蒙特卡羅方法概述ppt

1、1. 蒙特卡羅方法的基本思想蒙特卡羅方法的基本思想2. 蒙特卡羅方法的收斂性，誤差蒙特卡羅方法的收斂性，誤差3. 蒙特卡羅方法的特點蒙特卡羅方法的特點4. 蒙特卡羅方法的主要應用范圍蒙特卡羅方法的主要應用范圍作作 業(yè)業(yè) 蒙特卡羅方法又稱隨機抽樣技巧或統(tǒng)計試驗方法。半個多世紀以來，由于科學技術(shù)的發(fā)展和電子計算機的發(fā)明 ，這種方法作為一種獨立的方法被提出來，并首先在核武器的試驗與研制中得到了應用。蒙特卡羅方法是一種計算方法，但與一般數(shù)值計算方法有很大區(qū)別。它是以概率統(tǒng)計理論為基礎的一種方法。由于蒙特卡羅方法能夠比較逼真地描述事物的特點及物理實驗過程，解決一些數(shù)值方法難以解決的問題，因而該方法的應用

2、領域日趨廣泛。 二十世紀四十年代中期，由于科學技術(shù)的發(fā)展和電子計算機的發(fā)明，蒙特卡羅方法作為一種獨立的方法被提出來，并首先在核武器的試驗與研制中得到了應用。但其基本思想并非新穎，人們在生產(chǎn)實踐和科學試驗中就已發(fā)現(xiàn)，并加以利用。兩個例子 例1. 蒲豐氏問題 例2. 射擊問題（打靶游戲）基本思想計算機模擬試驗過程 為了求得圓周率值，在十九世紀后期，有很多人作了這樣的試驗：將長為2l的一根針任意投到地面上，用針與一組相間距離為2a（ la）的平行線相交的頻率代替概率P，再利用準確的關系式： 求出值 其中為投計次數(shù)，n為針與平行線相交次數(shù)。這就是古典概率論中著名的蒲豐氏問題。alP2)(22nNala

3、Pl 一些人進行了實驗，其結(jié)果列于下表 ：實驗者年份投計次數(shù)的實驗值沃爾弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553?？怂?Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.1415929 設r表示射擊運動員的彈著點到靶心的距離，(r)表示擊中r處相應的得分數(shù)（環(huán)數(shù)），f(r)為該運動員的彈著點的分布密度函數(shù)，它反映運動員的射擊水平。該運動員的射擊成績?yōu)?用概率語言來說，是隨機變量(r)的數(shù)學期望，即 )(rgEg 0)()(drrfrgg 現(xiàn)假設該運動員進行了次射擊，每次射擊的彈著點依次為r1，r2，rN，則次

4、得分g(r1)，g(r2)，g(rN)的算術(shù)平均值 代表了該運動員的成績。換言之，為積分的估計值，或近似值。 在該例中，用次試驗所得成績的算術(shù)平均值作為數(shù)學期望的估計值（積分近似值）。 NiiNrgNg1)(1 由以上兩個例子可以看出，當所求問題的解是某個事件的概率，或者是某個隨機變量的數(shù)學期望，或者是與概率、數(shù)學期望有關的量時，通過某種試驗的方法，得出該事件發(fā)生的頻率，或者該隨機變量若干個具體觀察值的算術(shù)平均值，通過它得到問題的解。這就是蒙特卡羅方法的基本思想。 當隨機變量的取值僅為1或0時，它的數(shù)學期望就是某個事件的概率。或者說，某種事件的概率也是隨機變量（僅取值為1或0）的數(shù)學期望。 因

5、此，可以通俗地說，蒙特卡羅方法是用隨機試驗的方法計算積分，即將所要計算的積分看作服從某種分布密度函數(shù)f(r)的隨機變量(r)的數(shù)學期望 通過某種試驗，得到個觀察值r1，r2，rN（用概率語言來說，從分布密度函數(shù)f(r)中抽取個子樣r1，r2，rN，），將相應的個隨機變量的值g(r1)，g(r2)，g(rN)的算術(shù)平均值 作為積分的估計值（近似值）。 NiiNrgNg1)(10)()(drrfrgg 為了得到具有一定精確度的近似解，所需試驗的次數(shù)是很多的，通過人工方法作大量的試驗相當困難，甚至是不可能的。因此，蒙特卡羅方法的基本思想雖然早已被人們提出，卻很少被使用。本世紀四十年代以來，由于電子計

6、算機的出現(xiàn)，使得人們可以通過電子計算機來模擬隨機試驗過程，把巨大數(shù)目的隨機試驗交由計算機完成，使得蒙特卡羅方法得以廣泛地應用，在現(xiàn)代化的科學技術(shù)中發(fā)揮應有的作用。 計算機模擬試驗過程，就是將試驗過程（如投針，射擊）化為數(shù)學問題，在計算機上實現(xiàn)。以上述兩個問題為例，分別加以說明。 例1. 蒲豐氏問題 例2. 射擊問題（打靶游戲） 由上面兩個例題看出，蒙特卡羅方法常以一個“概率模型”為基礎，按照它所描述的過程，使用由已知分布抽樣的方法，得到部分試驗結(jié)果的觀察值，求得問題的近似解。 設針投到地面上的位置可以用一組參數(shù)（x,）來描述，x為針中心的坐標，為針與平行線的夾角，如圖所示。 任意投針，就是意味

7、著x與都是任意取的，但x的范圍限于0，a，夾角的范圍限于0，。在此情況下，針與平行線相交的數(shù)學條件是針在平行線間的位置 sin lx 如何產(chǎn)生任意的（x,）？x在0，a上任意取值，表示x在0，a上是均勻分布的，其分布密度函數(shù)為： 類似地，的分布密度函數(shù)為： 因此，產(chǎn)生任意的（x,）的過程就變成了由f1(x)抽樣x及由f2()抽樣的過程了。由此得到： 其中1，2均為（0,1）上均勻分布的隨機變量。 其他, 00,/1)(1axaxf其他, 00,/1)(2f21 ax 每次投針試驗，實際上變成在計算機上從兩個均勻分布的隨機變量中抽樣得到（x,），然后定義描述針與平行線相交狀況的隨機變量s(x,)

8、，為 如果投針次，則 是針與平行線相交概率的估計值。事實上， 于是有 其他當, 0sin, 1),(lxxsNiiiNxsNs1),(1aladxddxdfxfxsPl2)()(),(sin0021NsalaPl22 設射擊運動員的彈著點分布為 用計算機作隨機試驗（射擊）的方法為，選取一個隨機數(shù)，按右邊所列方法判斷得到成績。 這樣，就進行了一次隨機試驗（射擊），得到了一次成績 (r)，作次試驗后，得到該運動員射擊成績的近似值 環(huán)數(shù) 78910概率 0.10.10.30.5環(huán)中命環(huán)命中環(huán)命中環(huán)命中1095 . 082 . 071 . 0NiiNrgNg1)(1 蒙特卡羅方法作為一種計算方法，其收

9、斂性與誤差是普遍關心的一個重要問題。收斂性誤差減小方差的各種技巧 效率 由前面介紹可知，蒙特卡羅方法是由隨機變量X的簡單子樣X1，X2，XN的算術(shù)平均值： 作為所求解的近似值。由大數(shù)定律可知， 如X1，X2，XN獨立同分布，且具有有限期望值（E(X)），則 即隨機變量X的簡單子樣的算術(shù)平均值 ，當子樣數(shù)充分大時，以概率1收斂于它的期望值E(X)。NiiNXNX111)(limXEXPNNNX 蒙特卡羅方法的近似值與真值的誤差問題，概率論的中心極限定理給出了答案。該定理指出，如果隨機變量序列X1，X2，XN獨立同分布，且具有有限非零的方差2 ，即 f(X)是X的分布密度函數(shù)。則dtexXEXNP

10、xxtNN2/221)(limdxxfXEx)()(022 當N充分大時，有如下的近似式 其中稱為置信度，1稱為置信水平。 這表明，不等式 近似地以概率 1成立，且誤差收斂速度的階為 。 通常，蒙特卡羅方法的誤差定義為 上式中 與置信度是一一對應的，根據(jù)問題的要求確定出置信水平后，查標準正態(tài)分布表，就可以確定出 。122)(02/2dteNXEXPtNNXEXN)()(2/1NON 下面給出幾個常用的與的數(shù)值： 關于蒙特卡羅方法的誤差需說明兩點：第一，蒙特卡羅方法的誤差為概率誤差，這與其他數(shù)值計算方法是有區(qū)別的。第二，誤差中的均方差是未知的，必須使用其估計值 來代替，在計算所求量的同時，可計算

11、出 。 0.50.050.003 0.67451.9632112)1(1NiiNiiXNXN 顯然，當給定置信度后，誤差由和N決定。要減小，或者是增大N，或者是減小方差2。在固定的情況下，要把精度提高一個數(shù)量級，試驗次數(shù)N需增加兩個數(shù)量級。因此，單純增大N不是一個有效的辦法。 另一方面，如能減小估計的均方差，比如降低一半，那誤差就減小一半，這相當于N增大四倍的效果。因此降低方差的各種技巧，引起了人們的普遍注意。后面課程將會介紹一些降低方差的技巧。 一般來說，降低方差的技巧，往往會使觀察一個子樣的時間增加。在固定時間內(nèi)，使觀察的樣本數(shù)減少。所以，一種方法的優(yōu)劣，需要由方差和觀察一個子樣的費用（使

12、用計算機的時間）兩者來衡量。這就 是蒙特卡羅方法中效率的概念。它定義為 ，其中c 是觀察一個子樣的平均費用。顯然 越小，方法越有效。 c2c2優(yōu)點1) 能夠比較逼真地描述具有隨機性質(zhì)的事物的特點及物理實驗過程。2) 受幾何條件限制小。3) 收斂速度與問題的維數(shù)無關。4) 具有同時計算多個方案與多個未知量的能力。5) 誤差容易確定。6) 程序結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)。 缺點1) 收斂速度慢。2) 誤差具有概率性。3) 在粒子輸運問題中，計算結(jié)果與系統(tǒng)大小有關。 從這個意義上講，蒙特卡羅方法可以部分代替物理實驗，甚至可以得到物理實驗難以得到的結(jié)果。用蒙特卡羅方法解決實際問題，可以直接從實際問題本身出發(fā)，

13、而不從方程或數(shù)學表達式出發(fā)。它有直觀、形象的特點。 在計算s維空間中的任一區(qū)域Ds上的積分 時，無論區(qū)域Ds的形狀多么特殊，只要能給出描述Ds的幾何特征的條件，就可以從Ds中均勻產(chǎn)生N個點 ，得到積分的近似值。 其中Ds為區(qū)域Ds的體積。這是數(shù)值方法難以作到的。 另外，在具有隨機性質(zhì)的問題中，如考慮的系統(tǒng)形狀很復雜，難以用一般數(shù)值方法求解，而使用蒙特卡羅方法，不會有原則上的困難。 ssDdxdxdxxxxggs2121),( ),()()(2)(1isiixxxNiisiisNxxxgNDg1)()(2)(1),( 由誤差定義可知，在給定置信水平情況下，蒙特卡羅方法的收斂速度為，與問題本身的維

14、數(shù)無關。維數(shù)的變化，只引起抽樣時間及估計量計算時間的變化，不影響誤差。也就是說，使用蒙特卡羅方法時，抽取的子樣總數(shù)N與維數(shù)s無關。維數(shù)的增加，除了增加相應的計算量外，不影響問題的誤差。這一特點，決定了蒙特卡羅方法對多維問題的適應性。而一般數(shù)值方法，比如計算定積分時，計算時間隨維數(shù)的冪次方而增加，而且，由于分點數(shù)與維數(shù)的冪次方成正比，需占用相當數(shù)量的計算機內(nèi)存，這些都是一般數(shù)值方法計算高維積分時難以克服的問題。)(2/1NO 對于那些需要計算多個方案的問題，使用蒙特卡羅方法有時不需要像常規(guī)方法那樣逐個計算，而可以同時計算所有的方案，其全部計算量幾乎與計算一個方案的計算量相當。例如，對于屏蔽層為均

15、勻介質(zhì)的平板幾何，要計算若干種厚度的穿透概率時，只需計算最厚的一種情況，其他厚度的穿透概率在計算最厚一種情況時稍加處理便可同時得到。 另外，使用蒙特卡羅方法還可以同時得到若干個所求量。例如，在模擬粒子過程中，可以同時得到不同區(qū)域的通量、能譜、角分布等，而不像常規(guī)方法那樣，需要逐一計算所求量。 對于一般計算方法，要給出計算結(jié)果與真值的誤差并不是一件容易的事情，而蒙特卡羅方法則不然。根據(jù)蒙特卡羅方法的誤差公式，可以在計算所求量的同時計算出誤差。對干很復雜的蒙特卡羅方法計算問題，也是容易確定的。 一般計算方法常存在著有效位數(shù)損失問題，而要解決這一問題有時相當困難，蒙特卡羅方法則不存在這一問題。 在計

16、算機上進行蒙特卡羅方法計算時，程序結(jié)構(gòu)簡單，分塊性強，易于實現(xiàn)。 如前所述，蒙特卡羅方法的收斂速度為 ，一般不容易得到精確度較高的近似結(jié)果。對于維數(shù)少（三維以下）的問題，不如其他方法好。 )(2/1NO 由于蒙特卡羅方法的誤差是在一定置信水平下估計的，所以它的誤差具有概率性，而不是一般意義下的誤差。 經(jīng)驗表明，只有當系統(tǒng)的大小與粒子的平均自由程可以相比較時（一般在十個平均自由程左右），蒙特卡羅方法計算的結(jié)果較為滿意。但對于大系統(tǒng)或小概率事件的計算問題，計算結(jié)果往往比真值偏低。而對于大系統(tǒng)，數(shù)值方法則是適用的。 因此，在使用蒙特卡羅方法時，可以考慮把蒙特卡羅方法與解析（或數(shù)值）方法相結(jié)合，取長補短，既能解決解析（或數(shù)值）方法難以解決的問題，也可以解決單純使用蒙特卡羅方法難以解決的問題。這樣，可以發(fā)揮蒙特卡羅方法的特長，使其應用范圍更加廣泛。 蒙特卡羅方法所特有的優(yōu)點，使得它的應用范圍越來越廣。它的主要應用范圍包括：粒子輸運問題，統(tǒng)計物理，典型數(shù)學問題，真