《余弦定理》ppt課件

1、 在三角形中在三角形中, ,知兩角及一邊知兩角及一邊, ,或知兩或知兩邊及其中一邊的對(duì)角邊及其中一邊的對(duì)角, ,可以利用正弦定可以利用正弦定理求其他的邊和角理求其他的邊和角, ,那么那么, ,知兩邊及其夾知兩邊及其夾角角, ,怎樣求出此角的對(duì)邊呢怎樣求出此角的對(duì)邊呢? ?知三邊知三邊, ,又又怎樣求出它的三個(gè)角呢怎樣求出它的三個(gè)角呢? ?導(dǎo)入：導(dǎo)入：余弦定理是什么？怎樣證明？余弦定理是什么？怎樣證明？集體探求學(xué)習(xí)活動(dòng)一：集體探求學(xué)習(xí)活動(dòng)一：RTX討論一：討論一： 在正弦定理的向量證法中，在正弦定理的向量證法中，我們是如何將一個(gè)向量數(shù)量化的？我們是如何將一個(gè)向量數(shù)量化的？還有什么方法將一個(gè)向量數(shù)

2、量化還有什么方法將一個(gè)向量數(shù)量化嗎？嗎？22222cos2cos2)(cAbcbABAABACACABACABACBCBCa即即Abccbacos2222同理可證同理可證Baccabcos2222Cabbaccos2222如下圖，根據(jù)向量的數(shù)量積，可以得到如下圖，根據(jù)向量的數(shù)量積，可以得到cabBAC數(shù)學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)建構(gòu) 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。2bccosA2bccosAc cb ba a2 22 22 22accosB2accosBc ca ab b2 22 22

3、 22 2a ab bc co os sC Cb ba ac c2 22 22 2余弦定理余弦定理數(shù)學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)建構(gòu)RTX討論二：討論二： 回想正弦定理的證明他還有回想正弦定理的證明他還有沒(méi)有其它的證明余弦定理的方法？沒(méi)有其它的證明余弦定理的方法？1坐標(biāo)法坐標(biāo)法2直角三角形的邊角關(guān)系直角三角形的邊角關(guān)系3正弦定理三角變換正弦定理三角變換 證證 明明 方方 法法RTX討論三：討論三： 知三角形三邊，由余弦知三角形三邊，由余弦 定理定理能求三個(gè)角嗎？請(qǐng)給出余弦定理能求三個(gè)角嗎？請(qǐng)給出余弦定理的變方式。的變方式。2 2b bc ca ac cb bc co os sA A2 22 22 22 2a a

4、c cb bc ca ac co os sB B2 22 22 22 2a ab bc cb ba ac co os sC C2 22 22 2余弦定理變方式：余弦定理變方式：數(shù)學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)建構(gòu)1.利用余弦定理可以處理哪兩類(lèi)解斜三利用余弦定理可以處理哪兩類(lèi)解斜三 角形的問(wèn)題？角形的問(wèn)題？2. “知兩邊及其中一邊對(duì)角能用知兩邊及其中一邊對(duì)角能用 余余弦定理求解嗎？弦定理求解嗎？集體探求學(xué)習(xí)活動(dòng)二：集體探求學(xué)習(xí)活動(dòng)二：RTX討論四：討論四： 利用余弦定理可以處理哪兩利用余弦定理可以處理哪兩類(lèi)解斜三類(lèi)解斜三 角形的問(wèn)題？角形的問(wèn)題？數(shù)學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)建構(gòu)總結(jié)：利用余弦定理，可以處理以下兩總結(jié)：利用余弦定理，

5、可以處理以下兩 類(lèi)解斜三角形的問(wèn)題：類(lèi)解斜三角形的問(wèn)題：(1)(1)知三邊，求三個(gè)角知三邊，求三個(gè)角(2)(2)知兩邊和它們的夾角，知兩邊和它們的夾角， 求第三邊和其它兩個(gè)角求第三邊和其它兩個(gè)角例例1. 如圖，在如圖，在ABC中，知中，知a=5，b=4，C=120，求，求c.解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得2222cos120cabab因此因此221542 5 4 ()612c 120 abcCBA數(shù)學(xué)運(yùn)用：數(shù)學(xué)運(yùn)用：知在ABC中，根據(jù)以下條件解三角形。sin1sincBCb解：（）由正弦定理，得 1113 332,60 ,12032CC11160906CAa當(dāng)時(shí)，112120303CAa

6、當(dāng)時(shí)，26c,22b2,a (2);30B,33c3,b (1)變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：22212cos63bacacBaor a解：（）法2 由余弦定理，得 解得 1116sin26sin13 90 ,60aBaAbAC當(dāng)時(shí)，由正弦定理，得=2233,30120aabABCAC當(dāng)時(shí)，為等腰三角形 ，26c,22b2,a (2);30B,33c3,b (1)變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：知在ABC中，根據(jù)以下條件解三角形。RTX討論五：討論五： “知兩邊及其中一邊對(duì)角知兩邊及其中一邊對(duì)角能用余弦定理求解嗎？其中蘊(yùn)含能用余弦定理求解嗎？其中蘊(yùn)含什么數(shù)學(xué)思想？什么數(shù)學(xué)思想？ 2222cos2bcaAbc由余弦定

7、理，得2222 26223 22 2 2622cos 30 ,45 ,1052BABC同理，26c,22b2,a (2);30B,33c3,b (1)知在ABC中，根據(jù)以下條件解三角形。變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：解解課堂練習(xí)課堂練習(xí)課本第課本第15頁(yè)練習(xí)第頁(yè)練習(xí)第1、3題題探求：余弦定理有哪些方面的運(yùn)用？探求：余弦定理有哪些方面的運(yùn)用？集體探求學(xué)習(xí)活動(dòng)三：集體探求學(xué)習(xí)活動(dòng)三：例例2. 利用余弦定理證明，利用余弦定理證明， 在在ABC中，中，222222 ; . CabcCabc當(dāng)為銳角時(shí)，當(dāng)為鈍角時(shí)，22222222cos0, 2cosCCcabbcC ababc證明：當(dāng)為銳角時(shí)，由余弦定理，得，即

8、 222 . Cabc 同理可證，當(dāng)為鈍角時(shí)，數(shù)學(xué)運(yùn)用：數(shù)學(xué)運(yùn)用：例例3.如下圖，有兩條直線如下圖，有兩條直線AB和和CD 相交成相交成80 角，交點(diǎn)是角，交點(diǎn)是O，甲、乙兩人同時(shí)從點(diǎn)甲、乙兩人同時(shí)從點(diǎn)O分別沿分別沿OA，OC方向出發(fā)，速度分別方向出發(fā)，速度分別是是4km/h，4.5km/h。3時(shí)后兩人相距多遠(yuǎn)準(zhǔn)確到時(shí)后兩人相距多遠(yuǎn)準(zhǔn)確到0.1km？ODAQCBP80解解 經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)3時(shí)后，甲到達(dá)點(diǎn)時(shí)后，甲到達(dá)點(diǎn)P，OP=43=12km，乙到達(dá)點(diǎn)，乙到達(dá)點(diǎn)Q，OQ=4.53=13.5km。依余弦定理，知。依余弦定理，知16.4(km)16.4(km)13.5cos8013.5cos8012122

9、 213.513.51212POQPOQOQcosOQcos2OP2OPOQOQOPOP2 22 22 22 2PQ數(shù)學(xué)運(yùn)用：數(shù)學(xué)運(yùn)用：例例4.在長(zhǎng)江某渡口處，江水以在長(zhǎng)江某渡口處，江水以km/h的速度的速度向東流。一渡船在江南岸的碼頭出發(fā)，預(yù)定向東流。一渡船在江南岸的碼頭出發(fā)，預(yù)定要在要在0.1h后到達(dá)江北岸碼頭，設(shè)為正北后到達(dá)江北岸碼頭，設(shè)為正北方向，知碼頭在碼頭的北偏東方向，知碼頭在碼頭的北偏東，并與碼頭相距并與碼頭相距1.2km該渡船應(yīng)按什么方向該渡船應(yīng)按什么方向航行？速度是多少千米小時(shí)？角度準(zhǔn)確到航行？速度是多少千米小時(shí)？角度準(zhǔn)確到0.1 ，速度準(zhǔn)確到，速度準(zhǔn)確到0.1km/hACD

10、BN15數(shù)學(xué)運(yùn)用：數(shù)學(xué)運(yùn)用：解：如圖，取方向?yàn)樗鞣较?，以為解：如圖，取方向?yàn)樗鞣较?，以為一邊、為?duì)角線作平行四邊形，一邊、為對(duì)角線作平行四邊形，其中其中1.2(km),AC=50.1=0.5(km),船按方向開(kāi)出船按方向開(kāi)出ACDBN15數(shù)學(xué)運(yùn)用：數(shù)學(xué)運(yùn)用：在在中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得，1 1. .3 38 8) )1 15 50 0. .5 5c co os s( (9 90 01 1. .2 22 20 0. .5 51 1. .2 2B BC C2 22 22 2所以所以km)因此，船的航行速度為因此，船的航行速度為1.170.1=11.7(km/h)在中，由正弦定理，得

11、在中，由正弦定理，得0.41280.41281.171.170.5sin750.5sin75BCBCBACBACACsinACsinABCABCsinsin所以所以所以所以 答：渡船按北偏西答：渡船按北偏西 的的方向，并以方向，并以km/h的的速度航行速度航行ACDBN15數(shù)學(xué)運(yùn)用：數(shù)學(xué)運(yùn)用：.試判斷該三角形的形狀222sin,cossin2AaabcCBbab解：由正弦定理和余弦定理，得 222 22aabcbab22bc整理，得 0,0bcbcABC 為等腰三角形思索：想想看有無(wú)其它的方法？思索：想想看有無(wú)其它的方法？2sinBcosC,inA在ABC中，已知s例5.例5.數(shù)學(xué)運(yùn)用：數(shù)學(xué)運(yùn)

12、用：變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練： 在在ABC中，假設(shè)中，假設(shè)b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，試判別三角形的外形。，試判別三角形的外形。解：由正弦定理，解：由正弦定理，R為為ABC的外接圓半徑，將原式化為的外接圓半徑，將原式化為2sinsinsinabcRABC4R2sin2Bsin2C+4R2sin2Csin2B =8R2sinBsinCcosBcosC， 所以所以8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC， 由于由于sinBsinC0，所以，所以sinBsinC=cosBcosC， 即即cos(B+C)=0， 從而從而B(niǎo)+C=90，A=90，故故ABC

13、為直角三角形。為直角三角形。 解解2：將知等式變形為：將知等式變形為b2(1cos2C)+c2(1cos2B)=2bccosBcosC，由余弦定理得由余弦定理得變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練： 在在ABC中，假設(shè)中，假設(shè)b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，試判別三角形的外形。，試判別三角形的外形。222222222222()()22abcacbbcbcabac222222222acbabcbcacab即得，即得， 2222222222()()4abcacbbca得得b2+c2=a2，故故ABC是直角三角形。是直角三角形。 變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練： 在在ABC中，假設(shè)中，假設(shè)b2sin2C+

14、c2sin2B=2bccosBcosC，試判別三角形的外形。，試判別三角形的外形。例例6.如圖，是三角形中邊上如圖，是三角形中邊上的中線，求證：的中線，求證：. .) )2 2( (2 21 1A AMMB BC CA AC CA AB B2 22 22 2證：設(shè)證：設(shè)ABM ，那么，那么AMC 在在ABM中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得BMcosBMcos . .2AM2AMBMBMAMAMABAB2 22 22 2在在ACM中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得2222cos(180).AMMCACMCAM由于由于cos(180 cos ,BM=MC=1/2BC,所以所以, ,2 21

15、12 2B BC CA AMMA AC CA AB B2 22 22 22 2因此，因此，. .) )2 2( (2 21 1A AMMB BC CA AC CA AB B2 22 22 2數(shù)學(xué)運(yùn)用：數(shù)學(xué)運(yùn)用：RTX討論六：討論六：余弦定理的運(yùn)用表達(dá)在哪些方面？余弦定理的運(yùn)用表達(dá)在哪些方面？本節(jié)課我有什么收獲？本節(jié)課我有什么收獲？RTX討論七：討論七：對(duì)本三連堂內(nèi)容學(xué)生個(gè)人小結(jié)和集體小結(jié)：對(duì)本三連堂內(nèi)容學(xué)生個(gè)人小結(jié)和集體小結(jié)：教師課堂總結(jié)教師課堂總結(jié)三角形中的邊角關(guān)系余弦定理定理內(nèi)容定理證明定理運(yùn)用課堂總結(jié)課堂總結(jié)(1)(1)知三邊，求三個(gè)角知三邊，求三個(gè)角(2)(2)知兩邊和它們的夾角，知兩

16、邊和它們的夾角， 求第三邊和其它兩個(gè)角。求第三邊和其它兩個(gè)角。2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC課堂作業(yè)：課堂作業(yè)：1. 第第16-17頁(yè)習(xí)題頁(yè)習(xí)題1、4、5、6、7題題;2.學(xué)習(xí)與評(píng)價(jià)第學(xué)習(xí)與評(píng)價(jià)第5、7頁(yè)。頁(yè)。拓展思想作業(yè)拓展思想作業(yè)在在ABC中，中，1假設(shè)假設(shè) 求求A；2假設(shè)假設(shè) 求最大的內(nèi)角。求最大的內(nèi)角。 sin:sin:sin( 31):( 31): 10ABC 222sinsinsinsinsinABCBC解：解：1由正弦定理得由正弦定理得a2=b2+c2+bc， 即即b2+c2a2=bc，所以，所以2221cos,22bcaAbc 故故