高考數(shù)學(xué)(文)一本策略復(fù)習(xí)教案：第一講直線與圓Word含解析

1、2第一講直線與圓考情分析明確方向V年份卷別考查角度及命題位置命題分析及學(xué)科素養(yǎng)20i8I卷圓的弦長問題Ti5命題分析i.近兩年圓的方程成為高考全國課標卷命題的 熱點，需重點關(guān)注.此類試題難度中等偏下， 多以選擇題或填空題形式考查.2.直線與圓的方程偶爾單獨命題，單獨命題時 有一定的深度，有時也會出現(xiàn)在壓軸題的位 置，難度較大，對直線與圓的方程(特別是直線)的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的綜合問題 上.學(xué)科素養(yǎng)通過考查直線與圓的位置關(guān)系， 著重考查學(xué)生 數(shù)學(xué)建模、邏輯推理及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng) .n卷直線與拋物線位置關(guān)系及圓 的方程求法于20出卷直線與圓的位置關(guān)系及面積問題于820i7出卷探索性問題與圓

2、的弦長問題干2。20i6I卷直線與圓的位置關(guān)系及圓的面積問題Ti5講練結(jié)合考點一直線方程與應(yīng)用授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第42頁悟通 方法結(jié)論1 .兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線li, I2的斜率ki, k2存在，則li / I2? ki=k2, ll2? kik2=1.若 給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在.2 .求直線方程要注意幾種直線方程的局限性.點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直.而截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線.3 .兩個距離公式Ci C2I(i)兩平行直線 li： Ax+ By+Ci = 0, I2： Ax+By+C2

3、=0 間的距離 d=品2+ 旨.(2)點(X0, yo)到直線l: Ax+By+C=0的距離公式Axo+ By0+ C|d=2+B2.4 .與已知直線l: Ax+ By+C=0(Aw 0, Bw0)平行的直線可改為 Ax +By+m= 0(mw C), 垂直的直線可設(shè)為 BxAy+m=0.5 .直線 li： Aix+ Biy+Ci = O,直線 l2 ： A2x+B2y+ C2= 0,當 1J12 時,有 AiA2+BiB2=0,當 li / I2 時，A1B2 A2B1 = 0 且 A1C2 A2C1 W 0.全練一一快速解答1. (2018 洛陽一模)已知直線 li： x+my1= 0,

4、I2： nx+y-p=0,則“m + n=0" 是“l(fā)i L2” 的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：若m+ n=0,當m = n=0時，直線11: x1 = 0與直線l2： y p=0互相垂直；當m = nw 0時 直線11的斜率為,直線12的斜率為一n, :一1( n)= °m=1mmm'111, I2.當 11，l2 時，右 m=0, I1: x1=0,則 n=0,此時 m+n=0;右 mw0,則m (n) = 1,即n=m,有 m+n=0.故選 C.答案：C2,已知直線 l1： x+2ay-1 = 0, I2：

5、 (a+1)x ay=0,若 l1/L 則實數(shù) a 的值為()33_ _A.萬B. 0C, 一2或 0D. 2解析：若aw0,則由11/ 12,得?=齊，所以2a+2=-1,即a=-3;12a2若 a = 0,則 11: x 1 = 0, 12 : x= 0,互相平行.答案：C3.若直線l1： x+ay+6=0與l2： (a-2)x+ 3y+2a = 0平行，則l1與l2間的距離為()8 . 28 .1 3A. . 2B.才C. . 3D-3-解析：由 11 / 12,得(a 2)a=1X3,且 aX2a3X6,解得 a=- 1,所以 l1 ： x-y+662=0, 12： x-y+2=0,所

6、以11與12間的距離為d= p 31;=呼.答案：B4.過直線li： x 2y+3=0與直線12： 2x+3y8=0的交點，且到點 P(0,4)距離為2的 直線方程為.x2y+3 = 0,x= 1 ,解析：由得，1i與12的交點為(1,2) .當所求直線斜率不存在，2x+3y8= 0,|y=2.即直線方程為x=1時，顯然不滿足題意.當所求直線斜率存在時，設(shè)所求直線方程為v 2=k(x-1),即kxy+2k= 0,點P(0,4)到直線的距離為2, 2=一="k!， -1- k=?；?k=4.1 + k23,.直線方程為y=2或4x-3y+2=0.答案：y=2 或 4x 3y+2=0【類

7、題通法】1 .求直線方程時易忽視斜率k不存在情形.2 .利用斜率與截距判斷兩線平行或垂直關(guān)系時易忽視斜率不存在情形.3 .有關(guān)截距問題易忽視截距為零這一情形.圓的方程及應(yīng)用授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第43頁悟通一一方法結(jié)論1 .圓的標準方程當圓心為(a, b),半徑為r時，其標準方程為(x a)2+(y b)2= r2,特別地，當圓心在 原點時，方程為x2+y2=r2.2 .圓的一般方程x2+y2+Dx + Ey + F= 0,其中 D2+E2 4F>0,表示以( 2, 2 j為圓心、。 ?為半徑的圓.全練一一快速解答1.已知圓C的圓心是直線 xy+1 = 0與x軸的交點，且圓C與直線x+

8、y+3=0相切， 則圓C的方程是()A. (x+ 1)2 + y2=2B. (x+1)2+y2=8C. (x-1)2+y2=2D. (x-1)2+y2=8解析：直線xy+1 = 0與x軸的交點坐標為(一1,0),因為圓C與直線x+ y+3=0相切,所以半徑為圓心到切線的距離,故選A.即 r = d = -1 , O:? = J2,則圓 C 的方程為（x+1）2+y2=212+12答案：A2. (2018長沙*II擬)與圓(x2)2+y2=4關(guān)于直線y=坐x對稱的圓白方程是()3A. (x-峋2+(y-1)2=4B. (x-V2)2+(y-V2)2 = 4C. x2+(y-2)2=4d. (x-

9、 1)2+(y-V3)2=4解析：圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的半徑相同，只需圓心關(guān)于直線對稱即可.由題意知已知圓的圓心坐標為(2,0),半徑為2 ,設(shè)所求圓的圓心坐標為(a , b),則8b b 一 0xa 2a= 1 ，b+0=3a+22 2 = 32所以所求圓的圓心坐標為 0,43),半徑為2.從而所求圓的方程為(x-1)2+ (y- 43)2 = 4.答案：D3. (2018廣州模擬)若一個圓的圓心是拋物線x2=4y的焦點，且該圓與直線y = x+3相切，則該圓的標準方程是 .解析：拋物線x2=4y的焦點為(0,1),即圓心為(0,1),設(shè)該圓的標準方程是x2+(y1)2= r2(r>

10、; 0),因為該圓與直線y=x+ 3相切，所以=匕去3 =卡, 21故該圓的標準方程是 x2+ (y-1)2=2.答案：x2+(y1)2=2【類題通法】用待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟(1)選用圓的方程兩種形式中的一種，若知圓上三個點的坐標，通常選用一般方程；若 給出圓心的特殊位置或圓心與兩坐標軸間的關(guān)系，通常選用標準方程；(2)根據(jù)所給條件，列出關(guān)于D, E, F或a, b, r的方程組；(3)解方程組，求出 D, E, F或a, b, r的值，并把它們代入所設(shè)的方程中，得到所求 圓的方程.謝練結(jié)合考點三直線與圓的位置關(guān)系授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第 43頁悟通 方法結(jié)論1.直線和圓的位置關(guān)系的

11、判斷方法直線 l: Ax+By+C=0(A2+B2w0)與圓：(xa)2+(yb)2= r2(r >0)的位置關(guān)系如表、法 關(guān)系、幾何法：根據(jù)d =|Aa+Bb + C|j,1 口2與r的大小VA2+B2關(guān)系A(chǔ)x+By+C= 0 代數(shù)法：x-a2+(y-bVr>0)消元得一元二次方程，根據(jù)判別式A的符 號判斷相交d< r60相切d= rA= 0相離d> rA<02.弦長與切線長的計算方法(1)弦長的計算：直線l與圓C相交于A, B兩點，則|AB|=24r2-d2(其中d為弦心距).(2)切線長的計算：過點 P向圓引切線PA,則|PA|=y|PC|2r2(其中C為圓

12、心).典例(2017高考全國卷出)(12分)已知拋物線C： y2=2x,過點(九。)的r線交C于A.b兩點.同M足以線段ABo為直徑的圓.證明：坐標原點 O在圓M上；直線/-4H A<!勺方程.(2)設(shè)圓M過點P(4, 2),求 學(xué)審題條件信息想到方法注意什么信息？中過定點的直線l直線l的方程的設(shè)法數(shù)形結(jié)合分析，靈活設(shè)l： x=my+ 2.注思斜舉是否存在信息？中AB為直徑抓住圓的幾何性質(zhì)坐標化條件OAXOB? xix2+yiy2=0信息？中求圓的方程確定圓心與半徑是求圓方程關(guān)鍵設(shè)出圓心坐標，注意多解規(guī)范解答(1)證明：設(shè) A(xi, yi), B(x2, y2), l： x=my+2.

13、 (1分)X=my+2,2由 2 2可得 y 2my 4= 0,則 yiy2= 4.222又 xi=y1 X2=y2,故 xix2=(yi421= 4. (3分)因此OA的斜率與OB的斜率之積為 2y2 = =- I, xi x24所以O(shè)AOB.故坐標原點 O在圓M上. (5分)(2)由(I)可得 yi+y2=2m,xi+x2= m(yi + y2)+4=2m2+4,故圓心M的坐標為(m2+2, m),圓M的半徑r = (m% 2 j + m.*.(8分)由于圓M過點P(4, 2),因此沖麗=0,故(xi- 4)( x2-4) + (yi+ 2)例 + 2)=0,即 xix 4(xi + x2

14、) + yiy2 + 2(y + y2) + 20 = 0.由(i)知 yiy2= - 4, xix2=4，所以 2m2 m i = 0,i解得 m=i 或 m= 2. (i0分)當m=i時，直線l的方程為xy2=0,圓心M的坐標為(3,i),圓M的半徑為 回,圓 M 的方程為(x-3)2+(y-I)2=I0.當m=I時，直線l的方程為2x+ y4=0,圓心M的坐標為，-2/ ,圓M的半徑854，圓M的方程為"9“ "金'案.(I2分)【類題通法】I.圓上的點到直線的距離的化歸思想(I)轉(zhuǎn)化為兩平行線間的距離以及直線與圓的交點個數(shù)求解.(2)轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離與

15、半徑之間的關(guān)系求解.(3)直接設(shè)點，利用方程思想解決2.數(shù)形結(jié)合思想在求解與圓有關(guān)的最值問題中是關(guān)鍵點練通一一即學(xué)即用1. (2018 銀川九中五模)直線 l: kx+ y+4=0(kCR)是圓 C： x2+y2+4x 4y+6=0 的一條對稱軸，過點 A(0, k)作斜率為1的直線m,則直線m被圓C所截得的弦長為()A.B. 2C#D. 2m解析：圓 C: x2 + y2 + 4x-4y+6= 0,即(x+2)2+(y 2)2= 2,表示以 C(2,2)為圓心,近為半徑的圓.由題意可得，直線l: kx+y + 4=0經(jīng)過圓心C(-2,2),所以一2k+2 + 4=0, 解得k=3,所以點A(

16、0,3),故直線m的方程為y=x+3,即x-y + 3=0,則圓心C到直線m的距離d =|2 2+ 3 工72五'所以直線m被圓C所截得的弦長為2X12,:的.故選C.答案：C2. (2018高考全國卷出)直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A, B兩點，點P在圓(x- 2)2+y2=2上，則ABP面積的取值范圍是()A. 2,6B. 4,8C. h/2, 3業(yè)D. 22, 3煙解析：設(shè)圓(x2)2+y2=2的圓心為C,半徑為r,點P到直線x+ y+2=0的距離為d, 則圓心C(2,0), r = V2,所以圓心 C到直線x+y+2=0的距離為26，可得dmaX=2V2+r = 3$

17、, dmin=2>/2r = 2.由已知條件可得 AB=2也，所以 ABP面積的最大值為：AB dmax1=6, ABP面積的取小值為2AB dmin= 2.綜上， ABP面積的取值范圍是2,6故選A答案：A3.已知圓 C： x2+y2-2x-4y+m=0.(1)若圓C與坐標軸有3個交點，求m的值；(2)若圓C與直線x+2y-4=0的兩個交點為 M, N,且滿足OM ON= 0(其中O為坐標 原點),求此時m的值.解析：(1)由 x2 + y2 2x 4y+ m= 0 配方得(x 1)2+ (y- 2)2= 5 m.由題意，可得圓 C與x軸相切或過原點時，圓 C與坐標軸有三個交點，所以

18、5 m = 4,或 1+4=5 m,解得 m=1 或 m= 0.y2).(2)設(shè) M(xi, yi), N(X2, y2)則OM = (x1，yi), on =(X2,由OM ON = 0,得 XiX2+y1y2=0.X+2y4=0, x2+ y2 2x 4y+ m= 0消 x,得(4 2y)2+y22(4 2y)4y+m=0.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得,168+myi + y2=-5-, yiy2=15-整理得 5y216y+8+m = 0.由 xi = 4 2yi, x2 = 4 2y2,4(8+ m j 5._ c, ,48 ,-xix2= 16 8(yi + y2)+ 4yiy2=三十5,c

19、 /曰 48 4(8+m> 8+m c 加曰 8由 x1x2+yiy2=0, 得一-5- 十4 -5=0, 斛得 m=5.由知 A= 162-20(8+m)>0,即m<24,故m=8滿足題意,因此m=（為所求./瞟后訓(xùn)練提升能力授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第129頁一、選擇題1. “ab=4” 是“直線 2x+ ay1 = 0 與直線 bx+ 2y2=0 平行”的（）A.充分必要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件解析：因為兩直線平行，所以斜率相等，即2=-b,可得ab=4,又當a=1, b=4a 2時，滿足ab= 4,但是兩直線重合，故選 C.答案

20、：C2,已知圓（x-1）2+y2=1被直線x V3y =0分成兩段圓弧，則較短弧長與較長弧長之比為（）A. 1 ： 2B. 1 ： 3C. 1 ： 4D. 1 ： 5解析：（x-1）2+y2= 1的圓心為（1,0）,半徑為1.圓心到直線的距離 d = 7=T，所以W + 3 2較短弧所對的圓心角為 £ 較長弧所對的圓心角為 竽，故兩弧長之比為1 ： 2,故選A.33答案：A3. (2018臨沂模擬)已知直線3x+ay=0(a>0)被圓(x2)2+y2=4所截得的弦長為2,則 a的值為()A. 2B. 3C. 2取D. 273解析：由已知條件可知，圓的半徑為 2,又直線被圓所截得

21、的弦長為2,故圓心到直線的距離為辱即下=43,得a=j3.9+a答案：B4. (2018濟寧模擬)已知圓C過點A(2,4), B(4,2),且圓心C在直線x+y=4上，若直線 x+2y1=0與圓C相切，則t的值為()A . 6到5B . 6受事C. 2季將D. 6如/5解析：因為圓C過點A(2,4), B(4,2),所以圓心C在線段AB的垂直平分線y=x上，又ry x圓心C在直線x+ y=4上，聯(lián)立 <,解得x= y=2,即圓心C(2,2),圓C的半徑rx+ y= 4= '(22 2+(2 4 2=2.又直線x+2y1=0與圓C相切，所以|2+4 口 =2,解得 t=6±

22、;245 ,52X2X29答案：B5. (2018南昌第一次模擬)如圖，在平面直角坐標系 xOy中，直線y=2x+ 1與圓x2+y2=4相交于A, B兩點，則cos/ AOB = ()A.10解析：因為圓x2+y2 = 4的圓心為O(0,0),半徑為2,所以圓心O到直線y=2x+1的距離T工'所以弦長|AB|=2在4AOB中，由余弦定理得cos/ AOB =|OA2+|OB|2-|AB|2 =2|OA| |OB| 一19 4+4-4X 5910.答案：D6.(2018合肥第一次教學(xué)質(zhì)量檢測)設(shè)圓x2+y , 一 22 - m24 2m f+m 小(x- 2 + m) +(y-2) =

23、"4'，又 x2 + y2=1,所以一得，(2m-4)x-my+ 1 = 0,即公共弦AB所在的直線方程為(2x-y)m+(-4x _1-4x+ 1 = 0, x 4'+ 1) = 0,所以由 得2x y= 01 2x2y2=0的圓心為C,直線l過(0,3) 與圓C交于A, B兩點，若|AB|=273,則直線l的方程為()A. 3x+4y12=0 或 4x 3y+9 = 0B. 3x+4y12=0 或 x= 0C. 4x3y+9=0 或 x=0D. 3x4y+12=0 或 4x+ 3y+9 = 0解析：當直線l的斜率不存在時，計算出弦長為273,符合題意；當直線l的斜

24、率存在時，可設(shè)直線l的方程為y=kx+ 3,由弦長為2y3可知，圓心到該直線的距離為1,從而有|k+ 2|左力/口3=1 解得k=-7 ,綜上，直線l的方程為x=0或3x+ 4yk + 1y= 2'答案：B8.若過點A(1,0)的直線l與圓C: x2+y26x8y+21 = 0相交于P, Q兩點，線段PQ的中點為 M, l與直線x+ 2y+2=0的交點為 N,則|AM| |AN|的值為() 12 = 0,故選 B.7.已知圓 O： x2+y2=答案：B1,點p為直線4+2=1上一動點，過點p向圓。引兩條切線pa,PB, A,B為切點，則直線AB經(jīng)過定點()A.(2，4)B.1(412)

25、C.3 小(7，0)D.(03T)14解析：因為點P是直線x+y= 1上的一動點，所以設(shè) P(4- 2m, m).因為PA, PB是圓x2+y2=1的兩條切線，切點分別為 A, B,所以O(shè)APA, OBXPB,所以點A, B在以O(shè)P為直徑的圓C上，即弦AB是圓。和圓C的公共弦., c 2 I 2所以直線AB過定點(4, 2),故選B.因為圓心C的坐標是(2-m, m2),且半徑的平方r2=(4Wm)，所以圓C的方程為C. 7D. 8故圓心為C(3,4),半徑為2,解析：圓C的方程化成標準方程可得(x 3)2+ (y4)2=4,則可設(shè)直線l的方程為kxyk=0(kw 0),由i & &#

26、39;得N - 3k ),又 kx-y-k=0,郃+1 2k+ V直線CM與l垂直，得直線 CM的方程為y-4=- k(x-3).,y-4=-j1(x-3)由k、kx y k=0,/口化2+4k+3 4k2+2k )付 M、k2+ 1 ' k2 +1 則 |AM | |AN |4k2 + 2k、2<k2+1 >2|2k+ 1| j22-X Jl + k2 X1 + kv答案：B二、填空題3小+ k2 _|2k+ 1| 一6.故選B.9. (2018高考全國卷I )直線y=x+ 1與圓x2+y2+2y3=0交于A, B兩點，則|AB|解析：由 x2+y2+2y3=0,得 x2

27、+(y+1)2=4.圓心 C(0, 1),半徑 r= 2.圓心 C(0, 1)到直線 x-y+1=0 的距離 d = " =V2'，|AB|=2-r2d2 =244-2 = 2 2.答案：2 210. (2018江蘇三市三模)在平面直角坐標系 xOy中，已知點 A(0, 2),點B(1, 1),P為圓x2+y2=2上一動點，則 齦的最大值是1PAi? = t2,整理得，(1 -t2)x22 .4解析：設(shè)動點P(x, y),令1PB|=t(t>0)，則 產(chǎn)x2匚三一y 1PAiL x)+ (2y,+ (1 -t2)y2- 2x+ (2 4t2)y+ 2 4t2= 0， (*)易知當1t2W0時，(*)式表示一個圓，且動點 P在該圓上，又點P在圓x2+y2=2上，所以點P為兩圓的公共點，兩圓方程相減得兩圓公共弦所在直線 l 的方程為 x-(1-2t2)y-2+3t2=0,2.所以圓心(0,0)到直線l的距離d= 廠 3t S&也 解得0<t<2,所以1PB|的最大值 V1 + (1-2t2f1PAi為2.答案：2三、解答題11 .已知圓 C 過點 P(1,1),且圓 C 與圓 M: (x+2)2+(y