應用有限差分法計算方同軸線的特性阻抗

1、應用有限差分法計算方同軸線的特性阻抗熊江（電子科技大學物理電子學院 成都 610054）【摘要】 在MATLAB上應用計算電磁學中的有限差分法，通過計算方同軸線主模的電位分布，進而求出特性阻抗。討論了特性阻抗隨方同軸線幾何參數(shù)的變化，并用多項式擬合給出了隨的變化關系式。同時，還討論了對場域進行離散化的網(wǎng)格由于其劃分的粗細程度不同對結(jié)果造成的影響。關鍵詞 有限差分法；超松弛迭代法；方同軸線；特性阻抗；計算電磁學Intrinsic Impedance Calculation of Quadrate Coaxial Line using Finite Difference MethodXIONG J

2、iang(School of Physical Electronics, UEST of China Chengdu 610054)Abstract Using finite difference method in the computational electromagnetics on MATLAB, the voltage of quadrate coaxial line is caculated, and then the intrinsic impedance is attained. The change of intrinsic impedance , followed by

3、geometrical parameter , is discussed, and the expression of and is also given by polynomial fit. The influence to the results, caused by different thickness of griddings which is used to disperse the field, is also discussed.Key words finite difference method; 超松弛迭代法; quadrate coaxial line; intrinsi

4、c impedance; computational electromagnetics1 方同軸線方同軸線的結(jié)構(gòu)與常見的圓同軸線相類似，都是雙導體系統(tǒng)，主模為TEM模，不同的是方同軸線的內(nèi)外導體均是正方形。圖1給出了兩種方同軸線的橫截面圖。其中，a和b是描述方同軸線的幾何參數(shù)，a是內(nèi)外導體之間的間隙，2b是外導體的邊長。本文計算如圖1（a）所示的方同軸線的TEM模特性阻抗隨的變化，并用多項式擬合出與的關系。YYbbXXaa(b)(a)圖1 兩種方同軸線的橫截面圖2 對計算結(jié)果的預測通過與已有的圓同軸線特性阻抗公式的類比，可以對計算結(jié)果作出初步的預測。圓同軸線的特性阻抗為：， （1）其中，是內(nèi)外

5、導體的電位差，是流過內(nèi)導體的電流，是自由空間的本征導納；a和b分別是內(nèi)外導體間距和外導體的半徑。根據(jù)（1）式可以畫出圓同軸線與的關系曲線，如圖2所示。隨按照對數(shù)函數(shù)關系單調(diào)地增加，其值從零到無窮大。對于要計算的方同軸線，可以估計，其隨地變化趨勢與圓同軸線類似，但由于時，圖1（a）所示的方同軸線內(nèi)外導體不會完全重合，還留有一些空隙，故不會為零，應該為一個有限的小值。圖2 圓同軸線的關系3 特性阻抗的計算過程3.1 場域的離散化及邊界條件 將所要求解的場域用正方形網(wǎng)格進行離散化，并給定邊界條件為內(nèi)導體電位，外導體電位。有一點需要注意：若將場域劃分為20×20的網(wǎng)格，則在討論的不同取值時，

6、只取，即只精確到0.1；若劃分為80×80的網(wǎng)格，則取。這樣做的好處時保證了內(nèi)導體的邊緣始終落在網(wǎng)格點上，無需對邊界條件再作其它處理。在計算過程中，我們實際采用了20×20，40×40，80×80，120×120，160×160和200×200這6種網(wǎng)格。3.2 計算內(nèi)外導體的電位分布內(nèi)外導體間的電位分布由拉普拉斯方程描述：。 （2）對取樣點電位的計算采用超松弛迭代法，其差分格式為：。 （3）由于在這個問題中，場域內(nèi)無源，故，（3）式簡化為：。 （4）選用的正方形網(wǎng)格時，松弛因子的最佳值與網(wǎng)格每邊節(jié)點數(shù)有關，與的關系為：。

7、（5）例如對于120×120的網(wǎng)格，1.95。收斂指標的規(guī)定如下：當網(wǎng)格內(nèi)各取樣點相鄰兩次迭代近似值的絕對誤差的絕對值均小于0.0001時終止迭代。3.3 求解場域內(nèi)的電場和磁場根據(jù)電場和電位的關系：，具體在本例中， （6）即任一取樣點處的電場x方向分量，y方向分量?？梢岳弥行牟罘謱⑵珜?shù)轉(zhuǎn)化為差分，即： （7） （8）由于網(wǎng)格的步長h=1，所以以上（7）（8）兩式就簡化為： (9) (10)在求出每個取樣點的，后，就可以畫出電場矢量圖，如圖3。同時，各個取樣點處的電場大小也可以求出： 。 （11）圖3 通過電位求得的電場分布圖根據(jù)TEM電磁波電場和其相伴磁場的關系，可以求出各個取

8、樣點處的磁場：， （12）， （13）以及磁場大?。骸?（14）圖4給出了磁場的分布。圖4 通過電場求得的磁場分布3.4 計算內(nèi)導體中流過的電流和該方同軸線在給定幾何參數(shù)下的特性阻抗根據(jù)安培環(huán)路定律：， （15）原則上可以選取包圍內(nèi)導體的任意閉合路徑對磁場進行曲線積分。但為了計算簡便，可以考慮選取如下兩種路徑：一是緊貼內(nèi)導體的逆時針回路，二是緊貼外導體的逆時針回路，如圖5所示。下面分別稱之為路徑一和路徑二。圖5 計算電流的兩種積分路徑選取這兩種路徑的好處在于磁場矢量方向與路徑微元矢量方向始終大致相同，這就可以將（15）式的矢量場曲線積分簡化為標量場曲線積分：。 （16）這里要說明一下，通過對以

9、上兩種路徑積分比較計算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)路徑二更準確。圖6給出了利用20×20網(wǎng)格分別用上述兩種路徑計算得到的隨的變化曲線?？梢钥闯?，在較小時，兩條曲線還是比較接近的，但是隨著的增大，兩條曲線出現(xiàn)了差異且越來越大。通過和圓同軸線的結(jié)論比較，當時，知，路徑二的結(jié)果更合理。這一結(jié)果可以借助圖7來解釋。圖7所示的是時的磁場分布圖，可見路徑二上總共有72 個點，而路徑一上只有12 個。在這種較大的情況下，用路徑一上僅有的幾個取樣點來描述該路徑上的磁場就顯得比較粗糙了。圖6 利用20×20網(wǎng)格用兩種閉合路徑積分計算得到的隨的變化曲線圖7 20×20網(wǎng)格，時的磁場分布圖由于內(nèi)外導

10、體之間的電壓設為1，根據(jù)同軸線特性阻抗的定義： 。 （17） 只要給定一個值，即給定方同軸線橫截面的幾何形狀，就可以求出對應的值。3.5 擬合隨變化的多項式在同一個網(wǎng)格劃分下，改變的值，就可以求出與一一對應的。表1給出了120×120的網(wǎng)格下，和的關系，從0.0167到0.9833共59組數(shù)據(jù)，其曲線圖由圖8給出。與第2部分的預測比較，計算得出的結(jié)果是比較合理的：隨單調(diào)地增加，其變化趨勢和圓同軸線的對數(shù)關系相近；在時而在時為一個小量但不會為零。0.0167 0.03330.05000.06670.08330.10000.11670.13330.1500 0.166711.0947 1

11、1.374113.443715.187916.778618.283819.737221.158922.5616 23.95440.1833 0.20000.21670.23330.25000.26670.28330.30000.31670.333325.3442 26.736828.136429.546730.971432.411833.872835.355036.863338.39850.3500 0.36670.38330.40000.4167 0.43330.45000.46670.48330.500039.9639 41.561743.197744.867246.5754 48.331

12、050.132251.985053.891255.85510.51670.53330.5500 0.56670.58330.60000.61670.63330.65000.666757.882259.977362.1441 64.389766.719769.142671.6653 74.297777.051279.93470.6833 0.70000.71670.73330.75000.76670.78330.80000.8167 0.833382.9647 86.156489.528193.101996.9032100.9639105.3225110.0262115.1346 120.724

13、20.85000.86670.88330.90000.91670.93330.9500 0.96670.9833126.8941133.7805141.5687150.5374161.1038173.9578190.3632 212.9910249.3674表1 用120×120網(wǎng)格計算的和的關系圖8 120×120網(wǎng)格下與的關系曲線使用matlab的多項式擬合功能，對表1的結(jié)果進行多項式逼近，得到12次多項式的結(jié)果： 。 （18）該多項式的曲線圖及其與圖8的曲線比較一并放在了圖9中，可以看出，該12次多項式較好地逼近了計算結(jié)果。當時，用該12次多項式算出的Zc77.077

14、3，相對誤差大約僅為0.03%。有了這一擬合公式，就可以對任意的 計算對應的值。圖9 擬合的12次多項式曲線與由計算結(jié)果繪出的曲線的比較4 網(wǎng)格對計算結(jié)果影響的分析圖10所示的是20×20，40×40，80×80，120×120，160×160和200×200這6種網(wǎng)格計算得到的曲線圖的比較。從圖中可以看出，整體來說這些網(wǎng)格的結(jié)果還是吻合得比較好的，但有兩點值得注意。一是20×20和40×40網(wǎng)格畫出的這兩條曲線與其它四條曲線差別略大，特別是20×20的這條更為顯著一些，這是因為這兩種網(wǎng)格還不夠精確，得到的數(shù)據(jù)點也較少，分別只有9個和19個。二是在>0.8之后，各條曲線稍有不同，這一點可以這樣來理解：在，也就是內(nèi)外導體之間間隙較小時，場域本身就比較小，對這一場域進行離散化的網(wǎng)格中取樣點數(shù)目的多少差異還不太能夠?qū)е陆Y(jié)果的差別；但在充分大以后，對較大的場域，取樣點的數(shù)目就相