-角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律

1、太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系2-5 角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 自然界中常見物體繞某中心旋轉(zhuǎn)的情況，如自然界中常見物體繞某中心旋轉(zhuǎn)的情況，如: :地球繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)，原子中電子的運(yùn)動(dòng)等。僅地球繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)，原子中電子的運(yùn)動(dòng)等。僅用動(dòng)量描述物體的運(yùn)動(dòng)是不夠的，需要引入描用動(dòng)量描述物體的運(yùn)動(dòng)是不夠的，需要引入描寫物體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量寫物體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量角動(dòng)量角動(dòng)量. . 學(xué)習(xí)本節(jié)注意：將角動(dòng)量與動(dòng)量，角動(dòng)量學(xué)習(xí)本節(jié)注意：將角動(dòng)量與動(dòng)量，角動(dòng)量定理與動(dòng)量定理，角動(dòng)量守恒定律與動(dòng)量守恒定理與動(dòng)量定理，角動(dòng)量守恒定律與動(dòng)量守恒定律間進(jìn)行類比定律間進(jìn)行類比. . 角動(dòng)量定理

2、角動(dòng)量定理和和角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)中是物理學(xué)中的基本概念和規(guī)律。的基本概念和規(guī)律。太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系一、質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)的角動(dòng)量一、質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)m在某時(shí)刻的動(dòng)量為在某時(shí)刻的動(dòng)量為該時(shí)刻對(duì)某定點(diǎn)該時(shí)刻對(duì)某定點(diǎn)o o的矢徑為的矢徑為 rPrL方向：垂直方向：垂直 組成的平面組成的平面Pr，sinPrL大?。捍笮。簞t此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)則此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)m對(duì)固定點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn) o的角動(dòng)量為的角動(dòng)量為vrLLvmrxyzovmP 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系2 2） 同一質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于不同的點(diǎn)，角動(dòng)量不同。同一質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于不同的點(diǎn)，角動(dòng)量不同。4 4）質(zhì)點(diǎn)以角速度）質(zhì)點(diǎn)以角速度

3、 作半徑為作半徑為r的的圓運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心的角動(dòng)量圓運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心的角動(dòng)量 討論討論: :Lrpmo2mrrmLv1 1）在物理學(xué)中，位矢與一個(gè)矢量的叉積稱為這）在物理學(xué)中，位矢與一個(gè)矢量的叉積稱為這個(gè)矢量的矩，角動(dòng)量個(gè)矢量的矩，角動(dòng)量也稱也稱動(dòng)量矩動(dòng)量矩。3 3） 在說明質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量時(shí)，必須指明是對(duì)在說明質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量時(shí)，必須指明是對(duì)哪個(gè)點(diǎn)而言的。哪個(gè)點(diǎn)而言的。太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系FrM t 時(shí)刻力的大小方向和作用位置如圖所示時(shí)刻力的大小方向和作用位置如圖所示dFM力對(duì)定點(diǎn)力對(duì)定點(diǎn)o 的力矩的力矩二、力對(duì)定點(diǎn)的力矩二、力對(duì)定點(diǎn)的力矩sinFrM大?。捍笮。毫氐扔诹Τ肆Ρ哿氐扔?/p>

4、力乘力臂方向：垂直方向：垂直 組成的平面組成的平面Fr,MOrdFm討論討論1）角動(dòng)量角動(dòng)量和和力矩力矩均與選擇的均與選擇的點(diǎn)有關(guān)點(diǎn)有關(guān).太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系2）對(duì)軸的角動(dòng)量）對(duì)軸的角動(dòng)量()()xyzLxiyjzkP iP jP kkzj yi xrPrL對(duì)定點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)o的角動(dòng)量的角動(dòng)量kpjpippzyx在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中xyzijkxyzppp L太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系kypxpjxpzpizpypLxyzxyz)()()(xyzLLiL jLkyzxzpypL可以得出角動(dòng)量在可以得出角動(dòng)量在x軸方向的分量軸方向的分量角動(dòng)量在角動(dòng)量在y軸方向的分量軸

5、方向的分量zxyxpzpLxyzypxpL角動(dòng)量在角動(dòng)量在z軸方向的分量軸方向的分量太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系角動(dòng)量在某一方向的分量稱為對(duì)該角動(dòng)量在某一方向的分量稱為對(duì)該軸的角動(dòng)量軸的角動(dòng)量。zomrvoxy平面平面 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，選平時(shí)，選平面內(nèi)的參考點(diǎn)面內(nèi)的參考點(diǎn)o作為坐標(biāo)原點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量只在點(diǎn)的角動(dòng)量只在z軸上有分量，此軸上有分量，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)對(duì)時(shí)質(zhì)點(diǎn)對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量也稱質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量也稱質(zhì)點(diǎn)對(duì)z軸軸的角動(dòng)量。的角動(dòng)量。0 xL0yLLLz太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系3）對(duì)軸的力矩）對(duì)軸的力矩MrF力對(duì)定點(diǎn)力對(duì)定點(diǎn)

6、o的力矩的力矩kzj yi xrkFjFiFFzyx在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中() ()xyzMxiyjzkF iF jF kxyzijkxyzFFF M 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系xyzMM iM jM kkyFxFjxFzFizFyFMxyzxyz)()()(yzxzFyFM可以得出力矩在可以得出力矩在x軸方向的分量軸方向的分量力矩在力矩在y軸方向的分量軸方向的分量zxyxFzFMxyzyFxFM力矩在力矩在z軸方向的分量軸方向的分量太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系力矩在某一方向的分量稱為力對(duì)該力矩在某一方向的分量稱為力對(duì)該軸的力矩軸的力矩。zomrFoxy平面平面 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)

7、在當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)所受的力也在該平面時(shí)，角動(dòng)量和力所受的力也在該平面時(shí)，角動(dòng)量和力矩只有在矩只有在z軸有分量。軸有分量。0 xL0yLLLz0 xM0yMMMz太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系三、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理三、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理tPFdd由牛頓第二定律由牛頓第二定律tPrFrdd兩邊用位矢叉乘兩邊用位矢叉乘ptrprttprdd)(dddd)(ddddprttprvtrdd0 pv由速度定義由速度定義dtLd太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系角動(dòng)量定理的微分形式角動(dòng)量定理的微分形式或?qū)懗苫驅(qū)懗蒐tMdd 質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的角動(dòng)量角動(dòng)量對(duì)對(duì)時(shí)

8、間時(shí)間的的變化率變化率等于等于質(zhì)點(diǎn)所受合外力對(duì)該點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)所受合外力對(duì)該點(diǎn)的力矩力矩。 質(zhì)點(diǎn)受力矩作用，質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量將改變。質(zhì)點(diǎn)受力矩作用，質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量將改變。tLMdd若力矩在若力矩在t1-t2的時(shí)間段對(duì)質(zhì)點(diǎn)作用的時(shí)間段對(duì)質(zhì)點(diǎn)作用LtMdd 對(duì)對(duì) 兩邊積分得角動(dòng)量定理積分形式兩邊積分得角動(dòng)量定理積分形式太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系稱為稱為沖量矩沖量矩反映力矩在一段時(shí)間過程內(nèi)的積累作用效果。反映力矩在一段時(shí)間過程內(nèi)的積累作用效果。221121ttttMdtdLLL 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：在一段時(shí)間過程中，在一段時(shí)間過程中，質(zhì)點(diǎn)所受的質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩沖量矩，等于質(zhì)點(diǎn)，等于質(zhì)點(diǎn)

9、角動(dòng)量的增量。角動(dòng)量的增量。tMttd2112LL質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系四、四、 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律 由角動(dòng)量定理，由角動(dòng)量定理， 如果如果 則則 0M 0dLdt1）角動(dòng)量守恒定律的條件角動(dòng)量守恒定律的條件0M 討論討論有有 =恒矢量恒矢量L2） 力的作用線始終通過某定點(diǎn)的力稱為力的作用線始終通過某定點(diǎn)的力稱為有心有心力力。該定點(diǎn)為。該定點(diǎn)為力心力心。有心力對(duì)力心的力矩恒為零。有心力對(duì)力心的力矩恒為零。在有心力作用下，質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。在有心力作用下，質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系3）動(dòng)量守恒與角動(dòng)

10、量守恒是相互動(dòng)量守恒與角動(dòng)量守恒是相互獨(dú)立獨(dú)立的定律。的定律。如行星運(yùn)動(dòng)如行星運(yùn)動(dòng)動(dòng)量不守恒動(dòng)量不守恒角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒如行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，對(duì)太陽(yáng)角動(dòng)量守恒。如行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，對(duì)太陽(yáng)角動(dòng)量守恒。 o1vF2v4）角動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一。角動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一。不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀系統(tǒng)。不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀系統(tǒng)。 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系例例1 一小球在光滑平面上作圓運(yùn)動(dòng)，小球被穿一小球在光滑平面上作圓運(yùn)動(dòng)，小球被穿過中心的線拉住過中心的線拉住 。開始時(shí)繩半徑為。開始時(shí)繩半徑為r1 ，小球速，小球速率為率為 v1 ；后來，往下拉繩子

11、，使半徑變?yōu)?；后來，往下拉繩子，使半徑變?yōu)?r2 ，小球速率變?yōu)樾∏蛩俾首優(yōu)?v2 ，求，求v2 =？解：解：小球的小球的合外力矩為合外力矩為 0 ，故角動(dòng)量守恒，故角動(dòng)量守恒 。 有：有：L = mvr = 恒量恒量 即：即： m v1 r1 =m v2 r22112rrvv 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系 1.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定點(diǎn)的角動(dòng)量iiiiiPrLL五、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒五、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒iiiPrL第第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量點(diǎn)的角動(dòng)量2P2r1P1ro 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量等于系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)

12、的角動(dòng)量等于系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一點(diǎn)角動(dòng)量的矢量和。對(duì)同一點(diǎn)角動(dòng)量的矢量和。太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系2.質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理if用用 表示第表示第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受內(nèi)力之和個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受內(nèi)力之和iF用用 表示第表示第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受外力之和個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受外力之和對(duì)對(duì) mi 使用角動(dòng)量定理：使用角動(dòng)量定理：iiiiifrFrdtLd對(duì)上式求矢量和對(duì)上式求矢量和iiiiiiiifrFrdtLd太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系dtLdLdtddtLdiiii等式左邊等式左邊iiiiiifrFr等式右邊等式右邊iiiFr質(zhì)點(diǎn)系受到的合外力質(zhì)點(diǎn)系受到的合外力矩矩iiifr質(zhì)點(diǎn)系受到的內(nèi)力矩的矢

13、量和質(zhì)點(diǎn)系受到的內(nèi)力矩的矢量和太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系0iiifr可以證明：可以證明：內(nèi)力對(duì)定點(diǎn)的力矩之和為零，內(nèi)力對(duì)定點(diǎn)的力矩之和為零，即即質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)的重要結(jié)論之三質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)的重要結(jié)論之三 tLMdd外質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定點(diǎn)的角動(dòng)量的質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定點(diǎn)的角動(dòng)量的時(shí)間變化率等于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的合外力矩。時(shí)間變化率等于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的合外力矩。 iiiFrM有有太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系結(jié)論：結(jié)論：1）內(nèi)力對(duì)定點(diǎn)的力矩之和為零。）內(nèi)力對(duì)定點(diǎn)的力矩之和為零。2）只有外力矩才能改變系統(tǒng)的總角動(dòng)量。）只有外力矩才能改變系統(tǒng)的總角動(dòng)量。xyzLLiL jLk3.

14、質(zhì)點(diǎn)系的對(duì)軸的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的對(duì)軸的角動(dòng)量tLMxxdd質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)x軸的角動(dòng)量定理軸的角動(dòng)量定理xyzMM iM jM k太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系4 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律可以表示為三質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律可以表示為三個(gè)分量形式個(gè)分量形式tLMxxddtLMyyddtLMzzdd 如果如果 ，0M 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)的合外力矩為零時(shí)，則質(zhì)點(diǎn)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)的合外力矩為零時(shí)，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變，稱為系對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變，稱為角動(dòng)量守恒定角動(dòng)量守恒定律。律。有有 =恒矢量恒矢量L太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系A(chǔ)B例例2 半徑為半徑為r的輕滑輪，中心軸水平固定，其上穿的輕滑輪，中心軸水平固定，其上穿過一根輕繩，質(zhì)量相同的兩個(gè)人過一根輕繩，質(zhì)量相同的兩個(gè)人A、B，相對(duì)繩子，相對(duì)繩子以不同的速率從同一高度同時(shí)向上爬，問哪個(gè)先以不同的速率從同一高度同時(shí)向上爬，問哪個(gè)先到達(dá)頂