概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)重點(diǎn)復(fù)習(xí)資料

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)提要第一章隨機(jī)事件與概率1事件的關(guān)系A(chǔ)BABABABAAB2運(yùn)算規(guī)則（1） ABBAAB BA（2） ( A B) C A (B C)(AB)C A(BC)（3） ( A B)C (AC) (BC)(AB) C (A C)(B C)（4） ABABABAB3概率 P( A) 滿足的三條公理及性質(zhì)：（1）0 P(A) 1（2）P( ) 1nn（ 3）對(duì)互不相容的事件12, An ，有 P(Ak )P( Ak )（ n 可以?。〢,A ,k1k 1（4） P( )0（5） P( A) 1 P( A)（6）P( AB) P(A) P(AB) ，若 AB ，則 P(

2、BA) P(B) P(A) ，P( A) P(B)（7） P( A B) P(A) P(B) P(AB)（8） P( ABC )P( A) P( B)P(C)P( AB)P(AC)P(BC ) P( ABC)4古典概型：基本事件有限且等可能5幾何概率6條件概率（ 1）定義：若 P(B)0，則 P(A|B)P( AB)P( B)（ 2）乘法公式： P( AB) P(B) P( A | B)若 B1,B2,Bn 為完備事件組，P(Bi )0 ，則有n（ 3）全概率公式：P( A)i 1P( Bi )P( A | Bi )（ 4）Bayes 公式：P( Bk| A)P( Bk ) P( A | Bk

3、 )nP( Bi )P( A | Bi )i17事件的獨(dú)立性：A, B 獨(dú)立P( AB )P( A) P( B)（注意獨(dú)立性的應(yīng)用）學(xué)習(xí)必備歡迎下載第二章隨機(jī)變量與概率分布1 離散隨機(jī)變量：取有限或可列個(gè)值，P( X xi ) pi 滿足（ 1） pi0 ，（ 2）pi =1i（ 3）對(duì)任意 DR， P(XD )pii: xi D2 連續(xù)隨機(jī)變量：具有概率密度函數(shù)f (x) ，滿足（ 1） f ( x)0,f ( x) dx1；-（ 2） P(aX b)bR， P(Xa) 0f ( x)dx ；（ 3）對(duì)任意 aa3 幾個(gè)常用隨機(jī)變量名稱與記號(hào)分布列或密度數(shù)學(xué)期望方差兩點(diǎn)分布 B(1, p)P

4、(X1)p ， P( X 0)q 1pppq二項(xiàng)式分布 B(n, p)P( Xk )C nk p k qn k , k0,1,2,n ，npnpqkPoisson 分布 P()幾何分布 G ( p)均勻分布 U (a,b)指數(shù)分布 E()正態(tài)分布 N(,2)P( Xk)ek!, k0,1,2,P(Xk)qk 1,1,2,1qp kpp 2f (x)b1 , axb ，a b(b a) 2a212f()ex,x011x21( x) 2f (x)e22224 分布函數(shù)F ( x)P( Xx) ，具有以下性質(zhì)（1）F()0, F()1；（ 2）單調(diào)非降；（ 3）右連續(xù)；（ 4） P(aXb)F (b

5、)F ( a) ，特別 P( Xa) 1 F (a) ；（ 5）對(duì)離散隨機(jī)變量，F(xiàn) ( x)pi ；i: xix（ 6）對(duì)連續(xù)隨機(jī)變量， F ( x)x' (x)f (x)f (t )dt 為連續(xù)函數(shù)， 且在 f ( x) 連續(xù)點(diǎn)上， F5 正態(tài)分布的概率計(jì)算以( x) 記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N ( 0,1) 的分布函數(shù)，則有（ 1） (0)0.5 ；（ 2） ( x) 1( x) ；（3）若 X N ( ,2 ) ，則 F ( x)( x) ；學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 4）以 u 記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N (0,1) 的上側(cè)分位數(shù)，則 P( X u )1(u )6 隨機(jī)變量的函數(shù)Yg( X )（ 1）離散

6、時(shí)，求Y 的值，將相同的概率相加；（ 2 ） X 連 續(xù) ， g( x) 在 X 的 取 值 范 圍 內(nèi) 嚴(yán) 格 單 調(diào) ， 且 有 一 階 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù) ， 則fY ( y)f X ( g 1 ( y) | (g 1 ( y) ' |，若不單調(diào)，先求分布函數(shù)，再求導(dǎo)。第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征1期望(1) 離散時(shí)E( X )xi pi ， E( g( X )g (xi ) pi；ii(2) 連續(xù)時(shí) E( X )xf ( x)dx ， E (g( X )g( x) f (x)dx ；(3) 二維時(shí) E(g ( X ,Y)g( xi , y j ) pij ， E( g (X , Y)g

7、( x, y) f ( x, y)dxdyi , j(4) E(C) C ；（5） E(CX ) CE(X ) ；（6） E(XY)E(X)E(Y) ；（7） X ,Y 獨(dú)立時(shí)， E( XY)E( X )E(Y)2方差（1）方差 D(X)E(XE(X)2E(X 2)(EX )2，標(biāo)準(zhǔn)差(X)D(X) ；（2） D(C)0, D(XC)D(X)；（3） D(CX )C2D(X)；（4） X,Y 獨(dú)立時(shí)， D(XY)D(X)D(Y)3協(xié)方差（ 1） Cov ( X ,Y )E( XE( X )(YE(Y )E( XY )E( X )E(Y ) ；（ 2） Cov ( X ,Y)Cov (Y, X

8、), Cov (aX ,bY )abCov( X ,Y) ；（ 3） Cov( X 1X 2 ,Y )Cov( X 1 ,Y)Cov ( X 2 ,Y ) ；（ 4） Cov( X ,Y)0 時(shí)，稱 X ,Y 不相關(guān)，獨(dú)立不相關(guān)，反之不成立，但正態(tài)時(shí)等價(jià)；（ 5） D ( XY )D ( X )D (Y)2Cov ( X ,Y)學(xué)習(xí)必備歡迎下載4相關(guān)系數(shù)XYCov ( X ,Y)；有 |XY |1，|XY |1a, b, P(YaXb) 1(X ) (Y)5 k階原點(diǎn)矩kE( X k ) ， k階中心矩k E( XE( X ) k第五章大數(shù)定律與中心極限定理1 Chebyshev 不等式P|

9、XE(X)|D(X )或P| XE(X) | 1D(X)222大數(shù)定律3中心極限定理（1）設(shè)隨機(jī)變量 X1,X2, X n 獨(dú) 立 同 分 布 E( X i ), D ( X i )2 ， 則nn2)，或1n2X inX i N ( n, nX i N ( ,)或 i 1 N (0,1)，i 1近似n i 1近似nn近似（ 2 ） 設(shè) m 是 n 次 獨(dú) 立 重 復(fù) 試 驗(yàn) 中 A 發(fā) 生 的 次 數(shù) ， P( A)p ， 則 對(duì) 任 意 x ， 有l(wèi)im P m npx( x) 或理解為若 X B(n, p) ，則 X N (np, npq)nnpq近似第六章樣本及抽樣分布1總體、樣本（ 1

10、）簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：即獨(dú)立同分布于總體的分布（注意樣本分布的求法）；（ 2）樣本數(shù)字特征：1n2，D(X)樣本均值 XX i （ E( X )）；n i 1n樣本方差S21n11nS( X i X ) 2n1 i 1n( X iX ) 2（E(S2 )2）樣本標(biāo)準(zhǔn)差i1樣本 k 階原點(diǎn)矩k1nX ik，樣本 k 階中心矩 k1n( X iX ) kn i 1n i12統(tǒng)計(jì)量：樣本的函數(shù)且不包含任何未知數(shù)3三個(gè)常用分布（注意它們的密度函數(shù)形狀及分位點(diǎn)定義）（1） 2 分布2X 12X 22X n22 (n) ，其中 X1,X2, X n 獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N (0,1)，若X2 ( n1 )

11、, Y 2 (n2 ) 且獨(dú)立，則X Y 2(n1 n2 ) ；學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 2） t 分布 tX t (n) ，其中 X N (0,1), Y 2 (n) 且獨(dú)立；Y / n（3） F 分布FX / n1 F ( n1 ,n2 ) ，其中 X 2 (n1 ),Y 2 ( n2 ) 且獨(dú)立，有下面的Y / n2性質(zhì)1 F (n2 , n1 ),F1 ( n1 , n2 )F1F( n2 , n1 )4正態(tài)總體的抽樣分布(,2/) ；1n22（ 1）；XNn（ ）2( X i) (n)2i 1（ 3）(n1) S22( n1)且與 X獨(dú)立；（4） tX t (n 1) ；2S /n（ 5） t(X Y) (12 )n1n2 t (n1 n22)， S2(n1 1)S12(n21)S22Sn1n2n1n222/2（6） FS11 F ( n11, n21)2/2S22第七章參數(shù)估計(jì)1矩估計(jì)：（ 1）根據(jù)參數(shù)個(gè)數(shù)求總體的矩；（ 2）令總體的矩等于樣本的矩；（ 3）解方程求出矩估計(jì)2極大似然估計(jì)：（ 1）寫出極大似然函數(shù)； （ 2）求對(duì)數(shù)極大似然函數(shù)（ 3）求導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)； （ 4）令導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)為 0，解出極大似然估計(jì) （如無解回