等比數(shù)列前n項和分享資料

1、.12.52.5等比數(shù)列等比數(shù)列前前n n項和項和.2回顧舊知回顧舊知1.1.等比數(shù)列等比數(shù)列anan的通項公式：的通項公式：1n1nqaa注意：注意：當(dāng)當(dāng)q=1q=1時，等比數(shù)列時，等比數(shù)列anan為常數(shù)列為常數(shù)列. . 2.2.求等比數(shù)列通項公式的方法：觀察歸納法、求等比數(shù)列通項公式的方法：觀察歸納法、累乘法。累乘法。3.3.回想一下解等比數(shù)列題的一些技巧與方法回想一下解等比數(shù)列題的一些技巧與方法. .3 國際象棋起源于古印度，關(guān)于國際象棋國際象棋起源于古印度，關(guān)于國際象棋還有一個傳說。國王獎賞發(fā)明者，問他有什還有一個傳說。國王獎賞發(fā)明者，問他有什么要求，他答道：么要求，他答道：“在棋盤第

2、一個格放在棋盤第一個格放1 1顆麥顆麥粒，在第二個格放粒，在第二個格放2 2顆麥粒，在第三個格放顆麥粒，在第三個格放4 4顆麥粒，在第四個格放顆麥粒，在第四個格放8 8顆麥粒。以此類推，顆麥粒。以此類推，每個格子放的麥粒數(shù)是前一個格子的每個格子放的麥粒數(shù)是前一個格子的2 2倍，直倍，直到到6464個格子。國王覺得這太容易了，就欣然個格子。國王覺得這太容易了，就欣然答應(yīng)了他的要求，答應(yīng)了他的要求，你認為國王能滿足他的要你認為國王能滿足他的要求嗎？求嗎？新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入.41+2+4+8+263= 18446744073709551615（粒）（粒） 已知麥子每千粒約為已知麥子每千粒約為40克，則

3、折合約為克，則折合約為737869762948382064克克7378.7億噸億噸.經(jīng)過計算，我們得到麥?？倲?shù)是經(jīng)過計算，我們得到麥?？倲?shù)是 那么這是怎么計算的呢？其實是一個比那么這是怎么計算的呢？其實是一個比較大小的問題，則實質(zhì)上是較大小的問題，則實質(zhì)上是求等比數(shù)列前求等比數(shù)列前n項和項和的問題的問題.5探討問題探討問題發(fā)明者要求的麥?？倲?shù)是：發(fā)明者要求的麥?？倲?shù)是：S64=1+2+22+23+263 上式有何特點？上式有何特點？如果式兩端同時乘以如果式兩端同時乘以2 2得得: :2S64=2+22+23+263+264 比較比較、兩式，有什么關(guān)系呢？兩式，有什么關(guān)系呢？.6S64=1+2+

4、22+23+263 2S64= 2+22+23+263+264 兩式上下相對的項完全相同，把兩式相減，兩式上下相對的項完全相同，把兩式相減，就可以消去相同的項，則得：就可以消去相同的項，則得：S64=264-1= 18446744073709551615設(shè)問：設(shè)問： 縱觀全過程，式兩邊為什么要乘以縱觀全過程，式兩邊為什么要乘以2 2呢？呢？.7在等比數(shù)列在等比數(shù)列anan中首先要考慮兩種情況：中首先要考慮兩種情況：當(dāng)當(dāng)q1q1時，時，Sn=Sn=a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an-1n-1+a+an n = =？當(dāng)當(dāng)q=1q=1時時 ，Sn=a1+a2+a3+an-1+an =

5、a1+a1+a1+a1+a1 =na1共共n個個a1 na1aqnS設(shè)等比數(shù)列設(shè)等比數(shù)列，首項為，首項為, ,公比為公比為 如何求前如何求前n n項和項和？.8 S1=a1 S2=a1 +a2 =a1+a1q =a1(1+q) S3=a1+a2+a3=a1+a1q +a1q2 =a1(1+q+q2) S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3 =a1(1+q+q2+q3)分析：分析：.9 Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 qSn= a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn -得：得： Sn (1q)=a1a1qn當(dāng)

6、當(dāng)q1時，時，q1)q1(asn1n .10則等比數(shù)列則等比數(shù)列an前前n項和公式為項和公式為Sn=na1 q=1q1)q1(an1 q11.注意注意q=1與與q1兩種情況兩種情況.2.q1時，時，q1qaaq1)q1 (asn1n1n .11 通過上面的講解，對于等差數(shù)通過上面的講解，對于等差數(shù)列的相關(guān)量列的相關(guān)量a a1 1、d d、n n、a an n、s sn n，一，一般確定幾個量就可以確定其他量？般確定幾個量就可以確定其他量？a1、an、nan、sna1、d、ana1、d、na1、an、snan、d、nan、sn、nn、snd、snd、na1、sna1、d.12例例1 等比數(shù)列等比

7、數(shù)列 a an n 的公比的公比q q = = ，a a8 8=1=1，求它的，求它的前前8 8項和項和S S8 8. .21解法解法1 1：因為：因為a a8 8= =a a1 1q q7 7，所以，所以 77812qaa 因此因此 25512211)21(1 2q1)q1(as887818 .13 解法解法2 2：把原數(shù)列的第：把原數(shù)列的第8 8項當(dāng)作第一項，第項當(dāng)作第一項，第1 1項項當(dāng)作第當(dāng)作第8 8項，項， 即順序顛倒，也得到一個等比數(shù)列即順序顛倒，也得到一個等比數(shù)列 b bn n ，其中其中b b1 1= =a a8 8=1=1，q q=2=2，所以前，所以前8 8項和項和 255

8、2121q1)q(1bs8818 .14求和求和 999999999999n 個個分析：數(shù)列分析：數(shù)列9 9，9999，999999，不是等比數(shù)列，不，不是等比數(shù)列，不能直接用公式求和，能直接用公式求和， 但將它轉(zhuǎn)化為但將它轉(zhuǎn)化為 10 101 1，1001001 1，100010001 1， 就可以解決了。就可以解決了。例例2.15原式原式=(10=(101)+(1001)+(1001)+(10001)+(10001)+(101)+(10n n1)1) =(10+100+1000+10=(10+100+1000+10n n) )n n10(101)10 1nn10(101)9nn解：解：.1

9、6例例3已知數(shù)列已知數(shù)列的前五項是的前五項是（1 1）寫出該數(shù)列的一個通項公式；）寫出該數(shù)列的一個通項公式；（2 2）求該數(shù)列的前）求該數(shù)列的前n n項和項和an.24315,8114,2713,912,311ns分析：此數(shù)列的特征是分析：此數(shù)列的特征是兩部分構(gòu)成，其中兩部分構(gòu)成，其中bann 是整數(shù)部分，又是等差數(shù)列，是整數(shù)部分，又是等差數(shù)列，anbn又是等比數(shù)列又是等比數(shù)列.是分數(shù)部分，是分數(shù)部分，和等比數(shù)列，所以此方法稱為和等比數(shù)列，所以此方法稱為“分組法求和分組法求和”所以此數(shù)列可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列所以此數(shù)列可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列.17解：解：（1），nn31na （2）)31n.()313

10、()312()311(sn32n )31.313131()n.321(n32 31)31(12)1n(nn 213)1n(n2132)1n(nnn .18 某工廠去年某工廠去年1 1月份的產(chǎn)值為月份的產(chǎn)值為a a元，月平均元，月平均增長率為增長率為p p( (p p0)0)，求這個工廠去年全年產(chǎn)值，求這個工廠去年全年產(chǎn)值的總和。的總和。解：該工廠去年解：該工廠去年2 2月份的產(chǎn)值為月份的產(chǎn)值為a a(1+(1+p p) )元，元， 3 3月，月，4 4月，月，的產(chǎn)值分別為，的產(chǎn)值分別為a a(1+(1+p p) )2 2元，元，a a(1+(1+p p) )3 3元，元， 所以所以1212個月

11、的產(chǎn)值組成一個等比數(shù)列，個月的產(chǎn)值組成一個等比數(shù)列，首項為首項為a a，公比為，公比為1+1+p p，例例4.1912121 (1) 1 (1)apSp12(1)1app答：該工廠去年全年的總產(chǎn)值為答：該工廠去年全年的總產(chǎn)值為 元。元。 12(1)1app.20求和：求和：.nn2n164834221S例例5為等比數(shù)列，公比為，利用錯位相減法求和為等比數(shù)列，公比為，利用錯位相減法求和. .設(shè)，其中為等差數(shù)列，設(shè)，其中為等差數(shù)列，nnn21n2na n n2121分析：分析：.21解：解： ，n432n21n214213212211S兩端同乘以，得兩端同乘以，得211nn5432n21n211)

12、(n214213212211S21 ,2n2121212121S211nn432n兩式相減得兩式相減得 于是于是. .n1nn2n212S.22 注意：當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的通項公式中有參數(shù)，注意：當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的通項公式中有參數(shù)，求前求前n n項和時要注意公比是否為項和時要注意公比是否為1 1例例6 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 求這個數(shù)列的前求這個數(shù)列的前n n項和項和0)(aa)(a1nn 解解:（與（與n n無關(guān)的常數(shù)）無關(guān)的常數(shù)） 所以該數(shù)列是等比數(shù)列，首項為所以該數(shù)列是等比數(shù)列，首項為1 1， ，該數(shù)列的公比為，該數(shù)列的公比為1 1， ，該數(shù)列的公比不為，該數(shù)列的公比不為1 1， aa)(a)(aa1nnn1n

13、 1a 1a nsn a1)a(1snn .23求和：求和：. .nn2n164834221S 為等比數(shù)列，公比為，利用錯位相減法求和為等比數(shù)列，公比為，利用錯位相減法求和. .設(shè)，其中設(shè)，其中 為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，nnn21n2na n n2121例例7.24解：，解：，n432n21n214213212211S 兩端同乘以，得兩端同乘以，得211nn5432n21n211)(n214213212211S21,2n2121212121S211nn432n 兩式相減得兩式相減得 于是于是. .n1nn2n212S .25 “一尺之棰，日取其半，萬世不竭一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，怎樣用

14、，怎樣用學(xué)過的知識來說明它？學(xué)過的知識來說明它？解：這句古語用現(xiàn)代文敘述是：解：這句古語用現(xiàn)代文敘述是： 一尺長的木棒，每天取它的一半，永遠也取不完一尺長的木棒，每天取它的一半，永遠也取不完. 如果每天取出的木棒的長度排成一個數(shù)列，則如果每天取出的木棒的長度排成一個數(shù)列，則得到一個首項為得到一個首項為a1= ，公比，公比q= 的等比數(shù)列，的等比數(shù)列，2121思考與余味思考與余味.26它的前它的前n項和為項和為 這說明一尺長的木棒，每天取它的一半，永這說明一尺長的木棒，每天取它的一半，永遠也取不完遠也取不完.nnn)21(1211)21(121s 不論不論n取何值，取何值， 總小于總小于1， n

15、)21(1 .27課堂小結(jié)課堂小結(jié)本節(jié)課主要講述了等比數(shù)列的前本節(jié)課主要講述了等比數(shù)列的前n n項和公式：項和公式： 以及他們的推導(dǎo)過程，在具體使用時以及他們的推導(dǎo)過程，在具體使用時,不不一定完全套用公式一定完全套用公式,要靈活變通要靈活變通.Sn=na1 q=1q1qaaq1)q1 (an1n1 q1.28 1. 1.推導(dǎo)等差數(shù)列前推導(dǎo)等差數(shù)列前 n n項和公式的方法項和公式的方法. .2.2.公式的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想公式的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想. . -錯位相加法錯位相加法-方程思想方程思想3.3.公式中五個量公式中五個量a a1 1, d, a, d, an n, n, s, n, sn n,

16、, 已知已知 其中三個量，可以求其余兩個其中三個量，可以求其余兩個. .-知三求二知三求二.29（0707年廣東）等比數(shù)列年廣東）等比數(shù)列aan n 中，中，a a1 1=3,a=3,an n=96,s=96,sn n=189,=189,求求n n的值的值解：解： 由由139618911nnaa qqsqq 得：得： q=2q=2所以：所以：111396nnnaa qq11232156nnqnn 高考鏈接高考鏈接.30隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1.求等比數(shù)列求等比數(shù)列的前的前8 8項的和項的和,.81,41,21解解: :21a1 8n 212141q 256255211)21(1 21s88 .312

17、.某商場第某商場第1年銷售計算機臺，如果年銷售計算機臺，如果平均每年的銷售量比上一年增平均每年的銷售量比上一年增加加10%，那么從第，那么從第1年起，約幾年內(nèi)可使總銷年起，約幾年內(nèi)可使總銷售量達到臺售量達到臺（保留到個位）？（保留到個位）？分析：由題意可知，每年銷售量比上一年增分析：由題意可知，每年銷售量比上一年增加的百分率相同，所以從第加的百分率相同，所以從第1年起，年起，每年的銷售量組成一個等比數(shù)列，總產(chǎn)量則每年的銷售量組成一個等比數(shù)列，總產(chǎn)量則為等比數(shù)列的前為等比數(shù)列的前n項和項和.32 na300001.11)1.15000(1n 6 .1lg1 .1lgn5lg1.1lg1.6n 解：設(shè)每年的產(chǎn)量組成一個等比數(shù)列解：設(shè)每年的產(chǎn)量組成一個等比數(shù)列 其中其中a1=5000，q=1+10%=1.1，Sn=30000整理可得：整理可得：1.11.1n n=1.6=1.6兩邊取對數(shù)得兩邊取對數(shù)得即：即：答：約答：約5年內(nèi)可以使總銷售量達到年內(nèi)可以使總銷售量達到30000臺臺.333.已知數(shù)列已知數(shù)列是等差數(shù)列，且是等差數(shù)列，且（1 1）求數(shù)列）求數(shù)列的通項公式；的通項公式； ，求數(shù)列，求數(shù)列的前的前n n項和項和（2 2）令）令an2a1 12aaa321 an)Rn(3abnnn bnns.34 解：（解：（1 1）設(shè)數(shù)列）設(shè)數(shù)列的公差是的公差是d,