高考數(shù)學圓錐曲線專題復習

1、圓錐曲線一、知識結(jié)構(gòu)1.方程的曲線在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.點與曲線的關(guān)系若曲線C的方程是f(x,y)=0 ，則點P0(x 0,y 0)在曲線C上 f(x。/ 0)=0 ;點 P0(x0,y 0)不在曲線 C上 f(x 0,y 0) wo兩條曲線的交點若曲線G, G的方程分別為fi(x,y)=0,f 2(x,y)=0,則fi(x 0,y 0)=0r點P0(

2、x0,y0)是Ci, C2的交點f' 2(x 0,y 0) =0方程組有n個不同的實數(shù)解，兩條曲線就有 n個不同的交點；方程組沒有實數(shù)解，曲線 就沒有交點.-4 -2.圓圓的定義：點集：M| | OM| 二r,其中定點。為圓心，定長r為半徑.圓的方程:(1)標準方程圓心在c(a,b),半徑為r的圓方程是(x-a) 2+(y-b)2=12圓心在坐標原點，半徑為 r的圓方程是x2+y2=r2(2) 一般方程當D2+E2-4F >0時，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為心,一 1),半徑是也丁配方，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 化為(x+ D)2

3、+(y+ E)2=22D2E2 -4F4.22當D+E-4F=0時，萬程表布一個點U請);當D2+E2-4FV0時，方程不表示任何圖形點與圓的位置關(guān)系已知圓心C(a,b),半徑為r,點M的坐標為(x0,y 0),I MC| v r 點M在圓C內(nèi)，| MC| =r 點M在圓C上，| MC| >r 其中 I MCI =. (x°-a)2 (y0-b)2.(3)直線和圓的位置關(guān)系直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系直線與圓相交有兩個公共點直線與圓相切有一個公共點直線與圓相離沒有公共點直線和圓的位置關(guān)系的判定(i)判別式法的大小關(guān)系來判Aa Bb C(ii) 利用圓心 C(a,b)到

4、直線Ax+By+C=0的距離d=,與半徑r,A2B23.橢圓、雙曲線和拋物線基本知識曲質(zhì)橢圓雙曲線拋物線軌跡條件M | | MF | + | MF | =2a, | F1F2 | v 2aM | | MF | - | MF | .= ±2a, | F2F2 | > 2a.M | MF| 二點 M 到直線l的距離.圓形*71.1* i« -b,J標準方程222- + 2-= =1(a > b > 0) a b222 - -2- =1(a > 0,b >0) a by2=2px(p > 0)頂點Ai(-a,0),A2(a,0);Bi(0,-b

5、),B2(0,b)A(0,-a),A 2(0,a)O(0,0)軸對稱軸x=0,y=0長軸長：2a短軸長：2b對稱軸x=0,y=0實軸長：2a虛軸長：2b對稱軸y=0住 日Fi（-c,0）,F 2（c,0）焦點在長軸上Fi（-c,0）,F2（c,0）焦點在實軸上f（£ , 0） 2焦點對稱軸上焦距I F1F2 | =2c, c= Ja2 - b2I F1F2 | =2c, c= Ja2 b2準線2. a x=±c準線垂直于長軸，且在 橢圓外.2. a x=±c準線垂直于實軸，且在兩 頂點的內(nèi)側(cè).x=衛(wèi) x2準線與焦點位于頂點兩側(cè)，且到頂點的距離相等.離心率e= c,

6、0 < e< 1 ae= - ,e > 1 ae=14 .圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)的動點P(x,y)到一個定點F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之比是一個常數(shù)e(e >0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線.其中定點F(c,0)稱為焦點，定直線 l稱為準線，正常數(shù) e稱為離心率.當0vev1時，軌跡為橢圓，當 e=1時，軌跡為拋物線當e>1時，軌跡為雙曲線5 .坐標變換坐標變換在解析幾何中，把坐標系的變換 (如改變坐標系原點的位置或坐標軸的方向)叫做 坐標變換.實施坐標變換時，點的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改 變點的坐標與曲線的方程

7、.坐標軸的平移坐標軸的方向和長度單位不改變，只改變原點的位置，這種坐標系的變換叫 做坐標軸的平移，簡稱移軸坐標軸的平移公式 設(shè)平面內(nèi)任意一點 M它在原坐標系 xOy中的坐標是9x,y),在新坐 標系x ' O' y'中的坐標是(x ' ,y ').設(shè)新坐標系的原點 O在原坐標系 xOy中的坐標是 (h,k),則x=x' +hx' =x -h(1) 或(2) 1 y=y' +ky' =y -k公式或(2)叫做平移(或移軸)公式.中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程見下表.方程住 日焦線對稱軸橢圓(x -h)2 +(y-k)2

8、2.2ab(± c+h,k)2x=± +h cx=hy=k(x-h)2 +(y-k)2,22ba(h, ±c+k)2y=± - +k cx=hy=k雙曲線22(x -h) (y - k) _12,2ab(± c+h,k)2工a =+k cx=hy=k22(y-k)(x-h)2.2ab(h, ±c+h)y=± +k cx=hy=k拋物線(y-k) 2=2p(x-h)(p +h,k)x= - +hy=k(y-k) 2=-2p(x-h)(-+h,k)2x=1+hy=k(x-h) 2=2p(y-k)(h,-p +k)y=- *+kx

9、=h(x-h) 2=-2p(y-k)(h,- y +k)y寸+kx=h二、知識點、能力點提示( 一 ) 曲線和方程，由已知條件列出曲線的方程，曲線的交點說明 在求曲線方程之前必須建立坐標系，然后根據(jù)條件列出等式進行化簡 . 特別是在求出方程后要考慮化簡的過程是否是同解變形，是否滿足已知條件，只有這樣求 出的曲線方程才能準確無誤 . 另外，要求會判斷 曲線間有無交點，會求曲線的交點坐標 .三、 考綱中對圓錐曲線的要求：考試內(nèi)容：. 橢圓及其標準方程.橢圓的簡單幾何性質(zhì). 橢圓的參數(shù)方程；. 雙曲線及其標準方程.雙曲線的簡單幾何性質(zhì)；. 拋物線及其標準方程.拋物線的簡單幾何性質(zhì)；考試要求：. (1

10、)掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，理解橢圓的參數(shù)方程；. (2)掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)；. (3)掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì)；. (4)了解圓錐曲線的初步應用。四 對考試大綱的理解高考圓錐曲線試題一般有3 題 (1 個選擇題 , 1 個填空題 , 1 個解答題 ), 共計 22 分左右 , 考查的知識點約為 20 個左右 . 其命題一般緊扣課本, 突出重點 , 全面考查 . 選擇題和填空題考查以圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)為主, 難度在中等以下， 一般較容易得分， 解答題常作為數(shù)學高考中的壓軸題，綜合考查學生數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)換、分類討論

11、、邏輯推理等諸方面的能力，重點考查圓錐曲線中的重要知識點 , 通過知識的重組與鏈接, 使知識形成網(wǎng)絡(luò), 著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 , 往往結(jié)合平面向量進行求解，在復習應充分重視。- 5 -求圓錐曲線的方程【復習要點】求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點，主要考查識圖、畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn) 化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問題，除要求熟練掌握好 圓錐曲線的定義、性質(zhì)外，命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用先定形，后定式，再定量 ”的步驟.-38 -

12、定形指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置定式根據(jù) 形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應用， 如當橢圓的焦點不確定在哪個坐標軸上時，可設(shè)方程為mx2+ny2=i(m>0,n>0).定量一心題設(shè)中的條件找到我”中特定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大小22【例i】 雙曲線上 %=i(be N)的兩個焦點Fi、F2, P為雙曲線上一點,4 b“|OP|<5,|PFi|,|FiF2|,|PF2成等比數(shù)列，則 b2= 解：設(shè) Fi(c,0)、F2(c,0)、P(X,y),則 |PFi|2+|PF2|2=2(|PO|2+|FiO2) v 2(52+c2), 即 |PFi|2+|PF2

13、250+2c2,又|PFi|2+|PF2|2=(|PFi|_ |pf2|)2+2|pfi| PF2|, 依雙曲線定義，有|PF i| |PF2|=4,依已知條件有 |PFi| |PF2|=|FiF2|2=4c2i6+8c2< 50+2C2c2< 17,3 ,又 c2=4+b2< - ,.-. b2< 5,.- b2=i 33【例2】已知圓G的方程為x2 2 y i 2 20 ,橢圓C2的方程為32 y b2b 0 , C2的離心率為22.，如果Ci與C2相交于A、B兩點，且線段 AB恰2為圓G的直徑,求直線AB的方程和橢圓C2的方程。解：由e設(shè)橢圓方程為2 c, 4 2

14、c,竹一2a22口 J222b b設(shè) A(Xi, yi).B(X2, y2)由圓心為(2,1).XiX224,yi y2又江江2b2b22i,其2b22.2士2i,b222 o 2 . 2,a 2c , b22222兩式相減，得 Jxi匕產(chǎn)0. 2bb2(% X2)(Xi X2) 2( 0 y2)(yiV2) 0,又 Xi X2 4.yi y2 2得1.Xi X2直線AB的方程為y i (x 2).即yx 322將yx 3代入' qi,得2b2 b2223x2 i2x i8 2b20.2直線AB與橢圓C2相交.24b2 72 0.24b2 723由 AB J2 Xi X2| J2j(x

15、i X2)2 4xiX222解得 b2 8.故所有橢圓方程二2 i.i6 8【例3】 過點（i, 0）的直線l與中心在原點，焦點在 x軸上且離心率為 3 的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=1x過線段AB的中點，同時橢圓 C上存在一點與右焦點關(guān)于2直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程.2.2/解法一：由 e= - J ,得 a-7 一，從而 a2=2b2,c=b.a 2a22設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2 b2,A(xi ,yi),B(X2,y2)在橢圓上.則 Xi2+2yi2=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(xi2-X22)+2(yi2-y22)=0, yXi X2Xi X22(

16、 yi y2)設(shè) AB 中點為(xo,yo),則 kAB=,又(xo,yo)在直線 y=；x 上，yo=(xo,于是-Xo- = i,kAB= i, 2yo設(shè)l的方程為y=-x+i.右焦點(b,o)關(guān)于l的對稱點設(shè)為(x'y；),上1則x b解得xy x by 1229 c 9由點(1,1b)在橢圓上，得 1+2(1b)2=2b2,b2= ,a2 -. 1682.所求橢圓C的方程為8x y2 =1,l的方程為y= x+1.99-2.2.解法二：由e=± d，得a 2bL從而a2=2b2,c=b.a 2a22設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x1), 將l

17、的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k2 2b2=0,2kZ21 2k212k22 1 2k24k則 x1+x2=2- ,y1+y2=k(x1一 1)+k(x2 1)=k(x1+x2) 2k=一1 2k直線l： y= 即(x1+2x2)2一 (x1一 2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2 x過AB的中點(xx2,1y2),則 ky2221 2k2解得k=0,或k= 1.若k=0,則l的方程為y=0,焦點F(c,0)關(guān)于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上, 所以k=0舍去，從而k= 1,直線l的方程為y= (x1)，即y= x+1，以下同解法22解法3:設(shè)橢圓方

18、程為勺冬1(a b 0)a2b21.直線l不平彳T于y軸，否則AB中點在x軸上與直線y萬x過AB中點矛盾。故可設(shè)直線l的方程為y k(x 1) (2)代入消y整理得:2 2(k a,22b )x2k222, 22, 2a x a k a b0(3)設(shè)A(x1，y1) B(x2y2)，知：x1x2 2 22k ab2又y1 丫2 k(x1x2 )2k代入上式得:2kk x1x22k2kb2 k .2b2k-2"a2(a22 ac2)2e2直線l的方程為y此時a2 2b2方程(3)化為3x24xi 2 -4 一 ，2b0,16 24(1b2)一，, 2、一8(3b1) 0b2b2 ,橢圓

19、C的方程可寫成：x2 2y2 2b2 (4),又c2 a2右焦點F (b,0),設(shè)點F關(guān)于直線l的對稱點(x°, y°),Vo則 x0 bXo1, Vo 1 b,Vo 1 xo b22又點(1,1 b)在橢圓上，代入得：1 2(1 b) 2b* 2,b -,432929b , a - 16822所以所求的橢圓方程為：土2199816【例4】如圖,已知 P1OP2的面積為巴,P為線段P1P2的一個三等分點，求以直4線0P1、0P2為漸近線且過點P的離心率為 93的雙曲線方程.解：以。為原點，/ P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標系設(shè)雙曲線方程為2=1(a>

20、o,b>o) b22由 e2= cr2 a2 xa2,得 b 9a 2.兩漸近線op1、0P2 方程分別為 y= 3 x y= - - x 2233設(shè)點 P1(x1, - x1),P2(x2,- - x2)(x1> o,x2>o),則由點P分RP；所成的比=空=2, PP2得P點坐標為（32x2 X1 2x2又點P在雙曲線32 x 2" a,2所以(x1 2X2) 9a2(x124y2.-2-=1 上, 9a_£=1 c 2,9a），又 |OR |292x1x14sin P1OF22 tan P Ox1 tan2 P|OxJ3x1,|0P|2 j 12d

21、91314x2292-x24. 13x22S P10P21八八八& | OF1110P2 | sin F1OF213一 “x?41213274由、得a2=4,b2=922故雙曲線方程為上=1.49【例5】過橢圓2C: -y-2 a2K 1(a b 0)上一'動點P引圓O： x2 +y2 =b2的兩條切線 b2PA、PB, A、B為切點，直線AB與x軸，y軸分別交于 M、N兩點。(1)已知P點坐標為(xo, y0 )并且X0y0W0,試求直線 AB方程；(2)若橢圓的短軸長為22 OR8,并且a25 ,求橢圓 C的萬程；(3)橢圓C上| OM |2 |ON |216是否存在點P,

22、由P向圓O所引兩條切線互相垂直？若存在，請求出存在的條件；若不存在，請說明理由。解：(1)設(shè) A(Xi, y1), B(x2, y2)切線 PA: x1x y1y b2 , PB: x2x y2y b2P 點在切線 FA、PB 上，xiXo yy0,2.2bx2xoy2yo b直線 AB 的方程為 x0x y0y b2(x0y0 0)(2)在直線AB方程中，令2y=0,貝U M( , 0)；令 x=0,貝U N(0 xoyo2, 22222ab ay°x0a25222(2)2| OM |2|ON|2 b2a2b2b2162b=8b=4 代入得 a2 =25, b2 =1622橢圓C方

23、程：y 1(xy 0)(注：不剔除xyw0,可不扣分)25 16 假設(shè)存在點 P(x。，y。)滿足PAXPB,連接OA、OB 由 |PA|=|P B| 知,四邊形PAOB為正方形，|OP|二 J2|OA|-222 x°y0 2b 又.P點在橢圓C上a2x2 b2y2 a2b2222、2. 2由知x0 b .22b ), ya ba ba>b>0a2 b2>0當a2-2b2>0,即a>*5b時，橢圓C上存在點，由P點向圓所引兩切線互相垂直;(2)當a2-2b2<0,即b<a<J2b時，橢圓C上不存在滿足條件的 P點例6已知橢圓C的焦點是F

24、i ( J3, 0)、F2 (J3, 0),點Fi到相應的準線的距離為匣，過F2點且傾斜角為銳角的直線3l與橢圓C交于A、B兩點，使得|F2B|二3|F 2A|.(1)求橢圓C的方程；(2)求直線l的方程.解：(1)依題意，橢圓中心為 O (0, 0), c 33點Fi到相應準線的距離為 b1 向 b2 % V3 1，c3a2=b2+c2=1+3=42.所求橢圓方程為士 y2 14垂足分別為M、N.由橢圓第二定義,得 LAF2J e | AF2 | e| AM | AM |,AN± l同理 |BF2|二e|BN|由 RtAPAM- RtA PBN,彳# | PA |1C八一| AB

25、| 2 | F2 A | 2e | AM | 9 分 2cos PAM|AM |11-.3TPAT 2e ,3 三2 2l 的斜率 k tan PAM & .，直線l的方程y V2(x亮)即 2x y 6 0(2)設(shè)橢圓的右準線l與l交于點P,作AM，l【例7】已知點B( 1,0),C (1, 0), P是平面上一動點，且滿足|PC|BC| PB CB.(1)求點P的軌跡C對應的方程；(2)已知點A (m,2)在曲線C上，過點A作曲線C的兩條弦AD和AE,且ADXAE,判斷： 直線DE是否過定點？試證明你的結(jié)論 .(3)已知點A (m,2)在曲線C上，過點A作曲線C的兩條弦AD, AE

26、,且AD, AE的斜率k1、 k2滿足k1 k2=2.求證：直線 DE過定點，并求出這個定點 解：(1)設(shè) P(x，y)代入 | PC | | BC | PB CB得 J(x 1)2 y2 1 x，化簡得 y2 4x.(2)將A(m,2)代入y2 4x彳導m 1,點A的坐標為(1,2).設(shè)直線AD的方程為y 2 k(x 1)代入y2 4x,得y2 -y 8 4 0, k k444由 yi2 可得 y2 2, D(= 1- 2).kk2k同理可設(shè)直線AE:y 2- (x 1),代入y2 4x得E(4k2 1,4k 2).k-4k則直線DE方程為：y 4k 2氣一 (x 4k 2 1),化簡得k2

27、 4k 2k2(y 2) k(x 5) (y 2) 0, 、_一k, 、 >即y 2一 (x 5),過定點(5, 2).k2 1(3)將 A(m,2)代入 y2 4x得m 1,設(shè)直線 DE 的方程為 y kx b,D(x1,y1),E(x1,y1),y kx b,)由2得k2x2y 4x一 一 2_2(kb 2)x b2 0,y1 2 y2 22,2一 -y2一2(221),x1 1 x2 1且y1 kx1 b, y2 kx2 b2、，一 ,、，(k 2)x*2 (kb 2k 2)(x1洛2(kb 2)b2府 K x2 2,x1x2k2k2b (k 2).將bk2代入ykxb彳導ykx將

28、b2k代入ykx京導ykx定點為(1, 2)2【例8】已知曲線合2 aB (0, b)兩點，原點。到l2(2) (b 2)2 0,代入化簡得b2 (k 2)2, b (k 2).k2k(x1)2,過定點(1, 2).2kk(x1)2,過定點(1,2),不合，舍去，二 1(a 0,b 0)的離心率e"，直線l過A (a, 0)、 b23.3.2(I )求雙曲線的方程;(n)過點B作直線m交雙曲線于M、N兩點，若OMON 23 ,求直線m的方程.解：(I)依題意，1方程冬-y- a b為啦，得 ab ab 332.a2 b2 c 22故所求雙曲線方程為工y2 131,即bx ay ab

29、0,由原點。到l的距離又e c 21b 1,a.3a 3(n)顯然直線m不與x軸垂直，設(shè)m方程為y=kx- 1,則點M、N坐標(x1，y1)、(X2, y2)是方程組y kx 1的解消去 y,得(1 3k2 所求的橢圓方程為1. 94 (2)方法 由題知點D、M、N共線，設(shè)為直線 m,當直線m的斜率存在時，設(shè)為 k,則直線m的方程為y = k x +3代入前面的橢圓方程得 (4+9k 2) x2 +54 k +45 = 0 由判別式 (54k)2 4 (4 9k2) 45 0 ,得 k2 5. 再設(shè) M (x 1 , y 1 ), N ( X2 , y2),則一方面有DM(X1* 3) DN(

30、X2,y2 3) ( X2, (y2 3),得)x2 6kx 6 02依設(shè)，1 3k 0,由根與系數(shù)關(guān)系，知XiX26k6-72, xi X2-723k 1 3k 1OM ON (X1,y1)(X2,y2) X1X2 y1y2x1x2(kx1 1)(kx2 1)22=(1 k )x1x2 k(x1x2) 1 = 6(1 k ) 6k3k2 1 3k2 13k2 16.1OM ON23z- 1=-23, k=± 3k2 121當k=± 1時，萬程有兩個不等的實數(shù)根2故直線I方程為y 1x 1,或y -x 12222【例9】 已知動點P與雙曲線 匕 1的兩個焦點23FF2的距離

31、之和為定值,1且 cos F1PF2的最小值為 一.9(1)求動點P的軌跡方程;(2)若已知 D(0,3) , MN在動點P的軌跡上且DMDN ,求實數(shù)的取值范圍.解：(1)由已知可得:、.5a2 a2 (2c)22a22222a 9 , b a c 4x1x2yi3(V2 3)另一方面有Xi X254k452 , XiX24 9k24 9k將XiX2代入式并消去X 2可得32444362-2 9 ,由刖面知， 0 - 一5（1） kk 59324 281,解得 15.5（1）255又當直線m的斜率不存在時，不難驗證： 1或 55所以15為所求。5方法二：同上得X1X2yi3(y23)設(shè)點 M

32、 (3cos a , 2sin a ), N (3cos 3 ,2sin 3 )則有cos cos2sin 3(2 sin 3)由上式消去a并整理得13 2185 ,十sin 2, 由于 1 sin 112()1 13一218一5 1 ,解得15為所求.12()5方法三：設(shè)法求出橢圓上的點到點D的距離的最大值為 5,最小值為1.進而推得的取值范圍為15。5【求圓錐曲線的方程練習】一、選擇題1 .已知直線 X+2y3=0與圓X2+y2+X 6y+m=0相交于P、Q兩點，O為坐標原點，若 OPXOQ,則m等于（）A.3B.-3C.1D.-12 .中心在原點，焦點在坐標為（0, ±5四）的

33、橢圓被直線3X-y-2=0截得的弦的中點的橫 ，, ， 1 一，一、一一， 坐標為1 ,則橢圓方程為（）2_ 2_ 2八 2x22y2.A.-1257522x yC. 一 -125 75B.至75x2D.-75宜1252匕125二、填空題3 .直線l的方程為y=x+3，在l上任取一點P,若過點P且以雙曲線12x2 4y2=3的焦點作 橢圓的焦點，那么具有最短長軸的橢圓方程為 .4 .已知圓過點P(4, 2)、Q(1, 3)兩點，且在y軸上截得的線段長為 4/3,則該圓的方程為.三、解答題5 .已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在 x軸上，它的一個焦點為 F, M是橢圓上的任意 點，|MF|的最大值

34、和最小值的幾何平均數(shù)為2,橢圓上存在著以 y=x為軸的對稱點 M1和M2,I且|M1M2|=W0 ,試求橢圓的方程.6.某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱的長.2x-2 a7.已知圓C1的方程為(x2)2+(y1)2=20，橢圓C2的方程為32J2三"=1(a> b> 0), C2的離心率為-，如果C1與C2相交于A、b22B兩點，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線 AB的方程和橢圓 C2的方程.參考答案一、1.解析：將直線方程變?yōu)閤=32y,代入圓的方程x2+y2+x6y+m=0,得(3 2y)2+y2+(3 2y)+

35、m=0.整理得 5y220y+12+m=0,設(shè) P(xi,yi)、Q(X2,y2)12 m yiy2=,yi+y2=4.5又二 P、Q在直線x=3 2y上,xix2=(3 2yi)(3 2y2)=4yiy2 6(yi +y2)+9故 yiy2+xix2=5yiy26(yi+y2)+9= m 3=0 ,故 m=3.答案：A222.解析：由題意，可設(shè)橢圓方程為：22 。=i,且a2=50+b2,a b22即方程為_y_ A_=i.50 b2 b2將直線3xy 2=0代入，整理成關(guān)于 x的二次方程.由 xi+x2=i 可求得 b2=25,a2=75.答案：C二、3.解析：所求橢圓的焦點為Fi( 1,

36、0),F2(1,0),2a=|PFi|+|PF2|.l上找一點P.使|PFi|+|PF2|最小，利用對稱性可解.欲使2a最小，只需在直線22答案：二匕=1544.解析：設(shè)所求圓的方程為2(4 a) ( 2 b) 則有(1 a)2 (3 b)：|a |2 (2 3)2 r2(x a)2+(y b)2=r22ab2 r13ab2 r27由此可寫所求圓的方程 答案：x2+y2 2x 12=0 或 x2+y210x8y+4=0三、5.解：|MF|max=a+c,|MF|min=a c,則(a+c)(ac)=a2c2=b2,22，b2=4,設(shè)橢圓方程為三工1a24設(shè)過Mi和M2的直線方程為y= - x+

37、m將代入得：(4+a2)x22a2mx+a2m2 4a2=0設(shè) Mi(xi,yi)、M2(x2,y2),MiM2 的中點為(x0,y0),21 ,、 a mx0= - (xi + x2)=242代入y=x,得-a-4 a,y0= xo+ m=a4m/2 ,4 a4m4 a2由于 a2>4,，m=0,，由知 Xi+x2=0,xix2=-4a22a又|MiM2|= . 2 (x1 x2)2 4x1 x24.103代入xi+x2,xix2可解a2=5,故所求橢圓方程為:=i.6.解：以拱頂為原點，水平線為 x軸，建立坐標系,如圖，由題意知，|AB|=20, |OM|=4, A、B 坐標分別為(

38、10, 4)、(10, 4)設(shè)拋物線方程為 x2= 2py,將A點坐標代入，得 100= 2pX4),解得p=12.5,于是拋物線方程為 x2=-25y.由題意知E點坐標為(2,4), E '點橫坐標也為2,將2代入得y=0.16，從而 |EE' |=(0.16) ( 4)=3.84.故最長支柱長應為3.84米.2227.解：由e=匚,可設(shè)橢圓方程為 J =1,22b2故所求橢圓方程為-匕=1.168b2又設(shè) A(x1,y1)、B(x2,y2),則 x1+x2=4,y+y2=2,2222又三，1,丹冬=1,兩式相減，得2bb 2bb2 x12 x22b222y1y22- =0,

39、b即(Xi+x2)(xi x2)+2(y1+y2)(y1 y2)=0.化簡得y-y2 = 1,故直線AB的方程為y=-x+3, Xi X2.230代入橢圓方程得3x2 12x+18 2b2=0.有 A=24b272>0,又伊8|=45r1x2)2 4x1x2得跖,%g0 ,解得b2=8.19'1 3直線與圓錐曲線【復習要點】直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置 關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較 高，起到了拉開考

40、生 檔次”，有利于選拔的功能.1 .直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數(shù)解成實數(shù)解的個數(shù)問題，此時要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.2 .當直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題，常用筆達定理法”設(shè)而不求計算弦長(即應用 弦長公式)；涉及弦長的中點問題，常用 差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點 坐標聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.【例1】 已知橢圓的中心在坐標原點O,焦點在坐標軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q,且OPOQ, FQF、10 ,求橢圓方程.解：設(shè)橢

41、圓方程為 mx2+ny2=1(m>0,n> 0), P(xi,yi),Q(x2,y2)y x 1由 22得(m+n)x2+2nx+n1=0,mx ny 134n2 4(m+n)(n1) >0,即 m+n mn>0,由 OPOQ所以 x1x2+y1y2=0，即 2x1x2+(x1+x2)+1=0,2(n 1) 2n +1=0, m+n=2 m n m n又 2 4(m n mn)m n呼)2,將m+n=2,代入得m n= 34由、式得 m= ,n= 或 m= ,n= 一2222故橢圓方程為 工+3y2=1或"3*2y2=1.2222【例2】如圖所示，拋物線y2=

42、4x的頂點為O,點A的坐標為(5, 0),傾斜角為一的4直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點?；螯cA)且交拋物線于 時直線l的方程，并求 4AMN的最大面積.M、N兩點，求4AMN面積最大解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,5vmv 0.y x mcc由方程組 2，消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 y 4x直線l與拋物線有兩個不同交點M、N,，方程的判別式A=(2m 4)2 4m2=i6(1 - m)>0,解得mv 1,又一5v mv 0,，m的范圍為(一5, 0)設(shè) M (Xi,yi),N(X2,y2)則 xi+x2=4 2m, xi X2=m2,|MN|=4 2(1 m).點A到直

43、線l的距離為d=5-=m.、2SJa =2(5+ m) hm，從而 Sa2=4(1 m)(5+m)22 2m 5 m 5 m ,=2(2 2m) (5+m)(5+m) < 2()3=128.3 SzW8j2，當且僅當2 2m=5+m,即m= 1時取等號.故直線l的方程為y=x-1, AAMN的最大面積為8匹.【例3】 已知雙曲線C: 2x2y2=2與點P(1, 2)。(1)求過P(1, 2)點的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個交點，兩個交點，沒有交點。(2)若Q(1, 1),試判斷以Q為中點的弦是否存在.解：(1)當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1, 與曲線C有一個交點.當

44、l的斜率存在時，設(shè)直線 l的方程為y-2=k(x-1), 代入C的方程，并整理得(2- k2)x2+2(k2- 2k)x- k2+4k- 6=0( *)(i )當2k2=0,即k=±J2時，方程(*)有一個根，l與C有一個交點(ii )當 2 k2w 唧 kw 22 時& 2(k22k) 24(2k2)(k2+4k6)=16(3 2k)當占0,即3 2k=0,k=£時，方程(*)有一個實根，l與C有一個交點.當A> 0,即kv 3，又kw±5，故當k<- v'2或石vkv J2或v,2 <k< -時，方程(*)22有兩不等實

45、根，l與C有兩個交點.當AV 0,即k> 2時，方程(*)無解，l與C無交點.綜上知：當k=±J2，或k=_3 ,或k不存在時，l與C只有一個交點； 2當V2 v k< 2成22 v k< 22.，或kv 夜時，l與C有兩個交點；當k> 3時，l與C沒有交點.2(2)假設(shè)以 Q 為中點的弦存在，設(shè)為 AB,且 A(xi,yi),B(X2,y2),則 2xi2y12=2,2x22y22=2 兩式相減得：2(xi X2)(xi+X2)=(yi y2)(yi +y2)又 xi+x2=2,yi+y2=22(xi x2)=yi yi即kAB="上=2xi x2

46、但漸近線斜率為±72,結(jié)合圖形知直線 AB與C無交點，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點的弦不存在【例4】 如圖，已知某橢圓的焦點是Fi( 4, 0)、F2(4, 0),過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B,且|FiB|+|F2B|=10,橢圓上不同的兩點 A(xi,yi),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.Jly(1)求該弦橢圓的方程；(2)求弦AC中點的橫坐標；x(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為 y=kx+m, 求m的取值范圍.解：由橢圓定義及條件知，2a=|FiB|+|F2B|=10，得a=5, 又 c=4,所以 b= va2 c2

47、=3.22故橢圓方程為x L=1.25 » X:，曷心率為4,根259(2)由點B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|=9 .因為橢圓右準線方程為5據(jù)橢圓定義，有4 25 冽=5(丁4 25-x1),|F2C|=-(T-x2),由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得(空一xi)+ - ( x2)=2 秘,由此得出：xi+X2=8. 5 45 45設(shè)弦 AC 的中點為 P(xO,y0),貝(J xo= " 2 x2 =4.(3)解法一：由 A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上. 22得 9xi 2509 25' 一 2 一 2 一 一9x22

48、5 y29 25一得 9(x12x22)+25(y12y22)=o,即 9X(x1x2) 25(1一y2) Cy1一y2)=o(x1 歡2)22x1x2收 x1x2v / y1y2怡xo 4,22y1y2yo,xx21一 ， r-(kw球入上式，得1 9>4+25yo(- - )=0()25.即k= 一 yo(當k=o時也成立).36所以由點P(4, yo)在弦AC的垂直平分線上，得yo =4k+ m,m=yo-4k=yo-2516yo=- yo.由點得一v yov 所以-1616P(4, yo)在線段BB舊與B關(guān)于x軸對稱)的內(nèi)部,解法二：因為弦 AC的中點為P(4,yo),所以直線A

49、C的方程為1y yo= - - (x 4)(kw O) k22將代入橢圓方程 工=1,得259(9 k2+25) x2 5。( kyo+4) x+25( kyo+4)2 25 X9k2=o所以 x + x2= 5"，O_4 =8，解得 k=25yo.(當 k=o 時也成立)9k2 253622_ 一 一.x y 1Ox 2O o 相(以下同解法一).【例5】已知雙曲線 G的中心在原點，它的漸近線與圓1 一切.過點P 4,o作斜率為一的直線l ,使得l和G交于A, B兩點，和y軸交于點C , 4并且點P在線段AB上，又滿足 PA PB(1)求雙曲線G的漸近線的方程;(2)求雙曲線G的方程;(3)橢圓S的中心在原點，它的短軸是 G的實軸.如果 S中垂直于l的平行弦的中點的軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的部分，求橢圓S的方程.解：(1)設(shè)雙曲線G的漸近線的方程為：y 則由漸近線與圓x2 y2 1ox 2o o相切可得:所以，k 1雙曲線G的漸近線的方程為：y -x.2(2)由(1)可設(shè)雙曲線G的方程為：x2 4y2 m.把直線l的方程1，一 一也2-x 4代入雙曲線方程，整理得 3x2 8x 16 4mo.4則 XaXbXaX