偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用ppt課件

1、小結(jié)小結(jié) 思索題思索題 作業(yè)作業(yè) 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線第九節(jié)第九節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用運用第八章第八章 多元函數(shù)微分法及其運用多元函數(shù)微分法及其運用一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面 1. 空間曲線的方程為參數(shù)方程設(shè)空間曲線的方程設(shè)空間曲線的方程( )( )( )( ) ,rr tt it jt kt物理意義:( )r t表示物體的即時速度.幾何意義:( )r t表示曲線的切向量.偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用設(shè)空間曲線的方程設(shè)空間曲線的方程)1()()()( tzztyytxx(1)式中

2、的三個函數(shù)均可導(dǎo)式中的三個函數(shù)均可導(dǎo).M.),(0000tttzzyyxxM 對對應(yīng)應(yīng)于于;),(0000ttzyxM 對對應(yīng)應(yīng)于于設(shè)設(shè)M Oxyz闡明幾何意義偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用調(diào)查割線趨近于極限位置調(diào)查割線趨近于極限位置 xxx0t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t MM 割線割線 的方程為的方程為MM ,000zzzyyyxxx yyy0zzz 0切線的過程切線的過程Oxyz偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用,0,時時即即當(dāng)當(dāng) tMM曲線在曲線在M處的切線方程處的切線方程)()()(000000tzzztyyytxxx 切向量切向量法平面法平面0)()

3、()(000000 zztzyytyxxtx切線的方向向量稱為曲線的切向量切線的方向向量稱為曲線的切向量.過過M點且與切線垂直的平面點且與切線垂直的平面.MM Oxyz000(),(),()Txtytzt偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用設(shè)曲線直角坐標(biāo)方程為設(shè)曲線直角坐標(biāo)方程為,)()(100000 xzzzxyyyxx . 0)()()(100000 zzxzyyxyxx法平面方程為法平面方程為2. 空間曲線的方程為空間曲線的方程為曲線的參數(shù)方程是曲線的參數(shù)方程是由前面得到的結(jié)果由前面得到的結(jié)果,在在M(x0, y0, z0)處處,令令)(),(xzzxyy )()(xzzxyyxx切

4、線方程為切線方程為x為參數(shù)為參數(shù),兩個柱面兩個柱面的交線的交線)()()(000000tzzztyyytxxx 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用.0處的切線與法平面方程處的切線與法平面方程在在 t: 求曲線求曲線 ttuezttyuuex301cossin2dcos解解2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty tez33 , 1)0( x, 2)0( y3)0( z切線方程切線方程322110 zyx法平面方程法平面方程0)2(3)1(2 zyx0832 zyx)()()(000000tzzztyyytxxx 0)()()(000000 zztzyytyxxtx例

5、例1即即,0時時當(dāng)當(dāng) t偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用例例2 在拋物柱面在拋物柱面 與與 的交線上的交線上, 求對應(yīng)求對應(yīng) 的點處的切向量的點處的切向量.x為參數(shù)為參數(shù),于是于是 , 1 x,12xy xz24 212xz 26xy 21 x解解 22126xzxyxx所以交線上與所以交線上與21 x對應(yīng)點的切向量為對應(yīng)點的切向量為: T1, 6,12.交線的參數(shù)方程為交線的參數(shù)方程為取取偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用設(shè)空間曲線方程為設(shè)空間曲線方程為,0),(0),( zyxGzyxF3.空間曲線的方程為空間曲線的方程為確定了隱函數(shù)確定了隱函數(shù)(此曲線方程仍可用方程組此曲線

6、方程仍可用方程組 兩邊分別對.)()( xzzxyy )()(xzzxyyxx,0)(),(,(0)(),(,( xzxyxGxzxyxF表示表示.)x求全導(dǎo)數(shù)求全導(dǎo)數(shù):兩個曲面兩個曲面的交線的交線偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用 xydd 利用利用2.結(jié)果結(jié)果, 0dddd xzGxyGGzyxzyzyGGFFxzxzGGFFzyzyGGFFyxyxGGFF)()(100000 xzzzxyyyxx 兩邊分別對,0)(),(,(0)(),(,( xzxyxGxzxyxFx求全導(dǎo)數(shù)求全導(dǎo)數(shù) 0dddd xzFxyFFzyx)()(100000 xzzzxyyyxx ddzx偏導(dǎo)數(shù)在幾何

7、上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用. 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy法平面方程為法平面方程為,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 切線方程為切線方程為,0),(0),( zyxGzyxF在點在點 M(x0, y0, z0)處的處的偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用解解的的在在點點求求曲曲線線)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 例例3 切線方程和法平面方程.法一法一 直接用公式;8),(222 zyxzyxF令令222),(zyxzyxG ,2xFx ,2yFy ;2zFz ,2xGx

8、 ,2yGy .2zGz 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用. 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy法平面方程法平面方程,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 切線方程切線方程偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用切線方程切線方程 1x0dd2dd22 xzzxyyx33dd0 Pxy0dd0 Pxz 法二法二 將所給方程的兩邊對x求導(dǎo)的的在在點點求求曲曲線線)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 切線方程和法平面方程.法平面方程法平面方程0)2(0)3(33)1(1 zyx. 0633

9、 yx xzzxyyxdd2dd22 3 y2 z133 0偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用設(shè)曲線設(shè)曲線)(),(),(tzztyytxx 證證)()(txXtx 因原點)0 , 0 , 0(0)()()()()()( tztztytytxtx即即0 于是于是 )()()(222tztytx證明此曲線必在以原點為證明此曲線必在以原點為的法平面都過原點的法平面都過原點,在任一點在任一點中心的某球面上中心的某球面上.曲線過該點的法平面方程為曲線過該點的法平面方程為),(),(),(tztytx故有故有)()(tyYty )()(tzZtz 0 C)()()(222tztytx 在法平面上,

10、任取曲線上一點任取曲線上一點0)()()(000000 zztzyytyxxtx偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線回想二元函數(shù)的部分線性化:設(shè)函數(shù)00( , )(,),f x yxy在點可微00000000,( , )(,)(,)(,)xyf x yf xyfxyxxfxyyy則表示一個平面進(jìn)一步調(diào)查曲面( , )zf x y與平面00000000(,)(,)(,)xyzf xyfxyxxfxyyy的關(guān)系.偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用引見用間隔來定義曲線的切線的概念.從而引出用間隔來定義的切平面的概念.本人看書.偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用

11、偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用yxzO 0),( zyxF 今在曲面今在曲面上任取一條上任取一條1. 設(shè)曲面設(shè)曲面的方程為的方程為0),( zyxF的情形的情形隱式方程隱式方程),(000zyxM ,),(000 zyxM 函數(shù)函數(shù)),(zyxF的偏導(dǎo)數(shù)在該點延續(xù)且不同的偏導(dǎo)數(shù)在該點延續(xù)且不同 時為零時為零. ,0tt )(),(),(000tztytx 且且點點M 對應(yīng)于參數(shù)對應(yīng)于參數(shù) 不全為零不全為零.過點過點M 的曲線的曲線,設(shè)其參數(shù)設(shè)其參數(shù)方程為方程為),(),(),(tzztyytxx 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用000 ( ),( ),( ),Tx ty tz tyxzO 0),

12、( zyxF),(000zyxM T 由于曲線由于曲線在曲面在曲面上上, 所以所以, 0)(),(),( tztytxF 在恒等式兩端對在恒等式兩端對t 求全導(dǎo)數(shù)求全導(dǎo)數(shù), 并令并令,0tt 那么那么得得 )(),(0000txzyxFx 假設(shè)記向假設(shè)記向量量000000000 ( , , ), ( , , ), ( , , ),xyznF x y z F x y z F x y z 曲線曲線在點在點M處切線的方向向量記為處切線的方向向量記為 那么那么式可改寫式可改寫成成, 0 Tn即向量即向量 Tn與與垂直垂直. . 0)(),()(),(00000000 tzzyxFtyzyxFzyn偏導(dǎo)

13、數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用 由于曲線由于曲線是曲面是曲面上過點上過點M的恣意一條的恣意一條曲線曲線,一切這些曲線在點一切這些曲線在點M的切線都與同一向量的切線都與同一向量垂直垂直, 因此這些切線必共面因此這些切線必共面,稱為曲面稱為曲面在點在點M的的nyxzO 0),( zyxF),(000zyxM n過點過點M且垂直于切且垂直于切法線法線, ,又是法線的方向向量又是法線的方向向量.向量向量n稱為曲稱為曲法向量法向量. .切平面切平面,由切線構(gòu)成的這一由切線構(gòu)成的這一平面平面,平面的直線稱為曲面平面的直線稱為曲面在在點點M的的面面在點在點M的的n偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運

14、用000000000 ( , , ),( , , ),( , , )xyznF x y zF x y zF x y z曲面在曲面在M(x0, y0 , z0)處的法向量處的法向量:切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法線方程為法線方程為),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 所以曲面所以曲面上在點上在點M的的偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用例4. 證明曲面(,)0f xaz ybz上恣意一點處的切平面都與直線xyzab平行,其中f具有延續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且, a b為

15、常數(shù).偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用2. 曲面方程形為曲面方程形為 的情形的情形),(yxfz 曲面在曲面在M處的切平面方程為處的切平面方程為, 0)()(,()(,(0000000 zzyyyxfxxyxfyx曲面在曲面在M處的法線方程為處的法線方程為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令,xxfF . 1 zF,yyfF 或或,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx , 1xynff顯式方程顯式方程000000000 ( , , ), ( , , ), ( , , )xyznF x y z F x y

16、z F x y z偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用 例例5過過上所有點處的切平面都上所有點處的切平面都證明曲面證明曲面xyxez .一定點一定點 證證,),(000是曲面上任一點是曲面上任一點設(shè)設(shè)zyx0000 xyexz 那么法向量那么法向量為為切平面方程為切平面方程為0)()()()1(000000000 zzyyexxexyxyxy),(yxfz , , 1 xynf f,)1(0000 xyexy n,00 xye1 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用0)1()1(000000000000000 zyexexyzyexexyxyxyxyxy0 0)()()()1(0000

17、00000 zzyyexxexyxyxy, 0)1(000000 zyexexyxyxy所以這些平面都過所以這些平面都過00 0 xyxez 原點原點.過過上所有點處的切平面都上所有點處的切平面都證明曲面證明曲面xyxez .一定點一定點偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用04222 zyxyxz與與平平面面曲曲面面平行的切平面的方程是平行的切平面的方程是( ).542 zyx偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用 例例6 證證, 0)().( aufczbyfaxz可可微微證證明明曲曲面面)均均為為常常數(shù)數(shù)、cb的一切切平面都與一常向量的一切切平面都與一常向量平行平行.那么曲面在任一點

18、處的法向量那么曲面在任一點處的法向量:,azczbyfaxzyxF )(),(令令那那么么,A nAbczbyfbcczbyfbcb )()(, 0 即即nA 所以所以,一切的切平面均與一切的切平面均與),(bcab 常向量常向量平行平行.0),(: zyxF曲曲面面方方程程MzyxFFFn),(, 曲面在曲面在M處的法向量處的法向量:1)( czbyf c n),(czbyfb ,ab取取, c b偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用 例例7 0523zyxzyx8522222 zyx 證證85222),(22 zyxzyxF令令過直線過直線L的平面束方程為的平面束方程為523 zyx即

19、即05)1()2()3( zyx 其法向量為其法向量為)1, 2,3( ,4xFx 2 zF,4yFy 0)( zyx 求過直線求過直線L且與曲面且與曲面相切之切平面方程相切之切平面方程.偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用設(shè)曲面與切平面的切點為設(shè)曲面與切平面的切點為),(000zyx那那么么過直線過直線L的平面束方程其法向量為的平面束方程其法向量為,4xFx 2 zF,4yFy ,85222),(22 zyxzyxF tyx 21424300 05)1()2()3(000 zyx 8522202020 zyx, 3, 121 tt因此因此7, 321 )1, 2,3( 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運

20、用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用過直線過直線L的平面束方程為的平面束方程為523 zyx0)( zyx 故故所求切平面方程為所求切平面方程為7, 321 523 zyx0)(3 zyx或或523 zyx0)(7 zyx即即526 zyx或或56510 zyx偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 的全微分的全微分在點在點函數(shù)函數(shù)),(),(00yxyxfz 由于曲面在由于曲面在M處的切平面方程處的切平面方程:全微分的幾何意義全微分的幾何意義,),(),(00的全微分的全微分在點在點yxyxfz 表示表示處處的的在在點點曲曲面面),(),(000

21、zyxyxfz 切平面上的點的豎坐標(biāo)的增量切平面上的點的豎坐標(biāo)的增量.切平面切平面上點的上點的豎坐標(biāo)豎坐標(biāo)的增量的增量偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff 或或)1,( yxff法向量法向量 ,若若表示曲面的法向量的方向角表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的并假定法向量的方向是向上的,即使得它與即使得它與z 軸的正向所成的角軸的正向所成的角 是銳角是銳角, 那么法向量那么法向量的的方向余弦為方向余弦為nn) 1 ,(yxff 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上

22、的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用由于由于(第三個分量為負(fù)第三個分量為負(fù)), 求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面 在恣意點在恣意點P(x, y, z)處向上的法向量處向上的法向量(即與即與z軸夾角為銳角軸夾角為銳角的法向量的法向量).122 yxz解解, 1),(22 yxyxf而而Pyxff)1,( )1,2 ,2( yx).1 ,2,2(yx 為向下的法向量為向下的法向量故向上的法向量應(yīng)為故向上的法向量應(yīng)為:偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周繞繞由曲線由曲線yzyx 0122322)2, 3, 0(解解12233222 yzx令令12323),(222 zyxzyxF)2,3,0(),(zyxFFF )26, 34, 0( )3, 2, 0(51 )2,3,0()6 ,4 ,6(zyx )3, 2, 0(51n|0nnn 得到的旋轉(zhuǎn)面在點得到的旋轉(zhuǎn)面在點處的指向外側(cè)的處的指向外側(cè)的單位法向量為單位法向量為( ).旋轉(zhuǎn)面方程為旋轉(zhuǎn)面方程為偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的運用空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法