包括第一二類曲線積分

1、1問題的提出問題的提出對(duì)弧長的曲線積分的概念對(duì)弧長的曲線積分的概念幾何意義與物理意義幾何意義與物理意義對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)第一節(jié)第一節(jié) 第一類曲線積分第一類曲線積分第十章第十章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分2概述：重積分是對(duì)定積分從維數(shù)上的推廣重積分是對(duì)定積分從維數(shù)上的推廣(指被積函數(shù)和積分區(qū)域指被積函數(shù)和積分區(qū)域).而曲線積分和曲面積分則是對(duì)積分而曲線積分和曲面積分則是對(duì)積分區(qū)域區(qū)域“由平直到彎曲由平直到彎曲”的推廣的推廣教材僅對(duì)曲線積分做了簡(jiǎn)單介紹教材僅對(duì)曲線積分做了簡(jiǎn)單介紹主要內(nèi)容分兩部分：主要內(nèi)容分兩部分：對(duì)弧長的曲線積分

2、，這是第一型曲線積分；對(duì)弧長的曲線積分，這是第一型曲線積分；對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，這是第二型曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，這是第二型曲線積分3一、問題的提出實(shí)例實(shí)例sM 勻質(zhì)勻質(zhì)之質(zhì)量之質(zhì)量分割分割121, nMMM,),(iiis 取取iiiisM ),(求和求和 niiiisM1 ),(取極限取極限M取近似取近似曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量近似值近似值精確值精確值對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分 niiiis1 ),( 0lim Oxy2M1 nMABLis 1 iM),(ii 1MiM4二、對(duì)弧長的曲線積分的概念二、對(duì)弧長的曲線積分的概念1.1.定義定義設(shè)設(shè)L為為 xOy面內(nèi)一條光滑曲線弧面

3、內(nèi)一條光滑曲線弧,is 為為又又),(ii ,),(iiisf ,),(1 niiiisf 在在L上有界上有界.),(yxf函數(shù)函數(shù)作乘積作乘積并作和并作和如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值,0時(shí)時(shí) 對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分在在L上任意插入一點(diǎn)列上任意插入一點(diǎn)列把把L分成分成n個(gè)小段個(gè)小段.設(shè)第設(shè)第i個(gè)小段的個(gè)小段的第第i個(gè)小段上任意取定的個(gè)小段上任意取定的長度為長度為一點(diǎn)一點(diǎn),Oxy2M1 nMABLis 1 iM),(ii 1MiM121,nM MM5曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量 LsyxMd),( ,d),( Lsyxf即即 Lsyxfd),(這和的極限

4、存在這和的極限存在, 則稱此極限為則稱此極限為),(yxf函數(shù)函數(shù)在曲線弧在曲線弧 L 對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分或或第一類曲線積分第一類曲線積分. . 積分和式積分和式被積函數(shù)被積函數(shù) 弧元素弧元素積分弧段積分弧段記作記作 niiiisf1),( niiiisf1),( 對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分0lim 注意: 被積表達(dá)式都定義在曲線上,即滿足曲線的方程.62. 存在條件存在條件上上在光滑曲線弧在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng)Lyxf),(3. 推廣推廣上上在空間曲線弧在空間曲線弧函數(shù)函數(shù) ),(zyxf szyxfd),(.d),(存在存在 Lsyxf對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分連續(xù)連續(xù)

5、, ,對(duì)弧長的曲線積分為對(duì)弧長的曲線積分為iniiiisf 10),(lim對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分7注意注意,)()1(是是分分段段光光滑滑的的或或若若 L 21d),(LLsyxf在在函函數(shù)數(shù)),()2(yxf Lsyxfd),()(21LLL 1d),(Lsyxf 2d),(Lsyxf閉曲線閉曲線L L上上對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分記作記作(對(duì)路徑具有可加性對(duì)路徑具有可加性)對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分84. 性質(zhì)性質(zhì) Lsyxgyxfd),(),( LLsyxfsyxkfd),(d),(1) LLsyxgsyxfd),(d),(2)( 為常數(shù)為常數(shù)kk(3) 與積分路

6、徑的方向無關(guān)與積分路徑的方向無關(guān),即即 Lsyxfd),( Lsyxfd),()(AB)(BA對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分9 在一條光滑在一條光滑(或分段光滑或分段光滑)的的是是L上上關(guān)于關(guān)于x 的奇函數(shù)的奇函數(shù) Lsyxfd),(是是L上關(guān)于上關(guān)于x 的偶函數(shù)的偶函數(shù) ,d),(21 LsyxfL1是曲線是曲線L落在落在y 軸一側(cè)的部分軸一側(cè)的部分.在分析問題和算題時(shí)常用的在分析問題和算題時(shí)常用的L關(guān)于關(guān)于x=0 對(duì)稱對(duì)稱,補(bǔ)充補(bǔ)充對(duì)稱性質(zhì)對(duì)稱性質(zhì)曲線曲線L上連續(xù)上連續(xù), ),(yxf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)則則, 0當(dāng)當(dāng)),(yxf(或或y)(或或y)當(dāng)當(dāng)),(yxf(或或y=0)(或或x) 運(yùn)用

7、對(duì)稱性簡(jiǎn)化對(duì)弧長的曲線積分運(yùn)用對(duì)稱性簡(jiǎn)化對(duì)弧長的曲線積分計(jì)算時(shí)計(jì)算時(shí), 應(yīng)同時(shí)考慮被積函數(shù)應(yīng)同時(shí)考慮被積函數(shù) 與積與積分曲線分曲線L的對(duì)稱性的對(duì)稱性.),(yxf對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分 10例例 Lsyx.d)(3其中其中L是圓周是圓周.222Ryx 解解 LLsysxdd3 Lsyxd)(3,d Lsx對(duì)對(duì)因因積分曲線積分曲線L關(guān)于關(guān)于被積函數(shù)被積函數(shù)x是是L上上0d Lsx Lsy,d3對(duì)對(duì)被積函數(shù)被積函數(shù)0d3 Lsy因因積分曲線積分曲線L關(guān)于關(guān)于3y222Ryx 對(duì)稱性對(duì)稱性, ,計(jì)算計(jì)算得得0 是是L上上 x=0對(duì)稱對(duì)稱,關(guān)于關(guān)于x的奇函數(shù)的奇函數(shù) y=0對(duì)稱對(duì)稱,關(guān)于關(guān)于

8、y的奇函數(shù)的奇函數(shù)對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分xyO11三、對(duì)弧長曲線積分的計(jì)算定理定理),()()( ttytxL的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為上上在在曲曲線線弧弧設(shè)設(shè)Lyxf),(上上在在,)(),( tt其中其中且且 f),(t )(t )( 有定義且連續(xù)有定義且連續(xù),具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), Lsyxfd),( 解法解法 化為參變量的化為參變量的定積分定積分計(jì)算計(jì)算對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分注意注意對(duì)弧長的曲線積分要求對(duì)弧長的曲線積分要求0d s(1)化為定積分的下限化為定積分的下限一定要小于上限一定要小于上限 22( )( )dttt(2) 積分值與曲線方向無關(guān)積分值與

9、曲線方向無關(guān).12特殊情形特殊情形bxaxyL ),(: Lsyxfd),()(ba xxsd)(1d2 baxf,(1)xx d)(12 )(x 對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分),()()( ttytxL的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為dycyxL ),(: Lsyxfd),()(dc (2) dcyyf),( yysd)(1d2 yy d)(12 f),(t )(t )( Lsyxfd),( 22( )( )dttt13 Lsyxfd),( d)()(sin)(,cos)( 22f),(: L (3)對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分),()()( ttytxL的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為特殊情形特殊

10、情形)()(),(),(: ttztytx推廣推廣 szyxfd),(tttttttfd)()()()(),(),(222 )( f),(t )(t )( Lsyxfd),( 22( )( )dttt14 ),(),(yxgzyxfz 0),(0),(21zyxzyx 或或此時(shí)需把它化為此時(shí)需把它化為參數(shù)方程參數(shù)方程中中某某一一個(gè)個(gè)選選擇擇zyx,(再按上述方法計(jì)算再按上述方法計(jì)算.對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分為參數(shù)為參數(shù)),L如果積分路徑 是兩個(gè)曲面的交線15例例1解解例例2)20(.,sin,cos:,d 的一段的一段其中其中求求kzayaxsxyzI解解 kaI 202sincos2

11、2221kaka .)2 , 2(2,d2的的一一段段上上自自原原點(diǎn)點(diǎn)到到為為其其中中求求xyLsyIL 20yI)155(31 xy22 )20( y22yx d22ka yy d12 對(duì)對(duì)x積分積分?)2 , 2( 對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分xy22 xyO16例例3).0(222 xRyxABCL解解xysd1d2 xyyxd222 xyRd| Lsy d|xyRyRd|0 xyRyRd|0 22R 的的如如圖圖半半圓圓周周由由曲曲線線)(ABCL ABsy d| BCsy d|對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分得得xyO|d ,LysL計(jì)算其中 是右半圓周 即222,xyR方程17

12、即即是右半圓周是右半圓周其中其中計(jì)算計(jì)算,d|LsyL ).0(222 xRyx解此題時(shí)也可用解此題時(shí)也可用,軸軸對(duì)對(duì)稱稱關(guān)關(guān)于于xL故故 Lsy d|2xyRd22R sydAB,|的偶函數(shù)的偶函數(shù)為為yy Ry02對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分對(duì)稱性質(zhì)對(duì)稱性質(zhì)ABCLxyO18例例4 . 0,d22222zyxazyxsxI為圓周為圓周其中其中求求 解解 由于由于 szsysxddd222 I sad32323a ),d2(球面大圓周長球面大圓周長 sa有有 szyxd)(22231對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分 的方程中的的方程中的x, y, z的地位完全的地位完全對(duì)稱對(duì)稱, 19例

13、例5 曲線曲線是中心在是中心在( ,0),R半徑為R的上半圓周的上半圓周.求求22()xyds對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分提示提示:用極坐標(biāo)用極坐標(biāo)20,1),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yxf( , )f x yL當(dāng)表示位于 上的 SsL),(yxfz 幾何意義幾何意義 Lsd(1)(2),),(處的高時(shí)處的高時(shí)柱面在點(diǎn)柱面在點(diǎn)yx對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分四、幾何四、幾何意義意義與與物理物理意意義義 Lsyxfd),(柱面面積柱面面積弧長弧長 L21則則為為下下半半圓圓周周設(shè)設(shè)平平面面曲曲線線,12xyL ).(d)(22 syxL曲線積分曲線積分 解解 設(shè)下半圓周的參數(shù)方程設(shè)下半圓周的參數(shù)方程

14、 sin,cos yx則則syxLd)(22 )sin(cos22 d)(cos)sin(22 2對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分通過幾何直觀通過幾何直觀,還有更簡(jiǎn)單的方法嗎還有更簡(jiǎn)單的方法嗎?22例例6 求橢圓柱面求橢圓柱面22221, (0,0)xyxyab介于介于xoy平面與空間曲面平面與空間曲面xyzc之間部分的面積之間部分的面積.提示提示:2222:1LxyxyAdsLcab23軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量軸軸及及曲曲線線弧弧對(duì)對(duì)yx)2(,d2 LxsyI 曲曲線線弧弧的的質(zhì)質(zhì)心心坐坐標(biāo)標(biāo))3(,dd LLssxx 的線密度時(shí)的線密度時(shí)表示表示當(dāng)當(dāng)Lyx),()( 1 LsyxMd),

15、( 物理意義物理意義 LysxId2 LLssyydd 對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分24例例6 已知螺旋形彈簧一圈已知螺旋形彈簧一圈的方程的方程:cossin ,02xatyattzbt 彈簧上各點(diǎn)處的線密度等于該點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方彈簧上各點(diǎn)處的線密度等于該點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方,求求(1) 它的質(zhì)量它的質(zhì)量;(2) 它的重心它的重心;(3) 它關(guān)于它關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分25對(duì)弧長曲線積分的概念對(duì)弧長曲線積分的概念 對(duì)弧長曲線積分的計(jì)算公式對(duì)弧長曲線積分的計(jì)算公式對(duì)弧長曲線積分的應(yīng)用對(duì)弧長曲線積分的應(yīng)用對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分五、小結(jié)五、小結(jié)

16、(四步四步:分割、取近似、求和、取極限）分割、取近似、求和、取極限）(弧長曲線給出幾種不同形式方程的計(jì)算公式弧長曲線給出幾種不同形式方程的計(jì)算公式)(曲線的質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量曲線的質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、引力)26思考題思考題 是非題是非題 對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分,當(dāng)利用參數(shù)方程化為當(dāng)利用參數(shù)方程化為定積分計(jì)算時(shí)定積分計(jì)算時(shí),不管起點(diǎn)還是終點(diǎn)不管起點(diǎn)還是終點(diǎn),其下限為較其下限為較小端點(diǎn)的參數(shù)值小端點(diǎn)的參數(shù)值,上限為較大端點(diǎn)的參數(shù)值上限為較大端點(diǎn)的參數(shù)值.是是對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分27作作 業(yè)業(yè)習(xí)題習(xí)題9.1 (1709.1 (170頁頁) )(A)2.(4) 4. (

17、B)1. 2. 對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分28第二節(jié)第二節(jié) 第二類曲線積分第二類曲線積分-向量值函數(shù)向量值函數(shù)在在定向曲線上定向曲線上的積分的積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系29oxyABL問題的提出問題的提出1 nMiM1 iM2M1Mix iy 實(shí)例實(shí)例: : 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),( 常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(11jy

18、ixMMMMiiiiii 弧弧.ABFW 30求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取極限取極限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精確值精確值,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取,),(1iiiiiMMFW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 31一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 （第二類曲線積分）（第二類曲線積分）的概念的概念,0.),(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111時(shí)時(shí)長度的

19、最大值長度的最大值如果當(dāng)各小弧段如果當(dāng)各小弧段上任意取定的點(diǎn)上任意取定的點(diǎn)為為點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)個(gè)有向小弧段個(gè)有向小弧段分成分成把把上的點(diǎn)上的點(diǎn)用用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)向光滑曲線弧向光滑曲線弧的一條有的一條有到點(diǎn)到點(diǎn)面內(nèi)從點(diǎn)面內(nèi)從點(diǎn)為為設(shè)設(shè) iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.1.定義定義32.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 記作記作或稱第二類曲線積分）或稱第二類曲線積分）曲線積分曲線積分的的上對(duì)坐標(biāo)上對(duì)坐標(biāo)在有向曲線弧在有向曲線弧則稱此極限為函數(shù)則稱此極限

20、為函數(shù)的極限存在的極限存在類似地定義類似地定義.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫做被積函數(shù)叫做被積函數(shù)其中其中yxQyxP.叫積分弧段叫積分弧段L332.2.存在條件：存在條件：.,),(),(第二類曲線積分存在第二類曲線積分存在上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí)在光滑曲線弧在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng)LyxQyxP3.3.組合形式組合形式 LLdyyxQdxyxP),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其其中中. LdsF LdyyxQdxyxP),(),(為簡(jiǎn)便起見為簡(jiǎn)便起見或者向量形式或者向量形式344.4.推廣推廣 空間有向曲線弧空間有向曲線弧.),(lim),(10iiini

21、ixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 355.5.性質(zhì)性質(zhì). ,)2(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL則則和和分成分成如果把如果把則則方方向向相相反反的的有有向向曲曲線線弧弧是是與與是是有有向向曲曲線線弧弧設(shè)設(shè), ,)3(LLL 即即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān)與曲線的方向有關(guān). . LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(1) (1) 線性性質(zhì)線性性質(zhì)36二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算,

22、),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存存在在則則曲曲線線積積分分且且續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)一一階階連連為為端端點(diǎn)點(diǎn)的的閉閉區(qū)區(qū)間間上上具具有有及及在在以以運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)到到終終點(diǎn)點(diǎn)沿沿的的起起點(diǎn)點(diǎn)從從點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)到到變變單單調(diào)調(diào)地地由由當(dāng)當(dāng)參參數(shù)數(shù)的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為續(xù)續(xù)上上有有定定義義且且連連在在曲曲線線弧弧設(shè)設(shè) LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理37dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 且且證明證明: 下面先證下面先證 LxyxPd),(tttPd )(),( )(t 根據(jù)

23、定義根據(jù)定義 LxyxPd),( niiiixP10),(lim 對(duì)應(yīng)參數(shù)對(duì)應(yīng)參數(shù)設(shè)分點(diǎn)設(shè)分點(diǎn)ix,it),(ii 點(diǎn)點(diǎn),i 由于由于1 iiixxx)()(1 iitt iit )( 對(duì)應(yīng)參數(shù)對(duì)應(yīng)參數(shù)38LxyxPd),(tttPd )(),(niiiP10)(, )(limiit)(niiiP10)(, )(limiit)()(t連續(xù)所以)(t因?yàn)橐驗(yàn)長 為光滑弧為光滑弧 ,同理可證同理可證LyyxQd),(tttQd )(),()(t39特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，終點(diǎn)為，終點(diǎn)為起點(diǎn)為起點(diǎn)為 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 則則.)(:)2

24、(dcyyxxL，終點(diǎn)為，終點(diǎn)為起點(diǎn)為起點(diǎn)為 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 則則40.,)()()(:)3( 終點(diǎn)終點(diǎn)起點(diǎn)起點(diǎn)推廣推廣ttztytx dtttttRttttQttttPdzyxRdyyxQdxyxP)()(),(),( )()(),(),( )()(),(),(),(),(),( 41例例1:1:.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線為拋物線其中其中計(jì)算計(jì)算BAxyLxydxL 解解: :的定積分，的定積分，化為對(duì)，化為對(duì)方法方法x1.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232

25、dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B42的定積分，的定積分，化為對(duì)，化為對(duì)方法方法y2,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到從從 y 1142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B43.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直線段的直線段軸到點(diǎn)軸到點(diǎn)沿沿從點(diǎn)從點(diǎn)的上半圓周的上半圓周針方向繞行針方向繞行、圓心為原點(diǎn)、按逆時(shí)、圓心為原點(diǎn)、按逆時(shí)半徑為半徑為為為其中其中計(jì)算計(jì)算aBxaAaLdxyL 例例2:2:解解: :,sincos:)1( ayaxL，變到變到從從 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原式原式 daa)sin(s

26、in22 03a)(cos)cos1(2 d .343a 32022234)(2)(adxxadxxaaaa 或或44)0 ,(aA)0 ,( aB , 0:)2( yL，變到變到從從aax aadx0原式原式. 0 本題結(jié)論：本題結(jié)論：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同， 但路徑不同積分結(jié)果不同但路徑不同積分結(jié)果不同. .45例例3:3:).1 , 1(),0 , 1( )0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是點(diǎn)依次是點(diǎn)，這里，這里有向折線有向折線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線的一段弧

27、的一段弧到到上從上從拋物線拋物線為為其中其中計(jì)算計(jì)算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解: :.)1(的積分的積分化為對(duì)化為對(duì) x, 10,:2變到變到從從xxyL 1022)22(dxxxxx原式原式 1034dxx. 1 46) 0 , 1 (A)1 ,1(B2yx .)2(的積分的積分化為對(duì)化為對(duì) y,10,:2變到變到從從yyxL 1042)22(dyyyyy原式原式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式47,上上在在 OA,10, 0變到變到從從xy

28、1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1變變到到從從yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B本題結(jié)論本題結(jié)論：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同， 但路徑不同而積分結(jié)果相同但路徑不同而積分結(jié)果相同.48三、三、 兩類曲線積分之間的聯(lián)系：兩類曲線積分之間的聯(lián)系：,)()( tytxL ：設(shè)有向平面曲線弧為設(shè)有向平面曲線弧為,),( 為為處的切線向量的方向角處的切線向量的方向角上點(diǎn)上點(diǎn)yxL LLdsQPQdyPdx)coscos( 則則其中其中22( )c

29、os,( )( )ttt 22( )cos,( )( )ttt 當(dāng)當(dāng)L的方向是的方向是t增加的方增加的方向時(shí)取正號(hào)，是向時(shí)取正號(hào)，是 t減少減少的方向時(shí)取負(fù)號(hào)。的方向時(shí)取負(fù)號(hào)。49類似地, 在空間曲線 上的兩類曲線積分的聯(lián)系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令tAsAtd, ),(RQPA )d,d,(ddzyxs )cos,cos,(cost sA d sA dstAd記 A 在 t 上的投影為50例例4.4.將積分將積分yyxQxyxPLd),(d),( 化為對(duì)弧長的積化為對(duì)弧長的積分分,0222 xyx).0 , 2()0 , 0(BO到到從從解：解：oyxB,22xxy

30、xxxxyd21d2 sdxyd12 xxxd212 sxddcos ,22xx syddcos x 1 yyxQxyxPLd),(d),( syxQyxPLd),(),( 22xx )1 (x 其中其中L 沿上半圓周沿上半圓周51(2,0)(0,0).BO到若改成從若改成從( , )d( , )d =LP x yxQ x yy syxQyxPLd),(),( 22-xx（）(1 )-x（）52小結(jié)小結(jié)1、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念2、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系、兩類曲線積分之間的聯(lián)系53思考題思考題答：答：曲線方向由參數(shù)的變化方向而定

31、曲線方向由參數(shù)的變化方向而定. .例如例如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中中54一、格林公式二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、二元函數(shù)的全微分求積10.3 格林公式及其應(yīng)用上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁55一、格林公式v單連通與復(fù)連通區(qū)域 v區(qū)域的邊界曲線的方向 當(dāng)觀察者沿區(qū)域D的邊界曲線L行走時(shí) 如果左手在區(qū)域D內(nèi) 則行走方向是L的正向 單連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域下頁 設(shè)D為平面區(qū)域 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D 則稱D為平面單連通區(qū)域 否則稱為復(fù)連通區(qū)域 56LDQdyPdxdxdyyPxQ)( v定理1 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成 函數(shù)P(x y)及Q(x y)在

32、D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 則有 其中L是D的取正向的邊界曲線 格林公式 定理證明應(yīng)注意的問題: 對(duì)復(fù)連通區(qū)域D 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分 且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向 下頁57提示: 格林公式: v用格林公式計(jì)算區(qū)域的面積 下頁LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L 則DLdxdyxdyydx2 或在格林公式中 令Py Qx 則有 LydxxdyA21 或LDydxxdydxdyA21 58格林公式: v用格林公式計(jì)算區(qū)域的面積 例1 求橢圓xacos ybsin 所圍成圖形的面積A LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L 則

33、LydxxdyA21 解 設(shè)L是由橢圓曲線 則 LydxxdyA212022)cossin(21dabababdab2021LydxxdyA212022)cossin(21dabab abdab2021 下頁59提示:因此 由格林公式有 下頁LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 格林公式: v用格林公式計(jì)算二重積分 例 2 計(jì)算Dydxdye2 其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1) 為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域 解 要使2yeyPxQ 只需 P0 2yxeQ 令 P0 2yxeQ 則2yeyPxQ 60因此 由格林公式有 下頁LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 格林公式: v用格

34、林公式計(jì)算二重積分 例 2 計(jì)算Dydxdye2 其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1) 為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域 解 BOABOAyDydyxedxdye22)1 (2111022edxxedyxexOAy)1 (2111022edxxedyxexOAy)1 (2111022edxxedyxexOAy BOABOAyDydyxedxdye22 令 P0 2yxeQ 則2yeyPxQ 61v用格林公式求閉曲線積分 令P2xy Qx2 則 證 因此 由格林公式有 下頁LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 格林公式: 例3 設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線 證明 Ldyxxydx022

35、 022xxyPxQ 0022dxdydyxxydxDL0022dxdydyxxydxDL 62提示: 解 yPyxxyxQ22222)( 022Lyxydxxdy 下頁 例 4 計(jì)算Lyxydxxdy22 其中 L 為一條無重點(diǎn)、分段光滑且 不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線 L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向 當(dāng)(0 0)D時(shí) 由格林公式得 記L所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈 這里22yxyP 22yxxQ 當(dāng)x2y20時(shí) 有 63在D內(nèi)取一圓周l: x2y2r2(r0) 例 4 計(jì)算Lyxydxxdy22 其中 L 為一條無重點(diǎn)、分段光滑且 不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線 L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向 當(dāng)(0 0)D時(shí) 解 記L所圍成的閉區(qū)

36、域?yàn)镈 記L及l(fā)所圍成的復(fù)連通區(qū)域?yàn)镈1 應(yīng)用格林公式得0)(122 dxdyyPxQyxydxxdyDlL 其中l(wèi)的方向取順時(shí)針方向 于是 lLyxydxxdyyxydxxdy22222022222sincosdrrrlLyxydxxdyyxydxxdy22222022222sincosdrrr2 64二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件v曲線積分與路徑無關(guān) 下頁 設(shè)G是一個(gè)開區(qū)域 P(x y)、Q(x y)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 21LLQdyPdxQdyPdx與路徑無關(guān) 否則說與路徑有關(guān) 如果對(duì)于G內(nèi)任意指定的兩個(gè)點(diǎn)A、B以及G內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的任意兩條曲線L1、L2 等式恒成立 就說

37、曲線積分LQdyPdx在 G 內(nèi) 65二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件v曲線積分與路徑無關(guān) 這是因?yàn)?設(shè)L1和L2是G內(nèi)任意兩條從點(diǎn)A到點(diǎn)B的曲線 則L1(L2)是G內(nèi)一條任意的閉曲線 而且有021LLQdyPdxQdyPdx 0)(21 LLQdyPdx 21LLQdyPdxQdyPdx021LLQdyPdxQdyPdx 意閉曲線 C 的曲線積分LQdyPdx等于零曲線積分LQdyPdx在 G 內(nèi)與路徑無關(guān)相當(dāng)于沿G 內(nèi)任下頁66在 G 內(nèi)恒成立xQyP閉曲線的曲線積分為零)的充分必要條件是等式數(shù) 則曲線積分LQdyPdx在 G 內(nèi)與路徑無關(guān)(或沿 G 內(nèi)任意設(shè)函數(shù)P(x y)及Q(x y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件v曲線積分與路徑無關(guān) v定理2 (曲線積分與路徑無關(guān)的判斷方法) 下頁定理證明 意閉曲線 C 的曲線積分LQdyPdx等于零曲線積分LQdyPdx在 G 內(nèi)與路徑無關(guān)相當(dāng)于沿G 內(nèi)任67v應(yīng)用定理2應(yīng)注意的問題 (1)區(qū)域G是單連通區(qū)域 2函數(shù)P(x y)及Q(x y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)