定積分的應(yīng)用(體積,弧長(zhǎng),功)

1、編輯ppt1元素法的步驟元素法的步驟:1）根根據(jù)據(jù)問問題題的的具具體體情情況況，選選取取一一個(gè)個(gè)變變量量例例如如x為為積積分分變變量量，并并確確定定它它的的變變化化區(qū)區(qū)間間,ba；2）設(shè)設(shè)想想把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，取取其其中中任任一一小小區(qū)區(qū)間間并并記記為為,dxxx ，求求出出相相應(yīng)應(yīng)于于這這小小區(qū)區(qū)間間的的部部分分量量U 的的近近似似值值.如如果果U 能能近近似似地地表表示示為為,ba上上的的一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在x處處的的值值)(xf與與dx的的乘乘積積，就就把把dxxf)(稱稱為為量量U的的元元素素且且記記作作dU，即即dxxfdU)( ；3）以以所所求求

2、量量U的的元元素素dxxf)(為為被被積積表表達(dá)達(dá)式式，在在區(qū)區(qū)間間,ba上上作作定定積積分分，得得 badxxfU)(，即即為為所所求求量量U的的積積分分表表達(dá)達(dá)式式.,)( badxxfU編輯ppt2y+dyyoyx)(yx dc dcdyyA)( dcxdy曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積: badxxfA)(xyo)(xfy abxxx baydx曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積:平面圖形的面積平面圖形的面積編輯ppt3 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓

3、臺(tái)一、旋轉(zhuǎn)體的體積一、旋轉(zhuǎn)體的體積編輯ppt4一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上任取小區(qū)上任取小區(qū)間間,dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfVba2)( )(xfy badxy2 編輯ppt5y例例 1 1 連連接接坐

4、坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)O及及點(diǎn)點(diǎn)),(rhP的的直直線線、直直線線hx 及及x軸軸圍圍成成一一個(gè)個(gè)直直角角三三角角形形將將它它繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成一一個(gè)個(gè)底底半半徑徑為為r、高高為為h的的圓圓錐錐體體，計(jì)計(jì)算算圓圓錐錐體體的的體體積積r解解hPxhry 取取積積分分變變量量為為x，, 0hx 在在, 0h上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，xo直線直線 方程為方程為OP編輯ppt6以以dx為底的窄邊梯形繞為底的窄邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積為體積為dxxhrdV2 圓錐體的體積圓錐體的體積dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxoxhry 編輯ppt

5、7 類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)(yx 、直線、直線cy 、dy 及及y軸所圍軸所圍成的曲邊梯形繞成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為體積為xyo)(yx cddyy2)( dcV dcdyx2 編輯ppt8解解，此拋物線的方程為此拋物線的方程為hyahx 22:dyayhVaa2222)1( 例例2.,2 得得到到的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)（如如圖圖），求求由由此此邊邊的的正正拋拋物物線線弓弓形形繞繞其其底底高高為為底底長(zhǎng)長(zhǎng)為為ha21516ah oxyABCha2得：得：由公式：由公式：dyxVaa 2 yox)0(

6、 22ppxy 22pyx 或或編輯ppt9例例3., 12222積積軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體繞繞求求由由橢橢圓圓xbyax 解解)(22222xaaby 上上半半橢橢圓圓的的方方程程為為：dxyVaa 2 由公式知：由公式知：dxxaabaa)(2222 .342ab .34)(22222badyybbaVybb 體體積積為為軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的同同理理得得橢橢圓圓繞繞編輯ppt10解解，如圖，解方程組如圖，解方程組 xyxy2 101042dxxdxxV .152 例例4. 2體體積積軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的繞繞所所圍圍成成的的平平面面圖

7、圖形形和和直直線線求求xxyxy ），），（），（，得曲線的交點(diǎn)為（得曲線的交點(diǎn)為（1100oxyABC若繞若繞y軸旋轉(zhuǎn)呢？軸旋轉(zhuǎn)呢？ 10102dyyydyV xy 2xy 編輯ppt11xoab二、平行截面面積為已知的立體的體積二、平行截面面積為已知的立體的體積xdxx 如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算.)(xA表表示示過過點(diǎn)點(diǎn)x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，)(xA為為x的已知連續(xù)函數(shù)的已知連續(xù)函

8、數(shù),)(dxxAdV .)( badxxAV立體體積立體體積編輯ppt12例例 6 6 求求以以半半徑徑為為R的的圓圓為為底底、平平行行且且等等于于底底圓圓直直徑徑的的線線段段為為頂頂、高高為為h的的正正劈劈錐錐體體的的體體積積. 解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為等等腰腰三三角角形形截面面積截面面積22)(xRhyhxA 立體體積立體體積dxxRhVRR 22.212hR 例例5編輯ppt13 設(shè)曲線弧為設(shè)曲線弧為)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)xoyabxdxx

9、取積分變量為取積分變量為x，在，在,ba上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，以對(duì)應(yīng)小切線段的長(zhǎng)代替小弧段的長(zhǎng)以對(duì)應(yīng)小切線段的長(zhǎng)代替小弧段的長(zhǎng) dy小小切切線線段段的的長(zhǎng)長(zhǎng)22)()(dydx dxy21 弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素dxyds21 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).12dxysba 平面曲線弧長(zhǎng)的概念平面曲線弧長(zhǎng)的概念一、直角坐標(biāo)情形一、直角坐標(biāo)情形編輯ppt14例例 1 1 計(jì)計(jì)算算曲曲線線2332xy 上上相相應(yīng)應(yīng)于于x從從a到到b的的一一段段弧弧的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度.解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧長(zhǎng)為所求弧長(zhǎng)為dxxsba 1.)1()1(322323ab ab編輯ppt15),0(

10、)(2 求求懸懸鏈鏈線線aaxacheeayaxax )(21)(411)(122axaxaxaxeeeey aaaxaxaadxeedxys)(21)(12弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)).()(10 eeadxeeaaxax例例2).(如圖如圖這一段的弧長(zhǎng)這一段的弧長(zhǎng)到到從從axax 解解oxy-aaa編輯ppt16曲線弧為曲線弧為,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()(22dttts 二、參數(shù)方程情形二、參數(shù)方程情形編輯ppt17例例 3 3 求星形線求星形線32323

11、2ayx )0( a的全長(zhǎng)的全長(zhǎng).解解 星形線的參數(shù)方程為星形線的參數(shù)方程為 taytax33sincos)20( t根據(jù)對(duì)稱性根據(jù)對(duì)稱性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a a aoyx編輯ppt18曲線弧為曲線弧為)( )( rr 其其中中)( 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()(22 drrs 三、極坐標(biāo)情形三、極坐標(biāo)情形編輯ppt19解解 drrs )()(22 02cos4da 02 daa2222sin)cos1 ( 02a d)cos1(2 例

12、例4).0()cos1(的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)求求心心形形線線aar 02sin24a .8a 編輯ppt2001x解解 設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇樵O(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇?)(kxxf 第一次錘擊時(shí)所作的功為第一次錘擊時(shí)所作的功為 101)(dxxfw,2k 例例5 5 用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖栌描F錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次力與鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入錘擊時(shí)將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第等，問第 二二 次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？hxx+dx設(shè)二次擊入的總深度為設(shè)二次擊入的總深度為 厘米厘米h編輯ppt21依題意知，每次錘擊所作的功相等依題意知，每次錘擊所作的功相等122ww 2222kkh ,2 h解解得得：.12cm 第第 二二 次擊入的深度為次擊入的深度為.)(02 hdxxfw二次錘擊所作的