哈工大自動控制原理課件-第四章(精)

1、第四章 根軌跡法 起反饋系統(tǒng)的根軌跡 開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零到無窮變化時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程 式的根在S平而內(nèi)變化的軌跡稱根軌跡(“刃 locus). 例.設(shè)有單位反饋系統(tǒng)如圖所示5S*莎加 特征方程為 s2+2s + 2k = 0 兩閉環(huán)極點(diǎn)為:s,=-l + /n2k s2 = -1- y/ -2k S) =-14-VT2k s2 =-1- Vl-2k 下面分析參數(shù)k從0到無窮變化對系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布的影響: k=o時 s,=0 S2=-2 閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)相同 0 v k v 1/2時 S,均為負(fù)實(shí)數(shù) S|=$2= Sa =-i jV2TT,實(shí)部相同 位丁垂一直與實(shí)軸的直線上 MATLAB標(biāo)

2、準(zhǔn)型式：l+kL(s)=O AX(s)=G(s); Us)必須是首丄的b K為開環(huán)增益。G(S) = -(k = 2K)； s(s + 2) 系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為=字=,于 尺($) S24-2S + 2Z: K為開環(huán)增益。G(S) = s(s + 2) (k = 2K)； 系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為(s)= c(5) 2k R(s) s2 +2s + 2k 竺) k = l/2 時 kI/2 時 kT00時 沿上述直線趨于無窮遠(yuǎn). Si =-l+Vl-2k s? = 1 G(S) = 2k 5( (5 + 2) * -2 K 2根軌跡與系統(tǒng)性能 穩(wěn)定性:根軌跡若越過虛軸進(jìn)站半平面與虛軸交點(diǎn)處白 k即為臨界

3、增益 穩(wěn)態(tài)性能根據(jù)坐標(biāo)原點(diǎn)的根綢定系統(tǒng)的型別RJ時可以 確定對應(yīng)的靜態(tài)誤差羲 動態(tài)性能過阻尼0vkv05 臨界阻尼k = 05 欠阻尼 k0.5 （S）= K（ - V H m 口（S PJ+K 口（S Z,） i=i j= J/?（$） s + 2s + 2R = y/2k; 2 做“ =2； 則 G（S）H（SK 口（s-zf）n（s-p） /-I y-i J 3閉環(huán)零極點(diǎn)與開環(huán)零扱之間的關(guān)系 十n 向皿二1 NT Se AA B 3HT 立也 C Z ncs-zjnts-z,） n（s-p,）n（s-p） 1 1 1 4 結(jié)論: （1閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增譜于開環(huán)系統(tǒng)前向通植軌跡 增益;對于單

4、位反饋系細(xì)環(huán)系統(tǒng)根軌跡的增就等于開 環(huán)系統(tǒng)根軌跡的增益 （2閉環(huán)零點(diǎn)由開環(huán)前向遵傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和饋通路 傳函的極點(diǎn)所組成時于單位反饋系鋼環(huán)零點(diǎn)就是開環(huán) 零點(diǎn) （3閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零廚環(huán)極點(diǎn)以及根軌跡贈均有關(guān) 根軌跡法的基本任務(wù) 如何由已知的開環(huán)零極的分布及根軌跡增瀧過圖解貳 方法找出閉環(huán)極點(diǎn) （S）=心 嚴(yán)_乙）呼_弓）g（s）=心 n（s-）+/cn（s-z.） 4.根軌跡方程 根軌跡是所有閉壞極點(diǎn)的集合. ri(5-zz) T - ；H(S) = 1 +G(s)H(s) = () G(s)H(s) = -1 G(S)H(S)= (s- IG(s)H(s)l = 1 幅值條件 ZGH(s) =

5、 180 4-/360 (i = 0, l, 2,)相角條件 IG(s)H(s)l = m KU Is zl i=l 1=1 m n ZG(s)H(s)=工 Z(sZj) 工 Zg) 由于k=0oo,所以只 要滿足相角條件的點(diǎn) 就一定是對應(yīng)某一個 參變量k的特征方程的 根。即繪制根軌跡僅 需相角條件。 4.2 繪制根軌跡的基本規(guī)則 設(shè)已知反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)具有如下標(biāo)準(zhǔn)形式: （S P1）（）（S-/?2） （S-幾） 式中,Zf（1=1,2, 、Pt （i=l, 2 分別為開環(huán)零點(diǎn)與極點(diǎn)，它們既可以是實(shí)數(shù)，也可以是共軌復(fù)數(shù) 4.2.1繪制180根軌跡的基本規(guī)則 ZG($)H(s) = X

6、Z(s-)-Z(5-/?,) 繪制180。根軌跡的基本規(guī)則： 1. 根軌跡的分支數(shù) 若系統(tǒng)的特征方程為邢介，則有川個根，則必然存在反映這刃個 根隨參變量R變化的川條根軌跡。 因此根軌跡的分支數(shù)等丁反饋系統(tǒng) 特征方程的階數(shù)72,或根軌跡的分支數(shù)與閉環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目相同。 繪制根軌跡的基本規(guī)則一： 根軌跡的分支數(shù)等于閉環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目。 2. 繪制根軌跡的基本規(guī)則二： 根軌跡是連續(xù)且對稱于實(shí)軸的曲線。 3. 根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn) 根軌跡的起點(diǎn)是指參變量d0時閉環(huán)極點(diǎn)在s平而上的分布位置, 而根軌跡的終點(diǎn)是指參變量Boo時閉環(huán)極點(diǎn)在S平而上的分布位置。G（M（心 D（r） （S） 相角條件: = 180 +/

7、360 , = n（$7） 1 kn（s-Zi） - = -T G（S）H（S）=器 - n（$-門） n（s-p.） 1=1 1=1 在R=0時，根軌跡方程的解為 s=Pi （Z=l, 2,n）,閉環(huán)極 點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)相等， 即根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)。 當(dāng)k-oo時， 根軌跡方程的解為（z=h 2,，加）或soo o =勺：閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)重合。 S-00：閉環(huán)極點(diǎn)分布在S平面上的無窮遠(yuǎn)處 繪制根軌跡的基本規(guī)則三：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于 開環(huán)零點(diǎn)，如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù)目小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目，則有（ 條根軌跡終止于平面上的無窮遠(yuǎn)處。 4.根軌跡的漸近線 當(dāng)加VH時， 隨oo有S*oo,將有 （加）

8、條根軌跡趨于S |人面 上的無窮遠(yuǎn)處。下面確定這訕）條根軌跡隨-8 在S平面上無 窮遠(yuǎn)的方向。 上 G_ZJ（$_Z2）G_S）二 0卩）0/?2）（$一幾） m in 理+(一乙”心+ + (-ZJ I i=l +丈(-口)嚴(yán)+冇(_?) 1=1 1=1 m n 1 嚴(yán)+ (乙) (-A) z=i ;=1 k或?qū)懗?長除法取前兩項(xiàng): kOO 將式（419）等號兩邊開（nw?）次方，得到 冷邊開力項(xiàng)按一項(xiàng)式定理展開，略去1/S 一次以上的高次項(xiàng)，得 考慮到2/+1）時.1 （/=o, 1, 2,.），上式可寫成 加 H 工（-）-工（-門）_1_ 嚴(yán)+ $ T _ _ k n-m . e ”-

9、m nm kfg； soo; /=0, 1, 2,，n-m-1 上式表明，當(dāng)koo時,對于加。的系統(tǒng)，（H-/H ）個閉環(huán)極 點(diǎn)在S平面上的處標(biāo)可通過向量和來確定。其中一個是位于實(shí)軸 上的常量向量 E（口）-乞匕） b = - - a n m 工（-石）-工（-只） | i=l i=l m-n / m-n 8, S00 繪制根軌跡的基本規(guī)則四: 若加,有 kfg 時有nm條根軌 工（-zj-工（-P） m n （_1）跡趨于s平面的無窮遠(yuǎn)處，其漸近 線與實(shí)軸共交與一點(diǎn)，坐標(biāo)為：%, jo；漸近線與實(shí)軸 方向的夾角為： _ （2/ + 1）7T 小、小 八 ;（/ = 0,1 2 n m 1）

10、n m 例41設(shè)某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) G(s)H(s)= 試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。 s(s + l)(s + 2) 給定的開環(huán)傳遞函數(shù)具有標(biāo)準(zhǔn)形式，其開環(huán)極點(diǎn)為pl=o, p2=l,p3=2,無有限開環(huán)零點(diǎn)。 根據(jù)基本規(guī)則1、2,給定系統(tǒng)有3條隨*變化的対稱于實(shí) 軸的連續(xù)根軌跡曲線。 根據(jù)基本規(guī)則3： 3條根軌跡分別起始于平面的點(diǎn)( (0, jO), ( (1, jO)及( (2, jO),并隨參變量koo, 3條根軌跡都將 趨于s平面上的無窮遠(yuǎn)處。 根據(jù)基本規(guī)則4： 3條漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 漸近線與實(shí)軸正方向的夾角分別是: 7T / = 0；仝=匹=80。 n m 3 0 n m

11、 5龍 竺= 300 3-0 0 + (_1) + (-2)_0 30 6根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn) 對于某些反饋系統(tǒng)，當(dāng)參變量k取值較小時，閉 環(huán)極點(diǎn)中的全部或一部分為實(shí)數(shù)；當(dāng)參變量k超過某值 后，閉環(huán)極點(diǎn)中原有實(shí)極點(diǎn)中的一些變?yōu)楣曹墢?fù)極點(diǎn), 原處于實(shí)軸上的根軌跡分支將離開實(shí)軸而進(jìn)入復(fù)平面。 由實(shí)軸過渡到復(fù)平面的根軌跡分支在分離處垂直于實(shí) 軸，包括根軌跡由復(fù)平面進(jìn)入實(shí)軸時的會合點(diǎn)也是垂 直于實(shí)軸的。這種分離（會合）點(diǎn)的坐標(biāo)就是在參變 量取某一特定值時山反饋系統(tǒng)特征方程解出的實(shí)數(shù)等 根。 H 設(shè)反饋系統(tǒng)特征方程的實(shí)數(shù)等 根為a。用待定實(shí)數(shù)a代換復(fù)變 量S,這時的特征方程為 n 一 Pi) i 一 k

12、m n -乙) i= 繪摯鑾藝詡基本規(guī)則五：在實(shí)軸上任意取一點(diǎn), 為奇數(shù), 瞬蠶蠶勰聽 圖44開環(huán)極點(diǎn)與零點(diǎn)分布 繪制根軌跡的基本規(guī)則六: 根軌跡與實(shí)軸的交檔坐標(biāo)是 d fl （s-P） 一 J=1 _ ds yy （ 、 11 （s-乙） 1 j= m ；=/+! 為=0 -/36(J + 工 /(門一令)一工 Z(pz-z.)-工 Z(A-z.) ;=| ;=1 ;=/+! 心02 4.3 典型反饋系統(tǒng)的根軌跡舉例 例412設(shè)某反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 給定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)己具有標(biāo)準(zhǔn)形式。 S(S + 2 73)3+2S + 2) 1. 規(guī)則1：該根軌跡共有四個分支。 2. 規(guī)則2：根軌

13、跡四個分支都在s平而上連續(xù)且對稱于實(shí)軸。 3. 規(guī)則3：根軌跡的四個分支起始于四個開環(huán)極點(diǎn)， 即p產(chǎn)0, p2=-l+j, p3= -1-j, p4= -2.73,該控制系統(tǒng)的有限開環(huán)宏點(diǎn)數(shù)Flm =0,所以當(dāng)koo時，均伸向無窮遠(yuǎn)。 4. 規(guī)則4： n-m=4,根軌跡的4條漸近線與實(shí)軸正方向的夾角 分別是 (2吁 1) = 45。； 135 ;Q = 0,1,2, 3;料一加一1) n-m Z S)-工(乙)_4 73 6= - = -1.1 &只計(jì)算實(shí)部就可以了 n m 4 G(s)H(s) = k 心+ 2.73府+2$ + 2) 試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。 給定反饋系統(tǒng)的根軌跡方

14、程為 $(& + 2.73)($2 +2$ + 2) 5規(guī)則5：實(shí)軸上0,273J線段屬于180根軌跡 規(guī)更6:根軌跡離開實(shí)軸處坐標(biāo)的數(shù)值為 fl 一 pj V I n (r ) L 規(guī)則7：計(jì)算根軌跡離開開環(huán)共軌復(fù)數(shù)極點(diǎn)P2、3的出射角。 m n &PI =-(180 +,360 ) +工Z(巧一ZJ-工Z(刁一巧)；心0,1,2, 7=1 僞 9p2 = 一(180 +Z3600) Z(p2 P|)- Z(/?2 - p3) - Z(/?2 - p4) =+180 -135 - 90 - 30 = -75； Op3 = 75 規(guī)貝！）8:始于開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)卩2、3兩個分支與虛

15、軸交點(diǎn)的坐標(biāo)。解 實(shí)部與虛部方程，得虛部32、3=107，臨界值kc=7.28、一a = 5(5 + 2.73)(” + 2s + 2)|$ = a = 0；得a = -2.045 ds 圖4-13例412反饋系統(tǒng)的根軌跡圖 例13：若開環(huán)零.極點(diǎn)個數(shù)均為偶數(shù)，且左右對 稱分布于一條平行于虛軸的直線， 則根軌跡一定 關(guān)于該直線左右對稱。 k _ s(s + 4)(52 + 45 + 20) k s(s + 4)(5 + 2 + J4)(5 + 2 丿 4) !1! 個極點(diǎn)關(guān)于 Re=-2對稱。 Root Locus 8 .22v 5126 4 2 0 2 4 Real Axis G（5）H（5

16、）= 例14：帶開環(huán)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)， 若能在復(fù)平面上畫出根軌跡，貝U G(S)H(S) = 極點(diǎn)： 復(fù)平面根軌跡一定是圓或圓弧。 k(s + 2) s2 + 2$ + 3 例16附加零點(diǎn)的作用 -1+j& 零點(diǎn)：2 開環(huán)附加零點(diǎn)可改進(jìn)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其它性能。 G(s)H(s) = 52( (5 + 10) 無零點(diǎn): k s2(s + 5) % + io) 有零點(diǎn) ba：取 b=10, a=5: s2(s-5) % -12 -10 -8 Real Axi 0 2 4 0864202468 1 Rml Axi3 k(s + 2) 有零點(diǎn)bva：取 b=2, a=5: s2(s + 5)

17、 4.3.2非最小相位系統(tǒng)的根軌跡 最小相位系統(tǒng):反饋系統(tǒng)的全部開壞極點(diǎn)均位丁S平而的左半部 非最小相位系統(tǒng):S平而的右半部具有開環(huán)極點(diǎn)和（或）零點(diǎn) 例設(shè)小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 片=0 P2 =-2 j2V3 Zj =-3 Z2 =1 &P3 = +53 623 = 土3.14 9k = 3.07G(S)H(S) = k(-S22S + 3) S$ + 4S + 16) 試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖. 解： d2S + 3) S(S2 +4S + 16) 標(biāo)準(zhǔn)化處理為 kCS2 +2S-3) S(S2 +45 + 16) 21兀 n &P2 = 53 三時滯系統(tǒng)的根軌跡 1時滯系

18、統(tǒng) 2時滯系統(tǒng)的根軌跡 特征方程為1 + G(S)H(S) ) F =0 根軌跡方程為G(S)H(S)e =1 幅值條件 g ArnjS-Zj PJ5-FJ 相角條件 m n 為 Z(SZJZ(S Pi) )+ ZeF =180 + 360 i=I i=l 話=e-r(a+j69) )_ -ra-Jvr Z e ” = COT (rad) = 51.3COT () m n 故有 Z(S Zj) Z(S Pi) = 180 + G(S) H(S) (1) 實(shí)軸上的根軌跡 在實(shí)軸上由于 Q = 0,所以相角條件變?yōu)?-ZS + l = 180 +i360 故與繪制180。根軌跡的相角條件相同 (2) 復(fù)平面上的根軌跡 令心0,則相角條件寫成:-Z(s + l) = l80 4-513CDT Z(s + 1) = -180 - 573勿=180 - 57珈 現(xiàn)在在復(fù)平面尋找滿腮角條件的總= b + j a在虛軸上選一點(diǎn)血 V，并過點(diǎn)(0J)做實(shí)軸的平行線 b過開環(huán)極點(diǎn)=-1做一條與實(shí)軸正方向癖為180-57.3啲 直線，兩直線的交馭=6 便是滿足相角條件的點(diǎn)即滿足 + jcox +1) =