空間中有關(guān)外接球的問題答案

1、專題05 破譯空間中有關(guān)外接球的問題、單選題30。的平面，則所得1. （ 2020重慶市育才中學(xué)高三月考）過球的一條半徑的中點，作與該半徑所在直線成 截面的面積與球的表面積的比為（515256256C.644564【答案】C【解析】由題畫出圖形，設(shè)球心為O,則OA為一條半徑，B為OA中點，過點B的平面與OA所成角為30°,截面BO1, OO1 CO1,的圓心為Oi,截面與球一交點為C,則 OBOi 30 ,OOi截面，則OOi1 1設(shè)oa OC，則OB 尹。1。&2 2 2所以在 RtVOOQ 中，CO1 CO OO1 則 CO1所以所得截面的面積與球的表面積的比為.15r1

2、5，故選:C642. （2020湖北省高三）已知三棱錐 S ABC的所有頂點在球 O的球面上，SA 平面ABC , VABC是等 腰直角三角形，SA AB AC 2 , D是BC的中點，過點D作球O的截面，則截面面積的最小值是（）A .B . 2【答案】B【解析】點D是RtVABC的外心，過點O是外接球球心，半徑設(shè)為 R，則OAC. 3D. 41D作DO 平面ABC使DOSA 1 ,2OS R.在直角梯形SADO中，SA 2 , OD 1 , AD 2，得R 3 ,過點D作球0的截面，當(dāng)OD 截面時，截面面積最小,此時截面圓的半徑為.rR2OD22，3. （ 2020福建省高三月考）在三棱錐

3、P ABC中，PA 底面ABC , AB AC, AB 6,AC 8 , D是線段AC上一點，且AD 3DC 三棱錐P ABC的各個頂點都在球 O表面上，過點D作球O的截面，若所得 截面圓的面積的最大值與最小值之差為16 ，則球O的表面積為（）A . 72 nB. 86C. 112D. 128【答案】C【解析】將三棱錐 P ABC補成直三棱柱，且三棱錐和該直三棱柱的外接球都是球O,記三角形ABC的中心為O1，設(shè)球的半徑為 R , PA 2x ,則球心O到平面ABC的距離為x，即O。！ x ,連接 OjA，則 O1 A 5 R2 x225.在VABC中，取AC的中點為E，連接O1D,O1E ,1

4、 1則 OE -AB 3 DE AC 22，4，所以 OQ 13 在 RtVOOQ 中，od . x2 13，由題意得到當(dāng)截面與直線 0D垂直時，截面面積最小，設(shè)此時截面圓的半徑為 r,則 r2 R2 OD2 x225 x2 1312,所以最小截面圓的面積為 12,當(dāng)截面過球心時，截面面積最大為R2 ,所以 R21216 , R228，球的表面積為R2 112 .故選:C.4. ( 2020福建省福州第一中學(xué)高三開學(xué)考試)在棱長為6的正方體ABCD中，點E滿足uuu uuu 亠BE 2EC，則三棱錐Di AEC的外接球的表面積是()A . 54B. 70C. 108D. 140【答案】C【解析

5、】連接BiD，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P為三棱錐Di AEC的外接球的球心，故P到Di, A、C三點的距離相等，由正方體的性質(zhì)，P點在直線BiD上不妨設(shè) P(x,x,x),C(0,6,0), E(2,6,0)由于 |PC| |PE|x2 (x 6)2 x2'. (x 2)2 (x 6)2 x2x i P(i,i,i)外接球半徑：R |PC| .i2 52 i2 .27 3/3故表面積S 4 R2i08 ,故選：C5 （ 2020云南省云南師大附中高三月考）四邊形ABDC是菱形，BAC 60°, AB . 3 ,沿對角線BC翻折后，二面角 A BC D的余弦值為1，則三棱錐D

6、 ABC的外接球的體積為（3A .5B ,6【答案】B【解析】如下圖所示，取 BC的中點為M，設(shè)球心O在平面ABC內(nèi)的射影為Oi ，在平面BCD內(nèi)的射影AB 3 ,AMD則 cos22cos212 cos1，貝U sin3tan2ta nOO2O2Mta n球O的半徑R.DO； OO；所求外接球的體積為39故選：B.6 （ 2020河北省高三月考）圓錐SD（其中S為頂點，D為底面圓心）的側(cè)面積與底面積的比是2:1，則圓錐SD與它外接球（即頂點在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為（A 9:32B 8:27C. 9: 22D 9: 28【答案】A【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,圓錐母線長為I，

7、則側(cè)面積為 nl ,側(cè)面積與底面積的比為nl2r十2,則母線l=2r,圓錐的高為hh2 r2 , 3r ,則圓錐的體積為丄3n2h設(shè)外接球的球心為 0,半徑為R,截面圖如圖，貝y 0B=0S=R,0D=h-R= _3r R,BD=r,在直角三角形 BOD中，由勾股定理得 OB2OD2BD2,即 R2r2. 3r展開整理得R= 23r,所以外接球的體積為R38 33"r32 r333r故所求體積比為可32 r39 .39巫，故選：A7. （ 2020湖南省高三期末）設(shè)三棱柱 ABCAi B1C1的側(cè)棱垂直于底面， ABACBAC 90，AA 3邁，且三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該

8、球的表面積是D. 16C. 26【答案】【解析】由題意知底面外接圓的圓心為斜邊BC的中點O，則外接圓的半徑BC2，而 AB AC 2,BAC90 ,所以BC2&，所以r、2，過BC的中點做垂直于底面的直線交中截面與O點,則O為外接球的球心,由題意得:R2 r2 AA213，所以外接球的表面積S 4 R2 26 ,故選：C .8. （ 2020全國高三課時練習(xí)）體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為A . 1232 B.C. 8【答案】A【解析】因為正方體的體積為 8，所以棱長為2,所以正方體的體對角線長為 2.3，所以正方體的外接球的半徑為 3 , 所以該球的表面積為

9、4（J3）2 12 ，故選A.二、填空題9. （ 2020全國高三課時練習(xí)）已知圓臺的上、下底面都是球0的截面，若圓臺的高為 6，上、下底面的半徑分別為2， 4，則球0的表面積為.【答案】80【解析】設(shè)球半徑為 R，球心O到上表面距離為x,則球心到下表面距離為6-x,結(jié)合勾股定理，建立等式22 x2 42 + 6 x 2，解得 x 4，所以半徑 R2 x2 22 20因而表面積S 4 R28010. （2020山東省高三）若一個圓柱的軸截面是面積為4的正方形，則該圓柱的外接球的表面積為 【答案】8.【解析】作出圓柱與其外接球的軸截面如下:2r，所以軸截面的面積為S正方形ABCD22r 4，解得

10、r 1，因此,該圓柱的外接球的半徑 R BD 222，2 2所以球的表面積為S 428 .故答案為811. （2020廣西壯族自治區(qū)廣西師大附屬外國語學(xué)校高三）在平面四邊形ABCD中， BCD是邊長為2的等邊三角形， BAD為等腰三角形，且/ BAD=90，以BD為折痕，將四邊形折成一個 120的二面角A BD C，并且這個二面角的頂點 A,B,C,D在同一個球面上，則這個球的球面面積為 52【答案】9【解析】B折成的立體圖形如圖所示，0為球心，E為BD的中點，/ CEH=60 ,ce= .3, ch 3，2HE丄3，所以由OC2 OF2 CF2得:2n R ，所以，球面積為 S 429R25

11、2952故答案為：529AC 2, AD 2,12. （2020湖南省長郡中學(xué)高三月考）已知三棱錐 A BCD , ABS ABC S ABD S ACD 取最大值時，三棱錐 A BCD的外接球表面積是【答案】9【解析】當(dāng) S ABC S ABD S ACD取最大值時AB , AC , AD兩兩垂直，此時以AB , AC , AD為長方體的三條棱，長方體的外接球也即是三棱錐 A BCD的外接球，長方體的對角線長為 .1 22 22 I，設(shè)球的半徑為R,則2R I,2球的表面積為2R 9 .故答案為：9ABC體積最1I. （2020廣東省高三期末）已知三棱錐 P ABC中，pa PB PC d，

12、當(dāng)三棱錐P大值時，三棱錐P ABC的外接球的體積為.9 【答案】92【解析】三棱錐 P ABC，以 PAB為底，C到平面PAB的距離為高，則可知PC 平面PAB時，C到平面PAB的距離最大為、| ,1 3底面 PAB 為等腰三角形， Spab -PA PB s in BPA si n BPA,2 2所以，當(dāng)sin BPA 1時，PAB的面積最大，即 PA PB ,所以，當(dāng)PA,PB,PC兩兩垂直時，三棱錐 P ABC體積最大，此時三棱錐P ABC的外接球可以看作是以 ,3為棱長的正方體的外接球,設(shè)球的半徑為R，則2R.32<3 2.-3 2，13”343 4解得R，所以所求球的體積為 V

13、R3 -23 39故答案為：-214.（2020全國高三專題練習(xí)）如圖所示，六氟化硫SF6的分子是一個正八面體結(jié)構(gòu),其中6個氟原子（F）恰好在正八面體的頂點上，而硫原子（S）恰好是正八面體的中心若把該分子放入一個球內(nèi)，則這個球的體積與六氟化硫分子體積之比的最小值為 【答案】.【解析】由正八面體的性質(zhì)可得:當(dāng)這個球的體積與六氟化硫分子體積之比取最小值時，此時這個球為正八面體的外接球，且球心為點S ,設(shè)外接球的半徑為 R，則正八面體的體積為 2 - C2R）2R34R33又正八面體的外接球的體積為4 R33則這個球的體積與六氟化硫分子體積之比的最小值為-R3故答案為:15. （2020河南省高三）中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典九章算術(shù)系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，如圖為一個陽馬與一個鱉臑的組合體，已知PA 平面ABCE，四邊形ABCD為正方形，AD 2，ED 1,若鱉臑P ADE的外接球的體積為 9 ，則陽馬P ABCD的外接球的表面積等于