矩陣的初等變換與線性方程組

1、一、一、 引例引例二、二、 矩陣的初等變換矩陣的初等變換三、三、 線性方程組的解線性方程組的解第三節(jié)第三節(jié) 矩陣的初等變換與線性方程矩陣的初等變換與線性方程組組 第一一章 本節(jié)的教學(xué)要求本節(jié)的教學(xué)要求 理解初等行變換、行階梯形矩陣、行最簡(jiǎn)理解初等行變換、行階梯形矩陣、行最簡(jiǎn)形矩陣的概念形矩陣的概念 熟練熟練掌握用初等行變換求解線性方程組；掌握用初等行變換求解線性方程組； 重點(diǎn)重點(diǎn)矩陣的初等變換矩陣的初等變換例例1 用高斯消元法求解線性方程組用高斯消元法求解線性方程組解：解：矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算 一、高斯消元法一、高斯消元法xxxxxxxxx123212312321,2,3469,1231231

2、2321,2224,3449.xxxxxxxxx 12321231232,21,3469,xxxxxxxxxxxxxxxxxx 12321231232,21,3469,1232233232,33,33,xxxxxxx 123+232,33,00,xxxxx (1-1) 123+232,33,00,xxxxx 假設(shè)假設(shè) 是已知的，則是已知的，則 3x132321,33,xxxx令令 x3 = c ，則，則 12321123333 .01xcxcccx (1-1) 恒等式恒等式并將其帶入方程并將其帶入方程2x 事實(shí)上，通過事實(shí)上，通過(1-1)中方程中方程求出求出 消去，即相當(dāng)于消去，即相當(dāng)于2x

3、 的過程就是在方程的過程就是在方程中將未知變量中將未知變量123232,33,00,xxxxx (1-1) 對(duì)對(duì)(1-1)進(jìn)行如下操作，進(jìn)行如下操作，xxxxxxxx 13132323-21,21,33,33. (1 1)三種變換：三種變換： 交換方程的次序，記作交換方程的次序，記作 ； 以非零常數(shù)以非零常數(shù) k 乘某個(gè)方程，記作乘某個(gè)方程，記作 ； 一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的 k 倍，記作倍，記作 . . 其逆變換是：其逆變換是：結(jié)論：結(jié)論：1. 由于對(duì)原線性方程組施行的變由于對(duì)原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前后換是可逆變換，因此變換前后的方程組同解的方程組

4、同解. .2.2.在上述變換過程中，實(shí)際上只在上述變換過程中，實(shí)際上只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知數(shù)并未參與運(yùn)算算，未知數(shù)并未參與運(yùn)算iji k i k jiji k i+k jijik ik j211 122243449B 增廣矩增廣矩陣陣結(jié)論：結(jié)論：對(duì)原線性方程組施行的變換可以對(duì)原線性方程組施行的變換可以轉(zhuǎn)化為對(duì)增廣矩陣的變換轉(zhuǎn)化為對(duì)增廣矩陣的變換.12312312321,2224,3449.xxxxxxxxx 定義定義1：下列三種變換稱為矩陣的下列三種變換稱為矩陣的初等行變換初等行變換：對(duì)調(diào)兩行，記作對(duì)調(diào)兩行，記作 ；ijrr以非零常數(shù)以非零常數(shù) k 乘某

5、一行的所有元素，記作乘某一行的所有元素，記作 ； irk 某一行加上另一行的某一行加上另一行的 k 倍，記作倍，記作 . .ijrkr 其逆變換是：其逆變換是：ijrrirk ijrkr ;ijrr;irk .ijrkr 把定義中的把定義中的“行行”換成換成“列列”，就得到矩陣的，就得到矩陣的初等列變換初等列變換的定的定義義 初等變換初等變換初等行變換初等行變換初等列變換初等列變換二、二、 矩陣的初等變換矩陣的初等變換AB有限次初等行變換有限次初等行變換有限次初等列變換有限次初等列變換rAB行等價(jià)行等價(jià)，記作，記作 cAB列等價(jià)列等價(jià)，記作，記作 矩矩陣之間的等價(jià)關(guān)系陣之間的等價(jià)關(guān)系21021

6、01330000B211 122 2434 49B 有限次初等行變換有限次初等行變換AB有限次初等變換有限次初等變換AB矩陣矩陣 A 與矩陣與矩陣 B 等價(jià)等價(jià)，記作，記作矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：反身性反身性 ；對(duì)稱性對(duì)稱性 若若 ，則，則 ；傳遞性傳遞性 若若 ，則，則 AAAB, AB BCBAAC12312312321,211 12224,22 2434 493449.xxxxxxxxx rrr 21221112211 13469下面用初等行變換求解下面用初等行變換求解例例1中的中的線性方程組：線性方程組：xxxxxxxxx 21231231232

7、,21,3469,1231231232,111221,211 134693469,xxxxxxxxx rrrr 213123111201330133xxxxxxx 2312323232,33,33,xxxx 132321,33, 1232312,111233,0133000000,xxxxxB rrB 1221021013300002102101330000B1111201330000B 行階梯形矩陣行階梯形矩陣：1. 可畫出一條階梯線，線的可畫出一條階梯線，線的 下方全為零；下方全為零；2. 每個(gè)臺(tái)階只有一行；每個(gè)臺(tái)階只有一行；3. 階梯線的豎線后面是非零階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零

8、元素行的第一個(gè)非零元素.行最簡(jiǎn)形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣：4. 非零行的第一個(gè)非零元為非零行的第一個(gè)非零元為1;5. 這些非零元所在的列的其這些非零元所在的列的其它元素都為零它元素都為零.12+rr行最簡(jiǎn)形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣：4. 非零行的第一個(gè)非零元為非零行的第一個(gè)非零元為1;5. 這些非零元所在的列的其這些非零元所在的列的其它元素都為零它元素都為零.標(biāo)準(zhǔn)形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣：6. 左上角是一個(gè)單位矩陣，其左上角是一個(gè)單位矩陣，其它元素全為零它元素全為零.ccc312+2+3ccc41232102101330000BB 2100001000000行階梯形矩陣行階梯形矩陣rm nOEFOO 行最簡(jiǎn)形矩陣行最

9、簡(jiǎn)形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣三者之間的包含關(guān)系三者之間的包含關(guān)系 標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形總總可可經(jīng)經(jīng)過過初初等等變變換換化化為為矩矩陣陣 Anm 例例2 將下列矩陣化為行階梯形矩陣：將下列矩陣化為行階梯形矩陣：11-1-1= 2-5327-731A2131r -2rr -7r11-1-10-7540-14108A解解 32r -2r11-1-10-7540000例例3 利用初等行變換將矩陣?yán)贸醯刃凶儞Q將矩陣2-131= 4-2542-14-1A化為行最簡(jiǎn)形矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣. .解解 2131r -2rr -r2-13100-12001-2A32r +r2-131001-2000011r21-0.5

10、03.5001-2000012r -3r2-107001-20000三、三、 線性方程組的解線性方程組的解 由例由例1可知，要求解線性方程組只需要利用初等行變換可知，要求解線性方程組只需要利用初等行變換將方程組的增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣，再將行最簡(jiǎn)形矩將方程組的增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣，再將行最簡(jiǎn)形矩陣對(duì)應(yīng)的方程組寫出來，選擇自由未知變量把解表示出來陣對(duì)應(yīng)的方程組寫出來，選擇自由未知變量把解表示出來. 例例4 求解線性方程組求解線性方程組123123123231,4254,241.xxxxxxxxx 解解 2131( , )= 42542141BA b 21312213100120012rrr

11、r 32213100120000rr 123210700120000rr 1212( 1)10.503.500120000rr 1B 110.503.500120000B ，123=0.5+3.5,2,xxx 1233.50.52xcxcx 得與原方程組同解的方程組得與原方程組同解的方程組2xc ，令令得原方程組的全部解的向量形式為得原方程組的全部解的向量形式為（c為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）3.50.50120c 由由例例5 求解齊次線性方程組求解齊次線性方程組123123232220,20,20.xxxxxxxx ()rrr 2121111021021解解 對(duì)系數(shù)矩陣對(duì)系數(shù)矩陣A施行初等行變換施行初等行變換 222112021A()rr 1212111111 20 21.rrr 32212111010 5000.,rr 12101 5010 5000=.,= ., 13231 50 5xxxx.xcxcccx1231 51 50