晶格振動(dòng)和晶體的熱力學(xué)

1、晶格振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì) 凌福日 第第3.5節(jié)節(jié) 長(zhǎng)波近似長(zhǎng)波近似3.5.1 3.5.1 長(zhǎng)聲學(xué)波長(zhǎng)聲學(xué)波本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容: :3.5.2 3.5.2 長(zhǎng)光學(xué)波長(zhǎng)光學(xué)波在在3.13.1中中, ,我們從晶體中每個(gè)原子在其平衡位置我們從晶體中每個(gè)原子在其平衡位置附近做微振動(dòng)的觀點(diǎn)（不再是連續(xù)介質(zhì)）附近做微振動(dòng)的觀點(diǎn)（不再是連續(xù)介質(zhì)）, ,推出晶推出晶格振動(dòng)的聲學(xué)波和光學(xué)波。格振動(dòng)的聲學(xué)波和光學(xué)波。對(duì)對(duì)長(zhǎng)聲學(xué)格波長(zhǎng)聲學(xué)格波，其長(zhǎng)波極限就是彈性波，即彈性，其長(zhǎng)波極限就是彈性波，即彈性波與聲學(xué)波在長(zhǎng)波條件下，它們是必然的統(tǒng)一；波與聲學(xué)波在長(zhǎng)波條件下，它們是必然的統(tǒng)一； 晶

2、體出現(xiàn)宏觀極化，是晶體出現(xiàn)宏觀極化，是長(zhǎng)光學(xué)縱波長(zhǎng)光學(xué)縱波振動(dòng)模中離子振動(dòng)模中離子的相對(duì)位移引起。的相對(duì)位移引起。本節(jié)討論本節(jié)討論 q 0、，即長(zhǎng)聲學(xué)波和長(zhǎng)光學(xué)，即長(zhǎng)聲學(xué)波和長(zhǎng)光學(xué)波的情況。波的情況。研究長(zhǎng)波近似的目的：揭示固體宏觀性質(zhì)的微研究長(zhǎng)波近似的目的：揭示固體宏觀性質(zhì)的微觀本質(zhì)觀本質(zhì) 波長(zhǎng)很長(zhǎng)的光學(xué)波：長(zhǎng)光學(xué)波波長(zhǎng)很長(zhǎng)的光學(xué)波：長(zhǎng)光學(xué)波晶格中的聲學(xué)波中相鄰原子都沿同一方向振動(dòng)晶格中的聲學(xué)波中相鄰原子都沿同一方向振動(dòng)光學(xué)波中，原胞中不同的原子相對(duì)地作振動(dòng)光學(xué)波中，原胞中不同的原子相對(duì)地作振動(dòng) 波長(zhǎng)很長(zhǎng)的聲學(xué)波：長(zhǎng)聲學(xué)波波長(zhǎng)很長(zhǎng)的聲學(xué)波：長(zhǎng)聲學(xué)波3.5.1 3.5.1 長(zhǎng)聲學(xué)波長(zhǎng)聲學(xué)波一、

3、長(zhǎng)聲學(xué)波一、長(zhǎng)聲學(xué)波在在3.1 3.1 中，中，以一維雙原子鏈為例，當(dāng)以一維雙原子鏈為例，當(dāng)q很小很小時(shí)，即時(shí)，即對(duì)于長(zhǎng)波極限，得到聲學(xué)波色散關(guān)系為對(duì)于長(zhǎng)波極限，得到聲學(xué)波色散關(guān)系為長(zhǎng)聲學(xué)波的角頻率與波矢存在線性關(guān)系，而長(zhǎng)聲學(xué)波的波速為長(zhǎng)聲學(xué)波的角頻率與波矢存在線性關(guān)系，而長(zhǎng)聲學(xué)波的波速為apdrUdaMmqv2221) 2(2 ) 1 (221qaMm 長(zhǎng)聲學(xué)波的波速為一常數(shù)，這些特性與晶體中的彈性波完成一致。長(zhǎng)聲學(xué)波的波速為一常數(shù)，這些特性與晶體中的彈性波完成一致。：恢復(fù)力常數(shù)，：恢復(fù)力常數(shù)，2a：晶格常數(shù)：晶格常數(shù)。1 1、長(zhǎng)聲學(xué)波波動(dòng)方程、長(zhǎng)聲學(xué)波波動(dòng)方程其試解為：其試解為： )(32

4、22212322222122222122 nnnnnnnnuuudtudMuuudtudm )(422221212 tanqintanqinBeuAeu 將（將（4 4）式代入（）式代入（3 3），可得），可得對(duì)于長(zhǎng)聲學(xué)波，鄰近的若干原子以相同的振幅、相同的位相對(duì)于長(zhǎng)聲學(xué)波，鄰近的若干原子以相同的振幅、相同的位相集體運(yùn)動(dòng)，集體運(yùn)動(dòng)，對(duì)于一維復(fù)式格子，對(duì)于一維復(fù)式格子，運(yùn)動(dòng)方程由下式表示運(yùn)動(dòng)方程由下式表示原子的分離坐標(biāo)原子的分離坐標(biāo)( 2n+1)a即即)7()(2,)(222qaiqaqaiqaeemABeeMBA 可得兩種不同原子的振幅比可得兩種不同原子的振幅比)()()(5221221222

5、22222 niqaiqanniqaiqanueeABdtudmueeBAdtudM )6(2222 BAeeBMABeeAmiqaiqaiqaiqa 將將A/B、B/A和和先后代入（先后代入（5）式得到）式得到)(8221222212222222222 nnnnuaqMmdtuduaqMmdtud 對(duì)于對(duì)于l為有限整數(shù)的情況，由試解（為有限整數(shù)的情況，由試解（4）式，可得）式，可得,)(aliqnlneuu1122 l為奇數(shù)時(shí)；為奇數(shù)時(shí)；,)(aliqnlneBAuu1122 l為偶數(shù)時(shí)；為偶數(shù)時(shí)；由色散關(guān)系，可知當(dāng)由色散關(guān)系，可知當(dāng)q0時(shí)，時(shí)， 0，由振幅比（，由振幅比（7）式，可）式，可

6、得：得：因此當(dāng)因此當(dāng)l為有限整數(shù)時(shí)，不論為有限整數(shù)時(shí)，不論l為奇數(shù)或偶數(shù)，都為奇數(shù)或偶數(shù)，都有有)9(1)(2200limlim qaiqaqqeeMBA )(lim1011220 nlnquu上式說(shuō)明上式說(shuō)明：n在長(zhǎng)聲學(xué)波條件下，一維原子鏈不同原子的運(yùn)動(dòng)方程在長(zhǎng)聲學(xué)波條件下，一維原子鏈不同原子的運(yùn)動(dòng)方程（8 8）實(shí)際可視為一個(gè)方程實(shí)際可視為一個(gè)方程，它們的一般表達(dá)式：，它們的一般表達(dá)式：)(112222222lnlnuaqMmdtud 鄰近（在波長(zhǎng)范圍內(nèi)）的若干原子以相同振幅、相同位相鄰近（在波長(zhǎng)范圍內(nèi)）的若干原子以相同振幅、相同位相集體運(yùn)動(dòng)。集體運(yùn)動(dòng)。從宏觀上看，原子的位置可視為準(zhǔn)連續(xù)的，

7、原子的分從宏觀上看，原子的位置可視為準(zhǔn)連續(xù)的，原子的分離坐標(biāo)可視為連續(xù)坐標(biāo)離坐標(biāo)可視為連續(xù)坐標(biāo)r，所以有，所以有uAeutqriln )( 2于是，原子的運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)為于是，原子的運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)為)(12222222222222222ruvturuaMmuaqMmtutln 上式為上式為標(biāo)準(zhǔn)的宏觀彈性波的波動(dòng)方程標(biāo)準(zhǔn)的宏觀彈性波的波動(dòng)方程，其中，其中aMmvt212 是用微觀參數(shù)表示的彈性波的波速。是用微觀參數(shù)表示的彈性波的波速。dxxudxxu)()(dxxducdxxudxxucF)()()(dxdxxducdxxF)()(對(duì)于一維的連續(xù)介質(zhì)，因位移引起的應(yīng)變對(duì)于一維的連續(xù)介質(zhì)，因位移引起的

8、應(yīng)變?cè)O(shè)介質(zhì)的彈性模量設(shè)介質(zhì)的彈性模量c ,c ,因形變產(chǎn)生的恢復(fù)力：因形變產(chǎn)生的恢復(fù)力：同理，（同理，（x-dxx-dx）形變產(chǎn)生的恢復(fù)力：）形變產(chǎn)生的恢復(fù)力：)()(),(22dxxFxFdttxuddx),(),(),(22dxtdxxdudxtxducdttxuddx22222222),(),(),(),(xtxucttxudxtxudcdttxud設(shè)一維介質(zhì)的線密度設(shè)一維介質(zhì)的線密度 ，考慮，考慮x x與（與（x-dxx-dx）的一段，其質(zhì)）的一段，其質(zhì)量量 ，作用在，作用在x x處的動(dòng)力學(xué)方程：處的動(dòng)力學(xué)方程：dx整理整理)(0),(tqxieutxucqqc22dxducFauud

9、xdumm1auucFmm1上述方程組是標(biāo)準(zhǔn)的波動(dòng)方程，其解：上述方程組是標(biāo)準(zhǔn)的波動(dòng)方程，其解：帶入方程，整理帶入方程，整理恢復(fù)力恢復(fù)力對(duì)于一維晶格對(duì)于一維晶格ammdruduuF221）（acaMm2aMmaMma212122/一維晶格的恢復(fù)力一維晶格的恢復(fù)力通過(guò)連續(xù)介質(zhì)和一維晶格的對(duì)比通過(guò)連續(xù)介質(zhì)和一維晶格的對(duì)比得到一維晶格的相速度得到一維晶格的相速度3.5.2 3.5.2 長(zhǎng)光學(xué)波長(zhǎng)光學(xué)波極化：電介質(zhì)內(nèi)的正、負(fù)電荷做微觀的相對(duì)移動(dòng)，結(jié)極化：電介質(zhì)內(nèi)的正、負(fù)電荷做微觀的相對(duì)移動(dòng)，結(jié)果在電介質(zhì)內(nèi)部或表面出現(xiàn)帶電的現(xiàn)象果在電介質(zhì)內(nèi)部或表面出現(xiàn)帶電的現(xiàn)象 P =Pe / V式中式中Pe 是分子電

10、偶極矩，是分子電偶極矩， V 是電介質(zhì)內(nèi)宏觀小、是電介質(zhì)內(nèi)宏觀小、微觀大的體積元。微觀大的體積元。 P =0E 實(shí)驗(yàn)表明，在各向同性電介質(zhì)中的任一點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)表明，在各向同性電介質(zhì)中的任一點(diǎn)，極化強(qiáng)度極化強(qiáng)度P和電場(chǎng)和電場(chǎng)E的方向相同且大小成正比的方向相同且大小成正比離子晶體的光學(xué)波描述原胞中正負(fù)離子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。它離子晶體的光學(xué)波描述原胞中正負(fù)離子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。它伴隨著極化并與電磁波有強(qiáng)烈的相互作用，并影響長(zhǎng)光學(xué)模伴隨著極化并與電磁波有強(qiáng)烈的相互作用，并影響長(zhǎng)光學(xué)模的頻率，從而對(duì)離子晶體的電學(xué)與光學(xué)特性有重要影響。的頻率，從而對(duì)離子晶體的電學(xué)與光學(xué)特性有重要影響。二、長(zhǎng)光學(xué)波二、長(zhǎng)光學(xué)波 3）正負(fù)離

11、子組成的晶體，長(zhǎng)光學(xué)波使晶格出現(xiàn)宏觀極化）正負(fù)離子組成的晶體，長(zhǎng)光學(xué)波使晶格出現(xiàn)宏觀極化 1）離子晶體的光頻頻率）離子晶體的光頻頻率10-13s-1， 波長(zhǎng)波長(zhǎng) 原胞的原胞的線度線度a2）長(zhǎng)光波光頻模能夠?qū)﹄姶挪ǖ膫鞑ギa(chǎn)生重要的）長(zhǎng)光波光頻模能夠?qū)﹄姶挪ǖ膫鞑ギa(chǎn)生重要的影響影響離子晶體的極化由兩部分貢獻(xiàn)構(gòu)成離子晶體的極化由兩部分貢獻(xiàn)構(gòu)成：離子位移極化離子位移極化:是正負(fù)離子的相對(duì)位移產(chǎn)生的電偶極矩，是正負(fù)離子的相對(duì)位移產(chǎn)生的電偶極矩，這種極化稱為這種極化稱為離子位移極化離子位移極化，用，用e*u表示；表示； u為正負(fù)離子的相為正負(fù)離子的相對(duì)位移，對(duì)位移， e*為離子的有效電荷。為離子的有效電荷

12、。電子位移極化電子位移極化:是離子本身的電子云在有效電場(chǎng)作用下是離子本身的電子云在有效電場(chǎng)作用下發(fā)生畸變，即離子本身也成了電偶極子，這部分的極化為發(fā)生畸變，即離子本身也成了電偶極子，這部分的極化為電電子位移極化子位移極化。本節(jié)介紹本節(jié)介紹黃昆黃昆的長(zhǎng)波方法，討論由離子晶體的宏觀特性的長(zhǎng)波方法，討論由離子晶體的宏觀特性確定長(zhǎng)光學(xué)模頻率。確定長(zhǎng)光學(xué)模頻率。1 1、離子晶體的宏觀極化方程、離子晶體的宏觀極化方程由于正負(fù)離子相對(duì)運(yùn)動(dòng)，電荷不再均勻分布，由于正負(fù)離子相對(duì)運(yùn)動(dòng)，電荷不再均勻分布，半波長(zhǎng)內(nèi)，半波長(zhǎng)內(nèi)，正離子組成的布喇菲原胞同向位移，負(fù)離子組成的布喇菲原正離子組成的布喇菲原胞同向位移，負(fù)離子組

13、成的布喇菲原胞反向位移。胞反向位移。出現(xiàn)了以波長(zhǎng)為周期的正負(fù)電荷集中的區(qū)域。出現(xiàn)了以波長(zhǎng)為周期的正負(fù)電荷集中的區(qū)域。模型：模型：設(shè)每個(gè)原胞中只有兩個(gè)電荷量相等、符號(hào)相反的設(shè)每個(gè)原胞中只有兩個(gè)電荷量相等、符號(hào)相反的離子。離子。 a) 縱模b) 橫模E E21,22211()2nnnnPqai21,22211()2nnnnPq ai離子位移極化221211(2)2nnnPq()Pq()qP一個(gè)原胞內(nèi)的離子位移偶極矩為：一個(gè)原胞內(nèi)的離子位移偶極矩為：對(duì)于長(zhǎng)光學(xué)波，同種原子的位移相同，則：對(duì)于長(zhǎng)光學(xué)波，同種原子的位移相同，則：1()eeffeffeffPEEE電子位移極化離子晶體的宏觀極化產(chǎn)生一個(gè)宏觀

14、極化電場(chǎng)離子晶體的宏觀極化產(chǎn)生一個(gè)宏觀極化電場(chǎng)E，作用在某作用在某離子上的電場(chǎng)稱為有效電場(chǎng)離子上的電場(chǎng)稱為有效電場(chǎng)Eeff, ,有效電場(chǎng)等于宏觀電場(chǎng)減去該有效電場(chǎng)等于宏觀電場(chǎng)減去該離子本身產(chǎn)生的電場(chǎng)。離子本身產(chǎn)生的電場(chǎng)。對(duì)立方晶系洛倫茲提出了求解有效電場(chǎng)對(duì)立方晶系洛倫茲提出了求解有效電場(chǎng)Eeff的一個(gè)方法，的一個(gè)方法，由理論分析得到：由理論分析得到：)1(310PEEeff 其中其中P為宏觀極化強(qiáng)度。為宏觀極化強(qiáng)度。()eeffqPPPE離子總的位移極化01113PqE()()2effeffMq Eq E 2effMq E20003221133effqquq EE 再考慮離子的運(yùn)動(dòng)方程再考慮離

15、子的運(yùn)動(dòng)方程原胞中的兩個(gè)正負(fù)離子質(zhì)量原胞中的兩個(gè)正負(fù)離子質(zhì)量?jī)蓚€(gè)正負(fù)離子的位移兩個(gè)正負(fù)離子的位移M and mand描述長(zhǎng)光學(xué)波運(yùn)動(dòng)的宏觀量描述長(zhǎng)光學(xué)波運(yùn)動(dòng)的宏觀量)()(21MWMmMMm 原胞體積原胞體積折合質(zhì)量折合質(zhì)量黃昆方程黃昆方程EbWbPEbWbW 222112110220212112002113113113113)(2bMqbbMqMb 正負(fù)離子相對(duì)運(yùn)動(dòng)位移產(chǎn)生的極正負(fù)離子相對(duì)運(yùn)動(dòng)位移產(chǎn)生的極 化和宏觀電場(chǎng)產(chǎn)生的附加極化化和宏觀電場(chǎng)產(chǎn)生的附加極化EbWbW 1211EbWbP2221 離子相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程離子相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程Pand E 宏觀極化強(qiáng)度和宏觀電場(chǎng)強(qiáng)度宏觀極化

16、強(qiáng)度和宏觀電場(chǎng)強(qiáng)度)()()()(7000 trqitrqitrqieEEePPeWW 黃昆方程具有平面波形式的解黃昆方程具有平面波形式的解則可以把格波的縱向位移和橫向位移分開(kāi)，即則可以把格波的縱向位移和橫向位移分開(kāi)，即位移位移W與波矢與波矢q相垂直的部分構(gòu)成橫波相垂直的部分構(gòu)成橫波WT，位移，位移W與波矢與波矢q平行的部分構(gòu)成縱平行的部分構(gòu)成縱波波WL ：)8(,TLTLTLEEEPPPWWW 從黃昆方程可以看出，格波與電場(chǎng)耦合在一起，這種從黃昆方程可以看出，格波與電場(chǎng)耦合在一起，這種耦合波具有何種特點(diǎn)？耦合波具有何種特點(diǎn)？n橫波橫波WT是等容波，它不引起晶體體積的壓縮或膨脹，其散度是等容波

17、，它不引起晶體體積的壓縮或膨脹，其散度為零；為零；n縱波縱波WL是無(wú)旋波，其旋度為零；是無(wú)旋波，其旋度為零；n晶體內(nèi)無(wú)自由電荷，電位移矢量晶體內(nèi)無(wú)自由電荷，電位移矢量D無(wú)散。無(wú)散。n橫光頻模不產(chǎn)生退極化場(chǎng)橫光頻模不產(chǎn)生退極化場(chǎng)(忽略橫向極化伴隨的有旋場(chǎng)忽略橫向極化伴隨的有旋場(chǎng))。因此有以下關(guān)系：因此有以下關(guān)系：)()()()()(90000 dEcDbWaWLT)6()()(22211211 bEbWbPaEbWbW將靜電方程與黃昆方程聯(lián)合求解：將靜電方程與黃昆方程聯(lián)合求解：即即 )(0000aWiqeWiqeWeWWTtrqiTtrqiTtrqiTT l 將黃昆公式（將黃昆公式（b）極化強(qiáng)度

18、）極化強(qiáng)度P和（和（8）式代入（）式代入（9）式（）式（c）中得中得 022021 LLEbWbD )9()(00cPED )(00bWiqWeWLLtrqiL 對(duì)橫光學(xué)波，若不考慮渦旋電場(chǎng)，即在靜電近似下，對(duì)橫電場(chǎng)有對(duì)橫光學(xué)波，若不考慮渦旋電場(chǎng)，即在靜電近似下，對(duì)橫電場(chǎng)有0, 0, 0 TTTEEE橫向光學(xué)支格波在晶體中并不引起宏觀的極化電場(chǎng)橫向光學(xué)支格波在晶體中并不引起宏觀的極化電場(chǎng) 022021 LLEbWbD 又由靜電場(chǎng)性質(zhì)，對(duì)于無(wú)旋電場(chǎng)又由靜電場(chǎng)性質(zhì)，對(duì)于無(wú)旋電場(chǎng) 022021 LLEbWbD 與與 公式結(jié)合公式結(jié)合所以所以)10(22021LLWbbE 上式表明：上式表明：縱波電場(chǎng)

19、趨向于減小縱向位移，從而增加了縱向振動(dòng)的恢縱波電場(chǎng)趨向于減小縱向位移，從而增加了縱向振動(dòng)的恢復(fù)力，因此，提高了光學(xué)波的縱向頻率復(fù)力，因此，提高了光學(xué)波的縱向頻率。把（把（8）式和（）式和（10）式代入黃昆公式（）式代入黃昆公式（a），可得），可得)11(1222021211111211 TLTLTLEbWbbWbWbEbWbWW )11(1222021211111211 TLTLTLEbWbbWbWbEbWbWW 將（將（11）式的有旋場(chǎng)和無(wú)旋場(chǎng)分開(kāi)，得到）式的有旋場(chǎng)和無(wú)旋場(chǎng)分開(kāi)，得到)12()()(22021211111211 bWbbbWaWbEbWbWLLTTTT 上兩式都是簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程

20、，其中（上兩式都是簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，其中（a）代表橫向振動(dòng)方程，（）代表橫向振動(dòng)方程，（b）代表縱向振動(dòng)方程。代表縱向振動(dòng)方程。由（由（a）式，可得橫波振動(dòng)頻率）式，可得橫波振動(dòng)頻率；由（由（b）式，可得到縱波）式，可得到縱波振動(dòng)頻率振動(dòng)頻率)13(2202122220212112112 bbbbbbTOLOTO 為了把黃昆系數(shù)和晶體的介電系數(shù)聯(lián)系起來(lái)，考慮兩種極端的為了把黃昆系數(shù)和晶體的介電系數(shù)聯(lián)系起來(lái)，考慮兩種極端的情況：情況：黃昆方程黃昆方程EbWbPEbWbW 222112110220212112002113113113113)(2bMqbbMqMb 正負(fù)離子相對(duì)運(yùn)動(dòng)位移產(chǎn)生的極正負(fù)離子相

21、對(duì)運(yùn)動(dòng)位移產(chǎn)生的極 化和宏觀電場(chǎng)產(chǎn)生的附加極化化和宏觀電場(chǎng)產(chǎn)生的附加極化EbWbW 1211EbWbP2221 離子相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程離子相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程Pand E 宏觀極化強(qiáng)度和宏觀電場(chǎng)強(qiáng)度宏觀極化強(qiáng)度和宏觀電場(chǎng)強(qiáng)度)13(2202122220212112112 bbbbbbTOLOTO 為了把黃昆系數(shù)和晶體的介電系數(shù)聯(lián)系起來(lái)，考慮兩種極端的為了把黃昆系數(shù)和晶體的介電系數(shù)聯(lián)系起來(lái)，考慮兩種極端的情況：情況：EbbPTO 221222 （1）對(duì)于靜電場(chǎng)，）對(duì)于靜電場(chǎng)，0 W 這表示正、負(fù)離子僅僅產(chǎn)生靜態(tài)相對(duì)這表示正、負(fù)離子僅僅產(chǎn)生靜態(tài)相對(duì)位移位移，并不振動(dòng)。此時(shí)，黃昆方程（，并不振動(dòng)。

22、此時(shí)，黃昆方程（a）式變成：）式變成：)14(2121112EbEbbWTO 將上式代入黃昆方程（將上式代入黃昆方程（b）式，得到）式，得到將上式與靜電學(xué)極化公式比較將上式與靜電學(xué)極化公式比較 EPs10 可得可得 )15(10221222 sTObb ) 6 ()()(22211211 bEbWbPaEbWbW黃昆方程黃昆方程其中其中s 是離子晶體的是離子晶體的相對(duì)靜電介電常數(shù)相對(duì)靜電介電常數(shù)。（2）對(duì)于光頻振動(dòng)時(shí)的介電極化，由于離子的運(yùn)動(dòng)跟不上）對(duì)于光頻振動(dòng)時(shí)的介電極化，由于離子的運(yùn)動(dòng)跟不上迅速變化的外力，其位移迅速變化的外力，其位移W0，由，由黃昆方程（黃昆方程（b）式）式，得到，得到

23、EEbP1022 )16(1022 b由（由（15）、（）、（16）式得到）式得到 )17(20212TOsb 高頻介電常數(shù)0220021122011 1)()()0(bbbb綜上所述：綜上所述：（1 1）由（）由（1515）、（）、（1616）可知）可知 ，因此因此縱光學(xué)波頻率縱光學(xué)波頻率LO總是大于橫光學(xué)波的頻率總是大于橫光學(xué)波的頻率TO。上式稱為上式稱為L(zhǎng)ST關(guān)系關(guān)系，它表示光學(xué)波的縱波頻率與橫波頻率之它表示光學(xué)波的縱波頻率與橫波頻率之間存在非常簡(jiǎn)單的關(guān)系間存在非常簡(jiǎn)單的關(guān)系。由此可得兩個(gè)重要結(jié)論：由此可得兩個(gè)重要結(jié)論： s這是由于長(zhǎng)光學(xué)縱波伴隨有一個(gè)宏觀電場(chǎng)，增加了恢復(fù)這是由于長(zhǎng)光學(xué)縱

24、波伴隨有一個(gè)宏觀電場(chǎng)，增加了恢復(fù)力，從而提高了縱波的頻率。力，從而提高了縱波的頻率。)18(22 sTOLO將（將（1616）、（）、（1717）式代入（）式代入（1313）式）式( (頻率公式頻率公式) )，得到，得到（2）對(duì)于非離子晶體，晶格振動(dòng)不產(chǎn)生位移極化對(duì)于非離子晶體，晶格振動(dòng)不產(chǎn)生位移極化由（由（13）式）式012 bTOLO )13(2202122220212112112 bbbbbbTOLOTO 可知可知把趨于零的把趨于零的TO 由（由（1818）可知，當(dāng)）可知，當(dāng) s 即產(chǎn)生所謂的自發(fā)極化。即產(chǎn)生所謂的自發(fā)極化。,0TO 的振動(dòng)模式為鐵電軟模，因?yàn)檫@一現(xiàn)象是在研的振動(dòng)模式為鐵

25、電軟模，因?yàn)檫@一現(xiàn)象是在研究鐵電材料時(shí)發(fā)現(xiàn)的。究鐵電材料時(shí)發(fā)現(xiàn)的。)18(22 sTOLO 嚴(yán)格講，離子晶體長(zhǎng)光學(xué)波的振動(dòng)必然伴隨交變的電磁場(chǎng)，因此嚴(yán)格的理論應(yīng)當(dāng)是以麥克斯韋的電磁方程與晶格的唯象方程相結(jié)合，實(shí)際上所研究的對(duì)象就成為晶格的長(zhǎng)光學(xué)振動(dòng)與電磁場(chǎng)耦合的系統(tǒng)，通過(guò)求解得到的振動(dòng)模實(shí)際上代表了格波與光波的耦合振動(dòng)模。 電磁耦合子tHE0)(0PEtH0D0HEbWbW 1211EbWbP2212下面寫(xiě)出描寫(xiě)光波的麥克斯韋組和晶格的唯象方程)(0)(0)(0)(0trqitrqitrqitrqieHHeEEePPeWW000HEq)（0000PEHq0)（000PEq00Hq0122211

26、2120EbbbP0)(12221121200bbbEk由黃昆方程，得由黃昆方程，得由方程由方程得得0)（000PEq1）縱波： 00Ek01222112120bbb202)()0(LO上式就是著名的 LST關(guān)系2)橫波： 00 Ek0Ekk0E0H所以有000HEk012221121200000)()(EbbbPEHk2220222)()0()(kc當(dāng) 時(shí)，即因此 ， ， 三者相互垂直 必須指出的是，這里的解考慮了格波與電磁波的耦合，格波產(chǎn)生晶體的極化，極化與電磁波相互作用，這兩種波互相耦合出來(lái)新的耦合波模式。在q趨于0時(shí)，趨于)0(cq趨于LO在 | q |很大時(shí)，)(cq趨于趨于TO)0

27、(cq)(cqLOTO只有在與兩根線與和相交的區(qū)域附近，耦合很強(qiáng)，出現(xiàn)的是電磁波與格波的混合模式。離子晶體中長(zhǎng)光學(xué)橫波與光子的耦合模離子晶體中長(zhǎng)光學(xué)橫波與光子的耦合模LOTO而是“禁止區(qū)”在這個(gè)區(qū)域，電磁波不能在晶體中傳播，以這種頻率的光波入射時(shí)將在邊界被反射。晶體中存在長(zhǎng)光學(xué)縱波晶體中存在長(zhǎng)光學(xué)縱波( LO )和長(zhǎng)光學(xué)橫波和長(zhǎng)光學(xué)橫波( TO ) 長(zhǎng)光學(xué)縱波聲子稱為極化聲子長(zhǎng)光學(xué)縱波聲子稱為極化聲子( LO )，長(zhǎng)光學(xué)縱波伴，長(zhǎng)光學(xué)縱波伴 隨有宏觀的極化電場(chǎng)隨有宏觀的極化電場(chǎng) 長(zhǎng)光學(xué)橫波伴隨著有旋的宏觀電磁場(chǎng)，電磁聲子長(zhǎng)光學(xué)橫波伴隨著有旋的宏觀電磁場(chǎng)，電磁聲子 ( TO )長(zhǎng)光學(xué)橫波具有電磁

28、性，可以和光場(chǎng)發(fā)生耦合長(zhǎng)光學(xué)橫波具有電磁性，可以和光場(chǎng)發(fā)生耦合 極化聲子極化聲子 _縱光學(xué)聲子縱光學(xué)聲子格波的頻譜密度（格波的簡(jiǎn)正模）格波的頻譜密度（格波的簡(jiǎn)正模）波矢波矢波矢空間一個(gè)點(diǎn)占據(jù)的體積波矢空間一個(gè)點(diǎn)占據(jù)的體積123123*()bbbVNNN*0vN 倒格子原胞體積倒格子原胞體積*0123()vbbb狀態(tài)密度狀態(tài)密度333222111bNhbNhbNhq*0123()NNvbbb033(2 )(2 )NvV晶體中同時(shí)可以存在不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)晶體中同時(shí)可以存在不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng) 不同頻率的振動(dòng)模對(duì)應(yīng)不同的能量不同頻率的振動(dòng)模對(duì)應(yīng)不同的能量給定晶體，總的振動(dòng)模數(shù)目是一定的給定晶體，總的

29、振動(dòng)模數(shù)目是一定的按振動(dòng)頻率分布按振動(dòng)頻率分布 用晶格振動(dòng)模式密度來(lái)描述用晶格振動(dòng)模式密度來(lái)描述 從振動(dòng)模式密度，研究晶體熱容、電學(xué)和光學(xué)性質(zhì)從振動(dòng)模式密度，研究晶體熱容、電學(xué)和光學(xué)性質(zhì)晶格振動(dòng)模式密度晶格振動(dòng)模式密度 單位頻率間隔，振動(dòng)模式的數(shù)單位頻率間隔，振動(dòng)模式的數(shù)目目 0( )limng 在在q空間，晶格振動(dòng)模是均勻分布的，狀態(tài)密度空間，晶格振動(dòng)模是均勻分布的，狀態(tài)密度3(2 )V3(2 )Vndsdq 兩個(gè)等頻率面兩個(gè)等頻率面 和和 之間的振動(dòng)模式數(shù)目之間的振動(dòng)模式數(shù)目 頻率是頻率是 q 的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)( )qq dq ( )qConstant根據(jù)根據(jù)做出一個(gè)等頻率面做出一個(gè)等

30、頻率面( )qdqq3(2 )( )qVndsq 3(2 )( )qVdsnq 3(2 )Vndsdq 3( )(2 )( )qVdsgq之間振動(dòng)模式數(shù)目之間振動(dòng)模式數(shù)目 4.7晶格比熱 晶格振動(dòng)的研究晶格振動(dòng)的研究 晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶體的熱學(xué)性質(zhì) 固體熱容量固體熱容量 熱運(yùn)動(dòng)是晶體宏觀性質(zhì)的表現(xiàn)熱運(yùn)動(dòng)是晶體宏觀性質(zhì)的表現(xiàn) 杜隆珀替經(jīng)驗(yàn)規(guī)律杜隆珀替經(jīng)驗(yàn)規(guī)律 一摩爾固體有一摩爾固體有N個(gè)原子，有個(gè)原子，有3N個(gè)振動(dòng)自由度，按能個(gè)振動(dòng)自由度，按能 量均分定律，每個(gè)自由度平均熱能為量均分定律，每個(gè)自由度平均熱能為kT摩爾熱容量摩爾熱容量()VTECT3ENkT總的內(nèi)能總的內(nèi)能晶格振動(dòng)晶格振動(dòng) 研究固體

31、宏觀性質(zhì)和微觀過(guò)程的重要基礎(chǔ)研究固體宏觀性質(zhì)和微觀過(guò)程的重要基礎(chǔ)晶格振動(dòng)晶格振動(dòng) 晶體的熱學(xué)性質(zhì)、電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、超晶體的熱學(xué)性質(zhì)、電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、超 導(dǎo)電性、磁性、結(jié)構(gòu)相變有密切關(guān)系導(dǎo)電性、磁性、結(jié)構(gòu)相變有密切關(guān)系 實(shí)驗(yàn)表明較低溫度下，熱容量隨著溫度的降低而下降實(shí)驗(yàn)表明較低溫度下，熱容量隨著溫度的降低而下降摩爾熱容量摩爾熱容量 與溫度無(wú)關(guān)與溫度無(wú)關(guān)33VCNkR 杜隆珀替經(jīng)驗(yàn)規(guī)律杜隆珀替經(jīng)驗(yàn)規(guī)律固體的定容熱容固體的定容熱容VVTEC)(E 固體的平均內(nèi)能固體的平均內(nèi)能固體內(nèi)能固體內(nèi)能 晶格振動(dòng)的能量和電子熱運(yùn)動(dòng)的能量晶格振動(dòng)的能量和電子熱運(yùn)動(dòng)的能量實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)結(jié)果 低溫下金屬的熱容低

32、溫下金屬的熱容3ATTCV 溫度不是太低的情況，忽略電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)溫度不是太低的情況，忽略電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)T 電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)3AT 晶格振動(dòng)對(duì)比熱的貢獻(xiàn)晶格振動(dòng)對(duì)比熱的貢獻(xiàn) 一個(gè)頻率為一個(gè)頻率為 j的的振動(dòng)模對(duì)熱容的貢獻(xiàn)振動(dòng)模對(duì)熱容的貢獻(xiàn)/jBjBjjnk Tnk TnnPee1()2jjjEn頻率為頻率為 j的的振動(dòng)模由一系列量子能級(jí)振動(dòng)模由一系列量子能級(jí) 組成組成 子體系子體系子體系處于量子態(tài)子體系處于量子態(tài) 的概率的概率1()2jjjEn/(1)jjBjBjnk Tk TnPee1)1 (xxnn晶格振動(dòng)對(duì)熱容的貢獻(xiàn)晶格振動(dòng)對(duì)熱容的貢獻(xiàn) 量子理論量子理論 與晶格振動(dòng)頻

33、率和溫度有關(guān)與晶格振動(dòng)頻率和溫度有關(guān) VjVdTEdC)(/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te 一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn)一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn)/121jBjjk TejjjnjnEP E一個(gè)振動(dòng)模的平均能量一個(gè)振動(dòng)模的平均能量/(1)jjBjBjnk Tk TnPee1()2jjjEn2(1)nnxnxxjBTkBVkC 高溫極限高溫極限/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te 與杜隆與杜隆 珀替定律相符珀替定律相符/211()2jBk TjjBBek Tk T 一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn)一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn) 忽略不計(jì)忽略不計(jì)222(1)()1()2jjBVBj

34、jBBBk TCkk Tk Tk TjBTk2/1()jBjVBk TBCkk Te0T0VC低溫極限低溫極限1/TkBje 與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te 一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn)一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn) 晶體中有晶體中有3N個(gè)振動(dòng)模，總的能量個(gè)振動(dòng)模，總的能量NjjTETE31)()(NjjVVCC3131( )NjjdE TdT晶體總的熱容晶體總的熱容/32/21()(1)jBjBk TNjVBk TjBeCkk Te( )VdE TCdT)(30TkfNkCBBBV1 愛(ài)因斯坦模型愛(ài)因斯坦模型 N個(gè)原子構(gòu)成的晶體，所有原子以相同的頻率個(gè)

35、原子構(gòu)成的晶體，所有原子以相同的頻率 0振動(dòng)振動(dòng) VVTEC)(000/3321Bk TNNe3/11()21jBNjjk TjEe2/20) 1()(300TkTkBBBBeeTkNk熱容熱容總能量總能量愛(ài)因斯坦溫度愛(ài)因斯坦溫度EBk0BEk02/2) 1()(3TTEBVEEeeTNkC 選取合適的選取合適的 E值，在較大溫度變化的范圍內(nèi)，理論計(jì)值，在較大溫度變化的范圍內(nèi)，理論計(jì) 算的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)好地符合算的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)好地符合 大多數(shù)固體大多數(shù)固體KKE3001002/200) 1()()(00TkTkBBBBBeeTkTkf 愛(ài)因斯坦熱容函數(shù)愛(ài)因斯坦熱容函數(shù)金剛石金剛石KE

36、1320理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較 22/2/2/)(1) 1(TTTTEEEEeeee22)()22(1EEETTTBVNkC3溫度較高時(shí)溫度較高時(shí) 10TkB/2/23()(1)EETEVBTeCNkTeTE 與杜隆與杜隆 珀替定律相符珀替定律相符0BEk 晶體熱容晶體熱容/212ETEeT 溫度非常低時(shí)溫度非常低時(shí)10TkBTETkBBVBeTkNkC020)(31/TEe 按溫度的指數(shù)形式降低按溫度的指數(shù)形式降低 實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)結(jié)果3ATCV 愛(ài)因斯坦模型忽略了各格波的頻率差別愛(ài)因斯坦模型忽略了各格波的頻率差別0BEk 2/2) 1()(3TTEBVEEeeTNkC晶體

37、熱容晶體熱容2 德拜模型德拜模型 1912年德拜提出以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來(lái)代表格波年德拜提出以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來(lái)代表格波 將布喇菲晶格看作是各向同性的連續(xù)介質(zhì)將布喇菲晶格看作是各向同性的連續(xù)介質(zhì) 有有1個(gè)縱波和個(gè)縱波和2個(gè)獨(dú)立的橫波個(gè)獨(dú)立的橫波ltC qFor LongitudinalWaveC qFor TransverseWave 不同不同q的縱波和橫波，構(gòu)成了晶格的全部振動(dòng)模的縱波和橫波，構(gòu)成了晶格的全部振動(dòng)模 不同的振動(dòng)模，能量不同不同的振動(dòng)模，能量不同色散關(guān)系色散關(guān)系三維晶格，態(tài)密度三維晶格，態(tài)密度 V: 晶體體積晶體體積3)2(V 波矢波矢q允許的取值在允許的取值在q空間形成了均勻分

38、布的點(diǎn)子空間形成了均勻分布的點(diǎn)子體積元態(tài)的數(shù)目體積元態(tài)的數(shù)目qdV3)2( q是近連續(xù)變化的是近連續(xù)變化的dqqV234)2(狀態(tài)數(shù)目狀態(tài)數(shù)目dqqq球?qū)忧驅(qū)宇l率在頻率在 之間振動(dòng)模式的數(shù)目之間振動(dòng)模式的數(shù)目 ddgdn)( 頻率也近似于連續(xù)取值頻率也近似于連續(xù)取值 振動(dòng)頻率分布函數(shù)，或者振動(dòng)模的態(tài)密度函數(shù)振動(dòng)頻率分布函數(shù)，或者振動(dòng)模的態(tài)密度函數(shù) )(g一個(gè)振動(dòng)模的熱容一個(gè)振動(dòng)模的熱容 /2/2()(1)jBjBk TjjBk TBeCkk Te晶體總的熱容晶體總的熱容 /2/20()( )(1)mBBk TVBk TBeCkgdk Te 振動(dòng)頻率分布函數(shù)振動(dòng)頻率分布函數(shù) 和和 m的計(jì)算的計(jì)算

39、)(gltC q andC q頻率在頻率在 之間，縱波數(shù)目之間，縱波數(shù)目ddqqV234)2(lCqdCVl2322頻率在頻率在 之間，格波數(shù)目之間，格波數(shù)目d22322tVdC頻率在頻率在 之間，橫波數(shù)目之間，橫波數(shù)目d233212()2ltVdCC波矢的數(shù)值在波矢的數(shù)值在 之間的振動(dòng)方式的數(shù)目之間的振動(dòng)方式的數(shù)目dqqqlCddq頻率分布函數(shù)頻率分布函數(shù)2233( )2VgC格波總的數(shù)目格波總的數(shù)目dVCCtl22332)21(頻率在頻率在 間，格波數(shù)目間，格波數(shù)目dmdgN0)(321/36()mNCVdeeTkkCVTkTkBBBBm22/2032) 1()(23晶體總的熱容晶體總的熱

40、容 /2/20()( )(1)mBBk TVBk TBeCkgdk TedeeTkkCVCTkTkBBVBBm22/2032) 1()(23德拜溫度德拜溫度BmDk/4320()33()(1)DTVDDTTeCRde晶體總的熱容晶體總的熱容 TkB令令()3()DVDDTCR fTmDmBk TT21/36()mNCVDT1TkB1eTDDDDdTTf/023) 1()( 3)(1RCV3在高溫極限下在高溫極限下 與杜隆珀替定律一致與杜隆珀替定律一致TDDDDdeeTTf/0243) 1()( 3)(德拜熱容函數(shù)德拜熱容函數(shù)BDmk )(3)/(TRfTCDDDV晶體總的熱容晶體總的熱容 低溫

41、極限低溫極限D(zhuǎn)T TDDVDdeeTRTC/0243) 1()(9)/(4312(/)()15VDDTCTR T3成正比成正比 德拜定律德拜定律 溫度愈低時(shí)，德拜模型近似計(jì)算結(jié)果愈好溫度愈低時(shí)，德拜模型近似計(jì)算結(jié)果愈好 溫度很低時(shí)，主要的只有長(zhǎng)波格波的激發(fā)溫度很低時(shí)，主要的只有長(zhǎng)波格波的激發(fā)0243) 1()(9deeTRD1Bk TBDmk 晶體熱容晶體熱容 晶體熱容晶體熱容 非線性簡(jiǎn)諧itemsHighdrvddrdvavavaa222)(21)()()(4.8晶體物態(tài)方程和熱膨脹 3.10 晶格的狀態(tài)方程和熱膨脹晶格的狀態(tài)方程和熱膨脹 晶體自由能函數(shù)晶體自由能函數(shù)TSUVTF),(根據(jù)根

42、據(jù)TVFp)( 得到晶格的狀態(tài)方程得到晶格的狀態(tài)方程ZTkFBln自由能函數(shù)自由能函數(shù)TkEBieZ/配分函數(shù)配分函數(shù) 能級(jí)包含平衡時(shí)晶格能量和各格波的振動(dòng)能能級(jí)包含平衡時(shí)晶格能量和各格波的振動(dòng)能 1()( )2jjjnU V 對(duì)所有晶格的能級(jí)相加對(duì)所有晶格的能級(jí)相加配分函數(shù)配分函數(shù)jnTknUTkEjBjjBieeZ0/ )21(/jnTknTkTkUjBjjBjBeeeZ0/)/(21/jTkTkTkUBjBjBeeeZ11/)/(21/ZTkFBln自由能函數(shù)自由能函數(shù)jTkBjBBjeTkTkUF)1ln(21/ 晶體體積晶體體積V改變時(shí)，格波的頻率也要變化改變時(shí)，格波的頻率也要變化T

43、VFp)(jjTkdVdedVdUpBj)121(/因此因此格臨愛(ài)森近似計(jì)算格臨愛(ài)森近似計(jì)算jjTkjjVddVedVdUpBjlnln1)121(/對(duì)所有的振動(dòng)相同對(duì)所有的振動(dòng)相同 格臨愛(ài)森常數(shù)格臨愛(ài)森常數(shù)Vddjlnln晶格的平均振動(dòng)能晶格的平均振動(dòng)能jTkjjBjeE)121(/jjTkjjVddVedVdUpBjlnln1)121(/晶體的狀態(tài)方程晶體的狀態(tài)方程dUEpdVV 晶體的熱膨脹晶體的熱膨脹晶體在晶體在p=0下，體積隨溫度的變化下，體積隨溫度的變化 原子在平衡位置作微小振動(dòng)，熱膨脹較小，按泰勒級(jí)原子在平衡位置作微小振動(dòng)，熱膨脹較小，按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)數(shù)展開(kāi)VEdVdU壓強(qiáng)壓強(qiáng)VdVUddVdUdVdUVV00)()(220)(0VdVdU022()VEd UVVdV)()(02200VEdVUdVVVVVCKVdTdVV001第一項(xiàng)第一項(xiàng)VEdVdU0)(2200VdVUdVK 靜止晶格的體變模量靜止晶格的體變模量