高等數(shù)學(xué)考研知識(shí)點(diǎn)總結(jié)8

1、第八講多元函數(shù)微分學(xué)一、考試要求1 .理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義。2 . 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。3 .理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要 條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。4 .理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法。5 .掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。6 . 了解隱函數(shù)存在定理，會(huì)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。7 . 了解二元函數(shù)的二階泰勒公式（數(shù)一）。8 .理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件， 會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘

2、數(shù)法 求條件極值，會(huì)求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值， 并會(huì)解決一些簡單的應(yīng)用問 題。內(nèi)容提要1、多元函數(shù)的概念：z=f(x,y), (x,y) D2、二元函數(shù)的極限定義、連續(xù)購 f(x, y) A, lim f (x, y)f(x0,yo)x X0x x0y y0y y03、偏導(dǎo)數(shù)的定義、高階偏導(dǎo)、全微分 z=f(x,y)f (Xox, y°) f (X0,Yo)fx(x0, Yo)= limn,x 0xf(xo,yoy)f(xo,y。)fy(xo, Yo)= lim -y 0y若 z f (Xo x,yoy)f(Xo,yo)fx(Xo,y°)xfy(x°, y&

3、#176;)y0()則 dz dx dy4、偏導(dǎo)連續(xù)可微可導(dǎo)(偏導(dǎo))I連續(xù)極限存在5、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則(1)多元與一元復(fù)合：設(shè) x x(t), y y(t),z z(t)在 t 可微，u f (x, y,z) 在與 t 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x, y, z) ( x(t), y(t), z(t)可微，則 u f (x(t), y(t),z(t)在 t 處 可微，且duf dxf dyf dzdtx dty dtz dt(2)多元與多元復(fù)合：設(shè)u (x,y),v(x, y)在點(diǎn)(x, y)存在偏導(dǎo)數(shù),(x,y)在點(diǎn)(x, y)存w f (u,v)在與(x, y)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(u,v)可微，則w f( (x,y)

4、,在偏導(dǎo)數(shù)，且wfufvwfufvx u x v xy u y v y6、隱函數(shù)求導(dǎo)法則 要求掌握三種情形:111) F(x,y,z)=0,2)F(x,y,z)0,G(x,y,z)0,z z(x),y y(x)F(x,y,u,v) Qu u(x, y)G(x,y,u,v) Qv v(x, y)7、二元函數(shù)的二階泰勒公式設(shè)z=f(x,y)在點(diǎn)(xo,yo)的某個(gè)鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), (xo h, yo k)為此鄰域內(nèi)一點(diǎn)，則有f(xoh, yok)f(xo, yo) (h k ) f (xo, yo)x y1 ,、 2 ,、+ (h k) f (xo , yo).2! x y1 ,、3 ，

5、、-/(h k) f (xoh, yok),o 1.3! x y8、多元函數(shù)的極值1)定義2)可能極值點(diǎn)3)取極值的必要條件4)取極值的充分條件設(shè) fx(xo,yo) 0,fy(xo,yo)0,A fxx(xo,yo) , B fxy(xo,yo) , Cfyy(x0,y。)B2 AC若 0,則(xo, yo)為z=f(x,y)的一個(gè)極值點(diǎn)A 0,極大值A(chǔ) 0,極小值9、條件極值z f(x, y), st(x,y) 0構(gòu)造拉格朗日函數(shù)： F (x, y, ) f (x, y) (x, y)Fx 0由Fy 0 解得可能極值點(diǎn)，再由實(shí)際問題判斷極值。F 010、最值：區(qū)域內(nèi)部或邊界上達(dá)到三、典型題

6、型與例題題型一、基本概念題(討論偏導(dǎo)、連續(xù)、可微之間的關(guān)系) y2 ex2yZ例 1、設(shè) z (y3 x2)(x y4尸，求一zx(1,0)例2考慮二元函數(shù)f(x,y)的下面4條性質(zhì)：f (x, y)在點(diǎn)(xO, y)處連續(xù),f (x, y)在點(diǎn)(x0,y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，f (x, y)在點(diǎn)(x°, y°)處可微,f (x, y)在點(diǎn)(x°, y°)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在.若用“ P Q”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q,則有(A).(B).(C).(D).例3、1)(x222x y 23 ，x22y )0,x2y2 0y2 0在(0, 0)點(diǎn)，函數(shù)是否連續(xù)

7、？是否偏導(dǎo)數(shù)存在？是否可微？ 一階偏導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)?2)求 dz題型二、求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分 本題型包括如下幾個(gè)方面的問題1、初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分 2、求抽象函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)3、由方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分4、含抽象函數(shù)的方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分5、由方程組所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)方法：直接求導(dǎo)法；公式法；微分形式不變性。2 y 2 x,、f2f例 4、 設(shè) f (x, y) x arctan - y arctan 一 , 求 ,xy x x y例5、設(shè)uf (x,),求 du, y zu x,11v _ _,*例6、已知函數(shù)z=z(x,y)滿足x2 y2 z2

8、x y0.11 ，一一，、一一 一 對(duì)函數(shù) (u,v),求證一z xu2例7、設(shè)z f(u,x,y), u xey ,有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 x y例8、設(shè)u f (x, y,z)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，y y(x)和z z(x)分別由方程xexyy 0和ez xz 0確定，試求業(yè)dx例9設(shè)函數(shù)z = z (x, y)由方程F(-,-) 0確定，其中F為可微函數(shù),且f 2 0,則 x xzzx y .xy(A) x.(B) z .(C) x.(D) z .例10設(shè)u f (x, y, xyz),函數(shù)z z(x, y)由方程zxyzu ug(xy z t)dt e確定，其中f可微，g連續(xù)，求x y 一xyx

9、 yut)求、, xs . 3t 3s t2，y 2例 11、設(shè) u f(x ut,y ut,z g(x,y,z) 0題型三：變量替換下表達(dá)式的變形 *例12、設(shè)u f(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而題型四反問題解題思路：由已知滿足的關(guān)系式或條件，利用多元函數(shù)微分學(xué)的方法和結(jié)論，求出待定的函數(shù)、參數(shù)等。例 13、已知(axy3 y2cosx)dx (1 by sin x 3x2y2)dy 為某一函數(shù) f(x,y)的全微分，求a,b例14、設(shè)z、 2 f f (x, y)酒足 一22x,f(x,1) 0, f(x,0) sinx，求 f(x, y)y 2例15、設(shè)函數(shù)u f (In xx y2)

10、,滿足一2 x達(dá)式.23-2 (x2 y2)W，試求函數(shù)f的表 y題型五、 多元函數(shù)的應(yīng)用1、極值的求法步驟： 1） 解方程組 fx x0,y00 ， fy x0,y00 ，得所有駐點(diǎn)；2） 對(duì)每一個(gè)駐點(diǎn)x0 ,y0 ，求 A=f xx x0,y 0 ，Bfxy x0,y 0 ， C=f yy x0,y 0 的值；3）由 B2 AC 的符號(hào)確定是否為極值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)。2、最值的求法閉區(qū)域上連續(xù)多元函數(shù)的最值可能在區(qū)域內(nèi)部或邊界上達(dá)到，先求出在區(qū)域內(nèi)部的所有駐點(diǎn)以及偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，比較這些點(diǎn)與邊界上點(diǎn)的函數(shù)值，最大者即為最大值，最小者即為最小值。對(duì)于實(shí)際問題一般根據(jù)實(shí)際背景來確定是否取最值 （如可能極值點(diǎn)唯一， 則極小 （大） 值點(diǎn)即最小 （大） 值點(diǎn)）。條件極值還可用拉格朗日乘數(shù)法來求。例 16、討論二元函數(shù)zx3y3 2（x2y2） 的極值。例 17 求橢圓x2 2xy3y28y0 與直線 x y 8 之間的最短距離。2x2 L 1上的最大值4*例 18、(054)求 f(x,y)=x2 y2 2 在橢圓域 D (x,y)和最小值.*例19、（99 34）設(shè)生產(chǎn)某種