2第二節(jié)動態(tài)方程的建立

1、friday, november 12, 20211第二節(jié) 動態(tài)方程的建立friday, november 12, 20212從系統(tǒng)的機理出發(fā)建立動態(tài)方程由微分方程寫動態(tài)方程由結構圖求動態(tài)方程由傳遞函數(shù)寫動態(tài)方程本節(jié)主要內(nèi)容friday, november 12, 20213一、從系統(tǒng)機理出發(fā)建立：1、rcl電網(wǎng)絡（略，見例6-1）。2、機械運動系統(tǒng)：例6-2試列出在外力f作用下，以質量 的位移 為輸出的動態(tài)方程。21,mm21, yy1v2v1k2k1y2y1m2m1b2bf解：該系統(tǒng)有四個獨立的儲能元件。取狀態(tài)變量如下：2241132211,vyxvyxyxyxfriday, novemb

2、er 12, 20214則有：)()(122122111111yybyykykybym 及：fyykyybym)()(12212222 將所選的狀態(tài)變量代入上式并整理出狀態(tài)方程得：2241132211,vyxvyxyxyx11yk11ym 11yb )(122yyb 22ym )(122yykf1m2m質量塊受力圖如下：1v2v1k2k1y2y1m2m1b2bf假設y2y1friday, november 12, 202152211xyxy輸出方程：fmxmbxmkxmkxxmbxmbbxmkxmkkxxxxx2322222122441231212121121342311狀態(tài)方程：friday

3、, november 12, 20216寫成矩陣形式：fmxmbmkmkmbmbbmkmkkx222221212121121211000010000100432100100001xxxxyfriday, november 12, 20217二、由微分方程寫動態(tài)方程例：一階方程buaxx畫出摸擬結構圖：1x1x uybaxx 1選擇狀態(tài)變量，輸出,1xy buaxx111xy 1,cbbaafriday, november 12, 20218例xaxaxabuxbuxaxaxax012012, 畫出摸擬結構圖：ubx 3x 2ax 3x1a0a2x1xx x選擇狀態(tài)變量如下：,1xx ,12xx

4、x 23xxx 輸出為：1xxy110213233221xyxaxaxabuxxxxxx 動態(tài)方程為：friday, november 12, 20219uxxxaaax100100010321210321001xxxy寫成矩陣形式：110213233221xyxaxaxabuxxxxxx 動態(tài)方程為：friday, november 12, 202110三、由結構圖求動態(tài)方程uy4k111stk122stkstk33例：結構圖如下：u11tks111t22tk3x 3x1x 2x 2x1xs121t33tks14kyfriday, november 12, 202111圖中有三個積分環(huán)節(jié)，三

5、階系統(tǒng)，取三個狀態(tài)變量如上圖：則有：2131xtkx 3222221xtkxtxutkxtxtkkx11311114311xy 寫成矩陣形式：utkxxxttkktkttkx1132111412223300101000xy001friday, november 12, 202112pspzskas1uy例：含有零點的系統(tǒng)，如下：upszsskas1y-有一個零點：s=-z。將具有零點的環(huán)節(jié)化簡得 ：pspzpszs1friday, november 12, 202113取狀態(tài)變量如上圖。則狀態(tài)方程為： 輸出方程為： )()(133312211pzxupxxkxxukxxaxx1xy pz us

6、1ps1ks1ay1x2x3x3x 2x 1x friday, november 12, 202114寫成矩陣形式：32132100100001xxxyupzkxxxpzpkkax)()(133312211pzxupxxkxxukxxaxx1xy friday, november 12, 202115四、由傳遞函數(shù)求動態(tài)方程（一）、傳遞函數(shù)的形式為有理分式時：01110111.)()(asasasbsbsbsbsusynnnmmmm式中： ，都是實數(shù)。)0, 10(,mjnibanmji將分子、分母同除 得：nsnnnnnnmnmmnmsasasasasbsbsbsbsusy0)1(12211

7、0)1(1)1(1)(.1.)()(上式分母可寫成：)()(.)()(1)0)1(12211nnnnsasasasafriday, november 12, 202116回憶信號流圖中的梅遜公式：kkpsusysg)()()(.1fedcballllll 若所有的反饋回路互相接觸，所有的前向通路與反饋通路都互相接觸，則：0., 1fedcbklllll梅遜公式可簡化為：aklpsusysg1)()()(式中， 為個前向通路的增益， 為各反饋回路增益。kpal 我們知道，同一系統(tǒng)可以有不同的信號流圖?，F(xiàn)在來看看能不能畫出的信號流圖出來。friday, november 12, 202117例系統(tǒng)

8、傳遞函數(shù)為：012233401223344)()()(asasasasbsbsbsbsbsusysg)()()()(140312213403122134sasasasasbsbsbsbb 把分子的五項看作五個前向通路的增益，把分母的后四項看成是四個反饋通路的增益，則可畫出兩個接觸的信號流圖如下圖。四階系統(tǒng)，四個積分器：4x 4b3b2b1b4x3x2x1x3a2a1a0a1s11s1s1su0byfriday, november 12, 202118 由圖可見每個回路是接觸的，與每條前向通路也是接觸的。滿足傳遞函數(shù) 。取狀態(tài)變量如圖（一般取積分器后的信號為狀態(tài)變量）：)()(susy43322

9、1104433221xaxaxaxauxxxxxxxubxabbxabbxabbxabbxbxbxbxbxby443433242214110404443322110)()()()(輸出：u14x 1s4b1s3b1s1s2b0b1b4x3x2x1x3a2a1a0ay1x 2x 3x friday, november 12, 202119寫成矩陣形式：ubxabbabbabbabbyuxxxxaaaaxxxxx43432421410404321321043211000100001000010 這種形式的模型稱為相變量形式的狀態(tài)變量模型。特點：a陣，對角線上方元素為1，最后一行元素為分母負系數(shù)的反

10、向羅列，其他元素為0；b陣，最后一行元素為1，其他元素為0。friday, november 12, 202120 還有一種稱為輸入前饋形式的狀態(tài)變量模型。上例的信號流圖還可以畫成下圖形式（令 ，分子比分母至少低一階）：04b)(su4x 0b1s1b11s1s1s2b3b1114x3x 3x2x 2x1x 1x0a3a2a1a)(sy可見滿足兩個接觸，而且傳遞函數(shù)也滿足 。)()(susy)()()()(1)()(4031221340312213sasasasasbsbsbsbsusyfriday, november 12, 202121取狀態(tài)變量 如圖。有：1010314113231223

11、2131xyubxaxubxxaxubxxaxubxxax )(su4x 0b1s1b11s1s1s2b3b1114x3x 3x2x 2x1x 1x0a3a2a1a)(syfriday, november 12, 202122寫成矩陣形式：43210123432101230001000100010001xxxxyubbbbxxxxaaaax10103141132312232131xyubxaxubxxaxubxxaxubxxaxfriday, november 12, 202123若分子分母同階，則要化分子比分母低一階。01223340122334012233401223344)(asasas

12、asbsbsbsbbasasasasbsbsbsbsbsg例如：2121222341223412234762)()()(ssssssssssssusysg22xu2x 1x1x 324y1111s1suxyuxxuxxx2324112211uxxyuxxxxx201120314212121即：friday, november 12, 202124例： ，分別寫出相變量、輸入前饋形式的動態(tài)方程。6168682)()()(232ssssssusysg32132161681682)()(sssssssusy解：相變量形式信號流圖及狀態(tài)變量如下圖，狀態(tài)方程如下：2)(su11s1s1s683x 1x2

13、x3x2x 1x 8616)(sy321332218166xxxuxxxxx321286xxxyfriday, november 12, 202125寫成矩陣形式：3213213212861008166100010 xxxyuxxxxxxxfriday, november 12, 202126輸入前饋形式的信號流圖及狀態(tài)變量如下圖：)(su)(sy1s1s1s61118261681x2x3x3x 1x 2x uxxuxxxuxxx6681628133122111xy 即：uxx6820061016018xy00132132161681682)()(sssssssusyfriday, novem

14、ber 12, 202127（二）、傳遞函數(shù)的形式為零極點形式時： 可以得到串聯(lián)形式和解耦形式的狀態(tài)變量模型。njjmiitssksg11)()()(q 串聯(lián)形式：5) 1(5ss21s36s)(sr)(sy)3)(2)(1() 1(30)(sssssgfriday, november 12, 202128 前面我們介紹了由結構圖求動態(tài)方程的方法，這里介紹用信號流圖求解。55205) 1(5sss5) 1(5ss51s205rrr111s5205r11s1s1s52056y23全系統(tǒng)信號流圖為：1x1x 2x2x 3x3x 11friday, november 12, 202129定義狀態(tài)變量

15、如上圖，得：1333222115520263xyrxxrxxxxxx寫成矩陣形式： xyrxx0011505002020063friday, november 12, 202130q 解耦形式：（對角陣形式）例：上例中， 325)3)(2)(5() 1(30)(321sksksksssssg式中：20)3)(2() 1(3051ssssk10)3)(5() 1(3022ssssk30)2)(5() 1(3033sssskfriday, november 12, 202131有： 321332211301020325xxxyrxxrxxrxx及：321321303102205xxxyrxxrxx

16、rxx信號流圖為：1s1s1s3x3x 2x2x 1x1x 111532yr2030101s1s1s3x3x 2x2x 1x1x 111235ry203010或：330210520)(ssssgfriday, november 12, 202132寫成矩陣形式：xyrxx111301020300020005或：xyrxx301020111300020005friday, november 12, 202133（三）由傳遞函數(shù)寫特殊形式的動態(tài)方程：)(sz)()()()()(suszszsysg引入中間變量 ，有：022110111.)()()(asasasbsbsbsbsusysgnnnnnn

17、nnn1.可控標準型：設令：01110111.1)()(.)()(asasassuszbsbsbsbszsynnnnnnn其對應的微分方程為：)()(.)()()()()(.)()()(01)1(1)(01)1(1)(tzatzatzatztutzbtzbtzbtzbtynnnnnnnfriday, november 12, 202134選擇狀態(tài)變量如下：)1(21,nnzxzxzxzx 于是有：102112101)2(2)1(1)(13221xaxaxaxauzazazazauzxxxxxxxnnnnnnnnnnnn輸出方程：111222211100102112100212312110211

18、21)()()()()(xbabxbabxbabxbabubxbxbxbxbxaxaxaxaxaubxbxbxbxbxbynnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnfriday, november 12, 202135動態(tài)方程寫成矩陣形式得：uxxxxaaaaxxxnnn100010000001000010321121021ubxxxxbabbabbabynnnnnnn321111100friday, november 12, 202136令：ncnnnnnnccncbdbabbabbabbabcbaaaaa,1000,10000001000010112211001210定義：凡具有

19、 ， 形式的動態(tài)方程稱為可控標準型。可見：相變量型的就是可控標準型。caa cbb friday, november 12, 202137例：試化 為可控標準型。1064232)()()(232ssssssusysg解：分子、分母同除以2得：5322321)()()(232ssssssusysg可得：,235100010ca100cb5 . 015 . 1ccfriday, november 12, 2021382.可觀測標準型： 0111011211)()()(asasasbsbsbsbsusysgnnnnnnn 分子比分母低一階以上，若分子分母同階，應處理成分子比分母低一階，這時，輸出方程

20、中的 ，表示輸出含有與輸入直接關系的項。nbd 對應的微分方程為：ububububyayayayaynnnnnnnnn01)2(2)1(101)2(2)1(1)(friday, november 12, 202139選擇狀態(tài)變量如下：yxubyayxububyayayxubububyayayxubububyayayxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn111212122)4(2)3(12)3(1)2(21)3(2)2(11)2(1)1(1 ubxaxxubxaxxubxaxxubxaxxubxaxnnnnnnnnnnnnn111222122231112001狀態(tài)方程為：輸出方程為：nxy friday, november 12, 202140122100100010000100001000nnaaaaaa1100nbbbb10000c定義：凡滿足 的動態(tài)方程稱為可觀測標準型。 00,ccaafriday, november 12, 202141例：試化 為可觀測標準型。 52337)()()(23sssssusysg解：直接套用公式得：xyuxx100073310201500friday