通信原理 第二章

1、通信原理通信原理主講教師：李長紅主講教師：李長紅 自動化工程學院自動化工程學院EmailEmail：TelTel：0532-859507060532-85950706辦公地點：行思樓辦公地點：行思樓309309善教者，善教者，使人繼其事。使人繼其事。Please shut off your Cellphone!第二章第二章信信 號號42021-11-13第二章第二章 信號信號v 信號的類型信號的類型v 確知信號的性質確知信號的性質v 隨機變量的性質隨機變量的性質v 常見隨機變量舉例常見隨機變量舉例v 隨機變量的數字特征隨機變量的數字特征v 隨機過程隨機過程v 高斯過程高斯過程v 窄帶隨機過程窄

2、帶隨機過程v 正弦波加窄帶隨機過程正弦波加窄帶隨機過程v 信號通過線性系統(tǒng)信號通過線性系統(tǒng)v 信號的類型信號的類型v 確知信號的性質確知信號的性質v 隨機變量的性質隨機變量的性質v 常見隨機變量舉例常見隨機變量舉例v 隨機變量的數字特征隨機變量的數字特征v 隨機過程隨機過程v 高斯過程高斯過程v 窄帶隨機過程窄帶隨機過程v 正弦波加窄帶隨機過程正弦波加窄帶隨機過程v 信號通過線性系統(tǒng)信號通過線性系統(tǒng)52021-11-13信號的類型信號的類型v信號的分類信號的分類 按取值方式：按取值方式：模擬信號、數字信號；模擬信號、數字信號； 按信號的確定性：按信號的確定性：確定信號、隨機信號；確定信號、隨機

3、信號； 按時間的周期性：按時間的周期性：周期信號、非周期信號；周期信號、非周期信號； 按信號強度：按信號強度：能量信號、功率信號；能量信號、功率信號；v確知信號與隨機信號確知信號與隨機信號 確知信號：確定可預知，一般為時間的確定函數確知信號：確定可預知，一般為時間的確定函數 隨機信號：取值不確定，不能確切預知的信號隨機信號：取值不確定，不能確切預知的信號 如通信中的信號和噪聲如通信中的信號和噪聲隨機過程。隨機過程。 具有隨機性，可用統(tǒng)計規(guī)律來描述具有隨機性，可用統(tǒng)計規(guī)律來描述62021-11-13信號的類型信號的類型能量、功率信號能量、功率信號v 信號信號s(t) 瞬時功率：電流在單位電阻上消

4、耗的功率瞬時功率：電流在單位電阻上消耗的功率v 信號信號s(t) 在在(-T/2,T/2)內的平均功率：內的平均功率：2222 ()VPI RVIWR 2( )s t/22/2( )TTEst dt / 22/ 21lim( )TTTPst dtT 20( )Est dt v 能量信號：信號能量有限能量信號：信號能量有限v 功率信號：平均功率有限功率信號：平均功率有限/ 22/ 210lim( )TTTPst dtT 72021-11-13v 信號的類型信號的類型v 確知信號的性質確知信號的性質v 隨機變量的性質隨機變量的性質v 常見隨機變量舉例常見隨機變量舉例v 隨機變量的數字特征隨機變量的

5、數字特征v 隨機過程隨機過程v 高斯過程高斯過程v 窄帶隨機過程窄帶隨機過程v 正弦波加窄帶隨機過程正弦波加窄帶隨機過程v 信號通過線性系統(tǒng)信號通過線性系統(tǒng)第二章第二章 信號信號82021-11-13確知信號的性質確知信號的性質v頻域性質：頻域性質： 功率信號的頻譜功率信號的頻譜 能量信號的頻譜密度能量信號的頻譜密度 能量譜密度能量譜密度 功率譜密度功率譜密度v時域性質時域性質 自相關函數自相關函數 自相關與能量譜密度自相關與能量譜密度 自相關與功率譜密度自相關與功率譜密度92021-11-13確知信號確知信號頻域性質頻域性質v 功率信號的頻譜：功率信號的頻譜： 周期信號周期信號s(t)的頻譜

6、為傅立葉級數的系數的頻譜為傅立葉級數的系數C(jn 0)：00( )()njntns tC jne 000/20/201()( )TjntnTC jns t edtCT C(jn 0)又可記為：又可記為：0000011()( )|( )()TnTnC jnSSnTT 00/200/202( )( ), 2Tj tTTTSst edtfT 其其中中，周期信號頻譜離散，包含各次諧波的振幅和相位。周期信號頻譜離散，包含各次諧波的振幅和相位。0() |njnC jnCe 00|nnCnn ：是是頻頻率率為為的的復復振振幅幅： 是 是頻頻率率分分量量的的相相位位102021-11-13確知信號確知信號頻

7、域性質頻域性質v一般功率信號的頻譜：一般功率信號的頻譜：n定義截短信號：定義截短信號：n在一個在一個周期周期內計算傅里葉級數：內計算傅里葉級數：n頻譜為：頻譜為： , 20, TTTs ttstSt 其其它它 002,jntnns tC eT 0221TjntnTCs t edtT 其其中中 01TnST 02()nnSCn 0. ()nnorS fCfnf 112021-11-13確知信號確知信號頻域性質頻域性質v 舉例：舉例：周期性方波的頻譜周期性方波的頻譜 t| | /2( )0 | |/2t(T-| |)/2( )() Vf tf tf tT其它t)(tf22V其傅里葉系數：其傅里葉系

8、數：0/20/201C() =V()T2jntjnVedtTSa n頻譜是以頻譜是以SaSa函數函數 為外包絡的離散線條。為外包絡的離散線條。V()T2Sa-323-2n 002 VT2TCn2 122021-11-13確知信號確知信號頻域性質頻域性質v能量信號頻譜密度：能量信號頻譜密度：( )( )s tS ( )( ) (/)j tSs t edtV Hz 21( )( )2 (2)j tjfts tSedSf edf v反變換：反變換：n 充分條件：充分條件： s s(t) 在無限區(qū)間內絕對可積在無限區(qū)間內絕對可積: :( )s t dt 132021-11-13確知信號確知信號頻域性質

9、頻域性質v 能量信號能量信號s(t)頻譜密度：頻譜密度：S( ) .or. S(f) (V/Hz)v 功率信號功率信號頻譜：頻譜： C(jn 0) (V)， 00()( )lim C jnS功率信號頻譜在諧波上的功率密度：功率信號頻譜在諧波上的功率密度： 功率信號的頻譜密度功率信號的頻譜密度(引入引入( )：0( )2()nnSCn 0. ()()nnorS fCfnf 142021-11-13確知信號確知信號能量譜密度能量譜密度v 能量信號：能量有限能量信號：能量有限(限時或非限時信號限時或非限時信號)2221( )( )( )2Es tdtSdS fdf n 能量譜密度：單位帶寬能量譜密度

10、：單位帶寬/頻率上信號能量與頻率的函數關系頻率上信號能量與頻率的函數關系n 雙邊能量譜密度雙邊能量譜密度 22ESEfSfJ Hz 或或2(), 0()0, 0EffGff n 單邊能量譜密度單邊能量譜密度(針對實信號針對實信號)1( )( )2EEdE f df 001( )()2GdG f df n 信號能量信號能量152021-11-13確知信號確知信號功率譜密度功率譜密度 , 20, TTs ttstt 其其它它( )( )TTs tSf /222/2TTTTTEst dtSfdf v功率信號：平均功率有限功率信號：平均功率有限n 定義截短信號定義截短信號 22( )limlimTTT

11、TSfEPdfstTT 162021-11-13確知信號確知信號功率譜密度功率譜密度n 功率譜密度：單位帶寬功率譜密度：單位帶寬/頻率上信號平均功率與角頻率的關系頻率上信號平均功率與角頻率的關系n 雙邊功率譜密度雙邊功率譜密度 22limlimTTTTSSfPPfWHzTT 或或2(), 0()0, 0PffB ff n 單邊功率譜密度單邊功率譜密度(針對實信號針對實信號)1( )( )2PPdP f df 001( )()2BdB f df n 信號功率信號功率問題：周期信號的連續(xù)問題：周期信號的連續(xù)功率功率(譜密度譜密度)表示？表示？172021-11-13時域性質時域性質能量信號的自相關

12、函數能量信號的自相關函數 (1)RR v 能量信號的自相關函數能量信號的自相關函數 *( ) ()( ) ()Rst s tdts t s tdt 實實信信號號 (2)0RR (3)0ER (4)RG v 能量信號的互相關函數能量信號的互相關函數 1212*( ) ()Rst s tdt 121212*RSSS 2112RR182021-11-13時域性質時域性質能量信號的自相關函數能量信號的自相關函數t)(tf0202100200()()2FSa002()F2002( )R0000FTFT舉例：舉例：192021-11-13時域性質時域性質功率信號的自相關函數功率信號的自相關函數v 功率信號

13、的自相關函數功率信號的自相關函數 2/22/211lim*( ) ()lim( ) ()TTTTTTRst s tdts t s tdtTT 實實信信號號 (1)0RR (2)0PR (3)RP v 功率信號的互相關函數功率信號的互相關函數 2121221lim*( ) ()TTTRst s tdtT 1212RP 2limTTSPT 202021-11-13時域性質時域性質周期信號自相關函數周期信號自相關函數0( )jntnnftC e 002,T 2nnPC2012()2nnCnd 功率譜密度功率譜密度20()nnCfnfdf2200( )2()()nnnnPCnCfnf 1( ) ( )

14、RP fF022j nfnnCe周期信號的自相關函數也周期信號的自相關函數也是周期為是周期為 的周期函數。的周期函數。0T212021-11-13v 信號的類型信號的類型v 確知信號的性質確知信號的性質v 隨機變量的性質隨機變量的性質v 常見隨機變量舉例常見隨機變量舉例v 隨機變量的數字特征隨機變量的數字特征v 隨機過程隨機過程v 高斯過程高斯過程v 窄帶隨機過程窄帶隨機過程v 正弦波加窄帶隨機過程正弦波加窄帶隨機過程v 信號通過線性系統(tǒng)信號通過線性系統(tǒng)第二章第二章 信號信號自學自學v 信號的類型信號的類型v 確知信號的性質確知信號的性質v 隨機變量的性質隨機變量的性質v 常見隨機變量舉例常見

15、隨機變量舉例v 隨機變量的數字特征隨機變量的數字特征v 隨機過程隨機過程v 高斯過程高斯過程v 窄帶隨機過程窄帶隨機過程v 正弦波加窄帶隨機過程正弦波加窄帶隨機過程v 信號通過線性系統(tǒng)信號通過線性系統(tǒng)統(tǒng)計特性統(tǒng)計特性通過線性系統(tǒng)通過線性系統(tǒng)222021-11-13隨機過程隨機過程基本概念基本概念v 隨機過程：含有隨機過程：含有隨機變量隨機變量的的時間函數時間函數。( )cos()X tAt隨機變量隨機變量v 理解理解1 1：隨機變量在時間軸上：隨機變量在時間軸上的擴展，即時間進程中各時的擴展，即時間進程中各時刻隨機變量的集合刻隨機變量的集合X(x,t)。v 理解理解2 2：同一實驗同一實驗隨機

16、樣隨機樣本函數本函數的集合的集合xi(t)。232021-11-13隨機過程隨機過程統(tǒng)計特性：概率分布統(tǒng)計特性：概率分布v分布函數與概率密度分布函數與概率密度n一維概率分布函數一維概率分布函數11111(, )( )F x tP X txn一維概率密度函數一維概率密度函數1111111(; )(, )F x tf x txn二維概率分布函數二維概率分布函數212121122(,; ,)( ),( )F x x t tP X tx X txn二維概率密度函數二維概率密度函數2212122121212(,; ,)(,; ,)F x x t tfx x t tx x nn維概率分布和概率密度維概率分

17、布和概率密度242021-11-13隨機過程隨機過程統(tǒng)計特性：數字特征統(tǒng)計特性：數字特征2211( ) ( )E X tE X tv 一維數字特征：一維數字特征：11 1111( )( ; )E X tx f x t dx均值均值方差方差2111( )( )( )D X tEX ta tv 二維數字特征：二維數字特征：1212( ,)( )( )XRt tE X t X t自相關函數自相關函數122121212(,; ,)x x fx x t t dx dx 自協(xié)方差函數自協(xié)方差函數1( )a t21( )t若若 ，稱，稱 和和 不相關。不相關。12( ,)0B t t 1( )X t2( )

18、X t是時刻是時刻 t1 的函數。的函數。二維數字特征是時刻二維數字特征是時刻t1、t2 的函數。的函數。121122( ,)( )( )( )( )XBt tEX ta tX ta t1212( ,)( ) ( )R t ta t a t1212( , )( ) ( )XRt tE X tE X t252021-11-13隨機過程隨機過程平穩(wěn)性平穩(wěn)性v 狹義平穩(wěn)狹義平穩(wěn)(嚴格平穩(wěn)嚴格平穩(wěn)) 12121212,;,;,nnnnnnfxxxtttfxxxtttn ，n一維分布與時間無關，二維分布只與時間間隔一維分布與時間無關，二維分布只與時間間隔 ( t1 - t2 ) 有關；有關； 11111

19、111;fxtfxtfx 212122121221212,;,;,;fxxttfxxttfxxtt n數字特征：全部統(tǒng)計特性具有時間移動不變性；數字特征：全部統(tǒng)計特性具有時間移動不變性； 222( )( )( )EtaDtEta 1212212,R t tR ttRB t tRa v 廣義平穩(wěn)廣義平穩(wěn)(寬平穩(wěn)寬平穩(wěn))：一二維統(tǒng)計特性時間移動不變；：一二維統(tǒng)計特性時間移動不變； (1)( )Eta 12(2),R t tR 隨機過程隨機過程平穩(wěn)性平穩(wěn)性262021-11-13v 狹義平穩(wěn)狹義平穩(wěn)(嚴格平穩(wěn)嚴格平穩(wěn))隨機過程分布于隨機過程分布于n n個時刻取值獲得：個時刻取值獲得： 1212121

20、2,;,;,nnnnnnfxxxtttfxxxtttn ，稱該隨機過程嚴格平穩(wěn)或狹義平穩(wěn)。稱該隨機過程嚴格平穩(wěn)或狹義平穩(wěn)。嚴格平穩(wěn)隨機過程的全部統(tǒng)計特性嚴格平穩(wěn)隨機過程的全部統(tǒng)計特性具有時間移動不變性：具有時間移動不變性：n一維分布與時間無關，二維及以上分布只與時間間隔一維分布與時間無關，二維及以上分布只與時間間隔 ( t1 - t2 ) 有關；有關；n數字特征：全部統(tǒng)計特性具及以上有時間移動不變性；數字特征：全部統(tǒng)計特性具及以上有時間移動不變性； 222( )( )( )EtaDtEta 1212212,R t tR ttRB t tRa 隨機過程隨機過程平穩(wěn)性平穩(wěn)性272021-11-13

21、v 廣義平穩(wěn)廣義平穩(wěn)(寬平穩(wěn)寬平穩(wěn))：僅一二維統(tǒng)計特性時間移動不變；：僅一二維統(tǒng)計特性時間移動不變；若隨機過程若隨機過程X(t)X(t)的均值和方差是與時間無關的常數，自相關函數與的均值和方差是與時間無關的常數，自相關函數與計時與起點無關，只與時間間隔計時與起點無關，只與時間間隔( (= =t t2 2-t-t1 1) )有關。有關。11 1111( )( , )E X tx f x t dx1 1111( ,)x f x tdxa2111( )( )( )D X tEX ta t1212( ,)( )( )XRt tE X t X t122121212(,; ,)x x fx x t t d

22、x dx 21111()( , )Xaf x t dx( )xf x dx常數常數2()( )xaf x dx2常數常數122121212( ,;)x x fx x tt dx dx 21()R tt時間間隔時間間隔 的函數的函數282021-11-13隨機過程隨機過程平穩(wěn)性平穩(wěn)性v廣義平穩(wěn)的條件：廣義平穩(wěn)的條件：v廣義平穩(wěn)的性質：廣義平穩(wěn)的性質：v嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關系：嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關系： 12,XXXE X tmRt tR 2212,XXXXD X tCt tRm 必必定定未未必必292021-11-13隨機過程隨機過程統(tǒng)計特性：統(tǒng)計特性：舉例舉例 a tEt 2001sin()2td

23、1212,Rt tEtt 0120121coscos22Etttt 0121cos02tt 0 2001cos()2t 0 10 2sinsinEtt 0sinEt R 12 ( ,)( ), EtR t tRt 常常數數，隨隨機機過過程程廣廣義義平平穩(wěn)穩(wěn)例：例： ， 為常數，為常數， 是在是在 上服從均勻上服從均勻分布的隨機變量，求分布的隨機變量，求 、 ； 是否廣義平穩(wěn)？是否廣義平穩(wěn)？ 0sintt 0 0,2 Et 12,Rt t t 12tt 01cos()2 302021-11-13隨機過程隨機過程各態(tài)歷經性各態(tài)歷經性v各態(tài)歷經性各態(tài)歷經性(遍歷性遍歷性)：隨機過程的任一實現，經：隨

24、機過程的任一實現，經歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)2212121212221( )()lim( )( )(,;,)1 lim( )()TTTTTTE X txp x dxx t dtTRx x p xxttdx dxx t x tdtT n 隨機過程的隨機過程的數字特征數字特征等于任一實現等于任一實現(樣本函數樣本函數)的的時間平均時間平均。必必定定未未必必c312021-11-13隨機過程隨機過程實平穩(wěn)隨機過程實平穩(wěn)隨機過程v實平穩(wěn)隨機過程的自相關函數實平穩(wěn)隨機過程的自相關函數 2(0)REt ( )()RR ( )(0)RR n偶函數：偶函數：n有界性：有界性：n周期

25、性：周期性： ,( )().ttTRRT若若則則n統(tǒng)計平均總功率：統(tǒng)計平均總功率： 2( )REt n直流功率：直流功率：222(0)( )( ) ( ) ( )RREtEtDt n交流功率：交流功率： 2( )limREttEtEtEt 322021-11-13隨機過程隨機過程功率譜密度功率譜密度v 功率信號的功率譜密度：功率信號的功率譜密度： 2TlimTSfPfT v 平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度：平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度： 2TlimXTE SfPfE PfT ( )*()j tj tTTEst edtst edt2*( ) ( )( )TTTE SfE SfSf/2/2/2/2( )(

26、)TTj tj tTTEs t edts t edt/2/2()/2/2 ( )( )TTjt tTTE s t s tedtdtv Rx( )與與PX(f)的關系：的關系：332021-11-13隨機過程隨機過程功率譜密度功率譜密度()2222()TTjt tTTR tt edtdt /2/22()/2/2( ) ( )( )TTjt tTTTE SfE s t s tedtdt()( )TjTTRedttktt 令令：2( ) ( )limTXTE SfPfT( )jRedTT01T1平穩(wěn)隨機過程的自相關函數和功平穩(wěn)隨機過程的自相關函數和功率譜密度是一對傅里葉變換。率譜密度是一對傅里葉變換

27、。 ( )( )( , ) ( )E s t s tR t tRlim(1) ( )TjTTRedT( )R 342021-11-13隨機過程隨機過程功率譜密度功率譜密度v平穩(wěn)隨機過程的自相關函數與功率譜密度：平穩(wěn)隨機過程的自相關函數與功率譜密度：2|()|( )( )()limXTESfRRPfT v功率譜密度功率譜密度PX(f) 的性質：的性質：()0 ( )XPfR 是是正正定定函函數數()() ( )XXPfPfR 是是偶偶函函數數352021-11-13【例例2.82.8】設一隨機過程的功率譜密度設一隨機過程的功率譜密度PX(f)如圖所示。試求如圖所示。試求其自相關函數其自相關函數

28、R RX X( ( ) )。0f()P f0fA1f2f0ff1()PffAf解：解：1010( )()()P fP ffP ff212fff記記111( )( )RP fF2(2)A fSaf11010( )()()RP ffP ffF102( )cos(2)Rf( )R0f12 f4A f004(2)cos(2)A fSaff隨機過程隨機過程舉例舉例1102 ( )*()P fC fF包絡包絡載波載波362021-11-13隨機過程隨機過程舉例舉例 0( )R ，【例例2.92.9】試求白噪聲的自相關函數和平均功率。試求白噪聲的自相關函數和平均功率。解：解：f()nPf002n( )nR0

29、0(2)n1( )( )nnRPfF0( )2n 白噪聲任何二不同時刻白噪聲任何二不同時刻的抽樣值互不相關。的抽樣值互不相關。白噪聲的平均功率無窮大。白噪聲的平均功率無窮大。帶限白噪聲：帶限白噪聲：02nf( )nPf0HfHf12Hf( )nR00Hn f以間隔以間隔 1/2fH 對對帶帶限限白噪聲進行抽樣，各白噪聲進行抽樣，各抽樣值是互不相關的抽樣值是互不相關的隨機變量。隨機變量。0( )(2)nHHRn f Saf 0( )0R ，372021-11-13v 信號的類型信號的類型v 確知信號的性質確知信號的性質v 隨機變量的性質隨機變量的性質v 常見隨機變量舉例常見隨機變量舉例v 隨機變

30、量的數字特征隨機變量的數字特征v 隨機過程隨機過程v 高斯過程高斯過程v 窄帶隨機過程窄帶隨機過程v 正弦波加窄帶隨機過程正弦波加窄帶隨機過程v 信號通過線性系統(tǒng)信號通過線性系統(tǒng)第二章第二章信號信號382021-11-13高斯（正態(tài)）過程高斯（正態(tài)）過程1212121211 1nnnnbbbbBbb 其其中中，v 定義：任意定義：任意 n 維概率密度是正態(tài)分布式維概率密度是正態(tài)分布式 121221 21112,;,11exp22nnnnnjjkknjkjkjknfxxxtttxaxa BBB歸一化協(xié)方差函數：歸一化協(xié)方差函數：()()jjkkjkjkExaxab ()22kkkkkaE X t

31、EX ta 概率密度函數僅取決于各隨機變量的均值、方概率密度函數僅取決于各隨機變量的均值、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數( (相關系數相關系數) )392021-11-131121 2 12 ax fx高斯（正態(tài)）過程高斯（正態(tài)）過程v一維正態(tài)分布一維正態(tài)分布 221( )exp22xaf x n關于關于 x=a 對稱：對稱：f (a+x) = f (a-x)n在點在點 a 處取極大值處取極大值:121( )( )2( )1aaf x dxf x dxf x dx afxfx 左左右右平平移移寬寬窄窄a為均值，為均值，2為方差，為方差，皆為常數。皆為常數。廣義平

32、穩(wěn)廣義平穩(wěn)()()0ff 402021-11-13高斯（正態(tài)）過程高斯（正態(tài)）過程v高斯過程的性質：高斯過程的性質：廣義廣義平穩(wěn)平穩(wěn)ai， i2是常數是常數bjk僅與時間間隔僅與時間間隔 有關有關fX(x1xn;t1tn)僅與時間間隔僅與時間間隔 有關有關嚴格嚴格平穩(wěn)平穩(wěn)n不相關不相關 相互獨立相互獨立0jkbjx、 不相關不相關kx12121122(,; ,)(,)(,)(,)XnnXXXnnfxxxt ttfx tfxtfxtn高斯過程線性組合，依然是高斯過程高斯過程線性組合，依然是高斯過程相互獨立相互獨立n平穩(wěn)性：廣義平穩(wěn)平穩(wěn)性：廣義平穩(wěn) 嚴格平穩(wěn)嚴格平穩(wěn) nnnnkkkkkfxxxtttxa1212221,;,()1exp22 412021-11-13高斯（正態(tài)）過程高斯（正態(tài)）過程n概率積分函數概率積分函數:222()221()21 2zaxxazFxedzxaedz 21( )exp22xzxdz 22012()xxzzxerfxedzedz ( )1( )erfc xerf x ( )221erf xx n標準化正態(tài)分布標準化正態(tài)分布:21( )exp22xf x n 概率分布函數概率分布函數:n 誤