【精品】淺談勾股定理的發(fā)展史

1、淺談勾股定理的發(fā)展史章正敏 43號(hào)（臨滄師范高等?？茖W(xué)校05級(jí)數(shù)學(xué)教育四班）提綱：一、引言淺談勾股定理的發(fā)展史，勾股定理是初中數(shù)學(xué)中重要定理之一, 它揭示了一個(gè)直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，它可以解決許多直 角三角形中的計(jì)算與證明問題，是解決直角三角形問題的主要依據(jù)之 一,在生產(chǎn)生活實(shí)際中用途很大，因而它是初中數(shù)學(xué)中，應(yīng)該重視而且 必須解決好的一個(gè)問題，我們對(duì)此要有深刻的認(rèn)識(shí)和理解同時(shí)，勾股 定理也是幾何學(xué)中的明珠，它充滿魅力，千百年來，人們對(duì)它的發(fā)展和 證明趨之若鸞，其中有著名的數(shù)學(xué)家、畫家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者， 有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國家總統(tǒng)對(duì)它的證明 和發(fā)展有很深的

2、探究。二、正文（一）中國最早的一部數(shù)學(xué)著作一一周髀算經(jīng)就介紹了有 關(guān)勾股定理的發(fā)展史。（-）1876年，美國的伽菲爾德也證明了勾股定理的存在。（三）1940年，西方的畢達(dá)魯斯在他的畢達(dá)拉斯命題中證明了勾股定理的存在。理。（四）歐兒里得在他的幾何原本中給出了勾股定理的推廣定（五）從勾股定理推廣到費(fèi)爾馬定理。三、總結(jié)四、參考文獻(xiàn)淺談勾股定理的發(fā)展史09級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)091102010176章正敏摘要：在中國最早的一部數(shù)學(xué)著作一一周髀算經(jīng)的開頭，就介紹 了有關(guān)勾股定理的發(fā)展背景。接著1876年一個(gè)周末的傍晚，伽菲爾 德更進(jìn)一步的證明了勾股定理的存在及勾股定理的內(nèi)容：直角三角形 兩直角a、b的平方和

3、等于斜邊c的平方。緊接著，很多的數(shù)學(xué)家在 前人的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步的證明了勾股定理的存在以及勾股定理推廣 到其它定理。還有，勾股定理在數(shù)學(xué)方面也得到了廣泛的應(yīng)用。 關(guān)鍵詞：淺談勾股定理發(fā)展史勾股定理又叫商高定理、畢氏定理，或稱畢達(dá)哥拉斯定理：在一 個(gè)直角三角形中，斜邊邊長(zhǎng)的平方等于兩直角邊邊長(zhǎng)平方之和。如果 直角三角形兩直邊分別為a、b,斜邊為c,那么a2+b2=c2o據(jù)考證， 人類對(duì)這條定理的認(rèn)識(shí)，少說也超過四千年！一、中國最早的一部數(shù)學(xué)著作一一周髀算經(jīng)就介紹了勾股 定理。在周髀算經(jīng)的開頭，記載著一段周公向商高請(qǐng)教數(shù)學(xué)知識(shí) 的對(duì)話：周公問：“我聽說你對(duì)數(shù)學(xué)非常精通，我想請(qǐng)教一下：天沒 有梯子可以

4、上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得 到關(guān)于天地的數(shù)據(jù)呢？ ”商高回答說：“數(shù)的產(chǎn)生源于對(duì)方和圓這些 形體的認(rèn)識(shí)。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形c矩得到的一條直邊'勾等于3,另一條直角邊 股，等于4的時(shí)候，那么它的斜邊弦, 就必定是5。這個(gè)原理是大禹在治水的時(shí)候就總結(jié)出來的了?！?這段文字描述了中國古代人民如何利用勾股定理在科學(xué)上進(jìn)行 實(shí)踐。錢偉長(zhǎng)教授對(duì)這段文字作了詳細(xì)的說明：“商高，陳子等利 用立桿測(cè)定日影，再用勾股法推算日高的方法。周髀商八尺，在鎬京 一帶，夏至日太陽影長(zhǎng)一尺六寸，再正南千里，影長(zhǎng)一尺五寸。正北 千里，影長(zhǎng)一尺七寸。祖先天才地用測(cè)量日影的辦法，推算了夏至

5、日 太陽離地的斜高，用同理測(cè)定了冬至日的太陽斜高。又取中空竹管， 徑一寸長(zhǎng)八尺，用來觀測(cè)太陽，我們的祖先發(fā)現(xiàn)太陽圓影恰好充滿竹 管的視線，于是用太陽的斜高和勾股的原則，推算太陽的直徑。這些 測(cè)定的數(shù)據(jù)雖然非常粗略，和實(shí)際相差很遠(yuǎn)，但在三千年前那樣早的 年代，有這樣天才的創(chuàng)造和實(shí)踐的觀測(cè)精神，是我們應(yīng)該學(xué)習(xí)的?！?由此，中國人把這個(gè)定理稱為勾股定理或商高定理。二、1876年，美國的伽菲爾德也證明了勾股定理的存在。1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中 年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國俄亥俄州共和黨議 員伽菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小 孩

6、正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁?，時(shí)而大聲爭(zhēng)論，時(shí)而小聲探討。由于 好奇心驅(qū)使，伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底 在干什么。只見一個(gè)小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個(gè)直角三 角形。于是伽菲爾德便問他們?cè)诟墒裁?？那個(gè)小男孩頭也不抬地說： “請(qǐng)問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4,那么斜邊 長(zhǎng)為多少呢？"伽菲爾德答道：“是5呀。"小男孩又問道：“如果兩條 直角邊分別為5和7,那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)又是多少？"伽 菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7 的平方"小男孩說：“先生，你能說出其中的道理嗎？，伽菲爾德一

7、時(shí)語塞，無法解釋了，心里很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，立 即回家，潛心探討小男孩給他出的難題。他經(jīng)過反復(fù)思考與演算，終 于弄清了其中的道理，1876年4月1日，伽菲爾德在新英格蘭教 育日志上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證法。1881年，伽菲爾德就 任美國第二十任總統(tǒng)。后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、 易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。三、1940年，西方的畢達(dá)魯斯在他的畢達(dá)拉斯命題中證明 了勾股定理的存在。在西方，勾股定理稱為畢達(dá)哥拉斯定理，這是因?yàn)槲鞣降臄?shù)學(xué)及 科學(xué)來源于古希臘，古希臘流使下來的最古老的著作是歐幾里得的 幾何原本，而其中許多定理再往前追溯，自然就在畢達(dá)

8、哥拉斯的 頭上，要知道畢達(dá)哥拉斯被推崇為“數(shù)論的始祖”。雖然，畢達(dá)哥拉 斯有不少杰出的證明，如利用反證法證明血不是有理數(shù)，但最著名 的就是證明勾股定理。如果勾股定理的公式ca'+b?中的a,b,c未知 數(shù)，是第一個(gè)不定方程（即未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)）也是最早 得出完整解答的不定方程，它一方面引導(dǎo)到各式各樣的不定方程，另 一方面也為不定方程的解題程序樹立了一個(gè)范式。四、歐兒里得在他的幾何原本中給出了勾股定理的推廣定理。幾何原本中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊 上的一個(gè)直邊形，其面積為兩直角邊上兩個(gè)與之相似的直邊形面積之 和”。從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角

9、形的三邊為 直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等于直角邊上兩個(gè)多面體表 面積之和。若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的 表面積等于兩直角邊上所作二球面積之和等等。五、從勾股定理推廣到費(fèi)爾馬定理。如果有人問起上世紀(jì)數(shù)學(xué)界中最重要的結(jié)果是什么，我相信很多 人會(huì)說費(fèi)爾馬大定理。這個(gè)懸置長(zhǎng)達(dá)350多年的、比歌德巴赫猜想更 著名的難題在1995年被英國數(shù)學(xué)家維爾斯徹底解決。1996年3月維 爾斯因此榮獲沃爾夫獎(jiǎng)。首先，讓我們來介紹費(fèi)爾馬大定理。學(xué)過平面幾何的人都知道，設(shè)a、b為直角三角形 的兩條邊長(zhǎng)， 則斜邊的邊長(zhǎng)跟a、b滿足關(guān)系式c2=a2+b2o中國人稱它為商高定理, 因?yàn)樵诠糯臄?shù)

10、學(xué)書籍周髀算經(jīng)里記載古代數(shù)學(xué)家商高談到這 個(gè)關(guān)系式。更普遍也稱為勾股定理，這是因?yàn)樵谥荀滤憬?jīng)中記 載著“勾三，股四，弦五”，并且清楚地討論了它們與直角三角形的 關(guān)系，其后的著作中也有其他的勾股數(shù)。費(fèi)爾馬對(duì)數(shù)學(xué)卻有濃厚的興 趣，在公余時(shí)間常讀數(shù)學(xué)書，并自己從事一些數(shù)學(xué)研究。他在閱讀希 臘數(shù)學(xué)家丟番圖的算術(shù)一書中論述求解x2+y2=z2的一般解的問題 時(shí)，在書的空白處，用筆寫下這樣的心得：“反過來說不可能把一個(gè) 立方數(shù)分析為兩個(gè)立方數(shù)的和，一個(gè)四方數(shù)分析成兩個(gè)四方數(shù)之和。 更一般地，任何大于二的方數(shù)不能分析為同樣方數(shù)的兩個(gè)之和。”用 數(shù)學(xué)語言來表達(dá)，費(fèi)爾馬結(jié)論是：當(dāng)n> 3時(shí)，xn+yn=z

11、n沒有正數(shù)數(shù) 解。人們不相信費(fèi)爾馬找到了這個(gè)結(jié)論的證明，或者正如成千上萬的 后來人一樣，自以為證明出來而實(shí)際上搞錯(cuò)了，因?yàn)樵S多有名的數(shù)學(xué) 家都試圖證明它。1983年，史皮婁提出史皮婁猜想，并證明由史皮 婁猜想可以推出，對(duì)于充分大的指數(shù)，費(fèi)爾馬大定理均成立。1987 年，塞爾由伽羅華表示出發(fā)提出一些更強(qiáng)的猜想，由它不僅可以推出 費(fèi)爾馬大定理，還可推出許多其他猜想，但這條路最終也沒有能走通。 1985年，符萊證明如果費(fèi)爾馬方程有非零解，則我們稱之為模曲線。 模曲線有很好的性質(zhì)。我們希望任一橢圓曲線都是模曲線，這就是谷 山一志猜想。此后，數(shù)學(xué)家把證明費(fèi)爾馬大定理化為證明對(duì)某一類橢 圓曲線。英國數(shù)學(xué)家維爾斯正是沿著這一道路，在經(jīng)過漫長(zhǎng)的7年探 索，終于在1993年6月取得突破。最終在1995年完全證明費(fèi)爾馬定 理。總結(jié)：勾股定理又叫商高定理、畢氏定理，或稱畢達(dá)哥拉斯定理，它是 初中數(shù)學(xué)中重要定理之一，它揭示了一個(gè)直角三角形三條邊之間的數(shù) 量關(guān)系，它可以解決許多直角三角形的計(jì)算與證明問題，是解決直角 三角形問題的主要依據(jù)之一。參考文獻(xiàn)：1 胡作玄主編從畢達(dá)哥拉斯到費(fèi)爾馬湖北教育出版社2 曲安京：商高、趙爽與劉徽關(guān)于勾股定理的證明.刊於數(shù)學(xué)傳播20卷，臺(tái)灣，1996年9月第3期，20-27頁。3 周髀算經(jīng)，文物出版社