定積分的背景__面積和路程問題(北師大版選修2-2)

1、 第四章 定積分4.1.1 定積分的背景面積 和路程問題一、定積分問題舉例曲邊梯形 設函數yf(x)在區(qū)間a, b上非負、連續(xù). 由直線xa、xb、y0及曲線yf (x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形, 其中曲線弧稱為曲邊. 1.曲邊梯形的面積 問題問題1 圖中陰影部分由拋物線圖中陰影部分由拋物線 ，直線，直線 及及 x 軸軸圍成的平面圖形，試估計這個曲邊梯形的圍成的平面圖形，試估計這個曲邊梯形的面積面積 S 。 2xy 1xxoy12xy xoy1(1) 將將區(qū)間區(qū)間0，1平均分成平均分成 5 份，如圖所示。份，如圖所示。1S 圖圖 (1) 中，所有小矩形面積之和中，所有小矩形面積之和 顯然大于所

2、顯然大于所求曲邊梯形的面積，我們稱求曲邊梯形的面積，我們稱 為為 S 的的過剩估計值過剩估計值，則有則有1S1S44. 02 . 0)18 . 06 . 04 . 02 . 0(222221Sxoy1(2) 圖圖 (2) 中，所有小矩形面積之和中，所有小矩形面積之和 顯然小于所顯然小于所求曲邊梯形的面積，我們稱求曲邊梯形的面積，我們稱 為為 S 的的不足估計值不足估計值，則有則有1s1s1s24. 02 . 0)8 . 06 . 04 . 02 . 00(222221sxoy1(3) 我們可以用我們可以用 或或 近似表示近似表示 S ，但是都存在，但是都存在誤差，二者之差為誤差，二者之差為 ，

3、但是無論是用，但是無論是用 還還是是 來表示曲邊梯形的面積，來表示曲邊梯形的面積，誤差都不會超過誤差都不會超過0.2，如圖如圖(3)所示。所示。1S1s2 . 011sS1S1sxoy1(4) 為減小誤差，我們將區(qū)間為減小誤差，我們將區(qū)間0，1 10等分，則等分，則所求面積的過剩估計值為所求面積的過剩估計值為385. 01 . 0)12 . 01 . 0(2222S285. 01 . 0)9 . 02 . 01 . 00(22222s不足估計值為不足估計值為 二者的差值為二者的差值為 ，此時，無，此時，無論用論用 還是還是 來來表示表示 S ，誤差都不超過，誤差都不超過 0.1 。1 . 02

4、2sS2S2s 區(qū)間分的越細，誤差越小。當所區(qū)間分的越細，誤差越小。當所分隔的區(qū)間長度分隔的區(qū)間長度趨于趨于 0 ，過剩估計值，過剩估計值和不足估計值都趨于曲邊梯形面積。和不足估計值都趨于曲邊梯形面積。觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目標：觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目標：觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目標：觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目標：觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目標：學習目標：觀察下列

5、演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目標：觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目標：觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目標：觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目標：觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目標：觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目標：觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目標：觀察下列演

6、示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系學習目標：當分割點無限增多時，小矩形的面積和=曲邊梯形的面積概括概括 前面，我們通過前面，我們通過“以直代曲以直代曲”的逼近方法解決了求的逼近方法解決了求曲邊梯形的面積的問題，它們的步驟：曲邊梯形的面積的問題，它們的步驟：分割區(qū)間分割區(qū)間過剩估計值過剩估計值不足估計值不足估計值逼近所求面積逼近所求面積所分區(qū)間長度所分區(qū)間長度 0 估計值估計值所求值所求值 求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線y f(x)對應的對應的曲邊梯形曲邊梯形面積的方法面積的方法 (2)取近似求和取近似求和:任取任取x xi xi 1, xi，第，第i個小曲邊梯形的面積用高為個小

7、曲邊梯形的面積用高為f(x xi)而寬為而寬為D Dx的的小矩形面小矩形面積積f(x xi)D Dx近似之。近似之。 (3)取極限取極限:，所求曲邊所求曲邊梯形的面積梯形的面積S為為 xiy=f(x)x yObaxi+1xixD1lim( )niniSfxxD1( )niiSfxxD (1)分割分割:在區(qū)間在區(qū)間0,1上等間隔地插入上等間隔地插入n-1個點個點,將它等分成將它等分成n個小區(qū)間個小區(qū)間: 11211,iina xx xxxxbnniinxfxfxfxfSD D DD)()()()(2211xxxx如果如果 趨近于趨近于0（亦即（亦即 ）時）時,上述和式上述和式無限的趨近某個常數無

8、限的趨近某個常數A（即曲邊梯形面積）（即曲邊梯形面積）.稱稱A是是ixDn函數函數 在區(qū)間在區(qū)間 上的定上的定積分積分. .)(xfy ,banniinxfxfxfxfSD D DD)()()()(2211xxxx其中，其中， 叫作叫作積分號積分號， 叫作積分的叫作積分的下限下限， 叫作積分叫作積分ab的的上限上限， 叫作叫作被積函數被積函數， 叫作叫作積分變量積分變量，)(xfx,ba叫作叫作積分區(qū)間積分區(qū)間.記作記作 ,即即()bafx dxA()bafx dx一、基本概念一、基本概念二、概念說明二、概念說明（1）.定積分定積分 是一個常數，即是一個常數，即 時，時，( )baf x dx

9、nnS無限接近的常數無限接近的常數A,而不是而不是 .nS（2）.用定義求積分的一般方法是：用定義求積分的一般方法是：分割分割 近似代替近似代替 求和求和 取極限取極限（3）.曲邊梯形面積：曲邊梯形面積：變速運動路程：變速運動路程：baSfx dx21( )ttSv t dt定積分是一個數值定積分是一個數值,它只與被積函數及積分區(qū)它只與被積函數及積分區(qū)間有關，而與積分變量的記法無關，即間有關，而與積分變量的記法無關，即baf(x)dx f (t)dt f(u)du。 三、定積分的幾何意義三、定積分的幾何意義：Ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、x

10、b與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當 f(x)0 時，積分dxxfba)(在幾何上表示由 y=f (x)、 特別地，當 ab 時，有baf (x)dx0。 當f(x)0時，由yf (x)、xa、xb 與 x 軸所圍成的曲邊梯形位于 x 軸的下方，x yOdxxfSba)(，dxxfba)(ab yf (x) yf (x)dxxfSba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S上述曲邊梯形面積的負值。 定積分的幾何意義：積分baf (x)dx 在幾何上表示 baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S, 0)( xf( )baf x xA d d曲邊梯形的面積曲邊梯形

11、的面積, 0)( xfd d( )baf x xA 曲邊梯形的面積的負值曲邊梯形的面積的負值1234( )baf xxAAAA d d 即：3A4A2A1A abyxO例：說明下列定積分所表示的幾何意義，并根據例：說明下列定積分所表示的幾何意義，并根據其意義求出定積分的值其意義求出定積分的值.(1)102dx(2)(3)21xdx;dxx1121.;oyx2y1解（解（1）：）：102dx中所示長方形的面積，中所示長方形的面積，表示的是圖表示的是圖由于這個長方形的面由于這個長方形的面積為積為2.所以所以2210dx2oyxxy 1解（解（2）：）：中所示梯形的面積，中所示梯形的面積，表示的是圖

12、表示的是圖由于這個梯形的面由于這個梯形的面所以所以21xdx122積為積為 .2321xdx23o解（解（3）：）：半徑為半徑為1的半圓的面的半圓的面表示的是圖中所示表示的是圖中所示由于這個半圓由于這個半圓所以所以oyx1-11dxx1121的面積為的面積為 .2dxx1121221xy積，積，探究:根據定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中陰影部分的面積?ab yf (x)Ox y1()baSfx d x( )yg x2( )baSg x dx12( )( )bbaaS SSf xdxg xdx四、定積分的基本性質 性質1. dx)x(g)x(fba babadx)x(gdx)x(f性質2.

13、 badx)x(kf badx)x(fkabdxba1性質3. abab yf (x)Ox y1()baSfx d x( )yg x2( )baSg x dx12( )( )bbaaS SSf xdxg xdx三: 定積分的基本性質 定積分關于積分區(qū)間具有可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性質4. 2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f思考：從定積分的幾何意義解釋性質ab y=f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 cOx y課本練習例2.用定積分表示圖中四個陰影部分面積0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1成立。說明等式利用定積分的幾何意義0sin22xdx例3：解：所以并有上，在上，上連續(xù)，且在，在在右圖中，被積函數,