考研數(shù)學(xué)一筆記

1、知識(shí)無涯須勤學(xué)，青春有限貴惜陰。高等數(shù)學(xué)常用公式等比數(shù)列 等差數(shù)列 極限一、 對(duì)于和式 進(jìn)行適當(dāng)放縮有兩種典型的方法當(dāng)n為無窮大時(shí)，則 numinu1+u2+unnumax當(dāng)n為有限項(xiàng)，且ui0時(shí)，則 umaxu1+u2+unnumax二、 常用極限： 三、 常見等價(jià)無窮小代換總結(jié)常見等價(jià)無窮小代換總結(jié)x0時(shí) sinxxx-sinx16x3 arcsinx=x+16x3+arcsinxxarcsinx-x16x3 tanx=x+13x3+tanxxtanx-x13x3 arctanx=x-13x3+arctanxxx-arctanx13x3ln1+xxx-ln1+x12x2ln1-x-xex-

2、1x1-cosx12x29.1+x=1+x+-12!+ 1+x-1x10.ax-1=exlna-1四、 7種未定型（注意正真的0和1與極限為0和1 的區(qū)別）設(shè)limfx=A，limgx=B AB A,B均為數(shù)且A>0 0 A為0，B為+ + A為0，B為- 0 A為，B為0 1 A為1，B為 00 A為0，B為0 AB A,B均為數(shù)0 A為數(shù)，B為 A為，B為數(shù) 00 A為0，B為0 A為，B為limfxg(x)=limfxg(x)= AB A為數(shù)B為數(shù) A，B中一個(gè)為數(shù)，另一個(gè)為 0 A，B中一個(gè)為0，另一個(gè)為limfxgx = A-B A，B均為數(shù) A，B一個(gè)為數(shù)，另一個(gè)為 A，B為

3、異號(hào)- ，為同號(hào) limfx-gx=五、 求漸近線的步驟先求垂直漸近線：求水平漸近線：求斜漸近線：（時(shí)才需求斜漸近線，因?yàn)樗綕u近線和斜漸近線不同時(shí)存在）六、 極值點(diǎn)的來源：不可導(dǎo)點(diǎn)：駐點(diǎn)七、 需要考慮左右極限的情況式子中含有式子中含有不存在式子中含偶次方根式子中含有取整符號(hào)含有分段函數(shù)導(dǎo)數(shù)判定fx在處是否可導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限（羅比達(dá)法則的替補(bǔ)）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用分段函數(shù)的分段點(diǎn)；抽象函數(shù)：不滿足求導(dǎo)法則；求導(dǎo)函數(shù)太復(fù)雜。求導(dǎo)數(shù)分子一動(dòng)一靜分母有左有右上下同階或低階可導(dǎo)條件1.公式法2.歸納法3.萊布尼茲公式求高階導(dǎo)數(shù)寫出Taylor展開式將f(x)間接展開利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等步驟4.利用Taylor

4、公式中值定理涉及的中值定理，即連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)域a,b上的性質(zhì)設(shè)在a,b上連續(xù)，則定理一（有界性）：定理二（最值定理）：，其中m，M分別是在a，b上的最小值與最大值。定理三（介值定理）：當(dāng)時(shí)，其中m，M分別是在a，b上的最小值與最大值，使得定理四（零點(diǎn)定理）：當(dāng)時(shí)，使得涉及導(dǎo)數(shù)的中值定理定理五（費(fèi)馬引理）：設(shè)在x0的某領(lǐng)域U(x0)內(nèi)有定義，且在x0處可導(dǎo)如果對(duì)任意的xU(x0)有（或），那么。補(bǔ)充一（導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)定理）設(shè)在a,b內(nèi)可導(dǎo)，且，則,使得定理六（羅爾定理）：如果函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù), 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即, 那末在內(nèi)至少有一點(diǎn),使得函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，即

5、。該定理的逆否命題：若在(a,b)內(nèi)沒有實(shí)根，即，則fx=0在a,b上至多只有一個(gè)實(shí)根。推廣：若在(a,b)上沒有實(shí)根，即，則fx=0在a,b上至多只有n個(gè)實(shí)根。定理七（拉格朗日中值定理）：如果函數(shù) 在閉區(qū)間上連續(xù), 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) 那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使等式 成立。定理八（柯西中值定理）：如果函數(shù)及在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且在內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，那末在內(nèi)至少有一點(diǎn),使等式 成立。定理九（Taylor公式）：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任意，有 這里的是介于x0與之間的某個(gè)值。 注：Taylor公式常用于處理含二階及二階以上導(dǎo)函數(shù)代數(shù)式的問題，證明的一般思路

6、如下： 將在x0處展開成比高階導(dǎo)數(shù)低一階的Taylor展開式 關(guān)鍵在于如何確定與，一般把題目中已知某點(diǎn)的函數(shù)及各階導(dǎo)數(shù)值設(shè)為區(qū)間端點(diǎn)為，閉區(qū)間的中點(diǎn)有時(shí)也會(huì)用到 對(duì)得到的式子進(jìn)行適當(dāng)運(yùn)算。涉及積分的中值定理定理十（積分中值定理）設(shè)在a,b上連續(xù)則在a,b上至少存在一點(diǎn)使得 推廣一：設(shè)在a,b上連續(xù)則使得 推廣二（第二積分中值定理）：設(shè)與在a,b上連續(xù)，且在a,b不變號(hào)，則，使得逐項(xiàng)還原組合還原 同乘因子求解微分方程1） f'+f=0 exf'x+exfx=exf(x)'2)f+f'=0 x-1fx+xf'x=xf(x)'同乘以ex1.構(gòu)造輔助函數(shù)

7、兩個(gè)模型同乘以x-1羅爾定理考點(diǎn)2.找端點(diǎn)值使得fa=f(b)經(jīng)典不等式總結(jié)三角不等式：設(shè)為實(shí)數(shù)則 推廣：離散情況：設(shè)為實(shí)數(shù)，則連續(xù)情況：設(shè)在可積，則均值不等式，推廣：設(shè)是正整數(shù)，則楊氏不等式：設(shè)，則柯西不等式：施瓦茨不等式：若在可積，且平方可積，則其他不等式 若，則 積分1. 有理函數(shù)積分設(shè)有真分式Rx=P(x)Q(x)，Q(x)已被因式分解，若分母中有一個(gè)一因子(x-a)n，則分解式對(duì)應(yīng)項(xiàng)為：A1x-a+A2x-a2+Anx-an若分母中有一個(gè)因子x2+px+qn，(p2-4q<0)，則分解式對(duì)應(yīng)項(xiàng)為：A1x+B1x2+px+q+A2x+B2(x2+px+q)2+Anx+Bn(x2+

8、px+q)nex: ax2+bx+cx3(x-1)2=A1x+A2x2+A3x3+B1x-1+B2(x-1)2求積分的方法公式法分項(xiàng)積分法第一類換元第二類換元分部積分法萬能代換區(qū)間再現(xiàn)萬能代換：令tanx2=t，則sinx=2sinx2cosx2=2tanx2sec2x2=2t1+t2cosx=cos2x2-sin2x2=1-tan2x2sec2x2=1-t1+t區(qū)間再現(xiàn)：在計(jì)算很多定積分和某些定積分證明時(shí)，有時(shí)需要互換積分限。常見互換積分限為：t=-x，x-a,at=-x，x0,t=2-x，x0,22. 比較廣義積分的斂散性比較判別法的極限形式設(shè)函數(shù)fx及g(x)都是在區(qū)間a,+)非負(fù)連續(xù)函

9、數(shù)，若，則當(dāng)0<l<+時(shí)，afxdx和agxdx同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散；當(dāng)l=0時(shí)，agxdx若收斂，則afxdx也收斂；當(dāng)l=時(shí)，若agxdx發(fā)散，則afxdx也發(fā)散。設(shè)函數(shù)fx及g(x)都是在區(qū)(a,b非負(fù)連續(xù)函數(shù)， ，則0<l<+時(shí)abfxdx和abgxdx同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。多元函數(shù)求具體點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)幾何意義求偏導(dǎo)數(shù)zx高階偏導(dǎo)數(shù)偏積分偏導(dǎo)數(shù)考點(diǎn)微分 z=fxdx+fydy+o，=x2+y2z-fxdx-fydyx2+y2=0 fx,y在0,0點(diǎn)可微fx,y在可微偏導(dǎo)個(gè)數(shù)=自變量個(gè)數(shù)項(xiàng)數(shù)=中間變量個(gè)數(shù)分線相加，連線相減zx，zy仍然是x,y的函數(shù)抽象復(fù)合函數(shù)可以用1,

10、23表示偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)微分方程二階線性微分方程特解的求法令，則；，則于是令，則有如下重要性質(zhì)（注：表示微分，表示積分） 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 其中為1除以按升冪排列所得商式，其的最高次數(shù)為右邊多項(xiàng)式的最高次數(shù)。1除以的運(yùn)算如下1其中一階線性微分方程組的解法齊次微分方程組解題程序：引入微分算子則令 ，則滿足求解（或）； 將求出的代入方程中的第一個(gè)方程，求出(或第二個(gè)方程求出）注：求出其中一個(gè)解，再求另一個(gè)解時(shí)，宜用代數(shù)法，不要用積分法。非齊次微分方程組的解法方程的通解=對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解+非齊次方程的一個(gè)特解。y一個(gè)重要關(guān)系ox其中表示極徑與點(diǎn)切線間的夾角。概率論常用知識(shí)分組有序分組個(gè)元素分成

11、共組，其個(gè)數(shù)分別為 ，則分組方法的總數(shù)為無序分組個(gè)元素分成個(gè)組，其中各組的元素為，各組的元素為個(gè)，各組的元素為個(gè)，則分組方法的總數(shù)為函數(shù)定義性質(zhì) ， 為正整數(shù)時(shí)： 參數(shù)的置信區(qū)間已知，置信區(qū)間為未知，置信區(qū)間為參數(shù)的置信區(qū)間（未知），置信區(qū)間為微積分常用公式a3-b3=a-b(a2+ab+b2)an-bn=a-ban-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1 , nZ+sin+sin=2sincos sin-sin=2cossincos+cos=2coscoscos-cos=2sinsin17導(dǎo)數(shù)部分C'=0x'=x-1sinx'=cosxcosx'=

12、-sinxtanx'=sec2x(cotx)'=-csc2xsecx'=secxtanxcscx'=-cscxcotxax'=axlna ex'=ex(logax)'=1xlogae lnx'=1xarcsinx'=11-x2arccosx'=-11-x2arctanx'=11+x2arccotx'=-11+x2積分部分kdx=kx+C1xdx=lnx+Cxdx=x+1+1+C11+x2dx=arctanx+C11-x2dx=arcsinx+Csinxdx=-cosx+Ccosxdx=sinx+C1cos2xdx=sec2xdx=tanx+C91sin2xdx=csc2dx=-cotx+Caxdx=axlna+Csecxtanxdx=secx+Ccscxcotxdx=-cscx+Cexdx=ex+Ctanxdx=-ln|cosx|+C cotxdx=lnsinx+Csecxdx=lnsecx+tanx+Ccscxdx=lncscx-cotx+Cdxa2+x2=1aarctanxa+C1x2-a2dx=12aln|x-ax+a|+C1a2-x2dx=arcsinxa+C21.1x2±a2dx=ln|x+x2±a2