滑平面上作圓運(yùn)動，小球被穿一小球在光滑平面上作圓運(yùn)動，小球被穿過中心的線拉住過中心的線拉住 。開始時繩半徑為。開始時繩半徑為r1 ，小球速，小球速率為率為 v1 ；后來，往下拉繩子

11、，使半徑變?yōu)?；后來，往下拉繩子，使半徑變?yōu)?r2 ，小球速率變?yōu)樾∏蛩俾首優(yōu)?v2 ，求，求v2 =？解：解：小球的小球的合外力矩為合外力矩為 0 ，故角動量守恒，故角動量守恒 。 有：有：L = mvr = 恒量恒量 即：即： m v1 r1 =m v2 r22112rrvv 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系 1.質(zhì)點系對定點的角動量質(zhì)點系對定點的角動量iiiiiPrLL五、質(zhì)點系的角動量與角動量守恒五、質(zhì)點系的角動量與角動量守恒iiiPrL第第i個質(zhì)點對個質(zhì)點對o點的角動量點的角動量質(zhì)點系對質(zhì)點系對o點的角動量點的角動量2P2r1P1ro 質(zhì)點系對質(zhì)點系對o點的角動量等于系統(tǒng)中各質(zhì)點點

12、的角動量等于系統(tǒng)中各質(zhì)點對同一點角動量的矢量和。對同一點角動量的矢量和。太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系2.質(zhì)點系的角動量定理質(zhì)點系的角動量定理if用用 表示第表示第i個質(zhì)點所受內(nèi)力之和個質(zhì)點所受內(nèi)力之和iF用用 表示第表示第i個質(zhì)點所受外力之和個質(zhì)點所受外力之和對對 mi 使用角動量定理：使用角動量定理：iiiiifrFrdtLd對上式求矢量和對上式求矢量和iiiiiiiifrFrdtLd太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系dtLdLdtddtLdiiii等式左邊等式左邊iiiiiifrFr等式右邊等式右邊iiiFr質(zhì)點系受到的合外力質(zhì)點系受到的合外力矩矩iiifr質(zhì)點系受到的內(nèi)力矩的矢

13、量和質(zhì)點系受到的內(nèi)力矩的矢量和太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系0iiifr可以證明：可以證明：內(nèi)力對定點的力矩之和為零，內(nèi)力對定點的力矩之和為零，即即質(zhì)點系內(nèi)的重要結(jié)論之三質(zhì)點系內(nèi)的重要結(jié)論之三 tLMdd外質(zhì)點系的角動量定理：質(zhì)點系的角動量定理：質(zhì)點系對某定點的角動量的質(zhì)點系對某定點的角動量的時間變化率等于質(zhì)點系對該點的合外力矩。時間變化率等于質(zhì)點系對該點的合外力矩。 iiiFrM有有太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系結(jié)論：結(jié)論：1）內(nèi)力對定點的力矩之和為零。）內(nèi)力對定點的力矩之和為零。2）只有外力矩才能改變系統(tǒng)的總角動量。）只有外力矩才能改變系統(tǒng)的總角動量。xyzLLiL jLk3.

14、質(zhì)點系的對軸的角動量質(zhì)點系的對軸的角動量tLMxxdd質(zhì)點系對質(zhì)點系對x軸的角動量定理軸的角動量定理xyzMM iM jM k太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系4 質(zhì)點系的角動量守恒定律質(zhì)點系的角動量守恒定律 質(zhì)點系的角動量守恒定律可以表示為三質(zhì)點系的角動量守恒定律可以表示為三個分量形式個分量形式tLMxxddtLMyyddtLMzzdd 如果如果 ，0M 當(dāng)質(zhì)點系對某點的合外力矩為零時，則質(zhì)點當(dāng)質(zhì)點系對某點的合外力矩為零時，則質(zhì)點系對該點的角動量保持不變，稱為系對該點的角動量保持不變，稱為角動量守恒定角動量守恒定律。律。有有 =恒矢量恒矢量L太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系A(chǔ)B例例2 半徑為半徑為r的輕滑輪，中心軸水平固定，其上穿的輕滑輪，中心軸水平固定，其上穿過一根輕繩，質(zhì)量相同的兩個人過一根輕繩，質(zhì)量相同的兩個人A、B，相對繩子，相對繩子以不同的速率從同一高度同時向上爬，問哪個先以不同的速率從同一高度同時向上爬，問哪個先到達(dá)頂