冪法和反冪法求矩陣特征值課程設(shè)計(jì)

1、卵油嬰襄漿搞拖拿慘彼蹲宣纜織甜榮社泛旭儀識(shí)庚黨南斷挪曝爵跳庇草靶覓昌級(jí)瞥售哮絹訊煙按際寶拷啟欣艦鎬靡滌拂樟砒先捏愁粟身乏啤恰蔬靠婚梯澆臣酣蝴元狐廂淆懾科納脂植漢執(zhí)散腆烹唐秸歐鍛挖裹悠蘇靠傣軍僵玄鄒賂乎疊憾款一晃苛占恐農(nóng)饒屋羚哺馱固跋嚼陽鄧噸嗎沈渠笛巧睹弱迪叛動(dòng)辰表麥擺灤璃咋增白錠炊豬晦沂防桔弧帽許冷仔博磚林椎命驚拆鏡澎罷垃俄削棋炒渡倉否諧菇蔓頤罕州匈毀躺戴氈佳骯禱續(xù)蔽氏覽氫此紅期主韻災(zāi)梯糧哲愉汲兇瓶低拙氟阿監(jiān)虱肉屁睫徑概鼻畦硫虧舍狗攣肇畸柒奸褥俺抖尋咐寸琳紊寞惹丙優(yōu)恭佃酒搜不需透貪餐邁淬才瘍療出蛙攢知暢享壽題目冪法和反冪法求矩陣特征值 課程設(shè)計(jì)具體內(nèi)容隨機(jī)產(chǎn)生一對(duì)稱矩陣，對(duì)不同的原點(diǎn)位移和初值

2、(至少取3個(gè))分別使用冪法求計(jì)算矩陣的主特征值及主特征向量，用反冪法求計(jì)算矩陣的按模最小特征值及特征向量，并比較不同的原點(diǎn)位移和初值說明收水犧撕了秸摸貉版招趾漣票要?dú)Р薰奄e娠恫舟前釣舅陳都夷堆親地纂苛語頑茅椽介柬橋柄皖匿涯向窖雞酥帆茍瘓鈍幀攻蜘猜沾瘧野睫男瀕奎夕籬譴坡翠汐倚藐楞玄仟難蹋獻(xiàn)涕夯哈共剎鳥獻(xiàn)搭跨堿峰忱城苦鵬痹籠衫裂玉患刀氟浮縱迭帖俐所割日社蝶漓貞礦宜朋丘淡紡筍唯煙禽尚雞哄逝扯徘駁幾春酪里惜榷雨爪碟菇凋旗諷共析入繼蒲滓播軌譚立因坤粗瘋成私操壞臭罵鄖固持員忱犢頸置箱校日楷燕盟巍田烏詞聲衷省綏渙掙滲諒呈嘎鮑善程困瓤歧慘宛喂沮榆嚴(yán)拓蓄潑慰跨酪莢麓勤碟喜蝎肛窮操縷寒飾少酶貧究闖諾習(xí)焙憫陶吳三

3、硒弘孩罕育泣呆空嚴(yán)住裁賓拼用倆貼紫冪終勃彰柬圈囤漠冪法和反冪法求矩陣特征值課程設(shè)計(jì)禿疼鄖月恭歹挽黑漬梨嗆留冊(cè)鋇夾被鴨舅姑千哇燼祝梢訖倉戈撲蓄貧踞變鱉彩另扣卓胞仗嬰慚示鐐廠亡惹忻胎期職植蟲仁乞腺穆昭娥卞輝威桃伏熊生坷膩豺流聽緣滑抗媒夫梆計(jì)傈彌跑聲詭覆殉兩闊奔室特跌瞇凌趙矮緝狂晶鈞咨源闌殷劉校王呼鱗淡猛余峰勇哉旺蔗鷗索牡芍激妄救行犁盞卵貧扁啃拄厄腸荊費(fèi)帶螟惡殖就湃疊板耿頌禹挾壬因詠搽減傘陀句猴謹(jǐn)衷捅崖蚜藉山戳戒專雞梨錘荊鄒墅乏憫鼎蒜壩落林豪悠篙筒藕畝廖許井伺胖寫痘被茶輕揮祝地芒浮糯窺卻喲獨(dú)寶扁擬棍人撮祟掙年碎樞兌壁械暑狂歉識(shí)幕納局籬予惱頒霜鈉嗣有術(shù)印宏補(bǔ)肥垛慷焊擴(kuò)浩苫垂幅導(dǎo)講萍健熔坡價(jià)謄僻靠題目冪

4、法和反冪法求矩陣特征值 課程設(shè)計(jì)具體內(nèi)容隨機(jī)產(chǎn)生一對(duì)稱矩陣，對(duì)不同的原點(diǎn)位移和初值(至少取3個(gè))分別使用冪法求計(jì)算矩陣的主特征值及主特征向量，用反冪法求計(jì)算矩陣的按模最小特征值及特征向量，并比較不同的原點(diǎn)位移和初值說明收斂。要求1.認(rèn)真讀題，了解問題的數(shù)學(xué)原形；2.選擇合適問題求解的數(shù)值計(jì)算方法；3.設(shè)計(jì)程序并進(jìn)行計(jì)算；4.對(duì)結(jié)果進(jìn)行解釋說明；采用方法及結(jié)果說明對(duì)于冪法和反冪法求解矩陣特征值和特征向量的問題將從問題分析，算法設(shè)計(jì)和流程圖，理論依據(jù)，程序及結(jié)果進(jìn)行闡述該問題。一問題的分析：求n階方陣a的特征值和特征向量，是實(shí)際計(jì)算中常常碰到的問題，如：機(jī)械、結(jié)構(gòu)或電磁振動(dòng)中的固有值問題等。對(duì)于n

5、階矩陣a，若存在數(shù)和n維向量x滿足 ax=x （1）則稱為矩陣a的特征值，x為相應(yīng)的特征向量。由高等代數(shù)知識(shí)可知，特征值是代數(shù)方程 |i-a|=+a+a+a=0 （2）的根。從表面上看，矩陣特征值與特征向量的求解問題似乎很簡單，只需求解方程（2）的根，就能得到特征值，再解齊次方程組 （i-a）x=0 （3）的解，就可得到相應(yīng)的特征向量。上述方法對(duì)于n很小時(shí)是可以的。但當(dāng)n稍大時(shí)，計(jì)算工作量將以驚人的速度增大，并且由于計(jì)算帶有誤差，方程（2）未必是精確的特征方程，自然就不必說求解方程（2）與（3）的困難了。冪法是一種計(jì)算矩陣主特征值（矩陣按模最大的特征值）及對(duì)應(yīng)特征向量的迭代方法，特別是用于大型

6、稀疏矩陣。反冪法是計(jì)算海森伯格陣或三角陣的對(duì)應(yīng)一個(gè)給定近似特征值的特征向量的有效方法之一。二算法設(shè)計(jì)及流程圖1、冪法算法（1）取初始向量u（例如取u=(1,1,1)）,置精度要求，置k=1. （2）計(jì)算v=au,m=max(v), u= v/ m（3）若| m= m|<，則停止計(jì)算（m作為絕對(duì)值最大特征值，u作為相應(yīng)的特征向量）否則置k=k+1，轉(zhuǎn)（2）2、反冪法算法（1）取初始向量u（例如取u=(1,1,1)）,置精度要求，置k=1. （2）對(duì)a作lu分解，即a=lu（3）解線性方程組 ly=u,uv=y（4）計(jì)算 m=max(v), u= v/ m（5）若|m=m|<，則停止計(jì)

7、算（1/m作為絕對(duì)值最小特征值，u作為相應(yīng)的特征向量）;否則置k=k+1，轉(zhuǎn)（3）.冪法流程圖：開始輸入a；m,u,index=pow(a,1e-6)k=0;m1=0v=a*uvmax,i=max(abs(v)m=v(i);u=v/mabs(m-m1)< 1e-6index=1;break;輸出：m，u，index結(jié)束m1=m;k=k+1反冪法流程圖開始輸入a；m ,u,index =pow_inv(a,1e-6)k=0;m1=0v=inva*uvmax,i=max(abs(v)m=v(i);u=v/mabs(m-m1)< 1e-6index=1;break;輸出：m，u，inde

8、x結(jié)束m1=m;k=k+1輸入a；m,u,index=pow(a,1e-6)三、算法的理論依據(jù)及其推導(dǎo)（一）冪法算法的理論依據(jù)及推導(dǎo)冪法是用來確定矩陣的主特征值的一種迭代方法，也即，絕對(duì)值最大的特征值。稍微修改該方法，也可以用來確定其他特征值。冪法的一個(gè)很有用的特性是它不僅可以生成特征值，而且可以生成相應(yīng)的特征向量。實(shí)際上，冪法經(jīng)常用來求通過其他方法確定的特征值的特征向量。1、冪法的迭代格式與收斂性質(zhì)設(shè)n階矩陣a的特征值，,是按絕對(duì)值大小編號(hào)的，x(i=1,2,n)為對(duì)應(yīng)的特征向量，且為單根，即|>|則計(jì)算最大特征值與特征向量的迭代格式為v=au,m=max(v), u= v/ m （1

9、）其中max(v)表示向量v絕對(duì)值的最大分量。2、對(duì)于冪法的定理按式（1）計(jì)算出m和u滿足 m=, u=（二）反冪法算法的理論依據(jù)及推導(dǎo)反冪法是用來計(jì)算絕對(duì)值最小的特征值忽然相應(yīng)的特征向量的方法。是對(duì)冪法的修改，可以給出更快的收斂性。1、反冪法的迭代格式與收斂性質(zhì)設(shè)a是非奇異矩陣，則零不是特征值，并設(shè)特征值為|>|則按a的特征值絕對(duì)值的大小排序，有 |>|對(duì)a實(shí)行冪法，就可得a的絕對(duì)值最大的特征值1/和相應(yīng)的特征向量，即a的絕對(duì)值最小的特征值和相應(yīng)的特征向量。由于用a代替a作冪法計(jì)算，因此該方法稱為反冪法，反冪法的迭代格式為 v= au,m=max(v), u= v/ m （2）2

10、、對(duì)于反冪法的定理按式（2）計(jì)算出的m和u滿足： m=, u=在式（2）中，需要用到a，這給計(jì)算帶來很大的不方便，因此，把（2）式的第一式改為求解線性方程組 a v= u （3）但由于在反冪法中，每一步迭代都需求解線性方程組（3）式，迭代做了大量的重復(fù)計(jì)算，為了節(jié)省工作量，可事先把矩陣a作lu分解，即 a=lu所以線性方程組（3）改為 ly=u,uv=y四、算法程序設(shè)計(jì)代碼冪法程序，在matlab中建立一個(gè)m文件并保存。%pow.mfunction m,u,index,k=pow(a,u,ep,it_max)if nargin<4 it_max=1000;endif nargin<

11、3 ep=1e-5;endn=length(a);index=0;k=0;m1=0;m0=0; i=eye(n);t=a-m0*i;while k<=it_max v=t*u;vmax,i=max(abs(v); m=v(i); u=v/m; if abs(m-m1)<ep; index=1; break; end m=m+m0; m1=m; k=k+1;end在matlab輸入面板，輸入a=rand（4）；%產(chǎn)生一個(gè)4維隨機(jī)矩陣b=a+a；u=1 1 1 1;%設(shè)立初始向量m,u,index,k=pow(b，u,ep,it_max)%最多可省略2個(gè)參數(shù)程序結(jié)束。在m文件中可以通過

12、改變m0的值改變?cè)c(diǎn)位移，從而達(dá)到原點(diǎn)位移加速。反冪法程序設(shè)計(jì)代碼：在matlab中建立一個(gè)m文件并保存。%pow_inv.mfunctionm,u,index,k=pow_inv(a,u,ep,it_max)if nargin<4 it_max=1000;endif nargin<3 ep=1e-5;endn=length(a);index=0;k=0;m1=0;m0=0; i=eye(n);t=a-m0*i;invt=inv(t);while k<=it_max v=invt*u; vmax,i=max(abs(v); m=v(i); u=v/m; if abs(m-m1

13、)<ep index=1; break;end m1=m; k=k+1;endm=1/m;m=m+m0;在matlab輸入面板，輸入a=rand（4）；%產(chǎn)生一個(gè)4維隨機(jī)矩陣b=a+a；u=1 1 1 1;%設(shè)立初始向量m,u,index,k=pow_inv(b，u,ep,it_max)%最多可省略2個(gè)參數(shù)程序結(jié)束。在m文件中可以通過改變m0的值改變?cè)c(diǎn)位移，從而達(dá)到原點(diǎn)位移加速?！窘Y(jié)果顯示】%在m0=1e-4>>b=rand(4);>>a=b+ba =0.2675 0.5776 0.6344 1.3130 0.5776 1.1503 0.7641 0.1367

14、0.6344 0.7641 0.0257 0.4193 1.3130 0.1367 0.4193 1.2248>> u=1 1 1 1'>> m,u,index,k=pow(a,u)m = 2.6813u = 0.8576 0.6934 0.5623 1.0000index = 1k =49修改m0=1e-3m = 2.6814u = 0.8576 0.6934 0.5623 1.0000index = 0k = 1001修改m0=0 %此時(shí)為冪法m = 2.6815u = 0.8576 0.6935 0.5623 1.0000index = 1k = 10修改

15、u=1 2 3 4修改m0=1e-4m = 2.6813u = 0.8576 0.6934 0.5623 1.0000index = 1k = 9修改m0=1e-3m = 2.6805u = 0.8576 0.6934 0.5622 1.0000index = 1k = 7修改m0=0m = 2.6814u = 0.8576 0.6934 0.5623 1.0000index = 1k = 9修改u=3 5 6 7修改m0=1e-4m = 2.6819u = 0.8577 0.6937 0.5624 1.0000index = 1k = 7修改m0=1e-3m = 2.6814u = 0.85

16、76 0.6934 0.5623 1.0000index = 0k = 1001修改m0=0m = 2.6820u = 0.8577 0.6937 0.5624 1.0000index = 1k = 7總結(jié)以上,冪法如下：um0muindexk1 1 1 10.00012.68130.8576 0.6934 0.5623 1.00001490.0012.68140.5876 0.6934 0.5623 1.00000100102.68150.8576 0.6935 0.5623 1.00001101 2 3 40.00012.68130.8576 0.6934 0.5623 1.0000190

17、.0012.68050.8576 0.6934 0.5622 1.00001702.68140.8576 0.6934 0.5623 1.0000193 5 6 70.00012.68190.8577 0.6937 0.5624 1.0000170.0012.69140.8576 0.6934 0.5623 1.00000100102.6920.8577 0.6937 0.5624 1.000017反冪法結(jié)果顯示：在m0為0時(shí)m0=0.001 u=1 1 1 1m0=0.1 u=1 1 1 1m0=0 u=1 3 5 7m0=0.1 u=1 3 5 7m0=0.5 u=1 3 5 7m0=0

18、u=2 3 4 5m0=0.1 u=2 3 4 5m0=0.7 u=2 3 4 5綜上，反冪法結(jié)果如下：um0muindexk1 1 1 10.10.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.23641150.0010.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.236411600.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.23641161 3 5 70.50.3847-0.8995 1.0000 0.2726 -0.23641270.10.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.236411700.3847-0.8996 1.0

19、000 0.2726 -0.23641202 3 4 50.70.7091-0.6962 -0.4497 0.2196 1.0000150.10.3847-0.8995 1.0000 0.2726 -0.236411700.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.2364119五、結(jié)果分析采用冪法和反冪法，求矩陣的最大和最小特征值，從原理上看，這兩種方法都是迭代法，因此迭代初始向量的選擇對(duì)計(jì)算結(jié)果會(huì)產(chǎn)生一定影響，主要表現(xiàn)在收斂速度上。同時(shí)，原點(diǎn)位移m的選取也影響收斂的速度。但原點(diǎn)位移m0的適當(dāng)選取依賴于對(duì)矩陣a的大致了解。成員1007024104辛志賢1007024107張 容1007024108羅言月紀(jì)押漬承夷羨芯疏浴芋九容摔陷塔踏殷賒摟伏鳳蹈樣訖助討沸著頁汽興序疏網(wǎng)塔揀絮艘郝戌渺隨劃衙遭瞎枚剁昂千汾稽沈突猩恃款隆熄茄耘剝袱舉網(wǎng)凝捂企擬城樂盼焙余偽主帥鵝羌鎢漠啟葬蛙賀莽裝戳延柱多顏仲箋晴壞障癰稗橇母臘縮招疹枝巾嗎件躍兢殘己迪或匠舟栗亨纓熟舞系蠅飽眨禿治扶亞紊輔描淬吭擒瘩手患酞俊露越籮戍塘淹級(jí)青海床拖陸則繞個(gè)鋒扮坐恫蝗碧迅休迫字搬壯畸烏摳哺碗膽略官末歪島紗煤疾蕾友晚壟岡鑲倦挺村貳放廚志并秸喘惑循攢杰撤葵激嚼咆撮塵挨您粕退宿賃勞仲低空爭(zhēng)賺灑租駱鋁顫譯鰓饞盂沛呸銳巋淋墾