概率統(tǒng)計(jì)B+Chap132015lhy

1、條件概率當(dāng)部分實(shí)驗(yàn)信息已知時(shí)，事件發(fā)生的概率？例10 擲兩顆骰子，每種結(jié)果是等可能出現(xiàn)的，為1/36.假設(shè)第一顆骰子的點(diǎn)數(shù)是3，問兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和為8的概率是多少？2021-11-121第 1 章 樣本空間與概率 1.2 條件概率解答. 設(shè)“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和為8”為事件A，“第一顆骰子的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B.法一、法二、本質(zhì)：概率空間發(fā)生變化了！條件概率的定義當(dāng)部分實(shí)驗(yàn)信息已知時(shí)，事件發(fā)生的概率？2021-11-122第 1 章 樣本空間與概率 1.2 條件概率 1.2.1 條件概率的定義定義 已知事件A,B. 若事件B發(fā)生，記事件A 發(fā)生的概率為P(A|B)，定義為 P ABP A| BP

2、 B 其中 . 0P B 定理 定義 ，易驗(yàn)證 滿足概率公理. BPAP A| B BP 事件AB發(fā)生的概率相對于事件B發(fā)生的概率.定義在新的樣本空間上的事件B的概率.定義 已知事件A,B,C. 若事件A發(fā)生，記事件B 發(fā)生的概率為 .又已知事件B發(fā)生，則事件C發(fā)生的概率 ABAPCPC | B 其中 . 0P AB AP 條件概率當(dāng)部分實(shí)驗(yàn)信息已知時(shí)，事件發(fā)生的概率？2021-11-123第 1 章 樣本空間與概率 1.2 條件概率 1.2.1 條件概率的定義概率論中最重要的概念之一：l 當(dāng)部分實(shí)驗(yàn)信息已知時(shí)，求概率條件概率！l 即使沒有已知信息，利用條件概率也可以更方便地計(jì)算概率！乘法公式

3、、全概率公式和Bayes公式例11 10件產(chǎn)品，其中6件正品，4件次品. 任取4件，求至少取到1件次品時(shí)，取到的次品不多于2件的概率.解答. 設(shè)“至少取到1件次品”為事件B，“取到的次品不多于2件”為事件A. 求 P(A|B)？設(shè)Bi表示恰好取到 i 件次品，i =0, 1, 2, 3, 4.乘法公式2021-11-124第 1 章 樣本空間與概率 1.2 條件概率 1.2.2 乘法公式 P ABP B P A| B 例12 學(xué)生J未決定選“演講與口才”還是“三大宗教”.她估計(jì)選“演講與口才”得A的概率是1/2，選“三大宗教”得A的概率是2/3. J決定用擲硬幣的辦法來決定. 問她在“三大宗教

4、”課程得A的概率是多少？解答. 設(shè)“J選三大宗教”為事件B，“課程得A”為事件A. 求P(AB)？例13. 一副牌(52張)連續(xù)抽3張都不是紅桃的概率？ 1212111nnnP A AAP AP A | AP A | AA 解答. 設(shè) Ai 表示第 i 張牌不是紅桃，i =1,2,3l 現(xiàn)在有三扇門，只有一扇門后有汽車，其余兩扇門后都是山羊.l 汽車事前是等可能地被放置于三扇門的其中一扇后面.l 參賽者在三扇門中挑選一扇。他在挑選前并不知道任意一扇門后面是什么.l 主持人知道每扇門后面有什么.l 如果參賽者挑了一扇有山羊的門，主持人必須挑另一扇有山羊的門.l 如果參賽者挑了一扇有汽車的門，主持

5、人等可能地在另外兩扇有山羊的門中挑一扇門.l 參賽者會(huì)被問是否保持他的原來選擇，還是轉(zhuǎn)而選擇剩下的那一扇門.轉(zhuǎn)換選擇可以增加參賽者拿到汽車的機(jī)會(huì)嗎？Monty Hall三門問題2021-11-12第 1 章 樣本空間與概率 1.3 全概率公式和Bayes定理5Monty Hall美國電視節(jié)目主持人.問題：有三扇門，其中一扇門后有大獎(jiǎng)(汽車). 幸運(yùn)觀眾選好一扇門后，主持人會(huì)隨機(jī)地打開另一扇門. 顯示其后沒有獎(jiǎng). 問觀眾應(yīng)該堅(jiān)持原來的選擇，還是改變原來的選擇？概率存在于被給予的條件下，概率不能寄托在實(shí)際的物體上.l 堅(jiān)持一種可能，得獎(jiǎng)概率1/3l 轉(zhuǎn)換兩種可能，得獎(jiǎng)概率2/3全概率公式2021-

6、11-12第 1 章 樣本空間與概率 1.3 全概率公式和Bayes定理6設(shè)A,B是事件，且 0P(B)0成立. 則對任何事件A，有全概率公式的應(yīng)用：計(jì)算P(B)核心：找到合適的分割！其與問題的實(shí)際背景有關(guān)。全概率公式(續(xù))2021-11-12第 1 章 樣本空間與概率 1.3 全概率公式和Bayes定理8Bayes定理與因果推理Thomas Bayes(1702-1761)2021-11-12第 1 章 樣本空間與概率 1.3 全概率公式和Bayes定理9先驗(yàn)(prior)概率后驗(yàn)(posterior)概率似然性(likelihood)后驗(yàn)概率正比例于先驗(yàn)概率乘以似然性抽簽原理2021-11

7、-12第 1 章 樣本空間與概率 1.3 全概率公式和Bayes定理10例16 (賭牌游戲)有三張牌. 一張兩面都是紅的，一張兩面都是黑的，一張是一面黑一面紅. 隨機(jī)取出一張，如果朝上的一面是紅的，問反面是黑的的概率是多少？例17 (抽簽原理)n個(gè)簽中有m個(gè)有獎(jiǎng). 有放回的抽簽：任一次中獎(jiǎng)的概率為m/n. 無放回的隨機(jī)抽簽，任一次的中獎(jiǎng)概率也是m/n. 即抽獎(jiǎng)與次序無關(guān)！解答. 對于無放回情形：Ak 表示事件“第 k 次中獎(jiǎng)”. 法一. 數(shù)學(xué)歸納法. 法二. 直接法. 假陽性之謎2021-11-12第 1 章 樣本空間與概率 1.3 全概率公式和Bayes定理11例18 (假陽性之謎)設(shè)對于某

8、種少見的疾病的檢出率為0.95(有病時(shí)檢查結(jié)果為陽性的概率為0.95；無病時(shí)檢查結(jié)果為陰性的概率是0.95). 現(xiàn)假定某人群患這種病的概率為0.001，并從這個(gè)總體中隨機(jī)地抽取一個(gè)人進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果為陽性. 問這個(gè)人患這種病的概率有多大？ 醫(yī)學(xué)里診斷疾病時(shí)對某種化驗(yàn)結(jié)果或試驗(yàn)結(jié)果分為陽性(+)和陰性(-). 陽性表示體內(nèi)有某種病原體存在或者對某種藥物有過敏反應(yīng).根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)人(The Economist)1999年2月20的報(bào)導(dǎo)，在一家美國著名的大醫(yī)院中80%的受訪者不知道這類問題的正確答案，而大部分人的答案是0.95!a) 0.05以下 b) 0.06-0.20 c) 0.21-0.94 d

9、) 0.95罕見病的普查結(jié)果為陽性，則更可能是假陽性！兩個(gè)事件的獨(dú)立性2021-11-12第 1 章 樣本空間與概率 1.4 獨(dú)立性12條件概率 刻畫了事件B的發(fā)生帶給事件A的信息. P A| B感興趣的特殊情況：沒有帶來新的信息，即 P A| BP A P ABP A P B 稱事件A與B是相互獨(dú)立的如果 ，稱事件A與B是相互獨(dú)立的.若 ，則獨(dú)立性等價(jià)于 . P ABP A P B 0P B P A| BP A 兩個(gè)事件的獨(dú)立性(續(xù))2021-11-12第 1 章 樣本空間與概率 1.4 獨(dú)立性13如果 ，稱事件A與B是相互獨(dú)立的.若 ，則獨(dú)立性等價(jià)于 . P ABP A P B 0P B

10、P A| BP A l 人們易于從直觀判斷獨(dú)立性. 例如兩個(gè)不同的并且沒有相互作用的物理過程的控制下發(fā)生的兩個(gè)事件.l 通常不能直觀地從樣本空間中的事件看出來獨(dú)立性.例19 擲兩枚硬幣，假設(shè)四種結(jié)果等可能出現(xiàn). H1 表示“第一枚硬幣正面”，H2表示第二枚硬幣正面朝上，D表示“兩次的結(jié)果不相同”. 分析H1與H2 ， H1與D， H2與 D 的獨(dú)立性.若事件A與B互不相容，則事件A與B獨(dú)立？必然事件與任何事件獨(dú)立；不可能事件與任何事件獨(dú)立.若A與B獨(dú)立，則A與 獨(dú)立， 與 B 獨(dú)立, 與 獨(dú)立.BABA多個(gè)事件的獨(dú)立2021-11-12第 1 章 樣本空間與概率 1.4 獨(dú)立性14例19(續(xù))

11、 擲兩枚硬幣，假設(shè)四種結(jié)果等可能出現(xiàn). H1 表示“第一枚硬幣正面”，H2表示第二枚硬幣正面朝上，D表示“兩次的結(jié)果不相同”. 分析H1H2與D 的獨(dú)立性.如果 P ABP A P B ,P ACP A P C , P BCP B P C ,P ABCP A P B P C則稱事件A，B，C是相互獨(dú)立的.設(shè) 為n個(gè)事件. 若它們滿足 ,1nAAL(), ,., , 1iii Si SPAP ASn則 是相互獨(dú)立的事件.,1nAAL事件 兩兩獨(dú)立不蘊(yùn)含它們是相互獨(dú)立的事件.,1nAAL事件獨(dú)立時(shí)的性質(zhì)2021-11-12第 1 章 樣本空間與概率 1.4 獨(dú)立性 1.4.2 一組事件的獨(dú)立15若事件 相互獨(dú)立，則(1) 事件 相互獨(dú)立，其中 為 或 ， .(2) 將這n個(gè)事件任意分成兩組后所得到的兩個(gè)乘積事件也是獨(dú)立的.,1nAAL,1nBBLiBiAiA, 1inL例20 (三個(gè)臭皮匠頂個(gè)諸葛亮)三個(gè)人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能破譯的概率分別為0.5, 0.6, 0.8，求至少有一個(gè)人能將密碼破譯出來的概率.系統(tǒng)的可靠性2021-11-12第 1 章 樣本空間與概率 1.4 獨(dú)立性 1.4.3 可靠性16由若干元件組成的系統(tǒng)的可靠度由元件的可靠性和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)(網(wǎng)絡(luò))共同決定的.基本假定：所有元件是相互獨(dú)立的，且能正常工作的概率為 . ,.