第六節(jié)雙曲線(學(xué)生用)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第六節(jié)雙曲線1 雙曲線的定義平面內(nèi)與定點(diǎn)F1、F 2 的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于 |F 1F 2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距2 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2y2y2x2，b>0)2222ab 1(a>0 ， b>0)a b 1(a>0圖形范圍xa 或 x ay a 或 y a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)對(duì)稱軸： 坐標(biāo)軸對(duì)稱中心： 原點(diǎn)頂點(diǎn)A1( a,0)， A2(a,0)A1(0， a)，A2(0， a)漸近線bay ± xy ± xab性質(zhì)離心率e c，

2、e (1， )，其中 c a2 b2a線段 A1A2 叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2| 2a；線段 B1 B2 叫做雙曲線實(shí)虛軸的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2| 2b； a 叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b 叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)2b2通徑a、 b、 c 的關(guān)系過焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦叫通徑，其長(zhǎng)為222， c>b>0)c a b (c>a>0a 小題能否全取 1若雙曲線方程為x2 2y2 1，則它的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. 2，0B. 5，0C. 6，0D.( 3，0)222x222若雙曲線 a2 y 1 的一個(gè)焦點(diǎn)為 (2,0)，則它的離心率為()25323A.5B. 2C.3D 2

3、2y21| 4|PF 2|，則 PF 1F23設(shè) F1，F(xiàn) 2 是雙曲線 x 1 的兩個(gè)焦點(diǎn)， P 是雙曲線上的一點(diǎn)， 且 3|PF24的面積等于()A4 2B8 3C 24D 48學(xué)習(xí)必備歡迎下載4雙曲線x222 y 1(a 0)的離心率為a2，則該雙曲線的漸近線方程為_ 5已知F1 (0， 5)， F 2(0,5)，一曲線上任意一點(diǎn)M 滿足 |MF 1| |MF 2| 8，若該曲線的一條漸近線的斜率為k，該曲線的離心率為e，則 |k| ·e _.小結(jié)1.區(qū)分雙曲線與橢圓中a、b、c 的關(guān)系， 在橢圓中 a2 b2 c2，而在雙曲線中c2 a2 b2.雙曲線的離心率 e 1；橢圓的

4、離心率e (0,1)2漸近線與離心率：22b222xy2bc a222a2e 1.可以看出， 雙曲線的a b 1(a>0，b>0)的一條漸近線的斜率為aa漸近線和離心率的實(shí)質(zhì)都表示雙曲線張口的大小注意 當(dāng) a>b>0 時(shí)，雙曲線的離心率滿足1<e<2；當(dāng) ab>0 時(shí)， e 2( 亦稱為等軸雙曲線)；當(dāng) b>a>0 時(shí)， e> 2.3直線與雙曲線交于一點(diǎn)時(shí)，不一定相切，例如：當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)，但不是相切；反之，當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí)，直線與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程典題導(dǎo)入例 1(1)已

5、知雙曲線x2y2C： 2b2的焦距為10，點(diǎn) P(2,1)在 C 的漸近線上， 則 C 的方程為 ()a 1x2y2x2y2x2y2x2y2A.20 5 1B. 520 1C.8020 1D.2080 1(2) 已知雙曲線 x2 y2 1，點(diǎn) F1，F(xiàn) 2 為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P 為雙曲線上一點(diǎn)，若 PF1 PF2，則 |PF 1| |PF 2|的值為 _由題悟法1 應(yīng)用雙曲線的定義需注意的問題在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn) )具備的幾何條件， 即“到兩定點(diǎn) (焦點(diǎn) )的距離之差的絕對(duì)值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點(diǎn)的距離”若定義中的“絕對(duì)值”去掉，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支2 雙曲線方程

6、的求法(1)若不能明確焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，設(shè)雙曲線方程為mx2 ny2 1(mn<0)x2y2x2y2(2)與雙曲線 a2 b2 1 有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為a2b2 ( 0)(3) 若已知漸近線方程為 mx ny0，則雙曲線方程可設(shè)為 m2x2 n2y2 ( 0)以題試法1設(shè) P 是雙曲線x2 y2 1 上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn) 2 分別是雙曲線左右兩個(gè)焦點(diǎn)，若 |PF1|9，則 |PF2 | ()1620A 1B 17C1 或 17D以上答案均不對(duì)學(xué)習(xí)必備歡迎下載雙曲線的幾何性質(zhì)典題導(dǎo)入，F(xiàn)分別是雙曲線x2y2例 2 如圖，雙曲線的幾何性質(zhì)C： 22F 1 2a b 1(a， b 0)

7、的左、右焦點(diǎn)， B是虛軸的端點(diǎn)，直線 F 1B 與 C 的兩條漸近線分別交于P， Q 兩點(diǎn)，線段 PQ 的垂直平分線與x 軸交于點(diǎn) M .若|MF 2| |F1F2|，則 C 的離心率是()23B. 6C. 2D. 3A.32若本例條件變?yōu)椤按穗p曲線的一條漸近線與x 軸的夾角為 ，且 ”，求雙曲線的離心率的43取值范圍由題悟法ba1已知漸近線方程y mx，求離心率時(shí)，若焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，m a(m 0)或 m b，故離心率有兩種可能2解決與雙曲線幾何性質(zhì)相關(guān)的問題時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以題試法22x2 y 1 的右焦點(diǎn)為 (3,0)，則該雙曲線的離心率等于()2 (1)已知雙曲線 a53

8、143234A.14B.4C.2D.322x2y2y2 8x 有一個(gè)公共的焦點(diǎn)F ，且兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)(2) 已知雙曲線 ab 1(a 0，b0)與拋物線為 P，若 |PF| 5，則雙曲線的漸近線方程為()32A y ±3 xB y± 3xC y ± 2xD y ±2直線與雙曲線的位置關(guān)系典題導(dǎo)入例 3x2y2 1(b>a>0)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e 2，點(diǎn) M(5，3)在雙曲線上已知雙曲線 a2 b2(1) 求雙曲線的方程；11(2) 若直線 l 與雙曲線交于P， Q 兩點(diǎn)，且 OP ·OQ 0.求 |OP|2 |OQ|2的

9、值學(xué)習(xí)必備歡迎下載由題悟法1解決此類問題的常用方法是設(shè)出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或 y)的一元二次方程利用根與系數(shù)的關(guān)系，整體代入2與中點(diǎn)有關(guān)的問題常用點(diǎn)差法注意 根據(jù)直線的斜率k 與漸近線的斜率的關(guān)系來判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系以題試法223F1，F(xiàn)2分別為雙曲線 x2y2 1(a0， b 0)的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F 2 作此雙曲線一條漸近線的ab垂線，垂足為M，滿足 | MF 1 ,| 3| MF 2 ,|，則此雙曲線的漸近線方程為_ x2y2E 是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F 且典例 已知點(diǎn) F 是雙曲線 a b 1(a>0， b&

10、gt;0) 的左焦點(diǎn)，點(diǎn)22垂直于 x 軸的直線與雙曲線交于A， B 兩點(diǎn)， ABE 是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e 的取值范圍是 ()A (1， )B (1,2)C (1,12)D (2,1 2)題后悟道 離心率是圓錐曲線的重要幾何性質(zhì)，求解橢圓或者雙曲線的離心率的關(guān)鍵是建立一個(gè)關(guān)于 a，b，c 的方程 (不等式 )，通過這個(gè)方程(不等式 )和 b 與 a，c 的關(guān)系消掉b 后，建立 a，c 之間的方程 (不等式 )，只要能通過這個(gè)方程求出ca即可，不一定具體求出a， c 的數(shù)值針對(duì)訓(xùn)練1F A221(a 0 b0)B(0 b)FB ,已知點(diǎn)x2y2的左焦點(diǎn)， 右頂點(diǎn)，點(diǎn)， 分別為雙曲線

11、 ， ， 滿足·ABab 0，則雙曲線的離心率為()學(xué)習(xí)必備歡迎下載A. 2B.31 31 5C.2D.222x2y22b2 c2)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) ，若以 F為圓心， b2已知橢圓 a b 1(ab c 0， a22 c 為半徑作圓 F 2，過橢圓上一點(diǎn)P 作此圓的切線，切點(diǎn)為T，且 |PT|的最小值為32 (a c)，則橢圓的離心率 e 的取值范圍是 _1直線 x 2 與雙曲線 C：x2 y2 1 的漸近線交于E1，E2 兩點(diǎn)，記 OE, e1， OE, e2，任取412雙曲線 C 上的點(diǎn) P，若 OP ,ae1 be2，則實(shí)數(shù) a 和 b 滿足的一個(gè)等式是 _x2y22已知雙曲線 2 2 1 的左，右焦點(diǎn)分別為 F 1、