材料力學(I)第六章

1、材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題6- -1 超靜定問題及其解法超靜定問題及其解法6- -2 拉壓超靜定問題拉壓超靜定問題6- -3 扭轉(zhuǎn)超靜定問題扭轉(zhuǎn)超靜定問題6- -4 簡單超靜定梁簡單超靜定梁材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系一、靜定與超靜定概念一、靜定與超靜定概念6- -1 超靜定問題及其解法超靜定問題及其解法材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系靜定靜定靜不定靜不定CPABD123CPAB12靜不定次數(shù)靜不定次數(shù) = 未知力數(shù)未知力數(shù) 靜平衡方程數(shù)靜平衡方程數(shù)靜不定次數(shù)：靜不定次數(shù)：靜不定結(jié)構(gòu)比靜定結(jié)構(gòu)的強度和剛度大。靜不定

2、結(jié)構(gòu)比靜定結(jié)構(gòu)的強度和剛度大。材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系靜力平衡方程（靜力平衡方程（1）變形協(xié)調(diào)方程（變形協(xié)調(diào)方程（2）物理關(guān)系方程（物理關(guān)系方程（3）補充方程補充方程聯(lián)立求解聯(lián)立求解二、超靜定問題的解法二、超靜定問題的解法材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系例例 1、2、3三桿用鉸鏈連接如圖，各桿長度和剛度如圖所示，外力沿三桿用鉸鏈連接如圖，各桿長度和剛度如圖所示，外力沿鉛垂方向。求各桿的內(nèi)力。鉛垂方向。求各桿的內(nèi)力。CPABD123LEAEAE3A3解：解：平衡方程：平衡方程：（1）0sin 0120coscos 03216 6- -2 2 拉壓超靜定問題拉壓超靜定問題材

3、材 料料 力力 學學河南理工大學力學系變形協(xié)調(diào)方程：變形協(xié)調(diào)方程：CABD123A11L2L3Lcos31LL物理方程：物理方程：11111NF LLE A33333NFLLE A（2）（3）233111233311331133cos ; 2cos2cosNNNE A PE APFFFE AE AE AE A聯(lián)解（聯(lián)解（1）、）、2） 、（、（3）式得：）式得：解答表明，各桿的軸力與其剛度有關(guān)。解答表明，各桿的軸力與其剛度有關(guān)。材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系例：求圖示桿的支反力。例：求圖示桿的支反力。解：解：0 (1)ABRRP變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件：0 (2)ABACBClll

4、 物理關(guān)系：物理關(guān)系： (3)ABABR aR bLEAEA聯(lián)解得：聯(lián)解得：,ABbaRP RPll平衡方程：平衡方程：思考：思考：如桿件下端如桿件下端與支座與支座B有一微小距有一微小距離，又該如何計算離，又該如何計算？材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系 例例15 15 如圖所示剛性梁如圖所示剛性梁ABAB由由1 1，2 2，3 3桿懸掛，三桿的剛度桿懸掛，三桿的剛度均為均為EA。求。求P力作用下三桿的軸力。力作用下三桿的軸力。解：解：0Y0AM（1）平衡方程：平衡方程：0321材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系變形協(xié)調(diào)方程：變形協(xié)調(diào)方程：13232()LLLL11NF llEA

5、22NF llEA（2）物理方程：物理方程：33NF llEA（3）聯(lián)解（聯(lián)解（1）、（）、（2）、（）、（3）式得：）式得：312613L3L2L1材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系此時，變形協(xié)調(diào)條件為此時，變形協(xié)調(diào)條件為13232()LLLL注意：受力圖與變形圖必受力圖與變形圖必須一致！須一致！材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系分析題分析題1 圖示結(jié)構(gòu)，圖示結(jié)構(gòu)，AB為剛性梁，為剛性梁，1、2兩桿剛度相同。兩桿剛度相同。 求求1、2桿的受力。桿的受力。022cos30 021平衡方程平衡方程:變形關(guān)系變形關(guān)系:物理關(guān)系物理關(guān)系:cos30 2211聯(lián)立解出聯(lián)立解出:3326 3

6、32421材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系分析題分析題2 圖示為一平面桁架，各桿剛度相同。求各桿的圖示為一平面桁架，各桿剛度相同。求各桿的軸力。軸力。o430 2cos300NNYFFP由對稱性，有由對稱性，有1245 NNNNFFFF由由A點平衡點平衡由由B點平衡點平衡o130 2cos600NNYFF材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系變形關(guān)系：變形關(guān)系：41oo cos30cos60ABLL 3ABL 物理關(guān)系：物理關(guān)系：11 NF LLEA33 NF LLEA553 NFLLEA由以上關(guān)系式求得：由以上關(guān)系式求得：12323 32NNNPFFF4533 32NNPFF,3L

7、L設(shè)1，2，3桿長為則4，5桿長為AB材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系 A裝配應(yīng)力裝配應(yīng)力ABCD 2 21 13 3l材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系 AABCD 2 21 13 3ll 3l 13 3l1 1l N1N2N3N1N2sinsin0coscos0FFFFF 材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系 AABCD 2 21 13 3ll 3 l 11112112331coscosNNE AFFE AlE A 3333331112cosNE AFE AlE A cos1 13 3ll3 33 33 31 11 11 1AElFlAElFlN3N1cos 材材 料料

8、力力 學學河南理工大學力學系 ABC12aaB1A1C1l3C1C材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系l3C1CABC12B1C1A1ell 3 31 1材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系aaxEAlFl1 11 1N1 3 33 33 3AElFlN3 CAB0 0 N2N1N3FFFN2N1FF 材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系 溫度應(yīng)力溫度應(yīng)力由于溫度變化引起的應(yīng)力，稱為溫度應(yīng)力由于溫度變化引起的應(yīng)力，稱為溫度應(yīng)力或熱應(yīng)力?；驘釕?yīng)力。溫度應(yīng)力僅存在于靜不定結(jié)構(gòu)中。溫度應(yīng)力僅存在于靜不定結(jié)構(gòu)中。 化工管道化工管道 橋梁橋梁 裸露的輸氣管及水管裸露的輸氣管及水管l 由溫度引

9、起的變形由溫度引起的變形lTlT其中，其中， 為材料的線膨脹系數(shù)；為材料的線膨脹系數(shù)； T為溫度變化值；為溫度變化值；l為桿的為桿的長度。長度。碳鋼的碳鋼的線膨脹系數(shù)線膨脹系數(shù): = 12.5 x 10-6 (1/ C)材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系波紋管膨脹節(jié)波紋管膨脹節(jié)波紋管膨脹節(jié)材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系 ABABB0 0 lAB材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系A(chǔ)BAB0 0 FTlllEAlFlBFR lTltT EAlFlTRt TEAFtBR TEAFR BAB材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系例例 18

10、 已知已知： ACB為剛性桿，為剛性桿，鋼桿鋼桿AD的的A1=100mm2,l1=330mm，E1= 200 GPa, 1=12.5 10-6/ C;銅桿銅桿BE的的A2=200mm2,l2=220mm，E2=100 GPa，2=16.5 10-6/ C,溫升溫升30 C。求求： 兩桿的軸力。兩桿的軸力。解解：(1) 平衡方程平衡方程取取AB桿，受力如圖。桿，受力如圖。0)(FCM122401500NNFF 材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系(2) 變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程11llAATTllBB22150240BBAA1502402211TTllll(3) 物理關(guān)系物理關(guān)系111lTl

11、Tm101246材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系(1) 平衡方程平衡方程122401500NNFF (2) 變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程1502402211TTllll(3) 物理關(guān)系物理關(guān)系111lTlTm101246222lTlTm1010961 1111NF llE A 16100165. 0N2 2222NF llE A 2610011. 0N聯(lián)立解得聯(lián)立解得:16.68kN,NF 210.7kNNF 結(jié)果為正，結(jié)果為正，表示兩桿表示兩桿的確受壓。的確受壓。材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系6- -3 扭轉(zhuǎn)超靜定問題扭轉(zhuǎn)超靜定問題 例題例題6- -5 兩端固定的圓截面等直桿A

12、B，在截面C處受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖a。已知桿的扭轉(zhuǎn)剛度為GIp。試求桿兩端的約束力偶矩以及C截面的扭轉(zhuǎn)角。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題(a)材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系 解解: : 1. 有二個未知約束力偶矩MA, MB，但只有一個獨立的靜力平衡方程故為一次超靜定問題。0 0eBAxMMMM，第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題(a)MAMB材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系 2. 以固定端B為“多余”約束，約束力偶矩MB為“多余”未知力。在解除“多余”約束后基本靜定系上加上荷載Me和“多余”未知力偶矩MB，如圖b；它應(yīng)滿足的位移相容條件為注

13、：這里指的是兩個扭轉(zhuǎn)角的絕對值相等。BBMBMe第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系另一約束力偶矩MA可由平衡方程求得為3. 根據(jù)位移相容條件利用物理關(guān)系得補充方程：由此求得“多余”未知力，亦即約束力偶矩MB為ppeGIlMGIaMB第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題 elaMMB eeeelbMlaMMMMMBA材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系4. 桿的AC段橫截面上的扭矩為lbMMTAACe第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題從而有 peplGIabMGIaTACC(a)材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系

14、6- -4 簡單超靜定梁簡單超靜定梁.超靜定梁的解法第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題 解超靜定梁的基本思路與解拉壓超靜定問題相同。求解圖a所示一次超靜定梁時可以鉸支座B為“多余”約束，以約束力FB為“多余”未知力。解除“多余”約束后的基本靜定系為A端固定的懸臂梁。基本靜定系材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系0BBBqww基本靜定系在原有均布荷載q和“多余”未知力FB作用下(圖b)當滿足位移相容條件(參見圖c,d) 時該系統(tǒng)即為原超靜定梁的相當系統(tǒng)。若該梁為等截面梁，根據(jù)位移相容條件利用物理關(guān)系(參見教材中的附錄)所得的補充方程為03834EIlFEIqlB第六章第六章 簡單

15、的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系從而解得“多余”未知力qlFB83第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題所得FB為正值表示原來假設(shè)的指向(向上)正確。固定端的兩個約束力利用相當系統(tǒng)由靜力平衡條件求得為 28185qlMqlFAA，材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系該超靜定梁的剪力圖和彎矩圖亦可利用相當系統(tǒng)求得，如圖所示。思考思考 1. 該梁的反彎點(彎矩變換正負號的點)距梁的左端的距離為多少？ 2. 該超靜定梁可否取簡支梁為基本靜定系求解？如何求解？第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系 例題例題

16、6- -7 試求圖a所示系統(tǒng)中鋼桿AD內(nèi)的拉力FN。鋼梁和鋼桿的材料相同，彈性模量E已知；鋼桿的橫截面積A和鋼梁橫截面對中性軸的慣性矩I 亦為已知。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系 解解: : 1. 該系統(tǒng)共有三個未知力(圖b)FN ,FB ,FC ，但平面平行力系僅有兩個獨立的平衡方程，故為一次超靜定問題。 2. 取桿和梁在點A處的連接鉸為“多余”約束，相應(yīng)的“多余”未知力為FN。位移(變形)相容條件(參見圖b)為wA=lDA。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系3. 物理關(guān)系(參見圖c,

17、d)為EAlFlEIaFEIqawwwDAAFAqAN3N4 127，需要注意，因lDA亦即圖b中的 是向下的，故上式中wAF為負的。1AA第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系4. 于是根據(jù)位移(變形)相容條件得補充方程：由此求得EAlFEIaFEIqaN3N412734N 127AalIAqaF第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系 例題例題6- -8 試求圖a所示等截面連續(xù)梁的約束力FA , FB , FC，并繪出該梁的剪力圖和彎矩圖。已知梁的彎曲剛度EI=5106 Nm2。第六章第六章 簡單

18、的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系 解解: : 1. 兩端鉸支的連續(xù)梁其超靜定次數(shù)就等于中間支座的數(shù)目。此梁為一次超靜定梁。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系 2. 為便于求解，對于連續(xù)梁常取中間支座截面處阻止左,右兩側(cè)梁相對轉(zhuǎn)動的內(nèi)部角約束為“多余”約束，從而以梁的中間支座截面上的彎矩作為“多余”未知力，如圖b。BB 第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題 此時基本靜定系為兩跨相鄰的簡支梁，它們除承受原超靜定梁上的荷載外，在中間支座B處的梁端還分別作用有等值反向的“多余”未知力矩 彎矩MB，圖b中的“多余”未知力矩為一對正彎矩。位移相容條件(參見圖b)為材材 料料 力力 學學河南理工大學力學系3. 利用教材中的附錄可得物理關(guān)系為EIMEIBB3m424m4N/m102033EIMEIBB3m5m56m2m5m2m3N10303 應(yīng)該注意，在列