大學(xué)物理第四章振動(dòng)

1、1第第4章章 振動(dòng)振動(dòng)4.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其描述4.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程4.3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量4.4 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成4.5 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振作業(yè)：作業(yè)：練習(xí)冊(cè)練習(xí)冊(cè)選擇題：選擇題：1-10填空題：填空題：1-10計(jì)算題：計(jì)算題：1-62 因?yàn)檎駝?dòng)是聲學(xué)、地震學(xué)、建筑力學(xué)等必須因?yàn)檎駝?dòng)是聲學(xué)、地震學(xué)、建筑力學(xué)等必須的基礎(chǔ)知識(shí)，自然界中還有許多現(xiàn)象，如交變電的基礎(chǔ)知識(shí)，自然界中還有許多現(xiàn)象，如交變電流、交變的電磁場(chǎng)等，都屬于廣義的振動(dòng)現(xiàn)象。流、交變的電磁場(chǎng)等，都屬于廣義的振動(dòng)現(xiàn)象。這些運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)雖然并非機(jī)

2、械運(yùn)動(dòng)，但運(yùn)動(dòng)規(guī)律這些運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)雖然并非機(jī)械運(yùn)動(dòng)，但運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)描述卻與機(jī)械振動(dòng)類似。因此，機(jī)械振動(dòng)的數(shù)學(xué)描述卻與機(jī)械振動(dòng)類似。因此，機(jī)械振動(dòng)的研究也為光學(xué)、電學(xué)、交流電工學(xué)、無線電技的研究也為光學(xué)、電學(xué)、交流電工學(xué)、無線電技術(shù)等打下了一定的基礎(chǔ)。術(shù)等打下了一定的基礎(chǔ)。 任何一種復(fù)雜的機(jī)械振動(dòng)都可以看成多個(gè)直任何一種復(fù)雜的機(jī)械振動(dòng)都可以看成多個(gè)直線振動(dòng)的疊加。線振動(dòng)的疊加。學(xué)習(xí)機(jī)械振動(dòng)的意義學(xué)習(xí)機(jī)械振動(dòng)的意義3閱讀材料閱讀材料: :頻譜分析頻譜分析利用付里葉分解可將任意振動(dòng)分解成若干簡(jiǎn)諧振動(dòng)利用付里葉分解可將任意振動(dòng)分解成若干簡(jiǎn)諧振動(dòng)( (s.h.v.) ) simple harmonic

3、vibration 的疊加的疊加 (合成的逆運(yùn)算）。合成的逆運(yùn)算）。 對(duì)周期性振動(dòng)：對(duì)周期性振動(dòng)： t 周期周期) cos(2)(10kkktkaatxt2=k = 1 基頻基頻（ ） k = 2 二次諧頻二次諧頻（2 ） k = 3 三次諧頻三次諧頻（3 ）決定決定音調(diào)音調(diào)決定決定音色音色高次諧頻高次諧頻4物理上：物理上：一般振動(dòng)是多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一般振動(dòng)是多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成數(shù)學(xué)上：數(shù)學(xué)上： 付氏級(jí)數(shù)付氏級(jí)數(shù) 付氏積分付氏積分也可以說也可以說簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)（s.h.v.）是振動(dòng)的基本模型是振動(dòng)的基本模型或說或說 振動(dòng)的理論建立在振動(dòng)的理論建立在簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)（s.h.v.）的基礎(chǔ)上。的

4、基礎(chǔ)上。) cos(2)(10kkktkaatx4.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其描述 簡(jiǎn)諧振動(dòng)：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移簡(jiǎn)諧振動(dòng)：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移( (或或角位移角位移) )按余弦按余弦( (或正弦或正弦) )規(guī)律隨時(shí)間變化。規(guī)律隨時(shí)間變化。)cos(0tax速度速度)sin(dd0tatxv加速度加速度)cos(dd0222tatxa52. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量（振幅、周期、頻率和相位）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量（振幅、周期、頻率和相位）振幅振幅 a周期周期t 和頻率和頻率 相位相位(1)(1) ( t + + 0 )是是 t 時(shí)刻的相位時(shí)刻的相位， (2)(2) 0 是是t =0

5、 時(shí)刻的相位時(shí)刻的相位 初相初相。相位概念可用于比較兩個(gè)諧振動(dòng)之間在振動(dòng)步調(diào)上的差異相位概念可用于比較兩個(gè)諧振動(dòng)之間在振動(dòng)步調(diào)上的差異, ,設(shè)有兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)，表達(dá)式分別為：設(shè)有兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)，表達(dá)式分別為：相位差相位差 10201020)()(tt)cos(1011tax)cos(2022tax）（t16x = a cos( t + 0)優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：初位相直觀明確。初位相直觀明確。比較兩個(gè)比較兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差直觀明確。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差直觀明確。3. 3. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法1212)()(tt t = 0 0oxax t+ 0t = ta2a2 1a1x0o

6、x2a1a3a) 12(k(a1、a3) 兩個(gè)振動(dòng)為反相兩個(gè)振動(dòng)為反相. .(a1、a2) 兩個(gè)振動(dòng)為同相；兩個(gè)振動(dòng)為同相；k27例例: :一物體沿一物體沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅a=0.12m，周期周期t=2s。當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)時(shí), ,物體物體的位移的位移x=0.06m, ,且向且向x軸正向運(yùn)動(dòng)。求軸正向運(yùn)動(dòng)。求: :(1)(1)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式; ;(2)(2) t =t/4時(shí)物體的位置、速度和加速度時(shí)物體的位置、速度和加速度; ;(3)(3)物體從物體從x = -0.06m向向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。解解

7、: (1): (1)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn), ,諧振動(dòng)表達(dá)式寫為：諧振動(dòng)表達(dá)式寫為：)cos(0tax其中其中a=0.12m, t=2s, t2初始條件：初始條件：t = 0, x0=0.06m,可得可得, 0sin00av06. 0cos12. 003030) 3cos(12. 0tx(2)(2)由由(1)(1)求得的簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式得求得的簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式得: :) 3sin(12. 0ddttxv) 3cos(12. 0dd2ttav在在t =t/4=0.5s時(shí)時(shí)，代入所列的表達(dá)式可求代入所列的表達(dá)式可求! !8例例: :一物體沿一物體沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振

8、幅a=0.12m，周期周期t=2s。當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)時(shí), ,物體物體的位移的位移x=0.06m, ,且向且向x軸正向運(yùn)動(dòng)。求軸正向運(yùn)動(dòng)。求: :(1)(1)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式; ;(2)(2) t =t/4時(shí)物體的位置、速度和加速度時(shí)物體的位置、速度和加速度; ;(3)(3)物體從物體從x = -0.06m向向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。解解:(3):(3)當(dāng)當(dāng)x = -0.06m且向且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)時(shí)，該時(shí)刻設(shè)為該時(shí)刻設(shè)為t1 1, ,x1320 x設(shè)物體在設(shè)物體在t2 2時(shí)刻第一次回到平衡位置時(shí)刻第一次回到平衡

9、位置( (x=0)=0)，相位是相位是3 3 /223從從t1 1時(shí)刻到時(shí)刻到t2 2時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的相差為時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的相差為：653223 振幅矢量的角速度振幅矢量的角速度 ， t = 另外另外， t =2 s83. 0652tt94.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程受力特點(diǎn)受力特點(diǎn): : 線性恢復(fù)力線性恢復(fù)力 f = - kx 以水平彈簧振子為例以水平彈簧振子為例22ddtxmf 由）（mkxtx, 0dd222 固有頻率決定于系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì)固有頻率決定于系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì)位移位移 x 之通解可寫為：之通解可寫為：)cos(0tax 固有固有( (圓圓) )頻率頻率常量常量a和和 0由初始

10、條件由初始條件確定確定根據(jù)初始條件：根據(jù)初始條件：t = 0 時(shí)，時(shí)，x = x0 , v = v0) (cos0tax) (sin 0tav00cosax 0t00sin av22020vxa000 tanxv10(1)(1)單擺單擺 mmg幾種常見的簡(jiǎn)諧振動(dòng)幾種常見的簡(jiǎn)諧振動(dòng)sinmgm重力的切向分力：重力的切向分力：.! 5! 3sin53sintmamgsin)(ta22ddsintmmg 很小很小, ,小于小于50 時(shí)，時(shí)，0dd22gtg2令gt2所以：?jiǎn)螖[作小角度擺動(dòng)，也是諧振動(dòng)（角所以：?jiǎn)螖[作小角度擺動(dòng)，也是諧振動(dòng)（角諧振動(dòng)）。重力的分力（準(zhǔn)彈性力）。諧振動(dòng)）。重力的分力（準(zhǔn)彈

11、性力）。0dd222t通解為：通解為：)cos(0tm11(2)(2) 復(fù)擺復(fù)擺一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺。一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺。 剛體的質(zhì)心為剛體的質(zhì)心為c, , 對(duì)過對(duì)過o點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸的點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為i, , o、c 兩點(diǎn)間的距離為兩點(diǎn)間的距離為h。令令據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律m=i ，得，得若若 角度較小時(shí)角度較小時(shí)sindd22mghtimghti22ddimgh20dd222tmghit22gmcoh12簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量( (以水平彈簧振子為例以水平彈簧振子為例) )(1) (1) 動(dòng)能動(dòng)能4.3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量)(sin21210

12、2222tammekv0,21min2maxkkekae241d1katetetttkk)(sin21022tka)(cos21210222tkakxep(2) (2) 勢(shì)能勢(shì)能情況同動(dòng)能情況同動(dòng)能。pppeee,minmax系統(tǒng)總的機(jī)械能：系統(tǒng)總的機(jī)械能：221kaeeepk簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒) (sin 0tavmk13諧振子的動(dòng)能、勢(shì)能和總能量隨時(shí)間的變化曲線諧振子的動(dòng)能、勢(shì)能和總能量隨時(shí)間的變化曲線: :221kae pekee0ttaxcos0tx241kaeepk14簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解法1. 由分析受力出發(fā)由分析受力出發(fā)( (由牛頓定律

13、列方程由牛頓定律列方程) )2. 由分析能量出發(fā)由分析能量出發(fā)( (將能量守恒式對(duì)將能量守恒式對(duì)t 求導(dǎo)求導(dǎo)) )例：彈簧豎直放置時(shí)物體的振動(dòng)。例：彈簧豎直放置時(shí)物體的振動(dòng)。m0l0 xxxo彈簧原長(zhǎng)彈簧原長(zhǎng)掛掛m后伸長(zhǎng)后伸長(zhǎng)某時(shí)刻某時(shí)刻m位置位置f伸伸 長(zhǎng)長(zhǎng)受彈力受彈力平衡位置平衡位置k解：求平衡位置解：求平衡位置mgkx 0kmgx 0以平衡位置以平衡位置o為原點(diǎn)為原點(diǎn)kxkxkxmgxxkmgf00)(因此因此, , 此振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。此振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。221kx15m0l0 xxxo以平衡位置以平衡位置o為原點(diǎn)為原點(diǎn)彈簧原長(zhǎng)彈簧原長(zhǎng)掛掛m后伸長(zhǎng)后伸長(zhǎng)某時(shí)刻某時(shí)刻m位置位置f伸伸 長(zhǎng)長(zhǎng)受

14、彈力受彈力平衡位置平衡位置kxkxkxmgxxkmgf00)(k重力和彈性力都是保重力和彈性力都是保守力，合力守力，合力f f 作功將作功將轉(zhuǎn)化為勢(shì)能。轉(zhuǎn)化為勢(shì)能。221)(kxkx功包括重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能包括重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能系統(tǒng)的勢(shì)能系統(tǒng)的勢(shì)能16如果振動(dòng)系統(tǒng)除去本身如果振動(dòng)系統(tǒng)除去本身恢復(fù)力之外還有其它恒恢復(fù)力之外還有其它恒力作用。振動(dòng)系統(tǒng)仍作力作用。振動(dòng)系統(tǒng)仍作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。以振動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。以振動(dòng)系統(tǒng)在恒力作用下的平衡位在恒力作用下的平衡位置為原點(diǎn)，則可按常規(guī)置為原點(diǎn)，則可按常規(guī)立刻寫出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微立刻寫出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程或振動(dòng)表達(dá)式。分方程或振動(dòng)表達(dá)式。在本例中在本例中0dd22x

15、mktx)cos(taxm0l0 xxxo彈簧原長(zhǎng)彈簧原長(zhǎng)掛掛m后伸長(zhǎng)后伸長(zhǎng)某時(shí)刻某時(shí)刻m位置位置f伸伸 長(zhǎng)長(zhǎng)受彈力受彈力平衡位置平衡位置k17例例: 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的物體從傾角為的物體從傾角為 的光滑斜面頂點(diǎn)處由靜止滑下，的光滑斜面頂點(diǎn)處由靜止滑下，滑行滑行 遠(yuǎn)后與質(zhì)量為遠(yuǎn)后與質(zhì)量為m 的物體發(fā)生完全非彈性碰撞。的物體發(fā)生完全非彈性碰撞。m與倔強(qiáng)系與倔強(qiáng)系數(shù)為數(shù)為k的彈簧相連，碰前的彈簧相連，碰前m 靜止于斜面。求：運(yùn)動(dòng)方程。靜止于斜面。求：運(yùn)動(dòng)方程。 mmk解解1：取取m與與m 碰撞連在一起后的平衡位碰撞連在一起后的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。置為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)此時(shí)彈簧在設(shè)此時(shí)彈簧在m與與m的壓

16、縮的壓縮下退了下退了x0 。x0原長(zhǎng)原長(zhǎng)mmx0 坐標(biāo)系如圖坐標(biāo)系如圖0 x0sin)(xkgmm)(sin)(/dd)(022xxkgmmtxmmkxtxmm22dd)(以振動(dòng)系統(tǒng)在恒力作用下的平衡位置以振動(dòng)系統(tǒng)在恒力作用下的平衡位置為原點(diǎn)，則可按常規(guī)立刻寫出簡(jiǎn)諧振為原點(diǎn)，則可按常規(guī)立刻寫出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程或振動(dòng)表達(dá)式。動(dòng)的微分方程或振動(dòng)表達(dá)式。18例：一質(zhì)量為例：一質(zhì)量為m的物體從傾角為的物體從傾角為 的光滑斜面頂點(diǎn)處由靜止滑的光滑斜面頂點(diǎn)處由靜止滑下，滑行下，滑行 后遠(yuǎn)后與質(zhì)量為后遠(yuǎn)后與質(zhì)量為m的物體發(fā)生完全非彈性碰撞。的物體發(fā)生完全非彈性碰撞。m與與倔強(qiáng)系數(shù)為倔強(qiáng)系數(shù)為k的彈簧相連，

17、碰前的彈簧相連，碰前m靜止于斜面。求：運(yùn)動(dòng)方程。靜止于斜面。求：運(yùn)動(dòng)方程。kxtxmm22dd)(mmk以以碰撞時(shí)作為記碰撞時(shí)作為記時(shí)起點(diǎn)時(shí)起點(diǎn)動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒sin20gmmmv初位置初位置sin0gkmx002020/xtgxavv)cos(taxa和和 0由初始條件由初始條件確定確定19ckxmm2221)(21v0dd)(kxtmmv0dd)(22kxtxmm解解2 : 取平衡位置取平衡位置（x = 0）為為系統(tǒng)勢(shì)能系統(tǒng)勢(shì)能的零點(diǎn)。的零點(diǎn)。系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解法2. 由分析能量出發(fā)由分析能量出發(fā)( (將能量守恒式對(duì)將能量守恒式對(duì)t

18、求導(dǎo)求導(dǎo)) )mmk20勢(shì)能討論勢(shì)能討論取平衡位置取平衡位置（x = 0）為系統(tǒng)為系統(tǒng)勢(shì)能的零點(diǎn)。勢(shì)能的零點(diǎn)。) 1 (21)(212122020kammkxv機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 （初始（初始最大位移）最大位移）另，設(shè)彈簧自然長(zhǎng)度（未形變）時(shí)彈性勢(shì)能為零，重力勢(shì)另，設(shè)彈簧自然長(zhǎng)度（未形變）時(shí)彈性勢(shì)能為零，重力勢(shì)能的零點(diǎn)取在能的零點(diǎn)取在 x = 0 處。處。sin)()(21)(21020200gxmmmmxxkv)2(sin)()(2120gammaxk(2) (1)0sin)(xkgmm21勢(shì)能討論勢(shì)能討論取平衡位置取平衡位置（x = 0）為系統(tǒng)為系統(tǒng)勢(shì)能的零點(diǎn)。勢(shì)能的零點(diǎn)。) 1 (21

19、)(212122020kammkxv機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒20202)(212121vmmkxka20202vkmmxammk22020vxa由初始條件決定由初始條件決定a也是機(jī)械能守恒定律的必然結(jié)果。也是機(jī)械能守恒定律的必然結(jié)果。22任何一個(gè)實(shí)際的彈簧都是有質(zhì)量的，如果考慮彈簧的質(zhì)量，任何一個(gè)實(shí)際的彈簧都是有質(zhì)量的，如果考慮彈簧的質(zhì)量，彈簧振子的振動(dòng)周期將變大還是變小？彈簧振子的振動(dòng)周期將變大還是變??？ 討論討論變大變大變小變小參考解答：因?yàn)閺椈烧褡拥闹芷跊Q定于系統(tǒng)的慣性和彈性，慣性越大參考解答：因?yàn)閺椈烧褡拥闹芷跊Q定于系統(tǒng)的慣性和彈性，慣性越大則周期越大。因此可以定性地說，在考慮了彈簧的質(zhì)量

20、之后，彈簧振則周期越大。因此可以定性地說，在考慮了彈簧的質(zhì)量之后，彈簧振子的周期肯定會(huì)變大。子的周期肯定會(huì)變大。若振子的質(zhì)量為若振子的質(zhì)量為m，彈簧的質(zhì)量為，彈簧的質(zhì)量為m，彈簧的勁度系數(shù)為，彈簧的勁度系數(shù)為k，可以計(jì)，可以計(jì)算出，在考慮了彈簧的質(zhì)量之后，彈簧振子的振動(dòng)周期為算出，在考慮了彈簧的質(zhì)量之后，彈簧振子的振動(dòng)周期為kmmt3/223解：平衡時(shí)解：平衡時(shí)0 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。物體運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。物體運(yùn)動(dòng)到x 處時(shí)，處時(shí)，速度為速度為v .設(shè)此時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為設(shè)此時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為l,ddvlltxll速度為：速度為：彈簧、物體的動(dòng)能分別為：彈簧、物體的動(dòng)能分別為：202161)d(21vvm

21、llllmelk2221vmek前提前提: : 彈簧各等長(zhǎng)小段變形相同，位移是線性規(guī)律彈簧各等長(zhǎng)小段變形相同，位移是線性規(guī)律彈簧元彈簧元dl的質(zhì)量的質(zhì)量llmmdd位移為位移為xllxxm0vdll例：勁度系數(shù)為例：勁度系數(shù)為k、質(zhì)量為質(zhì)量為m 的均勻彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為的均勻彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為m 的物體，在光滑水平面內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng)。求解其運(yùn)動(dòng)。的物體，在光滑水平面內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng)。求解其運(yùn)動(dòng)。( ( m m ) )系統(tǒng)彈性勢(shì)能系統(tǒng)彈性勢(shì)能為為22kxep系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有常數(shù)常數(shù)222216121kxmmvv常數(shù)常數(shù)2221)3(21kxmmv將上式對(duì)時(shí)

22、間求導(dǎo)，整理后可得將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，整理后可得0dd)3(kxtmmv03dd22xmmktx2 因此，彈簧因此，彈簧質(zhì)量小于物體質(zhì)質(zhì)量小于物體質(zhì)量，且系統(tǒng)作微量，且系統(tǒng)作微運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧振運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)可視為子的運(yùn)動(dòng)可視為是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。kmmt) 3(22244.4 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1.1.同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成分振動(dòng)分振動(dòng) ：x1=a1cos( t+ 10)x2=a2cos( t+ 20)合振動(dòng)合振動(dòng) : :x = x1+ x2=a cos( t+ 0 ) 合振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)合振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng), , 其頻率仍為其頻率仍為 )

23、cos(21020212221aaaaa2021012021010coscossinsintgaaaa兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。動(dòng)的合成仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。合振動(dòng)的頻率與分振動(dòng)的合振動(dòng)的頻率與分振動(dòng)的頻率相同。頻率相同。 25兩種特殊情況兩種特殊情況 (1) (1)若兩分振動(dòng)同相若兩分振動(dòng)同相 20 10 = 2k ( k = 0,1,2, )(2)(2)若兩分振動(dòng)反相若兩分振動(dòng)反相 20 10 = (2k+1) ( k = 0,1,2, )如如 a1=a2 , 則則 a=0則則a=a1+a2 , 兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)則則a=|a1-a2|, 兩分

24、振動(dòng)相互減弱兩分振動(dòng)相互減弱)cos(21020212221aaaaa兩個(gè)振動(dòng)的位相差，對(duì)合成振動(dòng)起著重要的作用，這種兩個(gè)振動(dòng)的位相差，對(duì)合成振動(dòng)起著重要的作用，這種現(xiàn)象在波的干涉與衍射中具有特殊的意義現(xiàn)象在波的干涉與衍射中具有特殊的意義 26n個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的振幅相等，初振動(dòng)，它們的振幅相等，初相分別為相分別為0, , , 2, 2 , ., , ., 依次差一個(gè)恒量依次差一個(gè)恒量 ，振動(dòng)表振動(dòng)表達(dá)式可寫成達(dá)式可寫成 采用旋轉(zhuǎn)矢量法可使問題得到簡(jiǎn)化，從而避開煩瑣采用旋轉(zhuǎn)矢量法可使問題得到簡(jiǎn)化，從而避開煩瑣的三角函數(shù)運(yùn)算。的三角函數(shù)運(yùn)算。 根據(jù)矢量合成法

25、則，根據(jù)矢量合成法則，n個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量的個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量的合成如下圖所示：合成如下圖所示：taxcos1)cos(2tax )2cos(3tax) 1(cosntaxn2. 2. 多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成合振動(dòng)的頻率與分振動(dòng)的頻率相同。合振動(dòng)的頻率與分振動(dòng)的頻率相同。 合振動(dòng)的振幅和初相是分析的關(guān)鍵合振動(dòng)的振幅和初相是分析的關(guān)鍵! !27nocm taxcos1)cos(2tax )2cos(3tax) 1(cosntaxnox1a2a3a4a5acam 因各個(gè)振動(dòng)的振幅相同且相差依次恒為因各個(gè)振動(dòng)的振幅相同且相差依次恒為 , ,上圖中上圖

26、中各個(gè)矢量各個(gè)矢量 的起點(diǎn)和終點(diǎn)都在以的起點(diǎn)和終點(diǎn)都在以c為圓心的圓周上，根據(jù)簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系，可得為圓心的圓周上，根據(jù)簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系，可得）、.(4321aaaa.21它們的夾角顯然等于，交于的垂直平分線，兩者相和作caa28nocm 在三角形在三角形ocm中中, ,om 的長(zhǎng)度就是的長(zhǎng)度就是合合振動(dòng)振動(dòng)的的振幅振幅a, ,角度角度 mox就是就是合合振動(dòng)振動(dòng)的初相的初相 ，據(jù)此得，據(jù)此得2sin2naoc考慮到考慮到2sin2oca 2sin2sinnaa comcoxmox21)(21)(21nnox1a2a3a4a5acam21cos2sin2sinntnax293.3.同方向不同頻率的

27、兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 拍拍兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率 1和和 2很接近，且很接近，且12)cos(),cos(02220111taxtax兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成得：兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成得：)2cos()2cos(20121221ttaxxx合振動(dòng)可視為合振動(dòng)可視為角頻率為角頻率為隨時(shí)間變化很慢可隨時(shí)間變化很慢可看作合振動(dòng)的振幅看作合振動(dòng)的振幅隨時(shí)間變化較快可隨時(shí)間變化較快可看作作諧振動(dòng)的部分看作作諧振動(dòng)的部分,212)2cos(212ta振幅為振幅為的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。由于振幅總是正值，而余弦函數(shù)的絕對(duì)值以由于振幅總是正值，而余弦函數(shù)的絕對(duì)值以 為周期，因而

28、為周期，因而振幅變化的周期振幅變化的周期 可由可由決定，212振幅變化的頻率即拍頻振幅變化的頻率即拍頻12122130同一直線上，不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成同一直線上，不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成 拍拍旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量幾何法分析幾何法分析) cos(2222tax) cos(1111tax重合：重合：21aaa21aaa反向：反向：12ox1a12a2a, 拍頻拍頻: : 單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù) =| 2- 1| 561單位時(shí)間內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)a2比比a1多轉(zhuǎn)多轉(zhuǎn) 2 - 1圈，也就是合圈，也就是合振動(dòng)時(shí)加強(qiáng)時(shí)減弱（頻率為振動(dòng)時(shí)加強(qiáng)時(shí)減弱（頻率為 2 - 1）的拍現(xiàn)象。）的拍現(xiàn)象。31

29、兩個(gè)同頻率的相互垂直的分運(yùn)動(dòng)位移表達(dá)式兩個(gè)同頻率的相互垂直的分運(yùn)動(dòng)位移表達(dá)式消時(shí)間參數(shù)，得消時(shí)間參數(shù)，得)cos(101tax)(sin)cos(210202102021222212ayaxayax)cos(202tay 合運(yùn)動(dòng)一般是在合運(yùn)動(dòng)一般是在2a1 ( x 向向)、2a2 2 ( y 向向)范圍內(nèi)范圍內(nèi)的一個(gè)橢圓。的一個(gè)橢圓。 橢圓的性質(zhì)橢圓的性質(zhì)( (方位、長(zhǎng)短軸、左右旋方位、長(zhǎng)短軸、左右旋 ) )在在 a1 、a2確定之后確定之后, ,主要決定于主要決定于 = 20 - 10。4.4. 相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成32幾種特殊情況幾種特殊情況1020024345

30、2347433方向垂直的不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成方向垂直的不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成兩分振動(dòng)頻率相差很小兩分振動(dòng)頻率相差很小可看作兩頻率相等而可看作兩頻率相等而 隨隨t 緩緩慢變化，合運(yùn)動(dòng)軌跡將按上頁(yè)慢變化，合運(yùn)動(dòng)軌跡將按上頁(yè)圖依次緩慢變化圖依次緩慢變化 軌跡稱為李薩如圖形軌跡稱為李薩如圖形兩振動(dòng)的頻率成整數(shù)比兩振動(dòng)的頻率成整數(shù)比t )(120,42:3:1020yx34無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng) 物體在彈性力或準(zhǔn)彈性力作用下產(chǎn)生的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)稱無物體在彈性力或準(zhǔn)彈性力作用下產(chǎn)生的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)稱無阻尼自由振動(dòng)。阻尼自由振動(dòng)。阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 物體在彈性力（或準(zhǔn)彈性力）和物體在彈性力（或準(zhǔn)彈性力）和阻力

31、阻力作用下產(chǎn)生的運(yùn)作用下產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)稱阻尼振動(dòng)。動(dòng)稱阻尼振動(dòng)。4.5 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振阻尼振動(dòng)的種類：阻尼振動(dòng)的種類： 在阻尼振動(dòng)中，振動(dòng)系統(tǒng)所具有的能量將在振動(dòng)過程在阻尼振動(dòng)中，振動(dòng)系統(tǒng)所具有的能量將在振動(dòng)過程中逐漸減少。能量損失的原因通常有兩種：中逐漸減少。能量損失的原因通常有兩種： 一種是由于介質(zhì)對(duì)振一種是由于介質(zhì)對(duì)振動(dòng)物體的摩擦阻力，使振動(dòng)物體的摩擦阻力，使振動(dòng)系統(tǒng)的能量動(dòng)系統(tǒng)的能量逐漸變?yōu)闊嶂饾u變?yōu)闊徇\(yùn)動(dòng)的能量運(yùn)動(dòng)的能量而造成能量損而造成能量損失。這稱失。這稱摩擦阻尼摩擦阻尼。 另一種是由于振動(dòng)物體引起另一種是由于振動(dòng)物體引起鄰近質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)，使振動(dòng)系統(tǒng)的能鄰近

32、質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)，使振動(dòng)系統(tǒng)的能量逐漸向四周輻射出去，量逐漸向四周輻射出去，轉(zhuǎn)變?yōu)檗D(zhuǎn)變?yōu)椴▌?dòng)的能量波動(dòng)的能量，而造成系統(tǒng)能量損，而造成系統(tǒng)能量損失。這稱失。這稱輻射阻尼輻射阻尼。35阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)txfrddv彈性力和上述阻力作用下的微分方程：彈性力和上述阻力作用下的微分方程：在流體在流體( (液體、氣體液體、氣體) )中運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)物體速度較小時(shí)，中運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)物體速度較小時(shí)，阻力阻力 速度，速度， ：阻力系數(shù)。阻力系數(shù)。txkxtxmdddd22m2;20mk令：令：稱稱 0 0為振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率，稱為振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率，稱 為阻尼因子為阻尼因子0dd2dd2022xtxtx36(1)

33、(1) 2 02 阻尼較小時(shí)阻尼較小時(shí)，此方程的解此方程的解： 220)cos()(0taetxt這種情況稱為這種情況稱為欠阻尼欠阻尼0dd2dd2022xtxtx由初始條件決定由初始條件決定a和初相位和初相位 0, ,設(shè)設(shè)000dd,)0(,0vttxxxt即有即有： 00000cossincosaaaxv,)(220020 xxav0000 xxtgv37欠阻尼下欠阻尼下1.1.振幅特點(diǎn)振幅特點(diǎn)振幅：振幅：a(t) = ae- t)cos()(0taetxt振幅隨振幅隨t t 衰減。衰減。 2.2.周期特點(diǎn)周期特點(diǎn)嚴(yán)格講，嚴(yán)格講，阻尼振動(dòng)不是阻尼振動(dòng)不是周期性振動(dòng)周期性振動(dòng)( (更不是簡(jiǎn)諧

34、更不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)振動(dòng)) )，因?yàn)槲灰?，因?yàn)槲灰苮(t)不不是是t 的周期函數(shù)。的周期函數(shù)。但阻尼振動(dòng)有某種重但阻尼振動(dòng)有某種重復(fù)性。復(fù)性。202 )2(阻尼較大時(shí)，方程的解：阻尼較大時(shí)，方程的解：tteetxcc)(2)(1202202)(其中其中c1,c2是積分常數(shù)，由初始條件來決是積分常數(shù)，由初始條件來決定，這種情況稱為定，這種情況稱為過阻尼過阻尼。無振動(dòng)發(fā)生無振動(dòng)發(fā)生38tetcctx)()(21(3) (3) 如果如果 2= 02 方程的解：方程的解：無振動(dòng)發(fā)生無振動(dòng)發(fā)生c1,c2是積分常數(shù)，由初始條件來決定，是積分常數(shù)，由初始條件來決定，這種情況稱為這種情況稱為臨界阻尼臨界阻尼。 2

35、= 02( (臨界阻尼臨界阻尼) ) 情形下情形下: :阻尼振動(dòng)微分方程的解將是非振阻尼振動(dòng)微分方程的解將是非振動(dòng)性的運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)物體連一次振動(dòng)性的運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)物體連一次振動(dòng)也不能完成，能量即已耗光，動(dòng)也不能完成，能量即已耗光，物體慢慢移向平衡位置。和過阻物體慢慢移向平衡位置。和過阻尼情形相比，臨界阻尼情形下，尼情形相比，臨界阻尼情形下，物體回到平衡位置并停在那里，物體回到平衡位置并停在那里，所需時(shí)間最短。所需時(shí)間最短。 應(yīng)用：電表阻尼、天平阻尼應(yīng)用：電表阻尼、天平阻尼39 物體在物體在周期性外力周期性外力的持續(xù)作用下發(fā)生的振動(dòng)稱為的持續(xù)作用下發(fā)生的振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)。物體所受驅(qū)動(dòng)力：物體所受驅(qū)動(dòng)力：tffcos0運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：tftxkxtxmcosdddd022設(shè)設(shè)mk20m2tmfxtxtxcosdd2dd02022受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振 1.1.受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)40對(duì)于阻尼較小的情形，運(yùn)動(dòng)方程之解表為對(duì)于阻尼較小的情形，運(yùn)動(dòng)方程之解表為: :)cos() cos(