直角坐標系下二重積分的計算

1、2 直角坐標系下二重 積分的計算 一、在矩形區(qū)域上二重積分的計算 二、在 x 型或 y 型區(qū)域上二重積分 的計算 三、在一般區(qū)域上二重積分的計算 一、在矩形區(qū)域上二重積分的計算 ( ,)f x y , ,Da bc d 定理定理21. .8 設(shè)設(shè) 在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域 , ,xa b ( ,)ddcf x yy上可積上可積, 且對每個且對每個 積分積分 存在存在, 則累次積分則累次積分 d( ,)d( ,)ddbdbdacacxf x yyf x yyx 也存在也存在, 且且( ,)dd( ,)d .(1)bdacDf x yxf x yy ( )( ,)d ,dcF xf x yy( )F

2、x證證 令令 定理要求證明定理要求證明 在在 , a b上可積上可積, 且積分的結(jié)果恰為二重積分且積分的結(jié)果恰為二重積分. 為此為此, , a b ,c d對區(qū)間對區(qū)間 與與 分別作分割分別作分割 01,raxxxb 01.scyyyd 按這些分點作兩組直線按這些分點作兩組直線 (1,2,1),ixxir (1,2,1),kyyks 21 4 圖圖Oyxcdab1ixixi ky1kyik 把矩形把矩形 D 分為分為 rs 個小矩形個小矩形(圖圖21-4). 記記 ik 為小矩為小矩 11, ,(1,iikkxxyyi 2, ;1,2, ).r ks 形形 ( ,)f x yik ikM設(shè)設(shè)

3、在在 上的上確界和下確界分別為上的上確界和下確界分別為 和和 ikm1,iixx ,i . 在區(qū)間在區(qū)間 中任取一點中任取一點 于是就有不等于是就有不等 式式 1(,)d,kkyikkiikkymyfyyMy 其中其中 1.kkkyyy 因此因此 11()(,)d,ssdikkiiikkckkmyFfyyMy11111(),(2)rsrrsikkiiiikkiikiikmyxFxMyx 1.iiixxx ik ikd其中其中 記記 的對角線長度為的對角線長度為 , ,于是于是 ,|max.iki kTd 由于二重積分存在由于二重積分存在, 由定理由定理21. .4, 當當 |0T時時, 使使

4、,ikkii kmyx,ikkii kMyx和和有相同的極限有相同的極限, 且極限且極限 ( ,)d.Df x y |0T值等于值等于因此當因此當時時, 由不等式由不等式 (2) 可得可得: : | |01lim()( ,)d.riiTiDFxf x y (3)|0T1max0,ii rx 由于當由于當 時時, 必有必有因此由定積因此由定積 分定義分定義, (3)式左邊式左邊| |01lim()( )dd( ,)d .rbbdiiaacTiFxF xxxf x yy ( ,)f x y , ,Da bc d 定理定理21. . 9 設(shè)設(shè) 在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域 ,yc d ( ,)dbaf x

5、yx上可積上可積, 且對每個且對每個 積分積分存在存在, 則累次積分則累次積分 也存在也存在, 且且 ( ,)dd( ,)d .dbcaDf x yyf x yx ( ,)f x y , ,Da bc d 特別當特別當在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域上連續(xù)上連續(xù) 時時, 則有則有dc( , )dd( , )dd( , )d .bdbacaDf x yxf x yyyf x yx d( ,)d( ,)dddbdbcacayf x yxf x yyx 例例1. 計算2() d,DIxy其中解法解法1. 被積函數(shù)連續(xù)，I10d x120() dxyy10 d x13311330(1)dxxx763131()0

6、xy解法解法2. 0,1 0,1D I10d y120() dxyx10 d y13311330(1)dyyy763131()0 xy平面區(qū)域的幾種簡單類型平面區(qū)域的幾種簡單類型1.如果平面區(qū)域為：如果平面區(qū)域為：)(2xy abD)(1xy oDba)(2xy )(1xy o, bxa ).()(21xyx X型區(qū)域的特點：型區(qū)域的特點：區(qū)域邊界相交不多于區(qū)域邊界相交不多于兩個兩個交點交點.穿過區(qū)域穿過區(qū)域且且平行于平行于y軸的直線軸的直線與與其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間a,b上上連續(xù)連續(xù).)(1x )(2x X型型 2.如果平面區(qū)域為：如果平面區(qū)域為：)(2yx )(1yx Dcdo

7、cd)(2yx )(1yx Do, dyc ).()(21yxy Y型型Y型區(qū)域的特點：型區(qū)域的特點：區(qū)域邊界相交區(qū)域邊界相交不多于兩個交點不多于兩個交點.穿過區(qū)域穿過區(qū)域且且平行于平行于x軸的直線軸的直線與與 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間a,b上上連續(xù)連續(xù).1( ) y 2( )y 將將D投影到投影到x軸上，軸上，若投影區(qū)間為若投影區(qū)間為a,b,;axb則則用一組用一組平行于平行于y軸軸且且與與y軸同方向的直線軸同方向的直線穿越穿越D， 入口入口線線方程為方程為),(1xy 出口線出口線方程為方程為),(2xy 12( )( )xyx 則則， )()(,21xyxbxa X型型區(qū)域區(qū)域

8、D:Dba)(2xy )(1xy o對對Y型型同樣可用同樣可用平行線穿越法平行線穿越法于是有：于是有：平行線穿越法平行線穿越法把區(qū)域表示為不等式組的方法是：把區(qū)域表示為不等式組的方法是：例例. 用不等式組表示平面區(qū)域用不等式組表示平面區(qū)域D，其中，其中 2:1,2,2Dyxxyx 由由曲曲線線所所圍圍區(qū)區(qū)域域. .解解:oxy作圖，作圖，:D則則212.21xyxx 1221yx 2xy 2x 1思考：思考： 平面區(qū)域平面區(qū)域D表示能表表示能表示為示為Y型區(qū)域嗎？怎么寫出型區(qū)域嗎？怎么寫出不等式組？試試看不等式組？試試看 ！ Dyxf d),(假設(shè)：假設(shè)： (1)0),( yxf且在且在D上上

9、連續(xù)，連續(xù)，(2) ).()(,:21xyxbxaD 其中：其中：)(),(21xx 在在, ba上上連續(xù)連續(xù).zyxoDab),( yxfz )(1xy )(2xy x由二重積分的幾何意義，由二重積分的幾何意義，( , )dDf x y V曲曲頂頂柱柱體體 ( )d .baA xx 應(yīng)用計算應(yīng)用計算“平行截面面積為已知的立體求體積平行截面面積為已知的立體求體積”的的方法方法,V 曲曲頂頂柱柱體體 )(xA而而一、在直角坐標系下計算二重積分一、在直角坐標系下計算二重積分zyxoDab),( yxfz )(1xy )(2xy 0 x固定固定0 xx 0( , )z f x y )(0 xAyoz

10、)(0 xA)(01x )(02x ),(0yxfz 于是得到：于是得到：( , )dDVf x y 則則.d),()()()(000201yyxfxAxx , bax 則則x對對 應(yīng)的截面面積是應(yīng)的截面面積是,d),()()()(21yyxfxAxx .d bax baxxA d)( )()(21d),(xxyyxf bax d記記注意：注意： 1.yyxfxxd),()( )( 21 叫叫內(nèi)積分；內(nèi)積分； bax d叫叫外積分外積分.yyxfxbaxxd),(d )( )( 21 叫叫累次積分累次積分,也叫也叫二次積分二次積分.( , )dDf x y bax d )( )( 21d),(

11、xxyyxf .d),()( )( 21yyxfxx 定理定理21. 10 若若 ( ,)f x yx 型區(qū)域型區(qū)域 D上連續(xù)上連續(xù), , 其中其中 12( ),( )yxyx , a b在在 上連續(xù)上連續(xù), 則則 21( )( )( ,)dd( ,)d .byxayxDf x yxf x yy 即二重積分可化為先對即二重積分可化為先對 y、后對后對 x 的累次積分的累次積分. . 類似類似, 若若 D 為為 y 型區(qū)域型區(qū)域, 則二重積分可化為先則二重積分可化為先對對 x、后對后對 y 的累次積分的累次積分 21( )( )( ,)dd( ,)d .dxycxyDf x yyf x yx 注

12、注1( , )X,f x yD 若若在在型型區(qū)區(qū)域域 上上連連續(xù)續(xù) 則則12( )( )axbxyx 21()()( , )dd( , )d .bxaxDf x yxf x yy 注注2( , )Y,f x yD 若若在在型型區(qū)區(qū)域域 上上連連續(xù)續(xù) 則則21()()( ,)dd( ,)d .dycyDf x yyf x yx 12( )( )cydyxy Y型型X型型1( )yx 2( )yx xybaDoxy1( )xy Ddc2( )xy ooxy注注3: 若積分區(qū)域既是若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是型區(qū)域又是Y 型區(qū)域型區(qū)域 , ( , )d dDf x yxy 為計算方便為計算方便,可選擇

13、積分次序可選擇積分次序,必要時還可以交換必要時還可以交換 積分次序積分次序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc則有則有x)(1xyy21( )( )( , )dxxf x yy dbax 21( )( )( , )dyyf x yx ddcy 注注4：若積分域較復(fù)雜：若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干可將它分成若干1D2D3DX-型域或型域或Y-型域型域 , 123DDDD則則 xy211xy o221d y例例2. 計算d,DIxy其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. x解法解法1. 將D看作X型區(qū)域, 則:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx8

14、91221xyx解法解法2. 將D看作Y型區(qū)域, 則:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y例例3. 計算計算,d Dxy其中其中D是由是由所圍的區(qū)域所圍的區(qū)域.22yx yx ，解解:xyox=y+22yx (4,2)(1,-1)-12區(qū)域區(qū)域D的圖形如右陰影部分，的圖形如右陰影部分，解方程組解方程組 . 2,2xyxy得交點坐標為得交點坐標為(1,-1),(4,2),則則D：12,y 于是于是 dDxy2 222 1 1d2yyyxy yyyyd)2(21522 1 xxyyyydd2 2 1 2 22.yxy .845 例

15、例4. 計算sind dDxx yx其中D 是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域.oxyDxxy 解解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X 型域 :0:0 xDyxsind dDxx yxxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先對 x 積分不行, 說明說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.解解: :22d dyDx ex y 21200ddyyyx ex 23100() d3yyxey 22120d()6yyey ).21(61e 例例5.如圖如圖1, 10: yxxD若若22d dyDx ex y 21120ddyxxx ey :01,0Dyxy由由于于2310d3

16、yyey 則則xyo1xy 122d d(0,0),(1,1),(0,1)yDx ex yD 求求，其其中中 是是以以為為頂頂點點.的的三三角角形形2d.yey 無無法法用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示例例6. 交換下列積分順序交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成積分域由兩部分組成:121202:,0 xDyx822 yx2D22yxo21D221xy 22222 2:08xDyx21DDD將:D視為Y型區(qū)域 , 則282yxy20 y( , )d dDIf x yxy282d),(yyxyxf20dy例例7. 計算2ln(

17、1)d dDIxyyx y其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxf12ln(1)d dDIxyyx y022ln(1)d dDxyyx y422()8. 1,11xyDyxex yDyx yx 1 12 2例例計計算算d dd d ，其其中中 是是由由直直線線 及及圍圍成成的的平平面面圖圖形形. .解解: : 直接用對稱性直接用對稱性. .22()xyDDy x yxyex y 1 12 2原原式式d dd dd dd d0Dy

18、 x y d dd d 1 1 1 ddyyy x 12 12()d3yyy 小小 結(jié)結(jié) 畫出積分域畫出積分域 寫出積分限寫出積分限 計算要簡便計算要簡便 (充分利用對稱性，幾何意義和性質(zhì)等充分利用對稱性，幾何意義和性質(zhì)等)“平行線穿越法平行線穿越法”作業(yè)：作業(yè)：P223:2(3)(4);3(2)(3)(4)計算二重積分的步驟及注意事項計算二重積分的步驟及注意事項22( , ) 24,( , )Dx yxxyxf x yD思考思考 設(shè)設(shè) 為為 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), ,試將二重積分試將二重積分 ( , )d dDIf x yx y化為不同順序的累次積分化為不同順序的累次積分. yx解解 (1)先對先對積分積分, 再對再對積分積分. 221( , )24,02 ,Dx yxxyxxx123DDDD (見圖見圖21-9), 其中其中 為此設(shè)為此設(shè) Ox219 圖圖2D3D1Dy24222( , )42,02 ,Dx yxxy