高中數(shù)學(xué) 第二章 概率本章整合素材 新人教B版選修23

1、第二章 概率本章整合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)專(zhuān)題探究專(zhuān)題一：相互獨(dú)立事件的概率與條件概率【應(yīng)用】 某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答3個(gè)問(wèn)題競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：答對(duì)第一、二、三個(gè)問(wèn)題分別得100分、100分、200分，答錯(cuò)得零分假設(shè)這名同學(xué)答對(duì)第一、二、三個(gè)問(wèn)題的概率分別為0.8,0.7,0.6，且各題答對(duì)與否相互之間沒(méi)有影響(1)求這名同學(xué)得300分的概率；(2)求這名同學(xué)至少得300分的概率提示：本小題考查概率知識(shí)(1)同學(xué)得300分必是第一、二題一對(duì)一錯(cuò)，這樣得100分，而第三題一定答對(duì)，所以一共得分是300分(2)至少300分，意思是得300分或多于300分，而本題包括兩種情況：一種是得300分，另一種是得40

2、0分，兩種概率相加即可解：記“這名同學(xué)答對(duì)第i個(gè)問(wèn)題”為事件ai(i1,2,3)，則p(a1)0.8，p(a2)0.7，p(a3)0.6.(1)這名同學(xué)得300分的概率為p1p(a1 a3)p(a2a3)p(a1)·p()·p(a3)p()·p(a2)·p(a3)0.8×0.3×0.60.2×0.7×0.60.228.(2)這名同學(xué)至少得300分的概率為p2p1p(a1a2a3)p1p(a1)·p(a2)·p(a3)0.2280.8×0.7×0.60.564.專(zhuān)題二：離散型隨

3、機(jī)變量的分布列求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是解決兩個(gè)問(wèn)題：一是隨機(jī)變量的可能取值；二是隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率針對(duì)于不同的題目，應(yīng)認(rèn)真分析題意，明確隨機(jī)變量，正確計(jì)算隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率求概率主要有兩種類(lèi)型：(1)古典概型，利用排列組合知識(shí)求解；(2)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即xb(n，p)，由p(xk)cpk(1p)nk計(jì)算一般地，離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率的和，利用這一性質(zhì)可以由概率的分布列求出隨機(jī)變量在所給區(qū)間的概率【應(yīng)用】 如圖是一個(gè)從ab的“闖關(guān)”游戲規(guī)則規(guī)定：每過(guò)一關(guān)前都要拋擲一個(gè)在各面上分別標(biāo)有1,2,3,4的均勻的正四面體在過(guò)第n(n1,

4、2,3)關(guān)時(shí)，需要拋擲n次正四面體，如果這n次面朝下的數(shù)字之和大于2n，則闖關(guān)成功(1)求闖第一關(guān)成功的概率；(2)記闖關(guān)成功的關(guān)數(shù)為隨機(jī)變量x，求x的分布列解：(1)拋一次正四面體，面朝下的數(shù)字有1,2,3,4四種情況，大于2的有兩種情況，故闖第一關(guān)成功的概率為.(2)記事件“拋擲n次正四面體，這n次面朝下的數(shù)字之和大于2n”為事件an，則p(a1)，拋擲兩次正四面體面朝下的數(shù)字之和的情況如圖所示，易知p(a2).設(shè)拋擲三次正四面體面朝下的數(shù)字依次記為：x，y，z，考慮xyz8的情況，當(dāng)x1時(shí)，yz7有1種情況；當(dāng)x2時(shí)，yz6有3種情況；當(dāng)x3時(shí)，yz5有6種情況；當(dāng)x4時(shí)，yz4有10種

5、情況故p(a3).由題意知，x的所有可能取值為0,1,2,3.p(x0)p()，p(x1)p(a1)×，p(x2)p(a1a2)××，p(x3)p(a1a2a3)××.所以x的分布列為x0123p專(zhuān)題三：離散型隨機(jī)變量的期望與方差期望和方差都是隨機(jī)變量的重要的數(shù)字特征，方差是建立在期望這一概念之上，它表明了隨機(jī)變量所取的值相對(duì)于它的期望的集中與離散程度，二者聯(lián)系密切，在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中應(yīng)用廣泛求離散型隨機(jī)變量x的期望與方差的步驟：(1)理解x的意義，寫(xiě)出x可能取的全部值；(2)求x取每個(gè)值的概率或求出p(xk)；(3)寫(xiě)出x的分布列；(4)由分布

6、列和期望的定義求出e(x)；(5)由方差的定義求d(x)若xb(n，p)，則可直接利用公式求：e(x)np，d(x)np(1p)【應(yīng)用1】 設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分(1)當(dāng)a3，b2，c1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此球所得分?jǐn)?shù)若e()，d()，求abc.提示：(1)在分析取到兩球的顏色時(shí)，要注意是有放回地抽取，即同一個(gè)球可能兩次都能抽到；(2)根據(jù)計(jì)算數(shù)學(xué)期望與方差的

7、公式計(jì)算，尋找a，b，c之間的關(guān)系解：(1)由題意得2,3,4,5,6.故p(2)，p(3)，p(4)，p(5)，p(6)，所以的分布列為23456p(2)由題意知的分布列為123p所以e()，d()2·2·2·，化簡(jiǎn)得解得a3c，b2c，故abc321.【應(yīng)用2】 投到某雜志的稿件，先由兩位初審專(zhuān)家進(jìn)行評(píng)審若能通過(guò)兩位初審專(zhuān)家的評(píng)審，則予以錄用；若兩位初審專(zhuān)家都未予通過(guò)，則不予錄用；若恰能通過(guò)一位初審專(zhuān)家的評(píng)審，則再由第三位專(zhuān)家進(jìn)行復(fù)審，若能通過(guò)復(fù)審專(zhuān)家的評(píng)審，則予以錄用，否則不予錄用設(shè)稿件能通過(guò)各初審專(zhuān)家評(píng)審的概率均為0.5，復(fù)審的稿件能通過(guò)評(píng)審的概率為0.3

8、.各專(zhuān)家獨(dú)立評(píng)審(1)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；(2)記x表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數(shù)，求x的分布列及數(shù)學(xué)期望提示：本題主要考查等可能性事件、互斥事件、獨(dú)立事件、分布列及期望的相關(guān)知識(shí)解：(1)記a表示事件：稿件能通過(guò)兩位初審專(zhuān)家的評(píng)審；b表示事件：稿件恰能通過(guò)一位初審專(zhuān)家的評(píng)審；c表示事件：稿件能通過(guò)復(fù)審專(zhuān)家的評(píng)審；d表示事件：稿件被錄用則dabc，p(a)0.5×0.50.25，p(b)2×0.5×0.50.5，p(c)0.3，p(d)p(abc)p(a)p(bc)p(a)p(b)p(c)0.250.5×0.30.40.(2)xb

9、(4,0.4)，所以p(x0)(10.4)40.129 6，p(x1)c×0.4×(10.4)30.345 6，p(x2)c×0.42×(10.4)20.345 6，p(x3)c×0.43×(10.4)0.153 6，p(x4)0.440.025 6.因此x的分布列為x01234p0.129 60.345 60.345 60.153 60.025 6期望e(x)4×0.41.6.專(zhuān)題四：數(shù)學(xué)期望在風(fēng)險(xiǎn)與決策中的應(yīng)用在日常生活中，人們經(jīng)常要面臨“風(fēng)險(xiǎn)”為了減少風(fēng)險(xiǎn)，我們決策時(shí)必須平衡極大化期望和極小化風(fēng)險(xiǎn)這樣矛盾的要求，還必須

10、在一個(gè)多階段過(guò)程的每一階段作出決策但是始終有一條指導(dǎo)性原則：盡你的最大努力去決定各種結(jié)果在每一階段出現(xiàn)的概率及這些結(jié)果的價(jià)值或效用，計(jì)算每一種行動(dòng)方案的期望效應(yīng)并斷定給出最大期望效應(yīng)的策略這也就是說(shuō)利用隨機(jī)變量的概率分布計(jì)算期望值后，就可以選擇能給出最大期望值的行動(dòng)【應(yīng)用】 某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3，一旦發(fā)生，將造成400萬(wàn)元的損失，現(xiàn)有甲、乙預(yù)防措施所需的費(fèi)用分別為45萬(wàn)元和30萬(wàn)元，采用相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率為0.9和0.85.若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨(dú)采用，聯(lián)合采用或不采用，請(qǐng)確定預(yù)防方案使總費(fèi)用最少(總費(fèi)用采取預(yù)防措施的費(fèi)用發(fā)生

11、突發(fā)事件損失的期望值)解：(1)不采取預(yù)防措施時(shí)，總費(fèi)用損失期望為400×0.3120(萬(wàn)元)；(2)若單獨(dú)采取措施甲，則預(yù)防措施費(fèi)用為45萬(wàn)元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為10.90.1，損失期望值為400×0.140(萬(wàn)元)，所以總費(fèi)用為454085(萬(wàn)元)；(3)若單獨(dú)采取預(yù)防措施乙，則預(yù)防措施費(fèi)用為30萬(wàn)元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為10.850.15，損失期望值為400×0.1560(萬(wàn)元)，所以總費(fèi)用為306090(萬(wàn)元)；(4)若聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，則預(yù)防措施費(fèi)用為453075(萬(wàn)元)，發(fā)生突發(fā)事件的概率為(10.9)×(10.85)0.015，損失期望值為400×0.0156(萬(wàn)元)，所以總費(fèi)用為75681(萬(wàn)元)綜合(1)，(2)，(3)，(4)，比較其總費(fèi)用可知，應(yīng)選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，可使總費(fèi)用最少6edbc3191f235